概率的公理化定义
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1-4概率的公理化定义及性质
因而
P(B A)
P(B)
P( AB)
1 2
1 8
3. 8
A AB B S
三、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例1 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列 32
三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
(2) 若A1, A2, , An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
所以 1 P(S) P( A A)
P( A) P( A).
P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
1-3概率的公理化体系及性质
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
A1 4只鞋子中恰有两只配成一双
于是 A A1 A2，且A1 A2 , 则 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1 2 2 2 C5 [C4 2 ] C5 13 4 4 21 C10 C10
另解 设A 4只鞋子都不能配成双
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充 T 上点的坐标 , 则有如图区域。
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P ( ) 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
概率论--公理化定义及其性质
P( B AB) P( B) P( AB)
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．
解 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
概率的性质
P() 0
证明
由公理 3 知
P() P() P() P()
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它， 求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．
解 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
概率的性质
P() 0
证明
由公理 3 知
P() P() P() P()
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它， 求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
1.4概率的公理化定义及概率的性质
Ω的度量
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
1.3概率的公理化定义
A = A ∪ A2 ∪ 算 P(A) 不易， 直接计算 不易
A = A ∪ A2 ∪ A3 1
P( A) = P( A ∪ A2 ∪ A3 ) 1
应用加法公式
= P( A ) + P( A ) + P( A ) − P( A A ) 1 2 3 1 2
− P( A A ) − P( A A ) + P( A A A ) 1 3 2 3 1 2 3 2! 1 其中 P( A ) = P( A2 ) = P( A ) = = 1 3 3 3 ! 1 1 P( A A ) = P( A A ) = P( A2 A ) = = 1 2 1 3 3 3 6 ! 1 1 P( A A2 A ) = = 1 3 3 6 !
P( A) = 1− P( A) =0.518
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 个人，设每个人的生日是 天的 任何一天是等可能的，试求事件“ 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率. 人同生日”的概率 至少有两人同生日} 解：令 A={至少有两人同生日 至少有两人同生日 则 A={ r 个人的生日都不同 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求 A) 先求P( 为求
将一颗骰子抛掷4次 例2 将一颗骰子抛掷 次，问至少出一次 点的概率是多少？ “6”点的概率是多少？ 点的概率是多少 事件A={至少出一次“6”点} 至少出一次“ 点 令 事件 至少出一次 A发生 发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} 出 次 点∪ 出 次 点 {出3次“6”点} {出4次“6”点} 出 次 点∪ 出 次 点 直接计算A的概率较麻烦 我们先来计算A的 直接计算 的概率较麻烦, 我们先来计算 的 的概率较麻烦 对立事件 次抛掷中都未出“ 点 次抛掷中都未出 A={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 的概率
A = A ∪ A2 ∪ A3 1
P( A) = P( A ∪ A2 ∪ A3 ) 1
应用加法公式
= P( A ) + P( A ) + P( A ) − P( A A ) 1 2 3 1 2
− P( A A ) − P( A A ) + P( A A A ) 1 3 2 3 1 2 3 2! 1 其中 P( A ) = P( A2 ) = P( A ) = = 1 3 3 3 ! 1 1 P( A A ) = P( A A ) = P( A2 A ) = = 1 2 1 3 3 3 6 ! 1 1 P( A A2 A ) = = 1 3 3 6 !
P( A) = 1− P( A) =0.518
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 个人，设每个人的生日是 天的 任何一天是等可能的，试求事件“ 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率. 人同生日”的概率 至少有两人同生日} 解：令 A={至少有两人同生日 至少有两人同生日 则 A={ r 个人的生日都不同 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求 A) 先求P( 为求
将一颗骰子抛掷4次 例2 将一颗骰子抛掷 次，问至少出一次 点的概率是多少？ “6”点的概率是多少？ 点的概率是多少 事件A={至少出一次“6”点} 至少出一次“ 点 令 事件 至少出一次 A发生 发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} 出 次 点∪ 出 次 点 {出3次“6”点} {出4次“6”点} 出 次 点∪ 出 次 点 直接计算A的概率较麻烦 我们先来计算A的 直接计算 的概率较麻烦, 我们先来计算 的 的概率较麻烦 对立事件 次抛掷中都未出“ 点 次抛掷中都未出 A={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 的概率
1.10.2 概率论的公理化体系
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注1）概率是定义在σ-域F 上的一个非负的，规范的，可列 可加的集函数. 2）概率的公理化定义既概括了概率的统计定义，古典定义， 几何概率定义，又克服了这些定义的缺点. 3）三元体（Ω，F ，P）称为概率空间，构成了对随机现 象研究的数学模型. 4）在实际问题中，如何选定Ω，如何构造适当的 F，如何 给出P的定义，要视具体情况而定.
