分式方程与实际问题
分式方程与实际问题的技巧
分式方程与实际问题的技巧分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、化学、工程学等领域中都有广泛的应用。
解决分式方程的问题需要一定的技巧和方法，本文将从以下几个方面介绍分式方程与实际问题的技巧。
一、理解分式方程的基本概念分式方程是指含有分式的方程，即等号两边至少有一个项是分式。
分式方程的一般形式为：A/B = C/D，其中A、B、C、D 均为整式，且B≠0。
二、分式方程的解法1. 消去分母法消去分母法是将分式方程转化为整式方程求解的方法。
具体步骤如下：（1）将分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验所得解是否为原分式方程的解。
2. 换元法换元法是将原分式方程中的未知数用另一个变量表示，从而将原分式方程转化为一个新的整式方程求解的方法。
具体步骤如下：（1）设一个新的变量u，使得原分式方程可以表示为关于u的整式方程；（2）解关于u的整式方程；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。
3. 分离变量法分离变量法是将原分式方程中的未知数与常数分离，从而将原分式方程转化为一个关于未知数的一元一次方程求解的方法。
具体步骤如下：（1）将原分式方程中的未知数与常数分离；（2）对分离后的一元一次方程进行求解；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。
三、实际问题中的分式方程技巧1. 确定未知数和已知条件在解决实际问题时，首先要明确题目中的未知数和已知条件。
未知数通常是需要求解的量，而已知条件则是题目给出的关于未知数的信息。
例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。
2. 建立分式方程模型根据题目中的已知条件，建立相应的分式方程模型。
例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c/t，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。
3. 选择合适的解法求解分式方程根据所建立的分式方程模型，选择合适的解法求解分式方程。
用分式方程解决实际问题
用分式方程解决实际问题
假设我们要解决以下问题，甲乙两人合作做某件工作，如果甲独立做需要5个小时，乙独立做需要6个小时。
问他们合作做需要多长时间？
首先，我们可以设甲、乙合作做这件工作需要x个小时。
根据工作的性质，我们知道甲、乙合作做一小时的工作量分别是1/5和
1/6。
因此，他们合作做一小时的工作量就是1/5 + 1/6，即5/30 + 6/30，等于11/30。
根据工作量与时间的关系，工作量等于工作量与时间的乘积。
因此，甲、乙合作做x个小时的工作量就是x 11/30。
而这个工作量又等于1，因为他们最终完成了整个工作。
因此，我们可以得到方程式，x 11/30 = 1。
通过解这个分式方程，我们可以得到x的值，从而知道甲、乙合作做这件工作需要的时间。
通过这个例子，我们可以看到分式方程是解决实际问题的有力
工具。
在实际应用中，我们可以根据具体情况建立分式方程，然后通过代数运算来解决问题。
这种方法在解决配比、速度、工作效率等实际问题时非常有效。
希望这个例子可以帮助你更好地理解如何用分式方程解决实际问题。
分式方程实际问题步骤
分式方程实际问题步骤分式方程实际问题步骤是指解决涉及分式方程的实际问题的步骤和方法。
分式方程是数学中描述两个或多个变量之间关系的方程，其中至少有一个变量出现在分母中。
解决分式方程的实际问题通常需要遵循一系列步骤，以确保问题的准确性和完整性。
以下是解决分式方程实际问题的常见步骤：1.理解问题：首先，需要仔细阅读问题，理解其背景和要求。
明确问题中涉及的变量、已知条件和未知数，以及它们之间的关系。
2.建立数学模型：根据问题的描述，将实际问题转化为数学模型。
这通常涉及将问题中的文字描述转换为数学表达式或方程。
在这个过程中，分式方程是描述问题的重要工具。
3.去分母：在分式方程中，分母的存在可能导致方程难以解决。
因此，去分母是解决分式方程的重要步骤。
通过找到所有分母的最小公倍数，并将方程两边都乘以这个最小公倍数，可以消除分母。
4.解方程：在去分母后，方程变为一个更简单的形式，可以更容易地求解。
可以使用代数方法（如移项、合并同类项、因式分解等）来解方程。
5.检验解的合理性：在找到方程的解之后，需要回到实际问题中，检查这些解是否符合实际情况和逻辑。
有时候，某些解可能不符合实际情况或导致矛盾，因此需要进行筛选或调整。
6.得出结论：最后，根据解的合理性和实际问题的需求，得出结论并解释结果。
这可能包括提供数值答案、绘制图表或进行进一步的推理和分析。
这些步骤是解决分式方程实际问题的常见方法，但并非一成不变。
根据具体问题的性质和要求，可能需要进行适当的调整和修改。
重要的是保持逻辑清晰和推理准确，以确保最终的解决方案能够满足实际问题的需求。
总结来说，分式方程实际问题步骤是指解决涉及分式方程的实际问题的步骤和方法。
这些步骤包括理解问题、建立数学模型、去分母、解方程、检验解的合理性和得出结论等。
通过遵循这些步骤，可以更准确地解决实际问题并得出可靠的结论。
16[1].3.分式方程与实际问题(二)
![16[1].3.分式方程与实际问题(二)](https://img.taocdn.com/s3/m/b89dbe0890c69ec3d5bb7528.png)
课题：16．3.分式方程与实际问题（二）学习目标：1.能分析出实际问题中的等量关系，列出方程；2.熟悉列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；3.培养学生应用意识。
重点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结论。
难点：寻求实际问题中的等量关系，正确列出分式方程。
学习过程：一。
