第8讲 二元一次方程组的含参问题
掌握带有参数的二元一次方程组的解法
掌握带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组是指方程组中含有参数的二元一次方程。
解决这类方程组的关键在于求出参数的取值范围，并找到满足方程组的解。
下面将详细介绍带有参数的二元一次方程组的解法。
一、带有参数的二元一次方程组的表示形式带有参数的二元一次方程组一般可以表示为：方程组1：$a_1x + b_1y = c_1$$a_2x + b_2y = c_2$其中，$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$为已知系数，$x, y$为未知数。
二、参数的取值范围为了求解方程组，首先需要确定参数的取值范围。
通常可以通过观察方程来判断参数取值的范围。
例如，如果方程组中含有分母，并要求分母不等于零，那么就需要确定参数不能为使分母为零的值。
三、带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组的解法可以分为以下几种情况：情况一：参数取某个特定值当参数取某个特定值时，方程组就变成了具有确定解的普通二元一次方程组。
根据二元一次方程的解法，解出该方程组，得到解的具体数值。
情况二：参数存在范围当参数存在范围时，需要根据参数的取值范围进行分类讨论。
具体步骤如下：1. 将方程组化简为标准形式，即求出每个方程的标准形式表达式；2. 根据参数的取值范围，将方程组分为不同的情况；3. 分别针对每种情况，解决方程组，并得到解的范围或具体解。
情况三：参数无限制当参数没有明确的取值范围时，需要利用一些性质和技巧，通过代数运算推导出解的性质。
常用的技巧包括代入法、消元法、矩阵法等。
根据具体问题和方程组的特点，选择合适的方法求解。
总之，掌握带有参数的二元一次方程组的解法，首先要明确参数的取值范围，然后根据具体情况选择合适的解法进行求解。
通过逐步分析和计算，可以得出解的范围或具体解。
在实际问题中，带有参数的二元一次方程组的解法能够帮助我们解决更为复杂的数学和实际应用问题。
第8讲二元一次方程组的含参问题ppt课件
y=5① by=2②
，由于甲看错了①中
a，得到方程组的解为
x=
y=5
6
，乙看
错了方程组②中的
b，得到方程组的解为
x=4
y=3
，若按照正确的
a，b
计算，请求出方程组的
解．
【答案】解：把
x= y=5
6
代入
3x＋by＝2
中得：b＝4，
把
x=4
y=3
代入
ax－y＝5
中得：a＝2，
原方程组为
2x 3x
．
【变 1】对 x，y 定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx＋ny(其中 m，n 均为非零常数)，若
1※1＝4，1※2＝3，则 2※1 的值是( )
A．3
B．5
C．9
D．11
【答案】C
【变 2】规定“△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果
对任意实数 a，b 都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组， 并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参 数的值．
【例
2】已知方程组
3x mx
y=8 y=n
和
x 2
ny=m x y=7
有相同的解，则
m＝_________，n＝_________．
y=5
的解
x
和
y
相等，则
a
的值为(
A．1
B．2
C．3
【答案】C
) D．4
【变
6】已知方程组
聚焦二元一次方程组中参数问题的求解
1 ，是方程2x－my=3的一个解，
1
求m的值.
二元一次方程(组)中的 概念
一般是指在二元一次方程（组）中， 除了x与y之外，其它用字母表示的数.
例1、已知
x
y
1 ，是方程2x－my=3的一个解，
1
求m的值.
【解析】我们知道求参数m的值，只需列关于m 的方程. 根据二元一次方程的解的概念，把解代入方程， 即可以列关于参数的方程.
变式3、已知关于x，y的方程组
2x x 2
y y
m 5m
的解满足
x＋y=6，则m的值.
消元思想（代入法、加减法）
利用
2x x 2
y y
m 5m
，消去m可得：3x＋y=0.
变式3、已知关于x，y的方程组2xx2
y y
m 5m
的解满足
x＋y=6，则m的值.
整体思想
两式相加可得：3x＋3y=6m，即：x＋y=2m
2、已知方程组
的值为
.
2x 3y 3x 5y
n n
2
的解满足x－y=12，则n
3、已知方程组 求a的值.
3x ax
7 y 10 (a 1) y
5的解中的x与y的值相等，
小结
谈谈今天本节课自己的收获？
1、把有关参数问题转化为解关于此参数的一元一次 方程问题； 2、整体思想是处理二元一次方程组中的参数问题的 最快捷途径.
，
可列关于参数m的方程：2m=6.
二元一次方程(组)中参数问题的求解
有关二元一次方程(组)中参数问题
转化
解关于此参数的方程问题
如何列参数的方程？
1、解代方程；
2、整体思想。
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题类型一：方程组的同解问题【例1】已知关于x ，y 的方程组{4x −y =53x +y =9和{ax +by =−13x +4by =18有相同的解． (1)求出它们的相同的解；(2)求(2a ＋3b)2019的值．【练习】 若关于x ，y 的方程组{3x +4y =2ax +b 2y =5与{a 3x +by =42x −y =5有相同的解，求a ，b 的值．类型二：方程组的错解问题【例2】在解方程组{ax +4y =213x −by =6时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a ，而得到解为{x =4y =3.乙同学看错了方程组中的b ，而得到解为{x =1y =4. (1)求正确的a ，b 的值；(2)求原方程组的解．【练习】甲、乙两人同时解关于x ，y 的方程组{ax +by =8cx −3y =−2，甲正确解得{x =1y =2，乙因为抄错c 的值，解得{x =2y =−6 ，求a ，b ，c 的值．类型三：方程组的解【例3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ②的解满足x +y =0,则k 的值为（ ） A.-1 B.1 C.0 D.不能确定【变式1】若方程组{x +2y =k −1 ①2x +y =5k +4②的解满足x +y =5,则k 的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.不能确定【变式2】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ②的解满足x >0,y >0,求k 的范围。
【变式3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ②的解满足x +y =k ,求k 的范围。
【例4】k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无数个解变式1、当a 为何值时，关于x 、y 的方程组 有唯一解？变式2、当m 为何值时，关于x 、y 的方程组 有无数个解？类型四：方程的整数解【例5】求二元一次方程3x +2y =12的非负整数解。
七年级数学 第八章 二元一次方程组 培优专题 二元一次方程组的同解、错解、参数问题
并解方程组；(2)根据方程组的特点，得到关于字母系数的方程；(3)解方程求得 字母系数.
