2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=； 则点O 分别为ABC ∆的（ ） A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心． 【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，3OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)))(),2,10,0x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．2．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，点M ，N 分别在1l ，2l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A.15B.12C.10D.9【答案】A【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM 、PN uuu r，根据8PM PN +=，求出PM PN ⋅的解析式，再求其最大值． 【详解】由点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，可得平行线1l 、2l 间的距离为2；以直线1l 为x 轴，以过点P 且与直线1l 垂直的直线为y 轴， 建立坐标系，如图所示：由题意可得点()0,1P -，直线2l 的方程为2y =， 设点(),0M a 、点(),2N b ，(),1PM a ∴=、(),3PN b =， (),4PM PN a b ∴+=+；8PM PN +=， 2()1664a b ∴++=，a b ∴+=，或a b +=-；当a b +=()2333PM PN ab a a a ⋅=+=+=-++，它的最大值为2315-+=；当a b +=-时，()2333PM PN ab a a a ⋅=+=-+=--+，它的最大值为(2(315----+=； 综上可得，PM PN ⋅的最大值为15． 故选：A 【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 3．如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈、，则x y +的取值范围是（ ）A.1,4⎡+⎣B.44⎡-+⎣C.1,2⎡+⎣D.22⎡⎣【答案】B【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE =+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠= ，则2,A M D M ==，则2AQ =，12AR =， 23(423)(23)(23)2AQ AR AD AE-==-=-+- ，此时4x y +=-，同理可得：(23)(23)AT AD AE =+++，4xy +=+，选B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.4．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 正确的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2d ==,则22a b +>4，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(原卷+解析版)
对④，当 ， 时，不总存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档．
12.已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最大值为________.
10.已知边长为1 正八边形的8个顶点依次为 、 、 、 、 、 、 、 ，点 为该八边形边上的动点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点 在 位置时， 取得最小值，当点 在 位置时， 取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于 的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】∵ 与 的夹角为锐本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.
②存在 为第二象限角，角 为第四象限角；
则下列选项中，正确的是（）
A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误
三.解答题
17.在△ 中，三个内角 、 、 所对 边分别为 、 、 .
（1）若 ， ，求△ 面积的最大值；
（2）若 ，试判断△ 的形状，并说明理由.
18.已知 （ ）
【详解】设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
2018-2019学年上海市华二附中高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，则方程00(,)(,)0f x y f x y -=表示（ ） A ．与l 重合的直线 B ．与l 平行的直线 C ．与l 相交的直线 D ．可能不表示直线【答案】B 【解析】 【分析】利用相互平行的直线斜率、截距之间的关系即可得出． 【详解】Q 直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，∴00(,)0f x y ≠，则方00(,)(,)0f x y f x y -=表示是与l 平行的直线. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.2．设a r是已知的平面向量且0a ≠rr，关于向量a r的分解，有如下四个命题： ①给定向量b r，总存在向量c r，使a b c =+rrr；②给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r ；③给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b r和单位向量c r，使a b c λμ=+rrr； 上述命题中的向量b r，c r 和a r在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以a r 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量b λr 有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须b c a λμλμ+=+≥r r r，所以④是假命题。
综上，本题选B ．考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．3．已知平面向量,,a b c r r r 满足c xa yb =+r r r（,R x y ∈），且0a c ⋅>r r ，0b c ⋅>r r ． A ．若0a b ⋅<r r，则0x >，0y > B ．若0a b ⋅<r r，则0x <，0y <C ．若0a b ⋅>r r，则0x <，0y < D ．若0a b ⋅>r r，则0x >，0y >【答案】A 【解析】试题分析：若0a b ⋅<r r ，设(1,1)a =r ，(2,1)b =-r ，(0,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，10b c ⋅=>r r ，10a b ⋅=-<r r ，由c xa yb =+r r r ，有021x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，排除B ；若0a b ⋅>r r ，设(1,0)a =r ，(2,1)b =r ，(1,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，30b c ⋅=>r r ，20a b ⋅=>r r ，由c xa yb =+r r r ，有121x y y =+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，排除C 、D ，故选A ．