例题教学反思

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重视课堂教学例题的反思
浙江省慈溪市庵东初级中学 冯剑峰
有人说教学是一门艺术，教无定法，教学的效益跟教师的“个体”有关，每位教师有不同的特点，教学的差异也就不可避免的产生。

我们的前辈顾泠沅教授，他就曾经讲过，同样的3道例题，就算一样的时间，进一样的班级，但他的教学效果跟别人就不一样，他把原因归结为教师的人格魅力。

这是有科学依据的。

有人说教学是一门技术，它就可以在不同环境、不同对象下被复制，是一种科学。

这种说法初一听，没有前一种说法有道理，但我们要追求教学效益的更大化，必须在承认教学是艺术的前提下，研究教学中的各个细节，所以教学被分解为六大环节，不断有人研究课堂教学中的问题，成果也层出不穷，像布卢姆、布鲁纳、杜威等等，专家举不胜举。

事实也说明，他们的研究给教学确实带来了质的变化，因此教学是科学的说法，不由我们不信。

今天我们也把教学当作是一门科学。

是科学就有它内在的规律，在教学中如果能掌握、并能运用好这种规律，对我们的工作来说，可以起到事半功倍的效果。

接下来，我就数学教学例题的反思与大家交流交流。

我认为例题的反思至少有两种途径。

一、做好试题归类，提纲挈领
如在直角三角形性质定理的教学中，“斜边上的中线等于斜边的一半”的教学我也做过类似的尝试。

1、如右图，AD 、BE 是△ABC 的高，F 、G 分别是DE 中点，求证FG DE 。

学生对这个图形的认识不够深入，相当一部分学生是有
困难的。

假设是下面一题，他们更无从下手了。

24、如下图，AD 、BE 是△ABC 的
高，相交于H 。

F 、G 分别是AB 、CH
的中点，问：线段FG 与线段DE 有怎样的位置关系？为
什么？ 针对这些问题，图形一个比一个复杂，我们教师就一定要教会学生从复杂图形中寻找出基本元素，这需要我们
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在平时教学中经常给他们这种机会。

在实际教学中，我是从下面的图形入手：
3、如下左图，BC 是Rt △ABC 、Rt △DBC 的公共
斜边，M 是BC 的中点，问AM 、DM 有怎样的关系？
为什么？
若BC 不变，直角顶点位置
变化时，如右图，这种关系是否仍然成立？ 若BC 的大小也变化，但BC 是Rt △ABC 、Rt △DBC
的公共斜边的条件不变，那么这种关系是否存在？
在学生的一番探究后，得出结论：有公共斜边的
直角三角形，斜边上的中线相等。

这就是这类试题的
题眼所在。

所以，学生再次看到第4题时，学生会很快得出右边的图形，两组有公共斜边的直角三角形，中线分别相等，这时连接DF 、DG 、EF 、EG 的辅助线就不难想到了。

当然，这道题还可以有很多变式，我
不一一例举了。

在初三相似三角形的教学中，这种例子更多了。

我再举几例。

我们在教学中肯定遇到这么一道题：
4、如图，△ABC 是正三角形，将△ABC 翻折，使点A 落在BC 边上的D 处，折痕为EF 。

求证：BE ·CF ＝BD ·DC 。

学生解决它不成问题，关键是我们教师绝不能就事论事，
把这道题中包含的基本元素忽略了。

我们把非必须条件去掉，
就可以得到下右图。

必须条件是B C EDF ∠=∠=∠，我
们把它称之为“一线三泡泡”，结论是“左·右＝左·右”。

这是一个十分有用的小结论。

又如：5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，12B ∠∠=∠＝，点E 、F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合）。

设BE x =，AF y =。

（1） 求y 与x 之间的函数关系式；
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（2） 当点E 在BC 上移动时，△AEF 是否有可能是一个等腰三角形。

若可
能，请求出BE 的长；若不可能，说明理由。

6、已知在梯形ABC 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD=5,AB=CD=2。

（1） 如图，P 是AD 上的一点，满足BPC A ∠=∠.
○
1求证：△ABP∽△DPC ; ○2求AP 的长； （2） 若点P 在AD 上移动（点P 与点A 、
D 不重合），且满足BP
E A ∠=∠，PE 交直线BC 于点E ，同时交直
线DC 于Q ，那么：
○
1当点Q 在线段DC 的延长线上时，设,AP x CQ y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
○
2当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）。

二、注重思路迁移，举一反三
如果说，做好试题归类，提纲挈领是例题反思的广度，那么注重思路迁移，举一反三则是例题反思的深度，举一反三的关键是“举一”，在我们的教学中必须花大力气完成好，长期坚持，对我们教师的专业发展也是很有好处的。

7、如图，在等腰Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，
AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且45DAE ∠=︒，问
BD 、DE 、EC 三条线段能否围成一个直角三角
形？
这道题至少可以用下述解法：将△AEC 以A
为旋转中心，顺时针旋转90︒，得到下图。

可得△AE'D≌△AED ，△BE ’D 是直角三角形，故有22BD EC =+2DE 。

在教学中，如果教师到此结束，则是对这一教育
资源的浪费，失去了很好的教育契机，我们完全可以
大做文章，主要从两个方面展开：一是图形的再利用，
一是解题方法与思路的迁移。

先看图形的再利用。

把这个图形简化为下图：顶角是45度的三
4 角形，只要看到这个图形，就想到再把它还原成等腰直角三角形，如第9题图。

大多数题目能用这个方法解决，这样给解题带来了新的思路。

如：
8、如下左图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，且45BAC ∠=︒，BD=2，DC=3，求S △ABC 的值。

解；延长DB 到E ，使DE=AD ，
再延长DC 到F ，使DF=AD ，连
接AE 、AF 。

如右图。

设AD=x ，则BE ＝x －2，CF
＝x －3，BC ＝5。

由222B C
B E
C F =+得22(2)(3)25x x -+-=，则x ＝6，所以S △ABC ＝15。

这是一道数学竞赛题，解法很多，主要有利用相似、把两个直角三角形沿斜边翻折，构造正方形等办法。

但都没有这种方法直接。

再看“图形旋转”这一解题思路的迁移。

我们可以把等量线段比喻成亲戚，旋转就是走亲戚，所以一定要找到等量线段，然后旋转，这样旋转后等量线段重合。

这为学生指明了旋转的目的地。

如：
9、如图，Rt △ABC 中，90C ∠=︒，正方形CDEF 的顶点D 、
E 、
F 分别在边BC 、AB 、AC 上，已知BE=10，AE ＝19 ，求阴
影部分面积。

（只要把△BDE 绕E 顺时针旋转90度，DE 与EF 重合，
可得面积是95面积单位）。