浅谈例题教学的反思
如何在中学数学例题教学中培养学生的反思
甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲如何在中学数学例题教学中，培养学生的反思广东惠州市惠东中学李仕良一、问题的提出荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出；反思是数学思维活动的核心和动力，在数学例题教学活动中引导学生反思，能促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题的条件、结论、方法等进行全面的考察、分析、与思考，弄清各知识要素在问题中的地位和作用，探究性加以重新整合构造，并进行开放性研究，从而深化对问题的理解，揭示问题本质，探索一般规律，在产生可能的新的结论和方法的同时可以为学生形成积极主动的，多样的学习方式创造有利的条件，从而激发学生数学兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
二、问题解决的尝试例题1 三个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？一般同学解这个问题多用列举法，即把可能出现的传球方式一一列举出来。
解若第一次传给乙，传球方式可能出现的情况如右图，经过5次传球后，球仍回到甲手中，不同的传球方式有5种；若第一次传给丙，则又有5种；故共有10种不同的传球方式。
此时，学生甲说，若把三个人改为五个人或十个人时，怎样解呢？其他学生也跟着想。
若还是用一一列举的方法，岂不是一件很麻烦的事情。
学生乙又说，假使传十次、二十次、或n 次呢？有没有规律，这个规律 是否能用一个数学式子来表达。
下面引导学生用递推法解决这个问题。
设第()k k N +∈次将球传给甲的方式有k a 种，传k 次球共有2k种不同的传法，这2k 种传法中，有2k k a -种传法的第k 次不是传给了甲，而第k 次没有传给甲时，在第1k +次传球时可传给甲，故第1k +次传给甲的传法12k k k a a +=-。
令2k k k a b =，则1112k k k a b +++=代入上式，并整理得11122k k b b +=-+。
例题教学后的反思
例题教学后的反思作者：谢建平来源：《新课程学习·中》2013年第07期“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的.善于做解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变、一题多问、一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.我们可以将此例题进行一题多变、一题多解.一、一题多变例1.原题：函数y=lg（x+■）的图象关于原点对称.解：该函数定义域为R，且f（-x）+f（x）=lg（-x+■）+lg（x+■）=lg（-x+■）（x+■）=lg1=0∴f（-x）=-f（x），∴该函数图象关于原点对称.变题1：已知函数y=f（x）满足f（-x+1）=-f（x+1），则y=f（x）的图象关于（1，0）对称.解：∵f（-x+1）=-f（x+1），∴y=f（x+1）为奇函数，即y=f（x+1）的图象关于原点（0，0）对称，故y=f（x）的图象关于（1，0）对称.变题2：已知函数y=f（x）满足f（x）+f（-x）=2，则函数y=f（x）的图象关于（0，1）对称.解：由f（x）+f（-x）=2得，∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，y=f（x）-1为奇函数，即y=f （x）-1的图象关于（0，0）对称，∴y=f（x）的图象关于（0，1）对称.变题3：已知函数y=f（x）满足f（x）+f（2+x）=2，则y=f（x）的图象关于（1，1）对称.解：令x=t-1，则-x=1-t，故由f（x）+f（2+x）=2得f（1+t）+f（1-t）=2，即f（x）满足f（1+x）+f（1-x）=2，即f（-x+1）-1=[f（x+1）-1]，∴y=f（x+1）-1的图象关于原点（0，0）对称，故y=f（x）的图象关于（1，1）对称.结论：若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（c-x）=b，则y=f（x）的图象关于■，■对称.变题4：已知f（x）=■求证：（1）f（x）+f（1-x）=1（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由.（3）求f（■）+f（■）+…+f（■）的值.证明：（1）f（x）+f（1-x）=■+■=■+■=1，得证.