考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、平面向量的基本定理．【思路点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，作为选择题运用排除法是解题的关键，运用排除法解决，分0a b ⋅<r r ，0a b ⋅>r r两种情况，然后再分别对,a b r r举例加以验证，即可得到答案．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=u u u r u u u r u u u r raOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r rA OAB OBC OC ；③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r A OA B OB C OC ；④0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ；则点O 分别为ABC ∆的（ ） A ．外心、内心、垂心、重心 B ．内心、外心、垂心、重心 C ．垂心、内心、重心、外心 D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D 【解析】 【分析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设()1,3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC V 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC V 的外心；④0OA OB OC u u u r u u u r u u u r r++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =， 由AC 的中点D 为()0,2，13DB =，2133OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC V 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设(3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r， 即为)()()()333,2,130,033x y x y x y ---+--+--=， 330x =310y +=，解得1x =-，3y = 即(1,3O --，由OC AB ⊥，331OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC V 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．二、填空题5．方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为________【答案】216320⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】 【分析】先将方程组化为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，即可写出对应的增广矩阵．【详解】由题意，方程组为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，故其增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭.故答案为：216320⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查方程组的增广矩阵，属于基础题. 6．直线210x +-=的倾斜角是________【答案】π-【解析】 【分析】根据所给的直线210x +-=，得到直线的斜率为，直线的斜率是倾斜角的正切值，得到tan α=0[]απ∈，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果． 【详解】直线210x -=的斜率是， 因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以tan α=0[]απ∈，，所以απ=-.故答案为：π-【点睛】本题考查反三角函数的运用，考查直线的倾斜角，属于基础题. 7．已知直线220x y +-=和10mx y -+=的夹角为3π，那么m 的值为________【解析】 【分析】运用两直线夹角的正切公式，解方程即可得到所求值． 【详解】由已知直线220x y +-=，得该直线斜率为2-， 直线10mx y -+=的斜率为m ， 因为两直线的夹角为3π， 所以：(2)31(2)m m --=+⋅-，解得853m ±=.故答案为：853±. 【点睛】本题考查两直线的夹角与到角问题，属于常考题.8．行列式101213131---中的代数余子式的值为________【答案】-5 【解析】 【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论． 【详解】由题意，行列式101213131---中﹣3的代数余子式为﹣1123-＝﹣（3+2）＝﹣5故答案为﹣5 【点睛】本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设向量()3,0a =-v，()2,6b =-r ，则b r 在a r 上的投影为__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据一个向量在一个向量上的投影等于这个向量的模乘以两个向量的夹角的余弦，然后代入公式|b r|cos a b a b a⋅=r r r r u u r r ＜，＞进行求解即可． 【详解】向量 a =r（﹣3，0），b =r（﹣2，6），向量b r 在向量a r上的投影为|b r |cos 32069a b a b a--+⨯⋅===rr r r u u r r＜，＞ 2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于中档题．10．已知线段AB 的端点坐标分别为(2,4)A -、(4,2)B ，过点(0,2)P -的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是________ 【答案】(,3][1,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出直线AP BP 、的斜率，从而求出直线l 的斜率k 的取值范围． 【详解】根据题意，画出图形，如图所示：Q 直线AP 的斜率是24302AP k --==-+， 直线BP 的斜率是22104BP k --==-，∴直线l 的斜率应满足AP k k ≤或BP k k ≥，即3k ≤-或1k ³时，直线l 与线段AB 相交，∴斜率k 的取值范围是3k ≤-或1k ³.故答案为：(,3][1,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，考查数形结合思想和逻辑思维能力，属于常考题.11．齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ的值为________【答案】0或3或2 【解析】 【分析】根据系数矩阵行列式等于0时，齐次线性方程组有非零解解答即可. 【详解】124231111D λλλ--=--2(1)(3)824(3)(1)4(1)λλλλλ=--+-----+-0=，故2(3)(2)0λλλ--=， 解之得：0λ=或3λ=或2λ=， 故答案为：0或3或2. 【点睛】本题考查齐次线性方程组有非零解的问题，属于基础题.12．已知向量a r ，b r 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =r ，()1,1b =r ，a r 与a λb +rr 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________. 