4概率的公理化定义
概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n
P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
概率公理化的定义
概率公理化的定义概率公理化是概率论的基本公理系统，用于定义和推导概率的性质和规则。
它由三个基本公理组成，分别是非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。
首先，非负性公理指出概率是一个非负的实数，即概率值始终大于或等于零。
这是因为概率是表示事件发生的可能性的度量，而任何事件的发生概率都不应该是负数。
因此，对于任何事件A，其概率P(A)满足P(A)≥0。
其次，规范性公理指出概率的最大值是1，即整个样本空间的概率是1。
样本空间是所有可能事件的集合，而其中的某一个事件一定会发生。
因此，整个样本空间的概率等于1。
即对于整个样本空间S，有P(S) = 1。
最后，可列可加性公理是概率公理化的核心内容，它指出对于任意可列个互不相容的事件Ai（i=1，2，3，...），其概率P(Ai)的和等于它们各自概率的和。
这表示当我们考虑多个事件同时发生的情况时，可以将它们的概率逐个相加来求得总概率。
即对于事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) =P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
这三个基本公理共同构成了概率公理化的定义，通过这些公理我们可以进行概率的形式化描述和推导。
同时，这些公理也满足概率的一些基本性质和规则，如辅助定理、概率的有限可加性、概率的递减性等。
其中，辅助定理是基于这三个公理得到的，它指出对于事件A 和事件B，当A包含于B时，A的概率一定小于等于B的概率。
即当A⊆B时，有P(A)≤P(B)。
概率的有限可加性指出对于任意有限个互不相容的事件A1，A2，A3，...，它们的概率P(A1∪A2∪A3∪...)等于它们各自概率的和。
即对于有限个事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
概率的递减性指出对于事件A和事件B，当A包含于B时，B的概率一定大于等于A的概率。
即当A⊆B时，有P(B)≥P(A)。
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
26/29
常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
浅谈概率公理化及性质教学的若干思考
浅谈概率公理化及性质教学的若干思考1. 引言1.1 概率公理化的意义概率公理化是概率论中的基本概念和方法之一，对于建立概率理论的完备性和严谨性至关重要。
概率公理化的意义在于通过一系列公理的提出和推导，确立了概率的数学定义和性质，为概率理论的深入研究和应用奠定了坚实的基础。
概率公理化使概率论不再是一种经验性的概念，而是一种严格的数学理论，具有明确的定义和逻辑结构。
通过概率公理化，我们可以建立概率的数学模型，准确描述随机事件发生的可能性，并进行精确的计算和推理。
概率公理化还可以帮助我们解决现实生活中的各种问题，例如风险管理、金融投资、医学诊断等领域的决策和预测。
概率公理化还为其他数学领域如统计学、信息论等提供了重要的基础和工具。
概率公理化的意义在于确立了概率论的基本原理和公理体系，为概率理论的发展和应用提供了理论支持和方法指导。
只有深入理解概率公理化的概念和原理，才能更好地掌握和运用概率理论，提高对随机事件发生规律的认识和预测能力。
1.2 性质教学的重要性性质教学是概率理论教学中的重要组成部分，其重要性不可忽视。
性质教学不仅可以帮助学生更深入地理解概率的概念和原理，还可以帮助他们掌握解决实际问题的方法和技巧。
通过性质教学，学生可以更清晰地认识到概率在日常生活和社会中的应用，培养他们的概率思维和解决问题的能力。
性质教学还可以激发学生学习概率理论的兴趣，提高他们对这门学科的学习积极性。
概率理论是一门涉及逻辑推理和数学运算的学科，性质教学可以加深学生对数学知识的理解和应用能力，提高他们的数学素养和综合能力。
性质教学在概率理论教学中的重要性不言而喻，是提高学生对概率理论的理解和运用的有效途径。
2. 正文2.1 概率公理化的基本原理概率公理化的基本原理是指在概率理论中所遵循的一系列基本原则和规则，这些原理为概率论的推导和应用提供了坚实的基础。
概率公理化的基本原理主要包括三个方面：概率公理化的基本原理要求概率是一个定义在样本空间上的映射函数，即将每个事件映射到一个实数上。
概率论--公理化定义及其性质
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．
解 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
概率的性质
P() 0
证明
由公理 3 知
P() P() P() P()
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它， 求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
1-4 概率的公理化定义与性质
(5) ( 加法公式) 对于任意两事件A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
A AB B
故 P( A B) P( A) P(B AB).