（2）解：该函数图象的对称中心为（■，■），由f（x）+f（1-x）=1得f（■+x）+f（■-x）=1，即f（-x+■）-■=-[f（x+■）-■]，∴y=f（x+■）-■的图象关于原点中心对称，故y=f（x）的图象关于（■，■）对称.（3）解：∵f（x）+f（1-x）=1，故f（■）+f（■）=1，f（■）+f（■）=1，…，∴f（■）+f（■）+…+f（■）=500.变题5：求证：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象没有对称中心.证明：假设（m，n）是f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称中心，则对任意x∈R，都有f（m+x）+f（m-x）=2n，即，a（m+x）2+b（m+x）+c+a（m-x）2+b（m-x）+c=2n恒成立，即有ax2+am2+bm+c=n恒成立，也就是a=0且am2+bm+c-n=0与a≠0矛盾，∴f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象没有对称中心.二、一题多解已知函数f（x）=■，x∈[1，+∞），（1）当a=■时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围，解：（1）当a=■时，f（x）=x+2+■≥2+2■，当且仅当x=■时取等号.由f（x）=x+■（k>0）性质可知，f（x）在[■，+∞）上是增函数.∵x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）是增函数，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为f（1）=■.（2）方法一：在区间上[1，+∞），f（x）=■>0恒成立？圳恒x2+2x+a>0成立，设y=x2+2x+a，∵x∈[1，+∞）y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在[1，+∞）上是增函数，∴x=1时，ymin=a+3，于是当且仅当ymin=a+3>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>-3方法二：f（x）=x+■+2，x∈[1，+∞）当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；当a0时，函数f（x）>0恒成，故a>-3，方法三：在区间[1，+∞）上，f（x）=■>0恒成立？圳x2+2x+a>0恒成立？圳a>-x2-2x恒成立，故a应大于u=-x2-2x，x∈[1，+∞）时的最大值为-3，∴a>-3，0≤a通过例题的层层变式一题多解，学生对恒成立的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定式，有利于培养思维的变通性和灵活性。
浅谈例题教学的反思性数学学习
换 将会 有 很 大的 帮助 ， 够让 学 生 在反 思 能
中充 分 体 会 化 归 的数学 思 想． ２ ．积 极反 思 、 系统 小 结 。 建 学 生 数 构 学知 识 结 构 。 高 学 生 分 析 问 题 、 决 问 提 解
投 稿邮箍： ｊ Ｖ ６． ｒ ｓ ｋ １３ Ｏ ｘ＠ Ｃｎ
数 学教学通 讯 （ 师版 ） 教
教学 研究 ＞ 学技巧 教
浅谈例题教学的反思性数学学 习
易 文 辉
广 东东 莞 中 学 ５ ３ ０ ２０５
一一 一 一
程 分
《 通 高 中数 学 课 程 标 准 》 提 出 了 普 中 “ 自主探 索 ” 再 创 造 ” 独 立 思 考 ” 反 思 建 “ “ “
一
化积 ” 式 的 推 导 中 ， 眼于 式 子 中 的 “ 公 着 结 构” 角 ” 名 称 ” “ “ 的变换 ， 学生 理 解 三角 变 对
行 类比 ， 以巩 固学 生 知 识 结 构 ， 他 们 的 使
知识 系 统规 律 条 理化． 数 学 教学 是 一 个 系统 的 工程 ． 想 提 要 高 学 生 的解 题 能力 并 非 一朝 一 夕 的事 情 ．
结 构 和 系 统 性 ．能 否 对 问 题 蕴 含 的 知 识 进 行 纵 向 深 入 的 探 究 ？ 否 加 强 知 识 的 横 能
存 课 堂练 习 过程 中 ． 师 要 引 导学 生 教
构 建 学 生 积 极 反 思 性 数 学
进 行 积 极 反 思 、 统 小 结 ， 重 要 数 学 方 系 使
学习
例题教学反思
1重视课堂教学例题的反思浙江省慈溪市庵东初级中学 冯剑峰有人说教学是一门艺术，教无定法，教学的效益跟教师的“个体”有关，每位教师有不同的特点，教学的差异也就不可避免的产生。