【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】可求出()12a b λλλ+=++r r ，，根据a r 与a b λ+r r的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a bλ+r r不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可． 【详解】：()12a b λλλ+=++r r，； ∵a r与a b λ+rr的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a b λ+r r不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．13．Lester S.Hill 在1929年运用矩阵的原理发明了一种加密方法，称为希尔密码，其中每个字母均用数字来代替（0A =，1B =，…，25Z =），一串字母就可当成n 维向量，具体加密过程如下：假设明文M =“ABC ”，对a 应的向量就是()1012M =，加密矩阵1212041315A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，加密过程就是()()11210122044681315M A -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，如果计算出的数字超过26，则对26取余，例如34mod268=，那么，最终的密文C 就是“EGI ”，假设加密矩阵仍为A ，那么原文“EFZ ”的密文是______. 【答案】NFB 【解析】【分析】根据题意,先找到EFZ 对应的数字,再根据加密法则进行计算,最终得到密文即可. 【详解】由题EFZ 对应的向量(4525)Q =,则加密后121(4525)204(3983391)(1351)1315QA -⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭故密文为NFB 故答案为：NFB 【点睛】本题主要考查矩阵的运算以及新定义的问题,根据题中所给信息列出对应的计算式求解即可.属于中等题型.14．已知O 为△ABC 的外心，若4B π=，BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为______【答案】2【解析】 【分析】在BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r 的两边分别同时计算与BA u u u r 和BC uuur 的数量积得到2c c λμ=和2a a λμ=+，进一步得到1λ=-1μ=-，所以2()a cc aλμ+=+，再运用基本不等式可以得到最值. 【详解】设AB c =，BC a =，由BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得：BO BA BA BA BC BA λμ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2212c c λμ=，即2c c λμ=①，同理可得，2a a λμ=+②，由①②解得：12c λ=-，12aμ=-，所以2()22a cc aλμ+=-+≤-， 当且仅当a c =时等号成立，故max ()2λμ+=故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的线性表示、平面向量的数量积、基本不等式的应用、一元二次不等式的解法等，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题15．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积. 【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可.【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC的距离34d ===，BC ==所以113122342ABC S BC d ∆=⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.16．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解；② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.17．设二阶方矩阵a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则矩阵A 所对应的矩阵变换为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其意义是把点(,)P x y 变换为点(,)Q x y ''，矩阵A 叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵11221A ⎛⎫=⎪⎝⎭时，点1(1,1)P -、2(3,1)P -经矩阵变换后得到点分别是1Q 、2Q ，求经过点1Q 、2Q 的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭时，若直线上的任意点(,)P x y 经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，求变换矩阵3A .【答案】（1）1112x y -+=-；（2）20x y +=，430x y -=；（3）22222212112111k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由给出的变换矩阵定义求出1Q 、2Q 的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；（2）设直线方程为：1l ：0ax by c ++=，求出其上点(,)P x y 关于矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭变换后的点Q 也满足直线1l 的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；（3）因为点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩' ，再根据x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出3A 即可. 【详解】（1）由题意得：112121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2121x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：11x y =⎧⎨=-''⎩，所以1(1,1)Q -；312121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2321x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：5373x y ⎧=⎪⎪⎨'='⎪-⎪⎩，所以257(,)33Q -， 则1224(,)33Q Q =-u u u u u r ，所以方程为112433x y -+=- ，即1112x y -+=-； （2）133818x x x y y y x y '''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'''--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即38x x y y x y =+'''⎧⎨-⎩'= 325825x yx x y y +⎧=⎪⎪⇒⎨-=''⎪⎪⎩， 设1l ：0ax by c ++=（,a b 不全为0），2l ：3802525x y x ya b c +-⋅+⋅+=，即(8)(3)250a b x a b y c ++-+=， 由题知，1l 与2l 重合得22328083a bD a ab b a b a b==--=+-，所以2a b =或43a b =-，0253x c bD c a b -==--，得0c =，0825y acD a b c -==+-，得20bx by +=或403bx by -+=，即20x y +=，430x y -=；（3）因为P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩'， 故22222212112111k k x x k k y y kk k k ⎛⎫- ⎪'⎛⎫⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪' ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，所以222222312112111k k k k kk k k A ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭=. 