第三章 测试系统的基本特性
3 测试系统的基本特性 (动态识别、不失真)
ξ
ζ = ζ = ζ = ζ = ζ = ζ =
0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 5 0 .5 0 1 .0 0
3
η = ω /ω
n
位移共 振频率
ω r = ω n 1 − 2ζ
2
精确求法：
A(ω r ) 1 = 2 A(0) 2ζ 1 − 2ζ
ωn ζ
测 试 系 统 动 态 特 性 的 识 别
利用半功率法求
ζ
ω 2－ω1 ζ＝ 2ω n
适合阻尼比较小。
测 （二）阶跃响应法 试 系 统 阶跃响应法是以阶跃信号作为测试 动 态 系统的输入，通过对系统输出响应的测 特 试，从中计算出系统的动态特性参数。 性 的 这种方法实质上是一种瞬态响应法。即 识 别 通过研究瞬态阶段输出与输入之间的关
系找到系统的动态特性参数。
u (t )
t
y u (t ) = 1 − e
动 态 传 递 特 性 的 时 域 描 述
结论：一阶系统在单位阶跃激励下稳态输出 的理论误差为零，并且，进入稳态的时间
t→∞。但是，当t =4τ时，y(4τ)=0.982；误
差小于2%；当t =5τ时，y(5τ)=0.993,误差小 于1%。所以对于一阶系统来说，时间常数τ越小 越好。
3.3.3 测试系统动态特性参数的识别
频率响应法是以一组频率可调的标准正弦信号作为 系统的输入，通过对系统输出幅值和相位的测试，获得 系统的动态特性参数。
测 试 系 统 动 态 特 性 的 识 别
系统特性识别试验原理框图
测 试 系 统 动 态 特 性 的 识 别
一阶系统
A(ω ) =
A( ϖ) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.707
第三章 测量系统的基本特性
2.传递函数
如果y(t)是时间变量t的函数，并且当t≤0时，y(t)=0，则 它的拉普拉斯变换Y(s)的定义为
式中，s j
25
现代电子测量技术
3.3 测量系统的动态特性
7
现代电子测量技术滞性
也称滞后量、滞后或回程误差。表征测量系统在全量 程范围内，输入量由小到大（正行程）和由大到小（反行 程）两者静态特性的不一致程度。
H
Hm 100% YFS
ΔH m—— 同一输入量对应正反行程输出 量的最大迟滞偏差
YF·S —— 测量系统的满度值
系统的基本特性分为静态特性和动态特性。这是测量系 统对外呈现出的外部特性，由其内部参数及系统本身的 固有属性决定。
3
现代电子测量技术
3.2 测量系统的静态特性
测量系统的静态特性又称“刻度特性”、“标准曲线”或 “校准曲线”。当被测量处于静止状态，即测量系统的输入为 不随时间变化的恒定信号时，此时测量系统输入与输出之间所 呈现的关系就是静态特性。
最小二乘法拟合直线的拟合原则是使N个标定点的偏差平
方和
f ( b,k )
1 N
N
[( b kxj ) y j ] 2
j 1
为最小值。由一阶偏导等于零
f ( b,k ) 0, f ( b,k ) 0 可得两个方程式，解得b 两个未知量b和kk。
14
现代电子测量技术
不同拟合方法比较
端点直线拟合
➢ 不同类型的测量系统可用同一种形式的拉氏传递函数 表达。
对于一个复杂的线性时不变测量系统，不需要了 解其具体内容，只要给系统一个激励x(t) ，得到 系统对x(t)的响应y(t)，系统特性就可确定。
s2机械工程测试技术基础课件
– y：输出量；x：输入量；t：时间 – 系统的阶次由输出量最高微分阶次n决定。
一般在工程中使用的测试装置都是线性系统。 上 页
2020/3/11
目 录12
二、线性系统及其主要性质
如以x(t)→ y(t)表示上述系统的输入、输出的对应关 系，则线性时不变系统具有以下一些主要性质。
1）叠加原理 几个输入所产生的总输出是各个输入
离散时间系统:输入、输出均为离散函数. 描述系统特征的为差分方程.