我们的前辈顾泠沅教授，他就曾经讲过，同样的3道例题，就算一样的时间，进一样的班级，但他的教学效果跟别人就不一样，他把原因归结为教师的人格魅力。
这是有科学依据的。
有人说教学是一门技术，它就可以在不同环境、不同对象下被复制，是一种科学。
这种说法初一听，没有前一种说法有道理，但我们要追求教学效益的更大化，必须在承认教学是艺术的前提下，研究教学中的各个细节，所以教学被分解为六大环节，不断有人研究课堂教学中的问题，成果也层出不穷，像布卢姆、布鲁纳、杜威等等，专家举不胜举。
事实也说明，他们的研究给教学确实带来了质的变化，因此教学是科学的说法，不由我们不信。
今天我们也把教学当作是一门科学。
是科学就有它内在的规律，在教学中如果能掌握、并能运用好这种规律，对我们的工作来说，可以起到事半功倍的效果。
接下来，我就数学教学例题的反思与大家交流交流。
我认为例题的反思至少有两种途径。
一、做好试题归类，提纲挈领如在直角三角形性质定理的教学中，“斜边上的中线等于斜边的一半”的教学我也做过类似的尝试。
1、如右图，AD 、BE 是△ABC 的高，F 、G 分别是DE 中点，求证FG DE 。
学生对这个图形的认识不够深入，相当一部分学生是有困难的。
假设是下面一题，他们更无从下手了。
24、如下图，AD 、BE 是△ABC 的高，相交于H 。
F 、G 分别是AB 、CH的中点，问：线段FG 与线段DE 有怎样的位置关系？为什么？ 针对这些问题，图形一个比一个复杂，我们教师就一定要教会学生从复杂图形中寻找出基本元素，这需要我们2在平时教学中经常给他们这种机会。
在实际教学中，我是从下面的图形入手：3、如下左图，BC 是Rt △ABC 、Rt △DBC 的公共斜边，M 是BC 的中点，问AM 、DM 有怎样的关系？为什么？若BC 不变，直角顶点位置变化时，如右图，这种关系是否仍然成立？ 若BC 的大小也变化，但BC 是Rt △ABC 、Rt △DBC的公共斜边的条件不变，那么这种关系是否存在？在学生的一番探究后，得出结论：有公共斜边的直角三角形，斜边上的中线相等。
例题教学后的反思
数 学学 习与 研 究
２ １， ， ０Ｏ １ ７
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教 学 方 法
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鳓题
在 教 学 过 程 中 ， 们 常 有 这 样 的感 觉 ， 是 老 师 讲 了 多 我 不
少 ， 生 就 能 掌 握 多 少 ， 至 是 反 复 训 练 之 后 ， 生 的 能 力 学 甚 学
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２ ４０ ） １２ ６
◎ 陆 平 （ 苏 省 宜 兴 市 东山 高 级 中学 江
望 的过 程 ． 这 个 角 度 上 讲 ， 题 教 学 的 解 后 反 思 应 该 成 为 从 例 例 题 教 学 的 一 个 重 要 内 容 ． 文 拟 从 以 下 三 个 方 面 做 些 本
探究．
一
对 现 在 的学 生 来 说 ， 算 是 他 们 的一 大 弱 点 ， 这 是 重 计 可 点 ， 是 难 点 ． 何 把 握 这 一 重 点 ， 破 这 一 难 点 ？ 各 老 师 也 如 突 在例题教学方面可谓“ 千方 百计 ” 例 如 ， 们 在 学 习对 数 的 ． 我
恰容易被我们所忽视．
意 思 引 申一 下 ， 们 也 就 不 难 理 解 例 题 教 学 为 什 么 要 进 行 我 解 后 反 思 了． 实 上 ， 后 反 思 是 一 个 知 识 小 结 、 法 提 炼 事 解 方 的 过程 ； 一 个 吸 取 教 训 、 步 提 高 的 过 程 ； 一 个 收 获 希 是 逐 是
我 们 可 以将 这 一 题 变 化 一 下 ： 变式 １ 已 知 ａ ＝２ ａ ＋ ， 一ａ ＝２ ｎ＋１ 求 ｛ ｝ ， ａ 的通 项
公式．
１ １
的例题教Байду номын сангаас是成功 的， 学生在计 算的准确 率、 计算 的速度 两
浅谈中学数学课的“例题、习题”教学
课本 例 习题都 是很典 型 的 ， 我们 应该 鼓励 学 生进 行积极 的 反思， 解题 的反思 ， 际上是 搜集信 息 、 馈信 息 、 实 反 拓展 思维 、 发 现 问题 的过程 ， 解题 强化 的过程 。 为了更好 地 培养 学生 发现 是
语 言表现 出亲 和力 ，能够 让学 生感受 到教 师的事 业心 和 爱心 ，
吸引学生 。
题 绫学生认清方程思想是动中求静 ， 研究运动中的等量关系。
问题 的能 力 ， 们可 以从 以下几 个 方面 积极 引导 ： 我 一是 概 括总
结 。 引导学 生对 已有结论 进 行对 比分析 ， 问题 的公 共属 性概 把