【点睛】本题考查矩阵变换问题，考查矩阵的求法，考查运算能力与转化思想，属于中档题．18．已知a r 、b r是非零向量，构造集合{,}P P ta b t R ==+∈u r r r ，记P 中模最小的向量为(,)T a b r r .（1）若0(,)T a b t a b =+r r r r ，求0t 的值（用a r 、b r表示）；（2）证明：(,)T a b a ⊥r r r ；（3）若12||||1a a ==u u r u u r ，且1a u r 、2a u u r 的夹角为3π，定义向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，求||n a u u r的值.【答案】（1）02a b t a⋅=-r rr ；（2）见解析；（3【解析】 【分析】对于（1），0t a b +=r r对于（2），由（1）可得，2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，即可得证；对于（3），取1()10a =u r ，，2(122a =u u r ，，13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u r u r u u r ，，由12ta a +=≥u r u u r3(0a =u u r，3a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r ，⋅⋅⋅，即可推出. 即可完成解答. 【详解】（1）对于0(,)T a b t a b =+r r r r，∴0t a b +=r r当02a bt a⋅=-r r r 时，其模取最小值；（2）由（1）可得：2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，∴(,)T a b a ⊥r r r ；（3）不妨取1()10a =u r ，，2(12a =u u r ，向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，∴13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u ru r u u r ，，∴12ta a +=≥u r u u r 12t =-时取等号，∴3(0)2a =u u r ，，32a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r，⋅⋅⋅，∴2||2n n a -=u u r .【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查平面向量的坐标运算，考查逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.。
2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 3．．函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】又在R 上为增函数，则反之，若4．下列问题中,a b 、是不相等的正数,比较x y 、、z 的表达式,下列选项正确的是（ ） 问题甲:一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨,面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙:某人散步,第一圈的速度是a ,第二圈的速度是b ,这两圈的平均速度为y ； 问题丙:将一物体放在两臂不等长的天平测量,放在左边时砝码质量为a (天平平衡),放在右边时左边砝码质量为b ,物体的实际质量为z . A ．x y = B ．x z =C ．y z =D ．x y 、、z 互不相同 【答案】D【解析】首先根据条件分别列出,,x y z 与,a b 的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】问题甲：根据圆的面积公式可知2222222a b x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2222a b x +=x ∴=问题乙：设每圈的长度为s ，则2syss a b=+ ，整理为：2aby a b=+； 问题丙：设天平左边的杠杆长为x ，右边的杠杆长为y ，则ax zyby zx=⎧⎨=⎩ ，可得2z ab =，即z =,a b R +∈，并且a b ¹，∴a b +>，2aba b∴<+， 根据不等式可知222a b ab +>，>，2ab a b>>+ ，x z y ∴>>.故选：D【点睛】本题考查合情推理以及基本不等式比较大小，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是用,a b 分别表示,,x y z .二、填空题5．已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则MN =_____________.【答案】(]0,1【解析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂. 【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.6．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以2a c +=,2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥,所以cos C的最小值是【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.7．已知函数()3sin 2cos f x x x =+,若对任意x ∈R 均有()()f x f α≥,则tan α=______.【答案】32【解析】由题意可知()f α是函数的最小值，化简函数()()f x x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，利用()22k k Z παϕπ+=-+∈ 求tan α. 【详解】()3sin 2cos f x x x =+()x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=， 由题意可知，()fα是函数的最小值，()()f ααϕ=+，当()22k k Z παϕπ+=-+∈时，函数取值最小值，22k παϕπ=--+，tan tan 2tan 22k ππαϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 32132sin 2cos 2πϕϕπϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .故答案为：32【点睛】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到()22k k Z παϕπ+=-+∈，并且已知cos ϕ=，sin ϕ=8．设A 、B 、C 是2y x =图像上不同的三点,且OC OA OB λ=+，若A (1,-1),B (1,1),则λ的值为_______. 【答案】3【解析】首先设(),C x y ，根据条件代入坐标得11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，根据2y x =求λ.【详解】 设(),C x y ，OC OA OB λ=+，()()(),1,11,1x y λ=-+∴11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，2y x = ，()211λλ∴-+=+，解得：0λ=或3λ=.当0λ=时，点,A C 重合，故舍去. 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型. 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为244133ππ⨯=，而圆锥的体积公式等于V=SH=3πh=43π，可知其高为4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长，故答案为。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴i ﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题2．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A ．－15B ．－9C ．1D ．9【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.3．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞U【答案】C【解析】由题意得圆心为(,0)a 2． 圆心到直线的距离为12a d +=，由直线与圆有公共点可得122a +≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．4．已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =uu u r uu u r，则a 的值为( )A ．1713B ．1913C ．2113D ．2【答案】A【解析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =uu u r uu u r找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项. 【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=，设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =uu u r uu u r ，∴()()11225,1,112x y x y -=-，∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a -⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=， ∴2122171725121a x x a-⋅=⨯=-，解得1713a =， 故选：A. 【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题.二、填空题5．椭圆2212x y +=的左焦点的坐标为________.【答案】(1,0)-【解析】由椭圆的标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标. 【详解】根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-. 【点睛】本题考查椭圆的基本几何性质，属于基础题. 6．若12z i =+，则||z =________.【解析】根据复数的模的计算公式可得值. 【详解】∵12z i =+，∴||z ==【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.7．若(2,1)n =-v是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示） 【答案】arctan 2【解析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。
2018-2019学年上海市上师大附中 高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上师大附中 高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列命题是真命题的是（ ） A.1212z z z z =⇔=± B.32i i >C.122313,==⇒=z z z z z zD.0+=⇒z z z 为纯虚数【答案】C【解析】设1z a bi =+，2z c di =+，3=+z e fi 其中,,,,,∈a b c d e f R ，根据复数模的运算，可判断A ；根据虚数的性质，可判断B ；根据共轭复数的概念，可判断C ；根据特殊值，可判断D. 【详解】设1z a bi =+，2z c di =+，3=+z e fi 其中,,,,,∈a b c d e f R ，对于A 选项，若12=z z ，则2222+=+a b c d ；若12=±z z 则()+=±+a bi c di ，即=±a c 且=±b d ；显然由2222+=+a b c d 不能推出=±a c 且=±b d ，故A 错； 对于选项B ，虚数不能比较大小，因此B 错；对于选项C ，由12z z =，可得+=-a bi c di ，所以a c =且=-b d ，即2z a bi =-； 再由23=z z 可得：-=-a bi e fi ，所以a e =且b f =，即31=+=z a bi z ，故C 正确； 对于选项D ，若0z =，也满足0z z +=，故D 错. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的概念与性质，以及复数的模等即可，属于常考题型.2．设复数12z =-，则满足等式n z z =，且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】根据复数的乘方运算，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为12z =-+，所以2211312442⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭z ，所以23111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭z ，所以34111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭z z ，因此，满足等式n z z =，且大于1的正整数n 中最小的是4. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘方，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.3．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）． A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 【答案】D【解析】求出()2,3--关于y 轴的对称点P ，过P 作圆的切线，其斜率即为反射光线所在直线的斜率. 【详解】点()2,3--关于y 轴的对称点为()2,3P -，设过P 且与圆相切的直线的斜率为k ，则k 为反射光线所在直线的斜率. 又切线方程为：()23y k x =--即230kx y k ---=，圆心到切线的距离1d ===，故21225120k k ++= ，所以34k =-或43k =-，故选D. 【点睛】解析几何中光线的入射与反射问题，实际上就是对称问题，此类问题属于基础题.4．