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i 1
AB
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第一章 随机事件及其概率
§1.10 概率论的公理化体系
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1.概率的公理化定义
设Ω是一个样本空间，F 是Ω的一个事件域，
对每一个F中的元素A，定义一个F上的实值集合
函数P(A).如果它满足以下三个基本性质：
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5 由公理可以导出概率的一系列性质：
(1) P( ) 0；
(2)有限可加性；
(3) P( A) 1 P( A)； (4)可减性，若A B, 则P( A B) P( A) P( B)； (5)单调性 若A B, 则P( A) P ( B )
i 1 i 1
证
(1), (2)显然，现验证(3)
P( B Ai ) P( B) P( A i B ) P( B)
P( Ai | B)
P( A B) P( A | B) P( B)
01.3概率的公理化定义及概率的性质
P
i1
Ai
i 1
P( Ai
)
其中 A1, A2 , 为任意互不相容事件。
概率函数（或者称为规范测度函数）是定 义在事件域上的非负、 规范、可列可加的集 合函数。
A F,称P(A)为事件A的概率。
概率空间：
设E为随机试验， S--样本空间 ，
F—事件域，
P—概率，
称三元总体（S , F , ）为概率空间.
概率空间举例。
概率的性质 P() 0
证：S S ，
P(S) P(S) P() P()
故 P() 0；
有限可加性: 设 A1, A2, An为两两互斥事件，
P n
i1
Ai
n i1
P( Ai )
证明： 取 An1 An2 ,
i
则称F为事件域。
事件域举例。
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 戈洛夫(A.H.Колмогоров)于1933年所建立.
定义 设P是定义在事件域F上的实值函 数，称P为概率函数，如果满足：
非负性：A F,0 P(A) 1 规范性： P(S) 1
可列可加性：
2题答案1 (5)4 , 1 (35)24 。
6
36
3题答案1
A162 126
。
例4：一批产品共50件，其中5件是次品，另外45件是正品。 从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。
解： 法1： 设Ai 第i次取到次品，i 1,2,3. B 取出的3件中有次品 则B A1 A2 A3
§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式
12
P ( AB ) ≤ 0.6 .
可见， 可见，当 P ( B ) = 0.6 时上述不等式中的 取到它的最大值， ＂＝＂号成立，此时 P ( AB ) 取到它的最大值， ＂＝＂号成立， 号成立 最大值是0.6． 最大值是0.6． 0.6 另外， 另外，当 B ⊂ A 时，上述不等式中的 “＝”号也成立，所以 ⊂ A 也是 P ( AB ) 号也成立， B 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 0.6的一个充分条件
) +L
= ∑ P ( Ai ) .
i =1
n
性质1.1 性质1.1
8
性质1.3 对立事件的概率公式) 性质1.3 (对立事件的概率公式) 对任何事 件A ，有
P ( A) = 1 − P A .
证 注意，A与 A 互不相容，且 A ∪ A = Ω , 注意， 互不相容，
概率的有限可加性
( )
1 = P ( Ω ) = P A ∪ A = P ( A) + P A .
2
从对应关系来说， 从对应关系来说，P : F → R 是一个映射 函数就是一种特殊的映射）． （函数就是一种特殊的映射）． 熟知，只有当定义域和对应法则确定之后， 熟知，只有当定义域和对应法则确定之后， 一个映射才算确定了．在这里，映射P 一个映射才算确定了．在这里，映射P的定义域 试问映射P的对应法则是什么? 是 F . 试问映射P的对应法则是什么? 映射P没有通常的函数解析式， 映射P没有通常的函数解析式， 1933年前苏联数学家 年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 解决了映射P的对应法则问题， 解决了映射P的对应法则问题，这在 概率论发展史具有重大意义． 概率论发展史具有重大意义．
P ( AB ) ≤ 0.6 .
