第4章测试系统的基本特性解析

第4章测试系统的基本特性4．1 知识要点4.1.1测试系统概述及其主要性质1.什么叫线性时不变系统？设系统的输入为x (t )、输出为y (t )，则高阶线性测量系统可用高阶、齐次、常系数微分方程来描述：)(d )(d d )(d d )(d 01111t y a t t y a t t y a t t y a n n n n n n ++++---)(d )(d d )(d d )(d 01111t x b t t x b t t x b t t x b m m m m m m ++++=--- （4-1）式（4-1）中，a n 、a n -1、…、a 0和b m 、b m -1、…、b 0是常数，与测量系统的结构特性、输入状况和测试点的分布等因素有关。

这种系统其内部参数不随时间变化而变化，称之为时不变（或称定常）系统。

既是线性的又是时不变的系统叫做线性时不变系统。

2.线性时不变系统具有哪些主要性质？（1）叠加性与比例性：系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和。

（2）微分性质：系统对输入微分的响应，等同于对原输入响应的微分。

（3）积分性质：当初始条件为零时，系统对输入积分的响应等同于对原输入响应的积分。

（4）频率不变性：若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频率的谐波信号。

4.1.2测试系统的静态特性1.什么叫标定和静态标定？采用什么方法进行静态标定？标定有何作用？标定的步骤有哪些？标定：用已知的标准校正仪器或测量系统的过程。

静态标定：就是将原始基准器，或比被标定系统准确度高的各级标准器或已知输入源作用于测量系统，得出测量系统的激励－响应关系的实验操作。

静态标定方法：在全量程范围内均匀地取定5个或5个以上的标定点（包括零点），从零点开始，由低至高，逐次输入预定的标定值（称标定的正行程），然后再倒序由高至低依次输入预定的标定值，直至返回零点（称标定的反行程），并按要求将以上操作重复若干次，记录下相应的响应－激励关系。

标定的主要作用是：确定仪器或测量系统的输入－输出关系，赋予仪器或测量系统分度值；确定仪器或测量系统的静态特性指标；消除系统误差，改善仪器或测量系统的正确度。

标定的步骤有：（1）作输入-输出特性曲线。

（2）求重复性误差H 1和H 2。

（3）求作正反行程的平均输入-输出曲线。

（4）求回程误差。

（5）求作定度曲线。

（6）求作拟合直线，计算非线性误差和灵敏度。

2.什么叫测试系统的静态特性？如何表示？通过标定，得到测量系统的响应值y i 和激励值x i 之间的一一对应关系，称为测量系统的静态特性。

测量系统的静态特性可以用一个多项式方程表示（称为测量系统的静态数学模型）如式（4-2）所示，也可用一条曲线来表示（称为静态校准曲线或静态标定曲线）⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=2210x a x a a y （4-2）3.测试系统静态特性的主要定量指标有哪些？测试系统静态特性的主要定量指标有灵敏度、分辨力、非线性度、回程误差、稳定度、漂移等。

4.1.3测试系统的动态特性1.测量系统动态特性的分析采用哪些方法？其主要指标有哪些？可采用瞬态响应法和频率响应法从时域和频域两个方面来分析测量系统的动态特性。

在时域内分析测量系统的响应特性时，研究几种特定的输入时间函数如阶跃函数、脉冲函数和斜坡函数等的响应特性。

在频域内分析动态特性一般是采用正弦输入得到频率响应特性。

在采用阶跃输入研究测量系统时域动态特性时，表征其动态特性的指标有：上升时间、响应时间、超调量等；在采用正弦输入研究测量系统频域动态特性时，常用幅频特性和相频特性来描述其动态特性，其主要指标是频带宽度。

2.什么是传递函数？如何表示？有何特点？输出的拉氏变换)(s Y 和输入的拉氏变换)(s X 之比称为传递函数，是一种对系统特性的解析描述，包含了瞬态、稳态时间响应和频率响应的全部信息，用)(s H 表示，记为：1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s H n n n n m m m m +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==---- （4-3） 传递函数有以下几个特点：（1）)(s H 描述了系统固有的动态特性，而与输入量x (t)及系统的初始状态无关。

（2）)(s H 是对物理系统特性的一种数学描述，而与系统的具体物理结构无关，同一传递函数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统。

（3）)(s H 中的分母取决于系统的结构，而分子则表示系统同外界之间的联系，分母中s 的幂次n 代表系统微分方程的阶数，也等于输出量最高阶导数的阶数。

3.什么是频率响应函数？如何用复指数形式表示？幅频特性和相频特性如何表示？1110111)()()()()()()(a j a j a j a b j b j b j b j X j Y j H n n n n m m m m +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==----ωωωωωωωωω （4-4） )(ωj H 称为测量系统的频率响应函数，简称为频率响应或频率特性。

频率响应函数)(ωj H 是一个复数函数，用指数形式表示为：φωωj )()j (e A H = （4-5）式（4-5）中)(ωA 为)(ωj H 的模，)()(ωωj H A =，φ为)(ωj H 的相角。

幅频特性如式（4-6）所示，相频特性如式（4-7）所示。

2I 2R )]([)]([)j ()(ωωωωH H H A +== （4-6）)()(arctan 21ωωωϕH H =）（ （4-7） 式（4-6）、（4-7）中，)(ωR H 、)(ωI H 分别为频率响应函数的实部与虚部。