已知1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(),0M t 为其中一个切点，则（ ） A.2t =B.2t >C.2t <D.t 与2的大小关系不确定【答案】A【解析】由题意知，圆C 是12AF F ∆的旁切圆，点(),0M t 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线1F A 的延长线、2AF 分别相切于点P 、Q ，由切线的性质可知：AP AQ =，22=F Q F M ，11=F P F M ，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C 是12AF F ∆的旁切圆，点(),0M t 是圆C 与x 轴的切点， 设圆C 与直线1F A 的延长线、2AF 分别相切于点P 、Q ， 则由切线的性质可知：AP AQ =，22=F Q F M ，11=F P F M ， 所以11221112()()222==+-+=--=-=-F F F F F F M Q A A A AQ a A AP a P a F F M ，所以122+=MF MF a ， 所以2==t a . 故选：A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.二、填空题5．线性方程组2120x y x y -=-⎧⎨+=⎩的增广矩阵是________.【答案】211120--⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意，根据增广矩阵的概念，可直接得出结果. 【详解】由题意，线性方程组2120x y x y -=-⎧⎨+=⎩的增广矩阵是211120--⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：211120--⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，熟记概念即可，属于基础题型. 6．复数3412iz i+=-的虚部为_______. 【答案】2-【解析】先由复数的除法运算，化简复数z ，即可得出结果. 【详解】 因为34(34)(12)31081212(12)(12)5++++-====-+--+i i i i z i i i i ， 所以其虚部为2-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查复数的除法运算与概念，熟记复数除法的运算法则即可，属于基础题型. 7．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.【答案】14-【解析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)+-，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012+-=⨯+⨯=+=--kk k ，解得14=-k . 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.8．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m =__________【答案】3m =或5【解析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果。
上海市2017-2018年上海师范大学附中高二上期末数学试题-word文档
2019学年第一学期上大附中期末考试高二年级 数学试卷一. 填空题（共36分）1. =-+∞→nn n n 352lim 22 ． 2． 双曲线221169x y -=的渐近线方程是 ． 3. 已知矩阵114231A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB = ．4．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x ．5. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则实数k = ．6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是 ． 7.若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 ．8．已知实数、满足条件,则的最大值为 ．9.曲线C 的方程是25(1cos 2)212sin x y θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则曲线C 被坐标轴所截的线段长d = ． 10. 椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为4，O 为原点，Q 为1PF 的中点，则=||OQ ． 11.设(,)P x y是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为 ．12、已知各项均为正数的数列{}n a 满足()()01211=-⋅-++n n n n a a a a （*N n ∈），且121a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 ． 二. 选择题（每题4分，共16分）13. 已知复数1213,3z i z i =+=+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）x y 490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩3x y -（A ）AB DC =（B ）AD AB AC +=（C ）AB AD BD -=（D ）AD CB +=→0 15.已知C z ∈，2=-++i z i z ,则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）(A) 椭圆 (B) 双曲线 (C) 抛物线 (D) 线段16.在平面直角坐标系中，点A (1，2)、点B (3，1)到直线l 的距离分别为1、2，则符合条件的直线l 的条数为（ ）(A)、1 ； (B)、2 ； (C)、3； (D)、4. 三. 解答题（共48分）17.（8分）已知复数1234,25z i z i =-=+. （1）比较12z z 与的大小；（2）判断复数12z z z =+在复平面上所对应的点Z 与圆22100x y +=的位置关系.18．（8分）已知()()12,3A B m -，、 （1）当2m =时，求直线AB ；（2）当1,1m ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 19．（8分）已知关于,x y 的方程C :04222=+--+m y x y x ，m ∈R 表示圆. (1)求m 的取值范围；(2)若该圆与直线l :4370x y -+=相交于,M N 两点，且MN =m 的值.20、（10分）已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若a =，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.21、（14分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小明所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小明连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小明马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小明求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小明能做到吗？请你说出理由．2019学年第一学期上大附中期末考试高二年级 数学试卷一. 填空题（共36分）1. =-+∞→nn n n 352lim 22 2 2． 双曲线221169x y -=的渐近线方程是___34y x =±_______ 3. 已知矩阵114231A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB=．4．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______．-25. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则实数k = 6 ；6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是 . 