括 出来 ， 从而 达到 揭示 知识 间内在联 系的 目的 ， 于迁移 应 用 。 便
二 是猜 想 。通过 解题 ， 学 生大胆 猜想 ， 让 进行 合理 的推 理 ， 展 扩 他 们发现 问题 的能 力。三 是 引申。引导学 生对数 学问题 变形或 深 化推 广 ， 引申创 新的基础 上拓展 发散思 维。 在 四是探 究 。 探究 解决 问题 的一般 方 法 ， 使解 决 问题 的途 径 系统 化 ． 纳 出由特 归 殊 到 一般 的途 径。 五、 通过例题 、 习题培 养数 学思 想方法
、
先理 解知识 ， 莫急 于做题
现 问题 的 能 力 ， 素 质教 育 和创 新精 神 的必 然要 求 ， 是 是课 堂教
学 的重要 目标 。
学 习数 学 ， 先理解基 础知识 。对基础 知识 的重视 ， 要 是我们
数 学教学 中解 决例题 、 习题的基 本保 障。 虽然 中学数 学知 识并 没 有什 么 特别 难理 解 的 ， 是 把定 义 理解 透彻 ， 但 才是 学 习的根 本 。每 天上课 时 ， 一定要 把定 义理解 一番 ， 确认 理解透 彻 之后 ， 再 开始做 题 ， 切莫 想通过 例题来 理解定义 。 打 好基 础是 创 新与 应 用的 根基 ， 当前 ， 学教 学 的一 个 紧 数 迫 性 问题 是数 学学 习后 进 生 的 问题 ， 而对 他们 来 讲 ， 首要 问题 又是对 定义 、 概念等 理解 不透 彻 ， 对他 们来 讲 ， 仅是 能 够背 下 仅 来或是不 太重视 ， 先理 解基础 知识就显得 尤 为重要 了。
浅谈例题教学的反思
浅谈例题教学的反思在解题过程中，学生由于受思维定势、概念模糊或粗心大意等因素的影响，常常会导致解题不正确。
因此，教师在例题教学中必须强调复查的重要性和必要性，同时要向学生讲解检查的方法。
例1：把下列各式中根号外面的因式移到根号里面。
二、反思题目的条件学生往往在求出结果后就认为解题已结束，不再去推敲求得结果是否与条件吻合，这是导致解题失误的重要原因。
教师应在例题教学中给予恰当地引导，培养这方面的反思习惯。
例2：已知关于x 的方程(k+1)x2-2x+3=0 有实根，求k 的取值范围。
评析：本题学生解错的原因在于受到思维定势的影响，以为有实根就是一元二次方程。
而事实上一元二次方程是有两个实数根或没有根。
在讲解此题时教师也可以把它变成已知关于x的方程(k+1)x2-2x+3=0 有两个实数根，求k 的取值范围。
三、反思是否漏解初中数学已初步涉及到分类讨论的数学思想，但由于学生刚刚接触，运用不熟练，因此对有些需分类讨论的题目导致以偏概全或漏解的错误。
所以在解题后要引导学生反思解答是否全面，有无出现漏解的错误，可以培养学生思维的完整性。
例3：圆O 的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD 间的距离。
大部分学生只考虑两条弦在半径的异侧的情形，如图1，解得距离为17cm，而忽视了两条弦在半径的同侧的情形（如图2），造成了漏解。
四、反思题目的多解数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯，在实现数学教学目的的过程中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，这些都对学生今后的数学学习和数学知识的应用产生深远的影响。
例4：如图，若在⊿ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D，AB=10，AC=6，求D 到AB 的距离。
如何进行初中数学例题教后反思
如何进行初中数学例题教后反思日常教学过程中，我们教师常有同感，现在的学生真难教，一道题讲了很多遍，可是学生还是不会做。
遇到陌生的题目就“投降”，一道题稍做“变脸”，就不会。
对于这种现象我们不能武断地归纳为学生的不努力，究其因，主要是我们教师讲解完例题后没有及时引导学生进行反思，因而学生的学习也就停留在例题的表层。
事实上，解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程。
从这个角度上讲，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。
本文拟从以下三个方面作些探究。
一、反思解题思路，培养学生思维的深刻性。
由于学生的智力差异，每道例题教学后，总有部分学生对例题所讲的思考方法、解题思路掌握得不牢固，因此，在例题教学后回顾和总结解题思路则显得十分必要。
在反思中，学生对例题进行再认识、再理解、再提高，既加深了学生对题中数量关系的理解，又训练了学生思维的深刻性。