c.时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决定. 其中，线性时不变系统（线性定常系统）进行分析的理论和
方法最为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近 似作为线性定常系统来处理。一般的测试系统都可视为线性 定常系统，即可以用常微分方程描述的系统。
§1 概 述
测试是具有试验性质的测量，从客观事物取得相关信 息的过程在此过程中，借助专门设备—测试装置(系统)，设 计相应的实验,采用合适的方法和必要的数学处理方法求得 感兴趣的信息。
测试系统是执行测试任务的传感器、仪器和设备的总称。
测试系统是从客观事物中获取有关信息的工具。测试的 目的不同，测试系统复杂程度不同。
实际的测试装范置围内①满只足能线在性较要小求工。作范围内和在一定误差允许 ②很多物理系统是时变的。在工程上，常可
以以足够的精确度认为系统中的参数是时 不变的常数。
上页 目录
3、测试系统模型的分类
a. 线性系统与非线性系统 线性系统:具有叠加性、比例性的系统
b.连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统:输入、输出均为连续函数. 描述系统特征的为微分方程.
系统满量程输出值A之比的百分率表示其分辨能力，称为分辨率，
测试技术参考答案(王世勇-前三章)
第一章 测试技术基础知识1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。
试用第3种表达方式表示其测量结果。
解：1）常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种2）基于不确定度的表达方式可以表示为0x s x x x nσ∧=±=±均值为8118i i x x ===∑82.44标准偏差为821()7ii x x s =-==∑0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆ8x sσ==0.014 所以082.440.014x =±第二章 信号描述与分析2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cos sin )104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。
解：基波分量为12ππ120ππ()|cos sin 104304n y t t t ==+ 所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值42a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以 22222π120π()() 4.00501030n n n n n A a b n π=+=+= 120π30arctan arctan arctan 202π10n n nn bn a ϕ=-=-=-所以有0011π()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t ωϕπ∞∞===++=+-∑∑2.3 某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。
第三章 测试系统的基本特性答案
的总灵敏度 123 。 3、 为 了 获 得 测 试 信 号 的 频 谱 ， 常 用 的 信 号 分 析 方 法 有 和 滤波器法 。
4、 当测试系统的输出 y (t ) 与输入 x (t ) 之间的关系为 y(t ) A0 x(t t 0 ) 时，该系统能实现 测试。此时，系统的频率特性为 H ( j ) A0 e
5、 将信号 cos t 输入一个传递函数为 H ( s ) 内的输出 y (t ) 的表达式。
1 的一阶装置，试求其包括瞬态过程在 1 s
s Lcos wt 2 s w2
s 1 s Y s 2 2 s w 1 s s j s j 1 s a b c s jw s jw 1 s
（四）简答和计算题 1、 什么叫系统的频率响应函数？它和系统的传递函数有何关系？ 2、 测试装置的静态特性和动态特性各包括那些？ 3、 测试装置实现不失真测试的条件是什么？ 4、 某测试装置为一线性时不变系统，其传递函数为 H ( s )
1 。求其对周期信号 0.005s 1
x(t ) 0.5 cos 10t 0.2 cos(100t 45) 的稳态响应 y (t ) 。
压电式传感器 kq 电荷放大器 ku 题2图 对象圣对象 函数记录仪 ky 对象圣对象
y
3、 当输入信号 x (t ) 一定时，系统的输出 y (t ) 将完全取决于传递函数 H ( s ) ，而与该系统 的物理模型无关。 （ √ ） 4、 传递函数相同的各种装置，其动态特性均相同。 （ √ 5、 测量装置的灵敏度越高，其测量范围就越大。 （ × ） ）
6、 幅频特性是指响应与激励信号的振幅比与频率的关系。 （×）
第三章测试系统特性3-动态特性
2）传递函数