3或57.若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 28．已知实数、满足条件,则的最大值为__1-_______9.曲线C 的方程是25(1cos 2)212sin x y θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则曲线C 被坐标轴所截的线段长d=__13 10. 椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为4，O 为原点，Q 为1PF 的中点，则=||OQ 3 11.设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为 1012、已知各项均为正数的数列{}n a 满足()()01211=-⋅-++n n n n a a a a （*N n ∈），且121a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为______32____________ 二. 选择题（每题4分，共16分）13. 已知复数1213,3z i z i =+=+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限x y 490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩3x y -14. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ C ）（A ）AB DC =（B ）AD AB AC +=（C ）AB AD BD -=（D ）AD CB +=→0 15.已知C z ∈，2=-++i z i z ,则z 对应的点Z 的轨迹为（ D ）(A) 椭圆 (B) 双曲线 (C) 抛物线 (D) 线段16.在平面直角坐标系中，点A (1，2)、点B (3，1)到直线l 的距离分别为1、2，则符合条件的直线l 的条数为( ) B(A)、1 ； (B)、2 ； (C)、3； (D)、4. 三. 解答题（共48分）17.（8分）已知复数1234,25z i z i =-=+. （1）比较12z z 与的大小；（2）判断复数12z z z =+在复平面上所对应的点Z 与圆22100x y +=的位置关系.（1）< （2）圆内18．（8分）已知()()12,3A B m -，、 （1）当m =2时，求直线AB ； （2）当m ∈[﹣﹣1，-1），求直线AB 的倾斜角α的取值范围．（1）370x y -+= （2）223ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，19．（8分）已知关于,x y 的方程C :04222=+--+m y x y x ，m ∈R 表示圆. (1)求m 的取值范围；(2)若该圆与直线l :4370x y -+=相交于,M N 两点，且MN =m 的值. (1) m<5（4分） （2）m=1（6分）20、（10分）已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若a =，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围. 解：(1)l 的方程是：0634=++y x ...................2分 点)0,3(2F 到l 的距离为518=d .....................2分（2）设),(y x P ，则),(),,(21y b x PB y b x PB --=---=代入221-=⋅PB PB 得 2222-=+b y x ①.....................2分),(y x P 在双曲线22221x y a b -=上 2222(1)x y b a ∴=- ②① ，② 可得 2222222b x x b a +=-即222222c x b a =-即222112292112b b b -≥⇒≥⇒≥....................................3分又92<bb ∴∈..............................................1分21、（14分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（2）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小明所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小明连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小明马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小明求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小明能做到吗？请你说出理由． 21. 解：（1）由222202y kx bx pkx pb x py=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +,设切线方程为y k x m=+，由222202y k xm x p k x p m x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴． （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=． C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．（本小题也可以求AB h =，切点到直线l的距离2d ==相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABCh S p ∆=中的h 换成2h，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅． 记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-。
上海市华师大二附中高二数学上学期期中试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t ＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．关于x 、y 的二次一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B.1024C.0543D.0543- 【答案】C【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 【详解】解：关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式：4530x D =．故选：C ． 【点睛】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2．使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A.2z 为实数 B.z z +为实数C.z z =D.z z =【答案】D【解析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键．3．下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ）A.动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3B.动点M 到直线()1,0和()1,0-的距离和为2C.动点M 到直线()0,2和()0,2-的距离差为4D.