4.1.4测试系统在典型输入下的响应1.一阶测量系统的微分方程式如何表示？一阶系统的频率响应如何表示？一阶测量系统的微分方程表示如式（4-8）所示)()(d )(d 001t x b t y a t t y a =+或)()(d )(d t x t y t t y =+τ （4-8）一阶系统的传递函数)(s H 、频率特性)(ωj H 、幅频特性)(ωA 、相频特性)(ωφ分别如式（4-9）～(4-12)所示。

s s H τ+=11)( （4-9）1)(j 1)j (+=ωτωH （4-10） 2(11)(）τωω+=A （4-11）)(arctg )(τωωφ-= （4-12）2.二阶测量系统的微分方程式如何表示？二阶系统的频率响应如何表示？典型二阶测量系统的微分方程如式（4-13）所示。

)()(d )(d d )(d 001222t x b t y a t t y a t t y a =++ （4-13）二阶系统的传递函数、频率响应、幅频特性和相频特性分别如式（4-14）~（4-17）所示。

2n n 22n 2)(ωξωω++=s s s H （4-14）n 2n j 211)j (ωωξωωω+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=H （4-15）2n 222n )(4])(1[1)(ωωξωωω+-=A （4-16）2n n )(1)(2arctg )(ωωωωξωφ--= （4-17） 式(4-14)~(4-17)中n ω为测量系统的固有频率；ξ为测量系统的阻尼比。

3.一阶测试系统和二阶测试系统在单位阶跃输入下的响应是什么？各有何特点？ 单位阶跃输入的定义为⎩⎨⎧=10)(t x 00≥<t t ，其拉氏变换为s s X 1)(= 一阶系统在单位阶跃输入下的响应如式（4-18）所示，二阶系统在单位阶跃输入下的响应如式（4-19）所示。

τ/1)(t e t y --= （4-18） )sin(11)(22ϕωξξω+--=-t e t y d tn （4-19） 式（4-19）中21ξωω-=n d ，ξξϕ221-=arctg ，1<ξ一阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差为零，并且进入稳态的时间∞→t 。

但当τ4=t 时，982.0)4(=τy ，误差小于2%；当τ5=t 时，993.0)5(=τy ,误差小于1%，所以对于一阶系统来说，时间常数τ越小越好。

二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零，进入稳态的时间取决于系统的固有频率n ω和阻尼比ξ。

n ω越高，系统响应越快，阻尼比主要影响超调量和振荡次数，当0=ξ时，超调量为100%，且振荡持续不息，永无休止；当1≥ξ时，实质为两个一阶系统的串联，虽无振荡，但达到稳态的时间较长；通常取8.0~6.0=ξ，此时，最大超调量不超过2.5%～10%，达到稳态的时间最短，约为5～7/ωn ，稳态误差在2%～5%。

4.一阶测试系统和二阶测试系统在正弦输入下的响应是什么？有何特点？正弦输入信号)0(,sin )(>=t t t x ω的拉氏变换为：22)(ωω+=s s X一阶系统在正弦输入下的响应如式（4-20）所示，二阶系统在正弦输入下的响应如式（4-21）所示。

ωτϕϕϕωωττarctan )],cos )[sin()(11)(11/12-=-++=-t e t t y （4-20）]sin cos [)](sin[()()(21t K t K e t A t y d d t n ωωωϕωωξω+-+=- （4-21） 式（4-21）中：1k 和2k 是与n ω和ξ有关的系数。

正弦输入的稳态输出也是同频率的正弦信号，所不同的是在不同频率下，其幅值响应和相位滞后都不相同，它们都是输入频率的函数。

因此，可以用不同频率的正弦信号去激励测试系统，观察其输出响应的幅值变化和相位滞后，从而得到系统的动态特性。

4.1.5测试系统动态特性参数的测试1．什么是稳态响应法？如何应用它测定一阶系统和二阶系统的有关参数？稳态响应法就是对系统施以频率各不相同、但幅值不变的已知正弦激励，对于每一种频率的正弦激励，在系统的输出达到稳态后测量出输出与输入的幅值比和相位差，这样，在激励频率ω由低到高依次改变时，便可获得系统的幅频和相频特性曲线。

（1）测定一阶系统的参数对于一阶系统，在测出了)(ωA 和)(ωϕ特性曲线后，可以通过式(4-22)来直接求出一阶系统的动态特性参数即时间常数τ。

()()arctan()A ωϕωωτ⎧⎪⎨⎪=-⎩ （4-22）（2）测定二阶系统的参数对于二阶系统，在测得了系统的幅频和相频特性曲线(见图4.1)之后，从理论上讲可以很方便地用相频特性曲线来确定其动态特性参数：固有频率n ω和阻尼率ξ。

因为在n ωω=处，输出的相位总是滞后输入90°，该点的斜率直接反映了阻尼率的大小，但由于要准确地测量相角比较困难，因而通常都是通过其幅频曲线来估计其动态特性参数n ω和ξ。

对于阻尼率ξ的估计，只要测得了幅频曲线的峰值)(r A ω和频率为零时的幅频特性值)0(A 便可由式(4-23)来确定ξ。