混合高斯模型和EM算法
高斯混合模型中的参数估计与EM算法详解
高斯混合模型中的参数估计与EM算法详解高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一种常用的概率统计模型，用于描述由多个高斯分布构成的数据集。
在实际应用中，参数估计是使用GMM的关键步骤之一，而期望最大化（Expectation Maximization，EM）算法是一种常用的参数估计方法。
本文将详细介绍GMM的参数估计方法与EM算法的原理。
首先，我们需要理解高斯混合模型。
GMM是由多个高斯分布组合而成的概率分布模型。
每个高斯分布称为一个分量，是由均值、方差和权重组成的。
其中，均值表示分量的中心位置，方差表示分量的散布程度，权重表示每个分量在整个数据集中的相对重要性。
在GMM中，参数估计的目标是通过已知的数据集，估计出每个分量的均值、方差和权重。
而EM算法是实现这一目标的一种迭代优化算法。
EM算法的基本思想是通过迭代更新，不断提高参数估计的准确性。
具体而言，EM算法包含两个主要步骤：E步和M步。
在E步中，我们根据当前估计的参数值，计算每个样本属于各个分量的概率。
这个过程可以通过贝叶斯公式计算得到。
具体地，对于每个样本，我们根据当前的均值、方差和权重计算它属于每个分量的概率，并将其归一化，以保证所有样本在各个分量上的概率和为1。
在M步中，我们利用已经计算得到的样本属于各个分量的概率，更新参数的值。
具体而言，我们首先计算每个分量所占的样本的比例，即权重的估计值。
然后，对于每个分量，我们根据样本的加权平均值和方差来估计其均值和方差。
这里的权重就是E步中计算得到的样本属于各个分量的概率。
通过反复执行E步和M步，可以逐渐提高参数估计的准确性，直到满足停止准则为止。
通常情况下，停止准则可以是迭代次数达到一定阈值，或是参数变化的绝对值小于某个设定的阈值。
在实际应用中，选择适当的初始参数值对于EM算法的收敛至关重要。
一种常用的初始化方法是使用K-means算法来得到初始的均值估计。
具体而言，我们先用K-means算法将数据集聚类成K个簇，然后使用每个簇的中心作为每个分量的初始均值。
基于模型的聚类算法
基于模型的聚类算法基于模型的聚类算法是一种利用数据样本建立统计模型的无监督聚类算法。
该算法通过对数据样本进行统计分析，建立适合数据分布的概率模型，然后根据数据样本与概率模型之间的符合程度进行样本划分，得到不同类别的聚类结果。
常见的基于模型的聚类算法包括高斯混合模型聚类（GMM）、期望最大化算法（EM）、均值漂移聚类、马尔可夫随机场聚类等。
以下分别对这些算法进行介绍：1. 高斯混合模型聚类（GMM）高斯混合模型聚类是一种基于统计分布的聚类算法，它假设每个类别的数据分布符合多元高斯分布，即用n维正态分布描述样本的数学模型。
算法中需要估计每个类别的均值、协方差矩阵和权重系数，通过期望最大化算法（EM）来完成模型参数的求解。
当模型参数确定后，样本根据其符合模型的程度来被分配到不同的类别。
2. 期望最大化算法（EM）期望最大化算法是一种求解高斯混合模型参数的迭代算法。
它假设所有样本在每次迭代中都来自于一个隐变量，即隐含数据。
在每次迭代中，该算法通过计算每个隐含数据类别在当前参数下的期望值和最大化参数的对数似然来更新参数。
3. 均值漂移聚类均值漂移聚类是一种基于密度的聚类方法，它通过计算样本点在当前密度估计函数下的梯度方向，来确定下一个更新位置，并不断迭代该过程，直到满足停止条件为止。
该算法能够自适应地发现数据分布的多峰性，适用于非球形分布的数据聚类。
4. 马尔可夫随机场聚类马尔可夫随机场聚类是一种基于图模型的聚类方法，它将样本的聚类问题转化为图上的标签传播问题。
算法的核心是利用每个样本点周围的邻居点信息作为先验概率，计算每个样本点属于某一类别的后验概率，然后通过标签传递来更新样本的类别。
该算法能够处理不同形状和大小的聚类簇，适用于空间大、样本稀疏的数据聚类。
基于模型的聚类算法具有计算复杂度低、可调参数少、更适合于多峰分布的数据等优点。
但由于该算法假设数据分布符合某一种概率模型，所以对于不符合假设的数据分布，其聚类效果可能会受到影响。
机器学习算法总结（六）——EM算法与高斯混合模型
机器学习算法总结（六）——EM算法与⾼斯混合模型 极⼤似然估计是利⽤已知的样本结果，去反推最有可能（最⼤概率）导致这样结果的参数值，也就是在给定的观测变量下去估计参数值。
然⽽现实中可能存在这样的问题，除了观测变量之外，还存在着未知的隐变量，因为变量未知，因此⽆法直接通过最⼤似然估计直接求参数值。
EM算法是⼀种迭代算法，⽤于含有隐变量的概率模型的极⼤似然估计，或者说是极⼤后验概率估计。
1、经典的三硬币模型 引⼊⼀个例⼦来说明隐变量存在的问题。
假设有3枚硬币，分别记作A，B，C。
这些硬币正⾯出现的概率分别是π，p，q。
我们的实验过程如下，先投掷硬币A，根据其结果选出硬币B和硬币C，正⾯选B，反⾯选C；然后投掷选出的硬币，此时出现正⾯记作1，出现反⾯记作0。
在这个例⼦中我们观察到的变量只是B或者C的结果，⽽对A的结果并不知道，在这⾥A的结果也就是我们的隐变量。
A的结果对最终的结果是有影响的，因此在估计参数时必须将A的结果考虑进去。
