1-4概率的公理化定义及性质
概率的公理化
概率的公理化是概率论的基础，它提供了一种严格的数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率的公理化由俄国数学家安德雷·科尔莫哥洛夫在20世纪30年代首次提出，并被广泛接受和应用。
概率的公理化基于三条基本原则，它们构成了概率论的基础。
以下是对这三条原则的详细阐述。
1. 非负性：概率是非负的。
这意味着对于任何事件A，它的概率必须大于等于零。
即P(A) ≥0。
这个原则表明概率不能为负数，即任何事件都至少有一定的可能性发生。
2. 规范性：全样本空间的概率为1。
全样本空间是指所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
规范性要求全样本空间的概率等于1，即P(Ω) = 1。
这个原则确保所有可能结果的总和为1，表示了一定会发生某个结果的确定性。
3. 可加性：对于互斥（互不相交）事件的概率，可以通过求和计算。
如果事件A和B是互斥事件（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
这个原则允许我们通过计算各个可能事件的概率来得到复合事件的概率。
在这三条基本原则的基础上，可以推导出概率论中的其他重要定理和性质。
例如，可以通过可加性原理推导出条件概率和乘法规则，用于计算事件之间的依赖关系。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
乘法规则则用于计算多个事件同时发生的概率。
概率的公理化还涉及到概率空间的定义。
概率空间由样本空间Ω和一个叫做事件域的集合F组成。
事件域是样本空间的子集合的集合，它包含了我们感兴趣的所有事件。
概率被定义为一个函数P，它将事件映射到实数，即P：F→[0,1]。
满足非负性、规范性和可加性的概率函数被称为概率测度。
概率的公理化使得概率论成为一门严密的数学理论，并被广泛应用于统计学、风险管理、金融学、物理学等领域。
它提供了一种计算和分析不确定性的工具，帮助我们做出决策、预测事件的发生概率，并评估风险。
总结起来，概率的公理化是概率论的基础，它建立了一套数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n
P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
概率公理化的定义
概率公理化的定义概率公理化是概率论的基本公理系统，用于定义和推导概率的性质和规则。
它由三个基本公理组成，分别是非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。
首先，非负性公理指出概率是一个非负的实数，即概率值始终大于或等于零。
这是因为概率是表示事件发生的可能性的度量，而任何事件的发生概率都不应该是负数。
因此，对于任何事件A，其概率P(A)满足P(A)≥0。
其次，规范性公理指出概率的最大值是1，即整个样本空间的概率是1。
样本空间是所有可能事件的集合，而其中的某一个事件一定会发生。
因此，整个样本空间的概率等于1。
即对于整个样本空间S，有P(S) = 1。
最后，可列可加性公理是概率公理化的核心内容，它指出对于任意可列个互不相容的事件Ai（i=1，2，3，...），其概率P(Ai)的和等于它们各自概率的和。
这表示当我们考虑多个事件同时发生的情况时，可以将它们的概率逐个相加来求得总概率。
即对于事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) =P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
这三个基本公理共同构成了概率公理化的定义，通过这些公理我们可以进行概率的形式化描述和推导。
同时，这些公理也满足概率的一些基本性质和规则，如辅助定理、概率的有限可加性、概率的递减性等。
其中，辅助定理是基于这三个公理得到的，它指出对于事件A 和事件B，当A包含于B时，A的概率一定小于等于B的概率。
即当A⊆B时，有P(A)≤P(B)。
概率的有限可加性指出对于任意有限个互不相容的事件A1，A2，A3，...，它们的概率P(A1∪A2∪A3∪...)等于它们各自概率的和。
即对于有限个事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
概率的递减性指出对于事件A和事件B，当A包含于B时，B的概率一定大于等于A的概率。
即当A⊆B时，有P(B)≥P(A)。
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
26/29
常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
24/29
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
11/29
对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
概率论--公理化定义及其性质
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．
解 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
概率的性质
P() 0
证明
由公理 3 知
P() P() P() P()
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它， 求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
1.4概率的公理化定义及概率的性质
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
概率的基本性质
描述事件发生的可能性大小的量度，记作 P(E)，其中E为事件。
必然事件
不可能事件
指在一定条件下，一定发生的事件。其概 率为1。
指在一定条件下，一定不发生的事件。其 概率为0。
概率的公理化定义
公理化定义
基于公理体系的定义方式，通 过公理化方法，将概率定义为 一种满足特定性质的数学对象
。
可数性公理
所有的可能结果都是可数的， 即可以列出所有可能的结果。
04
CATALOGUE
概率的乘法规则
独立事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B相互独立，那么 P(A∩B) = P(A)P(B)。
解释
如果事件A和B是独立的，那么事件A 的发生与否不会影响事件B的发生，反 之亦然。因此，两个独立事件的概率 乘积等于它们各自的概率。
互斥事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B互斥，那么P(A∩B) = 0 。
02
CATALOGUE
概率的基本性质
非负性
总结词
所有概率值都是非负的。
详细描述
根据概率的定义，任何事件的概率值都是非负的，即大于等于零。这是因为概 率被定义为事件发生的次数除以所有可能事件的次数，因此其值不可能为负数 。
规范性
总结词
所有事件的概率总和为1。
详细描述
在一个有限概率空间中，所有事件的概率总和等于1。这是概率的规范性性质，它确保了所有可能的后果被完全 考虑在内，并且每个后果的概率都被正确地分配。
方差的性质
方差的大小取决于随机变量的取值范围和分布形状 ，方差越小，随机变量的取值越集中，分布越稳定 。
方差的计算公式
方差是每个样本点与均值的差的平方的平均 值。
概率论公式大全
F(x) =
1 − e−λx , 0,
记住几个积分：
+∞
∫ xe−xdx = 1,
0
+∞
∫ x n−1e−x dx = (n − 1)!