课前准备1.列分式方程解应用题的方法与步骤为：二．师生探究（行程问题）【例2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？思路点拨：明确这里的字母V、S表示已知量，可以根据行驶时间不变直接设提速前列车的平均速度是X千米/小时，列出方程补充例题：A，B两地相距100千米，两辆汽车从A地开往B地，让大汽车比小汽车早出发5小时，结果小汽车和大汽车同时到达B地.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度. 三．知识运用（只列分式方程，不求解）1.已知甲车行驶45千米的时间与乙车行驶30千米的时间相同，如果甲车每小时比乙车快3千米，问两车的速度各为多少？2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车和小汽车同时出发，结果小汽车比大汽车早到3小时.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.3.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，想容器中注满水的全过程共用时间t分。
求两根水管各自的注水速度。
（要考虑大水管的进水速度是小水管进水速度的多少倍。
）4.小明和小亮进行百米比赛。
当小明到达终点时，小亮距离终点还有5米，如果小明比小亮每秒多跑0.35米，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？5.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?6、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
人教部初二八年级数学上册 分式方程与实际问题(行程问题) 名师教学PPT课件
6.答: 注意单位和语言完整，
且答案要生活化.
例2：某列车平均提速v千米/小时，用相同的时 间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多 行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
思考：这是_行_程__问题
等量关系：时间相等
路程km 速度km/h
s 提速前
x
提速后 s 50 x v
时间h
s
s x 50
7 19 7 2 x 4x
路程 速度 时间
步行 7 骑车 19－7
x7 x
19 7 4x
4x
根据分式方程你会编一道行程问题的应用题吗？
4800 5000 x x 20
1、通过对以上问题的探讨,你觉得本节课你 学到了什么？
2、你存在什么疑惑？
1、6个步骤：审—设—列—解—验—答
2、分析应用题时常用的辅助手段是：
xv
等量关系：时间相等
注意：
s、v表示已知的 量
路程km 速度km/h 时间h
s 提速前
x
s x
x v 提速后 s 50
s 50
xv
解：设提速前列车的平均速度为x千米/时
由题意，得 s s 50
x xv
在方程两边同乘以x(x+v)得:s(x+v)=x(s+50)
解得x= sv
检验:由于s，v都是正数，当x=sv50时，x(x+v)≠0
列分式方程解应用题的一般步骤
审 1. : 分析题意，找出数量关系和相等关系.
设 2. : 选择恰当的未知数，注意单位和语言完整.
列 3. : 根据数量和相等关系，正确列出方程.
解 4. : 解方程，认真仔细. 5.验: 有两次检验.
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-实际问题与分式方程
根据字母的含义确定其取值范围不含负数和 0，从而确定分式 方程的解，在解实际问题中是经常需要考虑的问题．
例1 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个， 甲做 90 个的时间和乙做 60 个所用的时间相等，求甲、乙每小时各 做零件多少个．
分析：本题是一道工程问题，工程问题常根据“工作总量＝工 作效率×工作时间”设未知数．本题中工作效率和工作时间均为未 知量，可任选一个设为未知数．
第2课时 实际问题与分式方程
1．分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程
1 x 1
＝
3 x2 1
．
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x＋1＝3． 解得 x＝2． 检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0． 所以，原分式方程的解为 x＝2．
3．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系； （2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：通过解方程，求出未知数的值； （5）验：检验所得的未知数的值是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案．
3
全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：设乙队单独施工
1
个月能完成总工程的
1 x
．
工程队 工作总量
工作效率
工作时间
甲队
1× 3
1
3
32
3
2
乙队
1
1
1
2x
x
2
根据相等关系列出方程：1× 3＋ 1 ＝1．
3 2 2x
解：设乙队的工作效率为 1 ．
x
记总工程量为 1，根据题意，得 １＋ 1 ＝1．
分式方程与实际问题教学反思
列分式方程解应用题的教学反思
本节课我们学习的是分式方程应用题，教学重点是要学生们建立分式方程应用题的思维模型，会根据题中的条件找出等量关系，同时列出分式方程，并解答。
我主要借助导学案，让学生通过小组合作的方式合作完成本节课的内容，同时教师进一步规范列分式方程解应用题的步骤和思路。
本节课不足之处如下：
一、学生们对于检验的过程总是容易丢失，说明还是对检验这个必要的步骤理解的不是很深刻，所以会出现易遗忘的现象，也暴露了我在教学时强调的力度还是不够，以后应着重强调。
二、对于等量关系的寻找，很多学生有困难，尤其是对题中条件比较多，或是等量关系比较隐含的应用题，如何准确找出题目中的等量关系是教学中的难点，我主要借助关键数字来降低这一难度，我觉得这是应用题教学的重中之重。
三、学生们还很习惯于用整式方程的思考方式来分析应用题，总是很难以直接建立分式方程的模型，难以直接接受新的事物，所以在教学时要多引导学生对这种模型的认识，让他们明白建立分式方程解应用题的模型对今后解这类应用题有很大的帮助。
sy-分式方程与实际问题
15 15 0.5 x 1 x
练习2：某农场开挖一条长960米的渠道，开工