1、EM算法 我们将观测变量表⽰为Y = （Y1，Y2，....，Y n），隐变量表⽰为Z = （Z1，Z2，....，Z n），则观测数据的似然函数可以表⽰为 在这⾥P(Y|θ) 是P(Y, Z|θ) 的边缘概率，通过转换后可以表⽰成右边的形式，我们将其转换成对数形式，这样便于求联合概率 然⽽对于这样的式⼦直接根据极⼤化求θ的值是很困难的，因为这⾥还存在隐变量Z，在这⾥引⼊EM算法，通过迭代求解，假设在第i 次迭代后θ的估计值为θ(i)。
我们希望新估计值能是L(θ)增加，通过迭代逐步的达到最⼤值。
为此我们考虑第i+1步迭代后两者的差： 利⽤Jensen不等式将上述式⼦展开并得到其下界（对数函数是凹函数）： 令 则有 在这⾥B(θ, θ(i)) 是L(θ) 的⼀个下界，⽽且由的表达式可知 因此任何能使得B(θ, θ(i)) 增⼤的θ，也能使得L(θ) 增⼤。
因此求θ值使得B(θ, θ(i)) 增⼤就可以转变成求θ使得L(θ) 增⼤，即求 将上述式⼦展开可得（在这⾥去掉常数项，因为常数项不会影响最终的结果） 因此问题就演变成了求Q函数的极⼤化。
EM算法用于高斯混合模型
EM算法用于高斯混合模型EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一种迭代算法，用于估计含有隐变量的概率模型参数。
它被广泛应用于高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）的参数估计。
GMM 是一种概率模型，它由若干个高斯分布组成，每个高斯分布对应数据的一个分量。
具体来说，EM算法包含两个步骤：E步骤（Expectation step）和M步骤（Maximization step）。
在E步骤中，给定当前参数估计，我们计算隐变量的期望值。
而在M步骤中，根据这些隐变量的期望值，我们重新估计参数。
这两个步骤会反复迭代，直到参数收敛为止。
首先，我们来看E步骤。
在GMM中，每个观测值都可以由多个高斯分布生成。
我们需要计算每个数据点属于每个高斯分布的后验概率。
这个后验概率可以表示为每个高斯分布生成一些数据点的概率除以所有高斯分布生成这个数据点的概率之和。
这个后验概率即为数据点属于每个高斯分布的权重。
计算后验概率的方法是使用贝叶斯公式。
然后，我们来看M步骤。
在M步骤中，我们根据E步骤计算得到的后验概率，重新估计高斯分布的参数。
具体来说，对于每个高斯分布，我们计算其均值和协方差矩阵。
均值可以通过将数据点乘以其对应的后验概率，再除以所有后验概率之和来计算。
协方差矩阵可以通过计算每个数据点与对应高斯分布的均值之间的差的外积，再乘以其对应的权重，最后除以所有权重之和来计算。
在每次迭代中，E步骤和M步骤会交替进行，直到算法收敛。
算法的收敛条件可以选择参数变化的很小或达到一定的迭代次数。
在每次迭代中，EM算法会逐渐提高对数据的拟合程度，也就是逐渐改善参数的估计。
EM算法有很多优点。
首先，它是一种通用的算法，适用于各种类型的概率模型估计。
其次，EM算法在估计参数时可以有很大的灵活性，可以根据需求自定义参数的个数和选择去模型每个分量的数据。
此外，EM 算法收敛到局部最优，而跳出局部最优通常需要全局优化方法。
聚类之高斯混合模型与EM算法
聚类之⾼斯混合模型与EM算法⼀、⾼斯混合模型概述1、公式⾼斯混合模型是指具有如下形式的概率分布模型：其中，αk≥0，且∑αk=1，是每⼀个⾼斯分布的权重。
Ø(y|θk)是第k个⾼斯分布的概率密度，被称为第k个分模型，参数为θk=(µk, αk2)，概率密度的表达式为：⾼斯混合模型就是K个⾼斯分布的线性组合，它假设所有的样本可以分为K类，每⼀类的样本服从⼀个⾼斯分布，那么⾼斯混合模型的学习过程就是去估计K个⾼斯分布的概率密度Ø(y|θk)，以及每个⾼斯分布的权重αk。
每个观测样本出现的概率就表⽰为K个⾼斯分布概率的加权。
所谓聚类，就是对于某个样本y j，把该样本代⼊到K个⾼斯分布中求出属于每个类别的概率：然后选择概率值最⾼的那个类别作为它最终的归属。
把所有的样本分别归⼊K个类，也就完成了聚类的过程。
2、案例假设有 20 个⾝⾼样本数据，并不知道每个样本数据是来⾃男⽣还是⼥⽣。
在这种情况下，如何将这 20 个⾝⾼数据聚成男⼥⽣两⼤类呢？⽤⾼斯混合模型来聚类，那么假设男⼥⽣⾝⾼分别服从两个不同的⾼斯分布，⾼斯混合模型就是由男⽣⾝⾼和⼥⽣⾝⾼这两个⾼斯分布混合⽽成。
在⾼斯混合模型中，样本点属于某⼀类的概率不是⾮0即 1 的，⽽是属于不同类有不同的概率值。
如下图，有两个⾼斯分布，均值分别为µ1和µ2，⽽⾼斯混合模型就是⼜这两个⾼斯分布的概率密度线性组合⽽成。
⼆、⾼斯混合模型参数估计的EM算法假设观测数据y1, y2, ...y N由⾼斯混合模型⽣成：其中，要估计的参数θ=(α1, α2, ...αK; θ1, θ2, ..., θK)，θk=(µk, αk2)，k=1,2,...,K。
因此如果⾼斯混合模型由K个⾼斯分布混合⽽成，那么就有3K个参数需要估计。
我们⽤极⼤似然估计法来估计参数θ，也就是求参数θ，使得观测数据y的对数似然函数L(θ)=logP(y|θ)的极⼤化：由于对数似然函数L(θ)中包含了和的对数，⽐较难以求解，因此考虑⽤EM算法。
EM算法详细例子及推导