可见， 可见，当 P ( B ) = 0.6 时上述不等式中的 取到它的最大值， ＂＝＂号成立，此时 P ( AB ) 取到它的最大值， ＂＝＂号成立， 号成立 最大值是0.6． 最大值是0.6． 0.6 另外， 另外，当 B ⊂ A 时，上述不等式中的 “＝”号也成立，所以 ⊂ A 也是 P ( AB ) 号也成立， B 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 0.6的一个充分条件
) +L
= ∑ P ( Ai ) .
i =1
n
性质1.1 性质1.1
8
性质1.3 对立事件的概率公式) 性质1.3 (对立事件的概率公式) 对任何事 件A ，有
P ( A) = 1 − P A .
证 注意，A与 A 互不相容，且 A ∪ A = Ω , 注意， 互不相容，
概率的有限可加性
( )
1 = P ( Ω ) = P A ∪ A = P ( A) + P A .
2
从对应关系来说， 从对应关系来说，P : F → R 是一个映射 函数就是一种特殊的映射）． （函数就是一种特殊的映射）． 熟知，只有当定义域和对应法则确定之后， 熟知，只有当定义域和对应法则确定之后， 一个映射才算确定了．在这里，映射P 一个映射才算确定了．在这里，映射P的定义域 试问映射P的对应法则是什么? 是 F . 试问映射P的对应法则是什么? 映射P没有通常的函数解析式， 映射P没有通常的函数解析式， 1933年前苏联数学家 年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 解决了映射P的对应法则问题， 解决了映射P的对应法则问题，这在 概率论发展史具有重大意义． 概率论发展史具有重大意义．
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§2.4 概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n
P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
250 2000 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 83 2000 由于 83 84, 得 P ( AB) 2000 24
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
1 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 11 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件A未必 一定发生.
S黄三角形 S蓝三角形
作业：
P16 7－11
解 设“用户订日报”事件为A,”用户订晚 A B 报”事件为B，则“订两种报中的一种”为 由已知， P A 50% , PB 65% , P A B 85%, 则所求概率为 P AB P A PB P A B 50% 65% 85% 30%. 即同时订两种报的用户占30%
解
(1) 由图示得 P ( B A) P ( B)
1 故 P ( B A) P ( B ) 2
A
B
B
A
( 2) 由图示得 P ( B A) P ( B) P ( A)
1 1 1 2 3 6
(3) 由图示得 A B A B A,
且 A BA
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3
—— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
最大值在
—— 最大值
P( A B) P( B) 时取得
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
得 P ( B) P ( A) P ( B A)
B
A
于是 P ( B A) P ( B) P ( A)
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B)
( 4) 设 A 是 A 的对立事件，则P ( A) 1 P ( A)
证明 因为 A A , A A , P ( ) 1
1 3 / 4 2 / 6 7 / 12.
由题设得
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 / 2.
另一方面又可得
P( A B C ) 5 / 12.
于是得矛盾
P( A B) 1 / 2 5 / 12 P( A B C ).
0 P( A) 1
(1) (2)
P() 1
公理3 (完全可加性) 若事件A1, A2 ,…两两互不相容，
则有 P( A A 1 2
) P( A1 ) P( A2 )
(3)
则称P(A)为事件A的概率.
2. 概率的性质
(1) P ( ) 0.
证明
且A B ( B AB) B AB A A 故 P ( A B) P ( A) P ( B AB)
又由性质 3 得
因此得
P ( B AB) P ( B) P ( AB) A ( B AB) A ( B A)
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
又 P ( A B ) P ( A) P ( B) P ( AB )
P ( A AB) P ( A) P ( B A)
1 1 3 因而 P ( B A) P ( B) P ( AB) 2 8 8
A AB
B
例3 已知某城市中有50%的用户订日报，65% 的用户订晚，85%用户至少报中的一种，问同 时订两种报的用户占百分之几？
所以 1 P ( ) P ( A A)
P ( A) P ( A)
P ( A) 1 P ( A).
(5) (加法公式)对于任意两事件A，B有
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
证明 由图可得
A B A ( B AB ),
n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A, B 为两个事件 , 且 A B, 则 P ( B A) P ( B) P ( A). P ( A) P ( B),
证明
因为 A B
所以 B A ( B A)
又 ( B A) A
例4 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取 到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概 率是多少 ?
解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
“取到的数能被8整除”则所求概率为 P ( A B ).