3）频率响应函数 4）阶跃响应函数等
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第3章 测试系统的特性
1、动态特性的数学描述
1）线性微分方程 微分方程是最基本的数学模型，求解微分方程， 就可得到系统的动态特性。
对于一个复杂的测试系统和复杂的测试信号，
求解微分方程比较困难，甚至成为不可能。为此， 根据数学理论，不求解微分方程，而应用拉普拉斯 变换求出传递函数、频率响应函数等来描述动态特 性。
dy(t ) y (t ) Sx(t ) dt
取S＝1
1 H ( s) s 1
H ( j ) 1 j 1
A( )
1 1 ( )
2
() arctg( )
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第3章 测试系统的特性
幅 频 和 相 频 曲 线
伯 德 图
H ( j) Y ( j) / X ( j) 或 H () Y () / X ()
当系统的初始条件为零时，对微分方程进行傅 立叶变换，可得频率响应函数为
Y ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) an ( j ) n an 1 ( j ) n 1 a1 ( j ) a0
频率响应特性
模A()反映了线性时不变系统在正弦信号激励 下，其稳态输出与输入的幅值比随频率的变化， 称为系统的幅频特性； 幅角()反映了稳态输出与输入的相位差随频 率的变化，称为系统的相频特性。
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第3章 测试系统的特性
频率响应特性的图形描述： 直观地反映了测试系统对不同频率成分输入信号 的扭曲情况——输出与输入的差异。
测试系统的基本特性
测试系统
输出Y（t）
输入：x(t) x0e jt
an
d n y(t) dtn
a n1
d n1 y ( t ) d t n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
输出：y(t) y0e j(t)
bm
d m x(t) dtm
bm 1
d m 1 x ( t ) d t m 1
含零点温漂和灵敏度温漂是测量系统在温度变化时其特性的变化灵敏度漂移力传感器温度传感器测试单元输入x输出y测试单元输出阻抗输入阻抗负载测试环节相互之间的影响输入阻抗与输出阻抗对于组成测量系统的各环节尤为重要希望前级输出信号无损失地向后级传送必须满足
第三章
测量系统的基本特性
本章内容
1. 测量系统的数学描述 2. 线性定常系统基本特性 3. 测量系统的静态特性 4. 测量系统的动态特性 5. 动态测量误差及补偿
d y(t) dt
t0 x ( t ) d t t0 y ( t ) d t
0
0
初始条件为零
2、线性定常系统的基本特性
2.3同频性：频率不变（频率保持性）
频率相同！
o 若输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）信号
x(t) Ax cos( t x)
x(t) x0e jt
o 则系统的输出必是、也只是同频率的简谐信号
多次变动时，其输出值不一致的程度。 y
o 重复性误差定义为(引用误差):
Y
R
rR
.100% A
o ΔR是一种随机误差，根据标准差计算 0
R kˆ / n
△R-最大偏差
o K为置信因子，K=3时置信度为99.73%。 o 重复性误差决定测量结果的可信度。
第第三章 测试系统的基本特性
第三章 测试系统的基本特性
线性 y
线性 y
非线性y
x
x
x
不失真
在 x(t)基本不随时间变化的静态测量中，测试系统的线性关系
总是希望的，但不是必需的，因为静态非线性校正较容易。在 动态测试中，则力求测试系统是线性系统。一是因为目前对线 性系统能够做比较完善的数学处理与分析，二是因为动态测试 中的非线性校正非常困难。
当测试装置的输入信号有一增量△x,引起输出信号发 生相应变化△y时，定义 S=△y/△x
y
△y △x
x
第三章 测试系统的基本特性
★ 对于理想的定常线性系统 S y y b0
x x a0
★ 灵敏度的量纲取决于输入输出量的单位。当二者相 同时，常用“放大倍数”或“增益”代表灵敏度。
★ 鉴别力阈：又称为死区，即对器具的 响应而言，被测量的最小变化值。
第三章 测试系统的基本特性
二、线性系统及其主要性质 在实际测试工作中，把测试系统在一定条件下，看 成为一个线性系统，具有重要的现实意义。 如果测试装置的输入量x(t)和输出量y(t)之间的关系 可用线性常微分方程来描述，即：
d an bm
n y(t) dt n d m x(t)
dt m
an1
d
a0
这是理想状态下定常线性系统输入输出关系，即单 调的线性比例关系。然而，实际的测量装置并不是理 想的线性系统，定度曲线不是直线。通常是采用“最小 二乘法”拟合的直线来确定线性关系。用实验方法，确 定出定度曲线，由定度曲线的特征指标，即可描述测 量系统的静态特性。
第三章 测试系统的基本特性
静态特性主要有线性度、灵敏度、回程误差三项。