EM算法详细例子及推导EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于求解含有隐变量（latent variable）的概率模型的参数估计方法。
其基本思想是通过迭代的方式，通过观测数据得到对隐变量的估计，然后再基于该估计对模型参数进行优化。
下面我们以一个简单的高斯混合模型为例，详细介绍EM算法的推导和实例。
1. 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）高斯混合模型是一种概率模型，由多个高斯分布组合而成。
假设我们观测到的数据由K个高斯分布组成，每个高斯分布对应一个参数向量：均值miu和方差sigma^2、同时，我们还有一个隐变量Z，表示观测数据属于哪个高斯分布，取值范围为{1,2,...,K}。
2.EM算法EM算法的核心思想是通过交替进行两个步骤：E步（Expectation）和M步（Maximization）。
在E步中，我们对当前模型参数下的隐变量进行估计，得到对隐变量的最大似然估计。
在M步中，我们利用得到的隐变量估计更新模型参数，使模型对观测数据的似然函数最大化。
不断重复这两步直至模型收敛。
下面我们通过具体的例子来推导EM算法。
假设我们观测到了一个数据集X = {x1, x2, ..., xn}，我们希望通过EM算法对其进行建模。
Step1: 初始化模型参数首先，我们需要初始化模型参数。
选择K个高斯分布的参数miu和sigma^2，并假设所有的高斯分布对应的隐变量Z服从均匀分布。
这时，我们得到了初始模型参数Theta = {miu1, sigma^21, ..., miuK,sigma^K, pi1, pi2, ..., piK}。
Step2: E步，计算隐变量的后验分布在E步中，我们计算隐变量的后验分布。
对于每个观测样本xi，我们计算其属于每个高斯分布的概率，即：gamma(k,i) = P(Zi=k，xi, Theta) = P(Zi=k，xi, miu_k,sigma_k^2) = pi_k * N(xi，miu_k, sigma_k^2) / sum(pi_j * N(xi，miu_j, sigma_j^2)， j=1 to K其中N(xi，miu_k, sigma_k^2)表示xi在第k个高斯分布下服从的概率密度函数。
混合高斯模型(Mixtures-of-Gaussians)和EM算法
混合高斯模型（Mixtures of Gaussians）和EM算法这篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）来进行密度估计（density estimation）。
与k-means一样，给定的训练样本是，我们将隐含类别标签用表示。
与k-means的硬指定不同，我们首先认为是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项式分布，，其中，有k 个值{1,…,k}可以选取。
而且我们认为在给定后，满足多值高斯分布，即。
由此可以得到联合分布。
整个模型简单描述为对于每个样例，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个，然后根据所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例，。
整个过程称作混合高斯模型。
注意的是这里的仍然是隐含随机变量。
模型中还有三个变量和。
最大似然估计为。
对数化后如下：这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是close form。
但是假设我们知道了每个样例的，那么上式可以简化为：这时候我们再来对和进行求导得到：就是样本类别中的比率。
是类别为j的样本特征均值，是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。
实际上，当知道后，最大似然估计就近似于高斯判别分析模型（Gaussian discriminant analysis model）了。
所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。
之前我们是假设给定了，实际上是不知道的。
那么怎么办呢？考虑之前提到的EM的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。
用到这里就是：循环下面步骤，直到收敛：{（E步）对于每一个i和j，计算（M步），更新参数：}在E步中，我们将其他参数看作常量，计算的后验概率，也就是估计隐含类别变量。
估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。
多元高斯混合模型 em算法 工况-概述说明以及解释
多元高斯混合模型em算法工况-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在编写文章的概述部分时，需要对主题进行简要介绍，并提供相关背景信息。