动点M 到点()2,3和到210x y --=的距离相等4 【答案】A【解析】利用平行线之间的距离，判断选项A 的正误；利用两点间距离个数判断B 的正误；轨迹方程判断C ，D 的正误； 【详解】解：直线4350x y +-=和43100x y ++=3=，所以动点M到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M 到直线（1，0）和（−1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B 不正确；动点M 到直线（0，2）和（0，−2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C 不正确；动点M 到点（2，3）和到210x y --=的距离相等，动点M 的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D 不正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A.0个 B.2个C.4个D.无数个【答案】D【解析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个． 【详解】解：如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆1C 与,M N 两点，设(),Q m n ，则AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭， 有2214m n +=，以AQ 为直径的圆的方程为()(3)()(1)0x m x y n y --+-+=， 即22(3)(1)3x m x y n y n m -++--=-，用1C 的方程减去以AQ 为直径的圆的方程，可得公共弦MN 所在的直线方程， 即(3)(1)123m x n y n m ++-=-+，将AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得： 左边=22316921(3)(1)222m n m m n n m n +-+++-+⎛⎫++-⋅= ⎪⎝⎭ 62243122m n m n -+==-+=右边，所以公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径， 则MN AQ =，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN 是矩形， 由Q 的任意性知，四边形AMQN 能构成无数个矩形， 故选：D 。
【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题二、填空题5．在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为_________. 【答案】[)0,p【解析】由倾斜角的概念可得答案。
【详解】由倾斜角的概念得：直线的倾斜角θ的取值范围为[)0,p 。
故答案为：[)0,p 【点睛】本题考查倾斜角的概念，是基础题。
6．曲线22y x =-的准线方程为_________. 【答案】18y =【解析】先将曲线22y x =-化为标准方程，即可求得准线方程。
【详解】解：由22y x =-得22y x =-， 故其准线方程为：18y =， 故答案为：18y =。
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，是基础题。
7．若复数z 满足()()1234z i i =+-，（i 是虚数单位），则z =_________.【答案】【解析】将()()1234z i i =+-整理成a bi +形式，然后求模即可。
【详解】解：()()12343688112z i i i i i =+-=+-+=-，11+2z i =z ∴==故答案为：【点睛】本题考查复数的模的求法，是基础题。
8．若()20,,11a ib i a b R i--=∈+，（i 是虚数单位），则22a b +=_________.【答案】1【解析】根据行列式的公式计算，列方程求解。
【详解】解：原式()(1)(2)(1)(1)0a i i b i a b a i =-+--=-+++=，10+1=0a b a -+=⎧∴⎨⎩，01b a =⎧∴⎨=-⎩， 221a b ∴+=，故答案为：1. 【点睛】本题考查行列式的计算，是基础题。
9．设点(),x y 位于线性的约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域，则目标函数2z x y =+的最大值和最小值的比值_________.【答案】72【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时，直线2y x z =-+的截距最大， 此时z 最大． 由3210x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得54(,)33B ，代入目标函数2z x y =+得54142333z =⨯+=． 即目标函数2z x y =+的最大值为143，由2102x y y x-+=⎧⎨=⎩，解得12(,)33C代入目标函数2z x y =+得4233132z =⨯+=． 即目标函数2z x y =+的最小值为43，目标函数2z x y =+的最大值和最小值的比值：72． 故答案为：72． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．若方程222113x y k k +=---表示椭圆，则k 的取值范围是_________.【答案】()()11,1-⋃-【解析】首先化为椭圆的标准方程，由题意列出不等式组，解不等式可求k 的范围． 【详解】解：Q 方程222113x yk k +=---表示椭圆，22301013k k k k ⎧->⎪∴->⎨⎪-≠-⎩，1k <且1k ≠-，故答案为：()()11,1-⋃- 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题． 11．已知直线0ax by x ++=与圆22:1O x y +=相交于,A B两点，且AB =则=OA OB u u u r u u u r g ________.【答案】12-【解析】在等腰三角形OAB 中，求出AOB ∠即可. 【详解】由题意得||||1OA OB ==，||AB =过O 作OH AB ⊥于点H，则||||2HA HB ==，1||2OH =,所以60AOH BOH ∠=∠=︒.所以120AOB ∠=︒.所以1cos 11cos1202OA OB OA OB AOB =∠=⨯⨯︒=-u u u r u u u r u u u r u u u r g. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，弦长问题，一般可以在弦心距、半径、半弦长组成的三角形中解决问题.12．已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ∈⋅u u u v u u u v_________.【答案】[]2,1-【解析】求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得()2121384PF PF x ⋅=-u u u r u u u u r ，由22x -≤≤，即可求得答案． 【详解】解：由椭圆2214x y +=知，焦点1(F ，2F ，设(,),22P x y x -≤≤， 则()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---u u u r u u u u r ，22x -≤≤Q ，204x ∴≤≤，故12[2,1]PF PF ⋅∈-u u u r u u u u r，故答案为：[]2,1- 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题． 13．若圆()2220x y r r +=>和曲线134x y +=恰有六个公共点，则r 的取值集合是_________. 【答案】{}3【解析】可作出圆()2220x y r r +=>和曲线134x y +=的图像，恰有六个公共点，根据图像判断即可。
【详解】 圆()2220x y rr +=>和曲线134x y +=恰有六个公共点，对于曲线134x y +=，当0,0x y >>时，134x y+=； 当0,0x y <>时，134x y-+=；当0,0x y ><时，134x y-=； 当0,0x y <<时，134x y--=；画出图像如图所示，此时3r =， 故答案为：{}3。