★ 分辨力：即能够肯定区分的指示器示值 的最邻近值。一般规定： 数字装置：最后一位变化一个字的大小 模拟装置：指示标尺分度值的一半。
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第三章 测试系统的基本特性
习 题
3-1 某压力测量系统由压电式传感器、电荷放大器和笔式记录仪组成。
压电式压力传感器的灵敏度为90pC/kPa ，将它与一台灵敏度调到0.005V/pC 的电荷放大器相联。
电荷放大器输出又接到灵敏度调成20mm/V 的笔式记录仪上。
试计算该测量系统的总灵敏度。
又当压力变化为3.5kPa 时，记录笔在纸上的偏移量是多少？
3-2 某压力传感器在其全量程0～5MPa 范围内的定度数据如题3-2表，试用最小二乘法求出其拟合直线，并求出该传感器的静态灵敏度和非线性度。
3-3 题表所列为某压力计的定度数据。
校准时加载压力范围0~10kPa, 校准分加载（正行程）和卸载（反行程）两种方式进行。
试根据3-3表中数据在坐标纸上画出该压力计的定度曲线；用最小二乘法求出拟合直线，并计算该压力计的非线性度和回程误差。
压力传感器的定度数据 题3-2表
校准压力 （MPa ）
读数压力 （MPa ） 0 0 0.5 0.5
1.0 0.98
1.5 1.48
2.0 1.99
2.5 2.51
3.0 3.01
3.5 3.53
4.0 4.02 4.5 4.51
5.0 5.0
压力计定度数据 题3-3表 指示压力（kPa ） 校准压力（kPa ）正行程 反行程 0 -1.12 -0.69 1 0.21 0.42 2 1.18 1.65 3 2.09 2.48 4 3.33 3.62 5 4.5 4.71 6 5.26 5.87 7 6.59 6.89 8 7.73 7.92 9 8.68 9.10 10 9.80 10.20
3-4 用一个时间常数0.35s τ=的一阶装置去测量周期分别为1、和的正弦信号，问各种情况的相对幅值误差将是多少？
s 2s 5s 3-5 已知某被测信号的最高频率为100Hz ，现选用具有一阶动态特性的测试装置去测量该信号，若要保证相对幅值误差小于5%，试问应怎样要求装置的时间常数τ？在选定τ之后，求信号频率为50Hz 和100Hz 时的相位差。
3-6 试证明一阶系统在简谐激励作用下，输出的相位滞后不大于90。
D 3-7 一气象气球携带一种时间常数为15s τ=的一阶动态特性温度计，以5m/s 的速度通过大气层，设大气层中温度随高度按每升高30m 下降0.15℃的规律变化，气球将温度和高度的数据用无线电拍回地面。
在3000m 处所记录的温度为-1℃时的真实高度是多少？
3-8 试说明具有二阶动态特性的测试装置阻尼比大多采用0.6~0.7ζ=的原因。
3-9 一力传感器具有二阶动态特性，传递函数为22()2n n n
H s s s ω2ζωω=++。
已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比为0.14。
问所用该传感器对400Hz 的正弦交变力进行测量时，振幅比()A f 和相角差()f ϕ各为多少？又若该传感器的阻尼比改为0.7，则()A f 和()
f ϕ
将怎样变化？
3-10 某压力传感器采用一膜片作为敏感元件，膜片和流体可视为二阶单自由度系统，已知系统的固有频率是1200 Hz ，阻尼比为0.6。
试求传感器动、静态幅值比误差不大于5%的频率范围。
3-11 某一阶测试装置的传递函数为1()1H s s
τ=+，其时间常数0.001s τ=，试求该装置在题3-11图所示输入信号()x t 激励下的稳态输出及其频谱。
()y t ()Y f
题3-11图 题3-12图
3-12 一个二阶动态特性测试装置的阻尼比0.7ζ=，固有频率50n f =Hz ，求其在题3-15图所示信号()x t 激励下的稳态输出。
()y t 3-13 将单位阶跃信号输入一个二阶动态特性的测量装置，测得其响应中的最大超调量为1.5，衰减振荡周期为6.28ms ，设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的频率响应函数，并分别求出频率在2n ω及5n ω处响应的相对幅值误差与相位差。
3-14 求频率响应函数为
23155072(j )(10.01j )(1577536176j )
H ωωωω=++− 的系统对正弦输入()10sin 62.8x t t =的稳态响应的均值()y t y μ、绝对值y μ和有效值rms y 。
3-15 求周期信号通过传递函数为()0.5cos100.2cos(1045)x t t t =+−D
1()0.0051
H s s =
+的装置后所得到的稳态响应。
3-16 将信号cos t ω输入一个传递函数为
1()1
H s s τ=+ 的一阶装置，试求其包括瞬态过程在内的输出的表达式。
()y t 3-17试求传递函数分别为 1.53.50.5s +和22411.4n n n
s s ω2ωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。