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) > 0 ，则有
P(B | A) = P( AB) = P( A)P(B) = P(B)
P( A)
P( A)
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、
A 与 B 也都相互独立。（证明） 由定义，我们可知必然事件 Ω 和不可能事件 Ø 与任
何事件都相互独立。（证明） 同时，Ø 与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
1
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
考研数学知识点-概率统计
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
称为随机变量 X 的分布函数。
（1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（3）条件概率和乘法公式
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 P( A)
∞ i =1
Ai ⎟⎟⎠⎞
=
∞ i =1
P( Ai)
常称为可列（完全）可加性。
01.3概率的公理化定义及概率的性质
P
i1
Ai
i 1
P( Ai
)
其中 A1, A2 , 为任意互不相容事件。
概率函数（或者称为规范测度函数）是定 义在事件域上的非负、 规范、可列可加的集 合函数。
A F,称P(A)为事件A的概率。
概率空间：
设E为随机试验， S--样本空间 ，
F—事件域，
P—概率，
称三元总体（S , F , ）为概率空间.
概率空间举例。
概率的性质 P() 0
证：S S ，
P(S) P(S) P() P()
故 P() 0；
有限可加性: 设 A1, A2, An为两两互斥事件，
P n
i1
Ai
n i1
P( Ai )
证明： 取 An1 An2 ,
i
则称F为事件域。
事件域举例。
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 戈洛夫(A.H.Колмогоров)于1933年所建立.
定义 设P是定义在事件域F上的实值函 数，称P为概率函数，如果满足：
非负性：A F,0 P(A) 1 规范性： P(S) 1
可列可加性：
2题答案1 (5)4 , 1 (35)24 。
6
36
3题答案1
A162 126
。
例4：一批产品共50件，其中5件是次品，另外45件是正品。 从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。
解： 法1： 设Ai 第i次取到次品，i 1,2,3. B 取出的3件中有次品 则B A1 A2 A3
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因而
P(B A)
P(B)
P( AB)
1 2
1 8
3. 8
A AB B S
三、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例1 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列 32
三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
(2) 若A1, A2, , An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
所以 1 P(S) P( A A)
P( A) P( A).
P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
第一章第四节 概率的公理化结构
概率的定义与性质
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅速的发展.
1. 概率的定义
设 E 是随机试验, S 是它的样本空间.对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数,记为 P( A) ,称为事 件 A 的概率,如果集合函数P()满足下列条件: (1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S,有 P(S) 1; (3)可列可加性: 设 A1, A2 , 是两两互不相容的 事件,即对于 i j, Ai Aj , i, j 1, 2, ,则有
A AB B
故 P( A B) P( A) P(B AB).
又由性质 3 得
P(B AB) P(B) P( AB),
因此得 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
加法公式推广 三个事件和的情况
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 )
B A
得 P(B) P( A) P(B A).
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
概率的可列可加性
概率的性质
（1） P() 0
证明 U U U UL
由公理 3 知
P() P() P() P() L
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
(2)由图示得
2
A
BS
P(B A) P(B) P( A) 1 1 1. 23 6
BA
S
(3)由图示得 A B A AB, 且 A B A , 又 P( A B ) P(A) P(B) P( AB ),
P( A AB) P( A) P(B A),
P( A1) P( A2 ) P( An ).
P(AU B) P(A) P(B) A I B
差事件的概率 (3) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A). 证明 因为 A B,
所以 B A (B A). 又 (B A) A ,
概率的有限可加性
证明 令 An1 An2 ,
Ai Aj , i j, i, j 1,2, .
由概率的可列可加性得
n
P( A1 A2 An ) P( Ak ) P( Ak ) P( Ak ) 0
k 1
k 1
k 1