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
{( x, y) 0 x 24,0 y 24} A {( x, y ) ( x, y ) ,
0 y x 1, 0 x y 2}
y 24
y=x
S 24 1 2 2 S A 23 22 2 SA P( A) 1 0.1207 S
由概率的可列可加性得
P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( )
P ( ) 0 P () 0.
( 2) 若A1 , A2 , , An
是两两互不相容事件
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
在学习几何和代数时，我们已经知道公理 是数学体系的基础。数学上所说的“公理”， 就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为 基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。
1.概率的公理化的定义:
设 是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一
事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：
公理1（非负性） 公理2（规范性）
第2周
问 题
已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） .
一般会解出
P( A B C ) 1 P( A B C ) 1 P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC ) P( ABC )
推广 ------ 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
250 83 3 333 1 . 2000 2000 2000 4
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n
P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
250 2000 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 83 2000 由于 83 84, 得 P ( AB) 2000 24
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
1 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 11 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件A未必 一定发生.
S黄三角形 S蓝三角形
作业：
P16 7－11
解 设“用户订日报”事件为A,”用户订晚 A B 报”事件为B，则“订两种报中的一种”为 由已知， P A 50% , PB 65% , P A B 85%, 则所求概率为 P AB P A PB P A B 50% 65% 85% 30%. 即同时订两种报的用户占30%
解
(1) 由图示得 P ( B A) P ( B)
1 故 P ( B A) P ( B ) 2
A
B
B
A
( 2) 由图示得 P ( B A) P ( B) P ( A)
1 1 1 2 3 6
(3) 由图示得 A B A B A,
且 A BA
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3
—— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
最大值在
—— 最大值
P( A B) P( B) 时取得
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
得 P ( B) P ( A) P ( B A)
B
A
于是 P ( B A) P ( B) P ( A)
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B)
( 4) 设 A 是 A 的对立事件，则P ( A) 1 P ( A)
证明 因为 A A , A A , P ( ) 1
1 3 / 4 2 / 6 7 / 12.
由题设得
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 / 2.
另一方面又可得
P( A B C ) 5 / 12.
于是得矛盾
P( A B) 1 / 2 5 / 12 P( A B C ).
0 P( A) 1
(1) (2)
P() 1
公理3 (完全可加性) 若事件A1, A2 ,…两两互不相容，
则有 P( A A 1 2
) P( A1 ) P( A2 )
(3)
则称P(A)为事件A的概率.
2. 概率的性质
(1) P ( ) 0.
证明
且A B ( B AB) B AB A A 故 P ( A B) P ( A) P ( B AB)
又由性质 3 得
因此得
P ( B AB) P ( B) P ( AB) A ( B AB) A ( B A)
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
又 P ( A B ) P ( A) P ( B) P ( AB )
P ( A AB) P ( A) P ( B A)
1 1 3 因而 P ( B A) P ( B) P ( AB) 2 8 8
A AB
B
例3 已知某城市中有50%的用户订日报，65% 的用户订晚，85%用户至少报中的一种，问同 时订两种报的用户占百分之几？
所以 1 P ( ) P ( A A)
P ( A) P ( A)
P ( A) 1 P ( A).
(5) (加法公式)对于任意两事件A，B有
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
证明 由图可得
A B A ( B AB ),
n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A, B 为两个事件 , 且 A B, 则 P ( B A) P ( B) P ( A). P ( A) P ( B),
证明
因为 A B
所以 B A ( B A)
又 ( B A) A
例4 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取 到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概 率是多少 ?
解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
“取到的数能被8整除”则所求概率为 P ( A B ).
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
{( x, y) 0 x 24,0 y 24} A {( x, y ) ( x, y ) ,
0 y x 1, 0 x y 2}
y 24
y=x
S 24 1 2 2 S A 23 22 2 SA P( A) 1 0.1207 S
由概率的可列可加性得
P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( )
P ( ) 0 P () 0.
( 2) 若A1 , A2 , , An
是两两互不相容事件
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
在学习几何和代数时，我们已经知道公理 是数学体系的基础。数学上所说的“公理”， 就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为 基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。
1.概率的公理化的定义:
设 是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一
事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：
公理1（非负性） 公理2（规范性）
第2周
问 题
已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） .
一般会解出
P( A B C ) 1 P( A B C ) 1 P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC ) P( ABC )
推广 ------ 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
250 83 3 333 1 . 2000 2000 2000 4