例如：3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产的数量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务。
每个小组原先每天生产多少个产品？教完例题后，首先引导学生回顾例题的解题思路。
根据“不能完成任务”和“提前完成任务”这两个条件可以得到两个不等关系；即按原先的生产速度，10天的产品数量小于500，提高速度后，10天的产品数量大于500。
再让学生说出解题步骤：第一步设每个小组原先每天生产x件产品，第二步列不等式组，第三步解不等式组。
最后，教师再根据x的实际意义确定x的取值。
通过这样的反思，进一步帮助学生理顺和掌握该应用题的结构和解题思路，加深学生思维的深度。
二、反思解题方法，训练思维的灵活性教完每道例题，通过引导学生反思本题是否还有其它解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生解题思路，培养思维的灵活性。
例如，讲完三角形的内角和等于180°的证明方法后，教师可问学生：这道题还可以怎样添加辅助线？在教师的启发下得出如下几种解法：解法一：如图，延长BC,过C点作AB的平行线CD 。
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浅谈例题教学的反思
发表时间：2011-03-31T10:06:29.610Z 来源：《新校园》理论版2011年第2期供稿作者：任静陈俊
[导读] 在解题过程中，学生由于受思维定势、概念模糊或粗心大意等因素的影响，常常会导致解题不正确。
任静陈俊（邗江实验学校，江苏扬州225002）
一、反思结果的正确性
在解题过程中，学生由于受思维定势、概念模糊或粗心大意等因素的影响，常常会导致解题不正确。
因此，教师在例题教学中必须强调复查的重要性和必要性，同时要向学生讲解检查的方法。
例1：把下列各式中根号外面的因式移到根号里面。
二、反思题目的条件
学生往往在求出结果后就认为解题已结束，不再去推敲求得结果是否与条件吻合，这是导致解题失误的重要原因。
教师应在例题教学中给予恰当地引导，培养这方面的反思习惯。
例2：已知关于x 的方程(k+1)x2-2x+3=0 有实根，求k 的取值范围。
评析：本题学生解错的原因在于受到思维定势的影响，以为有实根就是一元二次方程。
而事实上一元二次方程是有两个实数根或没有根。
在讲解此题时教师也可以把它变成已知关于x 的方程(k+1)x2-2x+3=0 有两个实数根，求k 的取值范围。
三、反思是否漏解
初中数学已初步涉及到分类讨论的数学思想，但由于学生刚刚接触，运用不熟练，因此对有些需分类讨论的题目导致以偏概全或漏解的错误。
所以在解题后要引导学生反思解答是否全面，有无出现漏解的错误，可以培养学生思维的完整性。
例3：圆O 的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD 间的距离。
大部分学生只考虑两条弦在半径的异侧的情形，如图1，解得距离为17cm，而忽视了两条弦在半径的同侧的情形（如图2），造成了漏解。
四、反思题目的多解
数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯，在实现数学教学目的的过程中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，这些都对学生今后的数学学习和数学知识的应用产生深远的影响。
例4：如图，若在⊿ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D，AB=10，AC=6，求D 到AB 的距离。
解法一：作DE⊥AB，垂足为E，DE 即为D 到AB 的距离。
设CD=x，因为AB=10，AC=6，所以AE=6，BC=8，BE=4，DE=CD=x，BD=8-x，在Rt⊿BED 中，DE2+EB2=DB2，即，求出x=3。
解法四：利用三角形的性质，S⊿ABC=S⊿ACD+S⊿ABD, 即6×8÷2=6x÷2+10x÷2,求出x=3。
通过一题多解，探究式教学问题，提高了学生分析问题的能力，例题教学后，应该引导学生反思同一个问题的多种解法之间的联系与区别，思考不同解法适用的特点，同时可以让学生自己去找相关的问题，类似的题型还有哪些。
然后在课堂上相互交流，总结规律，培养学生多思考的习惯，提高数学学习能力.
综上所述，从四个方面阐述了例题教学反思的方法及意义。
例题的教学过程实质上是运用知识的过程，就是将获得的知识通过试验和演算以及在实际活动中去应用，以达到举一反三，触类旁通，熟练掌握，灵活运用的要求。
例题教学要做到：一题多用、一题多解、一题多问、一题多变、多题一图、多题一法，以此来培养学生思维的灵活性，敏捷性和深刻性。