这里是关于多元高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）及其在工况（engineering conditions）中的应用的概述。
多元高斯混合模型是一种常见的统计模型，它是由多个高斯分布组成的概率密度函数的线性组合。
在实际问题中，很多数据的分布无法被单个高斯分布完全描述，而是由多个高斯分布混合而成。
多元高斯混合模型通过将这些高斯分布加权组合，能够更好地近似复杂数据的分布情况。
EM算法是一种常用于估计多元高斯混合模型参数的迭代算法。
通过EM算法，我们可以根据观测数据来估计出模型中每个高斯分布的均值、协方差和权重等参数，从而得到最优的模型拟合结果。
EM算法的基本思想是通过交替迭代的方式，通过E步骤计算隐变量（即数据来自于哪个高斯分布），再通过M步骤更新模型参数，不断优化模型，直到收敛到最优解。
在工况中，多元高斯混合模型及EM算法的应用非常广泛。
工况通常涉及到多个不同的条件和变量，而且这些条件和变量之间往往存在复杂的关联关系。
通过使用多元高斯混合模型，可以更好地对这些变量的分布进行建模和描述，进而提供更准确的分析和预测结果。
无论是在工程领域的故障诊断、质量控制还是金融领域的风险分析等应用场景中，多元高斯混合模型都发挥着重要的作用。
总而言之，本文将针对多元高斯混合模型及其在工况中的应用展开详细探讨。
通过介绍多元高斯混合模型的基本原理和EM算法的实现方式，以及探讨其在工况中的应用案例，旨在提供一种全面的分析方法和工具，以帮助读者更好地理解和应用该模型解决实际问题。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文将从以下几个方面进行论述：多元高斯混合模型、EM算法以及它们在工况中的应用。
首先，我们将介绍多元高斯混合模型的基本概念和原理。
通过对多元高斯分布和混合模型的介绍，读者将了解到多元高斯混合模型在数据建模和聚类分析中的重要性及应用场景。
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混合高斯模型（Mixtures of Gaussians）和EM算法
这篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）来进行密度估计（density estim ation）。
与k-m eans一样，给定的训练样本是，我们将隐含类别标签用表示。
与
k-m eans的硬指定不同，我们首先认为是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项
式分布，，其中，有k个值{1,…,k}
可以选取。
而且我们认为在给定后，满足多值高斯分布，即。
由
此可以得到联合分布。
整个模型简单描述为对于每个样例，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个，
然后根据所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例，。
整个过程称作混合高斯模型。
注意的是这里的仍然是隐含随机变量。
模型中还有三个变量和。
最大似然估计为。
对数化后如下：
这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是
close form。
但是假设我们知道了每个样例的，那么上式可以简化为：
这时候我们再来对和进行求导得到：
就是样本类别中的比率。
是类别为j的样本特征均值，是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。
实际上，当知道后，最大似然估计就近似于高斯判别分析模型（Gaussian discriminant analysis m odel）了。
所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。
之前我们是假设给定了，实际上是不知道的。
那么怎么办呢？考虑之前提到的EM 的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。
用到这里就是：
在E步中，我们将其他参数看作常量，计算的后验概率，也就是估计隐含类别变
量。
估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，
值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。
的具体计算公式如下：
这个式子利用了贝叶斯公式。
这里我们使用代替了前面的，由简单的0/1值变成了概率值。
对比K-m eans可以发现，这里使用了“软”指定，为每个样例分配的类别是有一定的概率的，同时计算量也变大了，每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。
与K-means相同的是，结果仍然是局部最优解。
对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。
虽然之前再K-m eans中定性描述了EM的收敛性，仍然没有定量地给出，还有一般化EM 的推导过程仍然没有给出。
下一篇着重介绍这些内容。