后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成
任务。原计划每天挖多少米？
解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖 (1+50%)x ___________ 米。
960 960 4 x (1 50%) x
小结：
分式方程的运用: •例3： 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲
队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时 增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工 程全部完成，哪个队的施工速度快？
1 • 分析：甲队1个月完成总工程的 3 ，设乙队如果单 1 独施工1个月能完成总工程的x ,那么甲队半个月完 1 成总工程的 6 ，乙队半个月完成总工程 1 1 1 的 2x ，两队半个月完成总工程的 6 + 2x 。
补充3：我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离 桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军 速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达， 求我部队急行军的速度。
敌军 路程 24 30 速度 时间 24/x
我军
x 1.5 x
30/1.5x
48 我军的时间？ =敌军的时间 – 等量关系： 60
30 24 48 1.5X X 60
解：设敌军的速度为x千米/时，则我军为1.5x千米/时。
由题意得方程：
练习1：甲、乙二人同时从张庄出发，步 行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千 米，结果比乙早到半小时。二人每小时 各走多少千米？ 解：设甲速度为x千米/时，则乙速度为 (x-1) 千米/时 ________
1、列分式方程解应用题，应该注意解题 的六个步骤。 2、列方程的关键是要准确设元（可直接设， 也可间接设）的前提下找出等量关系。
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分式方程与实际问题
——工程问题
一、教学目标
1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系．
2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用．
3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点．
二、学情分析
1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系．
2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用．
3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点．
三、重点难点
教学重点：工程问题中数量相等关系的探究．
教学难点：工程问题中分式方程模型的建立．
四、教学过程
（一）复习旧知，知识铺垫
有一项工程，甲单独完成需x天，乙单独完成比甲单独完成多用4天，那么乙单独完成这项工程需_____天，
则甲的工作效率是____,乙的工作效率是___ .
若这项工程甲先单独做3天，然后甲乙合作做2天，
则甲完成的工作量是____,乙完成的工作量是_____.
设计意图：通过简单的工程问题，让学生回顾工程问题中的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间，并且让学生回顾工程问题中当工作总量没有具体值时通常设工作总量为“1”。
（二）创设情境，提出问题
甲乙两个清洁队共同参与了城中垃圾的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成。
哪个队的施工速度快？
设计意图：引导学生从问题出发，分析题中的已知量和未知量，通过设未知数来表示未知量，找出题中等量关系，利用分式方程解决问题。
在这个问题中让
学生体会用分式方程解决实际问题的步骤，并比较其与一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题中的不同之处，体会分式方程解决实际问题的双检验性即检验整式方程的解是否是分式方程的解和检验方程的解是否符合实际意义，掌握如何从实际问题中抽象出分式方程的模型。
（三）变式训练，迁移演练
甲乙两个工程队共同成一项工程，甲队单独做10天后，再由两队合作18天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成工程所需天数的 ，求甲乙两队单独完成此项工程各需多少天？
设计意图：通过对上面问题的解决让学生通过小组合作讨论，然后通过小组代表上台讲解，最后让同学们在自己的练习本上完成。
这中间计算能力差的同学估计会出现计算上的困难和错误。
（四）变式训练，激活思维
某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书.施工一天，，需付甲工程队1.2万元，乙工程队0.5万元。
工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
方案三：若甲乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最省钱？请说明理由。
设计意图：这个工程问题与前面的工程问题相比复杂了些，问题是让计算费用，费用与工作时间有关，将问题进行转化。
然后从问题出发分析三种方案，排除方案二，对比方案一和三从方案三中找出等量关系，从方案一和二中找出工作时间，通过设工作时间的未知数表示工作效率，建立分式方程的模型解决这个问题。
（五）回眸课堂，提升自我
这节课你学到了什么？
设计意图：通过这个环节让学生回顾本节课所学内容。
（六）作业布置
课本P 154 练习2 P 155 4和5
设计意图：让学生继续练习用分式方程解决实际问题，这些问题中的工作总量有具体值还有看作单位“1”的，体会不同形式的工作总量和分式方程解决实际问题的步骤。
32。