又由性质4得
例 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列
32 三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
(2)由图示得
2
A
BS
P(B A) P(B) P( A) 1 1 1. , i, j 1,2,, n, i j,两两互不相容，
则
P
n
Ak
n
P Ak
;
k1 k1
有限可加性
例：袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个是黑球。 从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。
(3) P( A) 1 P( A), P() P( A A) P( A) P( A)
BA
S
(3)由于B A B A B AB,
因而 P(B A) P(B) P( AB)
1 1 3. 28 8
A AB B S
二、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
概率的基本概念和计算
性质：概率的对称 性意味着事件A和B 是对称的，即它们 的发生概率相等。
举例：例如，抛掷一枚 硬币正面朝上的概率等 于反面朝上的概率，因 此硬币抛掷具有对称性。
应用：概率的对称性 在概率论和统计学中 有着广泛的应用，如 赌博、保险等领域。
概率的可数可加性
定义：如果事件A和B是互斥的，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
概率的乘法原则：两个独立事件的 概率乘积等于它们各自概率的乘积。
概率的公理化定义
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。 概率具有可加性，即两个独立事件的概率之和等于它们概率的直接概率。 概率具有有限可加性，即对于有限个两两互斥事件，其概率之和等于它们概率的直接概率。
概率在日常生活中的应用
天气预报：通过概率计算预测未来天气情况，帮助人们安排出行和活动。 保险业：保险公司使用概率计算风险，制定合理的保险费率。
医学研究：通过概率统计方法分析大量数据，发现疾病与基因、环境等因素的关系。 经济学：经济学家使用概率模型预测市场趋势和经济状况，帮助投资者做出决策。
概率在科学实验中的应用
完备性是概率论中 的一个基本性质， 它保证了概率空间 的完整性和一致性。
完备性也是概率论中一 个重要的数学工具，它 被广泛应用于概率论和 统计学中的各种问题。
概率的完备性是概率 论中的一个基本概念 ，它对于理解概率论 和统计学中的各种概 念和原理非常重要。
概率的对称性
定义：如果一个事 件A的概率等于其逆 事件B的概率，则称 事件A具有对称性。
概率的统计定义
概率是描述随 机事件发生的 可能性大小的
数值。
概率可以通过 长期实验中某 一事件发生的 次数与总次数 的比值来估算。
1.4概率的公理化定义及概率的性质
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
概率论与数理统计1-2-zh
概率的加法公式 (4.1) 两个事件和的概率为 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB ). (4.2)三个事件和的概率为 P ( A B C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).
(4.3) Jordan公式 对任何 n 个事件A1，A2，…，An,都有
n n P Ak P ( Ai ) P ( Ai A j ) i 1 i 1 1 i j n n n 1 P ( Ai A j Ak ) ( 1) P Ai . i 1 1 i j k n
1 1 2
2 ...
n AN
3 …
n N-1 N
P(A) = —— . n N
1 2 3 …… N-1 N
设有n个球，每个球都以同样的概率1/N 落 入到N个盒子中的每一个盒子, （Nn，盒子容量 不限）求 (1)某指定的n个盒子中各有一球的概率； (2)恰有n个盒子中各有一球的概率； (3)每个盒子中至多有一球的概率.
3.
解 设A =“某指定的n个盒子中各有一球”， B =“恰有n个盒子中各有一球”， C =“每个盒子中至多有一球”.
A
பைடு நூலகம்
A
A B
B
四、概率的公理化定义 1. 定义 (1)非负性 (2)规范性 (3)可列可加性 2. 概率的性质 (1) P ( ) 0. (2)有限可加性 (3)单调性
(4)概率的加法公式 (4.1) 对任何两个事件A,B, 都有 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB ).