1穷举法
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
2013教科版选修1《穷举法》ppt
穷举法
五、穷举算法 的深入应用 优化策略一：算法中的时间和空间往往是矛盾的，
时间复杂性和空间复杂性在一定条件下也是可以 相互转化的 , 有时候为了提高程序运行的速度 , 在 算法的空间要求不苛刻的前提下 ,设计算法时可考 虑充分利用有限的剩余空间来存储程序中反复要 计算的数据 , 这就是“用空间换时间”策略 , 是优 化程序的一种常用方法。
穷举法
五、穷举算法 的深入应用 实例五：邮票面值。
问题描述：邮局发行一套票面有四种不同值的邮票， 如果每封信所贴邮票张数不超过三枚，存在整数Ｒ， 使得用不超过三枚的邮票，可以贴出连续的整数１、 ２、３，…，Ｒ来，找出这四种面值数，使得Ｒ值 最大。
穷举法
五、穷举算法 的深入应用 分析：
本题知道每封信邮票数的范围（<=3 ）,邮票有四 种类型，编程找出能使面值最大邮票。其算法是： (1) 面值不同的四种邮票，每封信所贴邮票不超过 3 张。 (2) 用这四种邮票贴出连序的整数，并且使Ｒ值最大。 (3) 用穷举法，找出所有符合条件的解。 (4) 本题用集合的方法统计邮票面值，提高判重的速度。 设四种邮票的面值分别为： A , B , C , D ，根据题意 设： A < B < C < D，因此 A=1 ，用循环语句完成搜索。
四、穷举法 应用
穷举法
四、穷举法 应用 x[c]:=true;
end; x[b]:=true; end; x[a]:=true; end;
end. 运行结果： a=5 b=2 c=1 d=3 e=4
穷举法
五、穷举算法 实例四：阿姆斯特朗数。 的深入应用
问题描述：编一个程序找出所有的三位数到七位 数中的阿姆斯特朗数。 阿姆斯特朗数也叫水仙 花数 , 它的定义如下 : 若一个 n 位自然数的各位数 字的n次方之和等于它本身 ,则称这个自然数为阿 姆斯特朗数。例如 153(153=1*1*1+3*3*3+5*5*5) 是一个三位数的阿姆斯特朗数 ,8208 则是一个四 位数的阿姆斯特朗数。
1穷举法
竞赛辅导1------穷举法一、穷举法基本思想：是根据提出的问题穷举所有可能的状态，并用问题给定的条件寻找问题的解。
适用穷举的的问题需要满足下面两个条件：1) 可预先确定状态（搜索元/变量）的元素个数2）状态元素的可能值为一个连续的值域穷举算法的模式：1）搜寻问题解的可能范围：用循环或循环嵌套结构实现2）确定约束条件：3）程序的优化，以减少搜索范围和程序运行时间穷举算法的优点：1）由于穷举算法一般是现实生活问题的直译，因此比较直观，易于理解2）由于穷举算法建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上，所以算法正确性比较容易证明。
穷举算法的缺点：由于穷举的数据量过大，效率较低。
二、实例解析：穷举算法的一般设计过程先对问题进行直译，然后优化。
（一）、问题的“直译”：将自然语言描述的过程直接“翻译”成程序语言的实现过程（算法），找到搜索元，找到搜索元的数据范围和问题的约束条件。
例1、百鸡百钱问题：公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡3只2文钱。
要求一百文钱买一百只鸡，编程计算各种鸡的具体数量。
分析：设三种鸡的数量为x,y,z ，则原问题可转化为在1=<x<100,1=<y<100,1=<z<100,范围内搜寻满足约束条件5*x + 3*y+z/3=100的x,y,z的值。
则，原问题可直接转化成的穷举算法如下：for x---1 to 100 dofor y---1 to 100 dobeginz=100-x-y;if 5*x + 3*y+z/3=100 then 输出x,y,z;end;{for}能直译的问题的一半的特点是：1）输出变量的个数确定，数据在可选范围内连续或者满足一定的递增（递减）关系2）约束条件直观，可以用解析式表达或者近似表达3）直译穷举算法时间复杂度为一个多项式。
4）数据范围较大时不适宜采用直译方法，时间耗费较大。
练习：1、求完全数：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2-1000内的所有完全数。
乘船问题的解题方法
乘船问题的解题方法乘船问题的解题引言乘船问题作为一个经典的数学问题，涉及到人数、时间、船只容量等多个因素。
本文将介绍几种解决乘船问题的方法，帮助读者更好地理解和解决这一问题。
方法一：穷举法1.将乘船问题转化为数学表达式。
2.假设有n个人，船的容量为c。
3.使用两个循环嵌套，外循环表示不同的人数分配，内循环表示不同的人数组合。
4.在每个组合中判断乘船的总重量是否超过船的容量，如果没有超过则满足条件，输出结果。
方法二：贪心算法1.首先对乘船问题的数据进行预处理，将乘客按体重大小排序。
2.然后从体重最大的人开始，依次将其安排上船。
3.每次选择能够安排最多人数的组合，直到所有人都上船。
4.贪心算法的优势在于简单高效，但可能得不到最优解。
方法三：回溯法1.使用递归的方式解决乘船问题。
2.从第一个人开始，将其分配到船上并递归地处理下一个人。
3.如果当前组合可以满足要求，则进入下一层递归，否则回溯到上一层。
4.通过不断回溯，直到找到满足条件的组合或者遍历完所有可能的组合。
方法四：动态规划1.定义状态转移方程：–dp[i][j]表示前i个人中选择j个人进行分配时的最优解。
–dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] +weight[i])，其中weight[i]表示第i个人的体重。
2.使用二维数组dp存储每个子问题的最优解。
3.通过动态规划的方式计算出dp数组中的最优解。
4.根据dp数组的最后一行，逆向推导出最优的选择路径。
结论通过穷举法、贪心算法、回溯法和动态规划这几种方法，可以解决乘船问题。
不同的方法有各自的优势和适用场景，读者可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
在实际应用中，也可以结合多种方法进行求解，以获得更好的效果。
方法五：遗传算法1.遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，可以用来解决乘船问题。
2.首先，将乘客的体重作为染色体的基因，构建初始种群。
3.然后，通过选择、交叉和变异等操作，不断演化种群，使适应度函数的值越来越接近最优解。
孙子算经中鸡兔同笼的解题方法(一)
孙子算经中鸡兔同笼的解题方法(一)孙子算经中鸡兔同笼的解题方法引言孙子算经是中国古代流传下来的一本数学经典著作，其中有一道著名的问题就是鸡兔同笼问题。
这个问题通过解题可以锻炼我们的逻辑思维能力和数学计算能力。
本文将介绍几种解题方法，帮助读者更好地理解和掌握这个问题。
方法一：穷举法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以列出一个方程：x + y = n（n为总的数量）。
3.根据鸡和兔的腿的数量，可以列出另一个方程：2x + 4y = m（m为总的腿的数量）。
4.将第一个方程转化为x = n - y，并代入第二个方程，得到一个关于y的方程。
5.解方程得到y的值，再代入第一个方程求得x的值。
6.验证x和y是否满足题目的条件，如果满足，则得到一个解。
方法二：二元一次方程解法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以列出一个方程：x + y = n（n为总的数量）。
3.根据鸡和兔的腿的数量，可以列出另一个方程：2x + 4y = m（m为总的腿的数量）。
4.将第一个方程转化为x = n - y，并代入第二个方程，得到一个关于y的方程。
5.将关于y的方程变形为2(n - y) + 4y = m，化简得到一个关于y的一元一次方程。
6.解方程得到y的值，再代入第一个方程求得x的值。
7.验证x和y是否满足题目的条件，如果满足，则得到一个解。
方法三：双层循环遍历解法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以设定一个范围限制：0 <= x <= n，0 <= y <= n。
3.使用两层循环遍历鸡和兔的数量，外层循环遍历x（鸡的数量），内层循环遍历y（兔的数量）。
4.在每一次循环中，判断鸡和兔的腿的数量是否满足题目的条件。
5.如果满足条件，则得到一个解。
方法四：二进制枚举法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以将x和y转化为二进制数，每一位代表该位置是否有鸡或兔。
计算机常用算法
练习： 假设有一堆小石子，二人轮流去取，谁拿走最后一颗石子便输。 先让甲规定石子总数N以及每次最多取多少颗数k（n>=2*k+1）， 甲每次取a颗, （N,k,a均为随机数），乙怎样取赢的可能性最大？ 设甲为计算机产生的随机数，乙为由你编的计算机程序。
贪心法是从问题的某一个初始解出发,向给定的目标推进.
数学函数式递归 例1、阶乘n!=1*2*3*…（n-1）*n
[算法分析]：要求n!,只需求出(n-1)!,因为n!=n*(n-1)!,要求出(n-1)!, 只需求出(n-2)!,因为(n-1)!=(n-1)*(n-2)!,所以可得到阶乘的递归定 义式：
n!=
{
n*(n-1)!,n>0; 1, n=0。
模拟法: 就是模拟某个过程,通过改变数学的各种参数,进而观察变更这 些参数所引起过程状态的变化.一般题目给定或者隐含某一概率.设 计者利用随机函数和取整函数设定某一范围的随机值,将符合概率 的随机值作为参数.然后根据这一模拟的数学模型展开算法. 模拟策略的关键: 是如何按照概率的要求确定随机值的范围.这个随机值设计得好, 模拟效果就好.
找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1 找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1美元 33美分的糖 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分 25美分 美分、 美分、 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分、5美分、及1 美分的硬币。 求解所用方法即为贪心算法） 美分的硬币。(求解所用方法即为贪心算法）
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பைடு நூலகம்
本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑问题给出的条件， 共有9！=362880种方案，在这些方案中符合条件的即为解。因 此可以用枚举法。
中国 穷举法 材料
中国穷举法材料
【原创版】
目录
1.穷举法的定义和应用范围
2.穷举法在中国的发展历程
3.穷举法在中国的重要应用案例
4.穷举法在中国的未来发展前景
正文
一、穷举法的定义和应用范围
穷举法，是一种通过逐一尝试所有可能的方法来解决问题的策略。
它广泛应用于计算机科学、数学、物理等多个领域，尤其在复杂问题的求解中，具有重要的实用价值。
二、穷举法在中国的发展历程
穷举法在中国的发展历程可以追溯到古代数学家们对数学问题的求解。
例如，中国古代数学家张丘建在《算经》中提到的“百鸡问题”，就是通过穷举法来求解的。
随着科学技术的发展，穷举法在中国的应用范围逐渐扩大，涉及到了各个领域。
三、穷举法在中国的重要应用案例
在中国，穷举法在许多领域都有重要的应用。
例如，在计算机科学领域，通过穷举法可以找到解决复杂问题的最优解。
在密码学领域，穷举法也是破解密码的重要手段。
此外，在物理、化学等自然科学领域，穷举法也被广泛应用。
四、穷举法在中国的未来发展前景
随着科技的不断发展，穷举法在中国的应用前景将更加广阔。
未来，
在人工智能、大数据等领域，穷举法将发挥更大的作用。
同时，随着计算机性能的提升，穷举法在复杂问题求解中的效率也将大大提高。
综上所述，穷举法在中国的发展历程悠久，应用范围广泛，未来发展前景良好。
用穷举法求解的基本过程
用穷举法求解的基本过程穷举法又称试探法，是求解复杂问题常用的一种算法。
它被用来求解实际生活中各种数学、物理、化学、经济和社会等问题，它具有良好的实用价值。
穷举法是求解复杂问题的一种有效方法。
一、基本步骤（1）明确问题。
明晰问题，确定问题的求解内容，定义解空间。
（2）构建搜索树。
将解空间的每一个可能情况看作一个结点，绘制搜索树，综合运算问题的知识，将搜索空间分拆成若干小搜索空间，由此得出结点关系。
（3）生成搜索策略。
根据问题特点及给定的条件来确定搜索策略，选择最有效的搜索方式进行搜索，此步骤将决定整个穷举法求解问题的有效性。
（4）开始搜索。
依据构建的搜索树和确定的搜索策略开始搜索，首先检测第一个结点，根据条件检测的结果如果不满足就进行下一个结点的检测，直至找到最终的结果，搜索停止。
（5）结果验证。
检查搜索结果，验证是否符合原问题的要求，确保问题得到正确的求解结果。
二、优缺点（1）算法在求解复杂问题上有良好的实用价值，能够较好地把问题分解为若干小问题。
（2）搜索空间确定时，受限于其解空间的大小，穷举法在处理解空间较大的问题时存在搜索时间长的问题。
（3）穷举法在求解给定问题时，必须要进行大量的计算，计算量较大，影响了算法的效率。
（4）穷举法也缺乏一定的针对性，如果解空间较大，则需要花费更多的时间来完成。
穷举法是求解复杂问题的一种有效的方法，它具有良好的实用价值，综合运用数学、物理、化学、经济和社会等问题，可以有效地搜索出最优解。
但是，该算法也存在搜索时间过长、计算量大、缺乏针对性等弊病，该如何改进才能更好地提高求解复杂问题的效率，因此，对穷举法还有很大的改进空间，需要不断探索新的方法去改进穷举法，从而使它更好地服务于实践生活。
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常用算法—穷举法
重点：1、穷举法的基本思想
2、利用穷举法设计程序的基本步骤和方法
3、穷举技巧（方案的确立和变量的安排等）
难点：1、确定穷举方案和安排变量
2、穷举范围的确定
3、写出符合条件的判断语句
一、导入
老师有一个E-mail邮箱的密码是一个5位数。
但因为有一段比较长的日子没有打开这个邮箱了，老师已记不全这个密码，只记得密码为67□□8，其中百位和十位的数字记不清了，但知道该数能够被78整除，也能被67整除。
同学们能不能设计一个算法帮老师找出这个密码。
二、基本思路
穷举法的思路是，列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求的条件，从而得到问题的解答。
用于解决“是否存在”和“有多少可能性”等类型问题。
穷举法一般用循环或循环嵌套结构实现，要注意循环的起点和终点，对可能的情况不能遗漏，一般也不应重复。
三、实例分析
老师有一个E-mail邮箱的密码是一个5位数。
但因为有一段比较长的日子没有打开这个邮箱了，老师已记不全这个密码，只记得密码为67□□8，其中百位和十位的数字记不清了，但知道该数能够被78整除，也能被67整除。
同学们能不能设计一个算法帮老师找出这个密码。
（1）分析问题：
本问题的数学模型是：
求出一个5位数67□□8，能同时被78和67整除。
那么，如何确定求解的算法呢？因为计算机最大的特长还是它的搜索能力，所以，这个问题适合用穷举法进行搜索。
但是即使确定了使用穷举法，我们还是面临着很多的选择。
（2）设计算法
因为这个密码有2位数字是未知的，把这2位数字的所有可能性演变一次（0—9），就可以把可能的情况穷举完。
再把各位数字合成一个5位数，判断是否同时被78和67整除就可以了。
分别用a1、a2表示这2位求知数字，在它们各自的范围中变化，然后组成5位数d，判断d能否同时被78和67整除即可得到结果。
（3）编写程序如下：
Private Sub Command8_Click()
Dim d As Long
Dim a1， a2 As Integer
For a1 = 0 To 9
For a2 = 0 To 9
d = 67000 + a1 * 100 + a2 * 10 + 8
If (d Mod 78 = 0) And (d Mod 67 = 0) Then Print d
Next a2
Next a1
End Sub
（4）调试程序
程序运行后单击窗体可得结果：67938
复核知这个结果是符合题意了。
四、练习：
有一张单据上有一个5位数的号码，只有号码中间一位（百位数）能看清数字为1，还知道该数能够被81和91整除。
设计一个程序求出该号码。
五、小结：
1、穷举法的基本思路是把问题涉及的可能情况一一罗列出来，并且根据题目的条件和实际背景逐个作出判断，从中挑选出符合条件的解答。
2、使用穷举法时，要恰当地设计变量，并且决定用哪些变量作为搜索的主线，以便穷举出所有可能情况。
3、穷举一般使用循环结构，要注意循环的起点和终点，对可能的情况不能遗漏，一般也不应重复。
4、编制程序时，还应当根据题目要求准确地写出是否符合条件的判断语句。
5、对于许多问题，解决问题的算法往往不只一种，这时我们就得注意加以选择，找一种更好的算法。