归类探究
类型之一 方程组的同解问题
[2018春·巴州区期末]已知方程组
4x－3y＝19， ax－by＝－6
和
bx－ay＝－6， 5x＋3y＝－10
2019年春人教版数学七年级下册课件
第八章 二元一次方程组 培优专题 二元一次方程组的同解、错解、参数问题
第八章 二元一次方程组
培优专题
二元一次方程组的同解、错解、参数问题
方法管理
归类探究
方法管理
1．关于方程组同解问题的字母系数的求法：当两个二元一次方程组同解
时，可利用两个已知的二元一次方程(不含字母系数的方程)组成方程组，并求出 方程组的解，然后利用这个解得到关于字母系数的方程组，进而求出字母系数．
x＝5， 将y＝4 代入方程组中的ax＋5y＝15得5a＋20＝15，解得a＝－1， 则a2 020＋(－b)2 019＝1－1＝0.
3x＋4y＝2， ax＋b2y＝5
与
3ax＋by＝4， 2x－y＝5
有相同的解，求
a，b的值．
3x＋4y＝2，① 解：联立得2x－y＝5，② ①＋②×4得11x＝22，即x＝2. 将x＝2代入②得4－y＝5，即y＝－1，
x＝2， ∴方程组的解为y＝－1，
将xy＝＝2－，1代入含a，b的方程得223aa－－b2b＝＝54，， 解得ab＝＝95－，154.
类型之二 方程组的错解问题
[2018春·绍兴期末]已知方程组
ax＋by＝3， 5x－cy＝1，
甲正确地解得
x＝2， y＝3，
二元一次方程组中含参数问题
明看错了方程②中的 c，得到的解为 xy＝＝1－. 3，试求 a，b，c 的值．
题型3.错解问题
练习
1.已知方程组 4axx
5y by
15 2
①
② ，由于甲看错了方程①中的 a
得到方程的解为
x
y
13 1
，乙看错了方程②中的
b
得到方程组的
解为
x
y
5 4
，求
a＋b
的值是多少？
题型3.错解问题
题型4 设参数法求比值
例 4．已知 x，y 的值满足等式x＋1＝y＋3＝x＋y， 245
求式子3x＋2y＋1的值． x＋2y＋3
题型4 设参数法求比值
练习 1．已知 x∶y＝2∶3，且2x－y－5＝x－y， 2 63
求 x，y 的值．
题型4 设参数法求比值小结
一般地，含有连等形式或者比例关系的方程，通常可 以设比例系数为一个参数k,再讲其他未知数都用k表示 求解。
二元一次方程组中含参数问题
题型1 方程组的解满足某一条件问题
例 1：关于 x 与 y 的二元一次方程组
x x
y y
5k 9k
的解也是二元
一次方程 2x 3y 6 的解，则 k =______
题型1 方程组的解满足某一条件问题
x 2y 3m
练习 1.关于 x、y 的方程组 x y 9m 的解是方程 3x+2y=34 的一组解，求 m 的值.
的哪些值，方程组
y
(2k
1) x
4
至少有
一组解？
题型6 方程组解的个数问题
关于
x，y
的方程组
aa12xx
b1 y b2 y
数学人教版七年级下册妙解二元一次方程组含参问题
教学总结
二元一次方程组的含参问题的解题策略关键是消元。
消元体现了数学“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想。这种思想在学习多元方程组、多元函数的最值问题上也广泛使用
教学方法
本微课设计5道含参题目，由浅到深，有易到难，层层递进，引发学生的兴趣和思考。在教学过程中引导学生进行观察、分析、对比、总结，让学生真正理解消元的思想。
教学过程
1.问题研究
二元一次方程组在历年中考中占据着重要的地位。然而在教学中发现当涉及复杂的含参问题时，学生往往束手无策。
本微课旨在解决二元一次方程组的含参问题，领悟方程组“消元”的化归思想。
2.知识必备
（1）二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做这个二元一次方程的解.
（2）二元一次解.
3.典题例析
例1、已知x、y二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值
变式1.已知方程组 的解满足x－y＝1，求a的值
设计意图：设计一个含参的题目，解决这类问题之后，进一步提问两个含参的题目如解决。
例2、已知x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＝12，求m的值.
变式2.若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，求k的值.
设计意图：设计两个含参问题，先进行消参，再类比例1思想进行解题。
变式3.已知关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程3x+y+5m=9的解，求m的值.
妙解二元一次方程组含参问题
教学背景
本微课选自人教版数学七年级下册第八章二元一次方程组的一段。本微课建立在学生已经掌握了应用代入消元、加减消元解二元一次方程组的解。然而在教学过程中发现当二元一次方程组涉及比较复杂的含参问题时，基础中下等的学生往往束手无策。这是因为这些学生在学习二元一次方程组的解法时，没有明白消元思想的本质，而是机械的模仿，因此对于方程组变式的题目无从下手。
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题是指在一个方程组中，存在一个或多个参数，这些参数的值未知，需要通过方程组求解来确定参数的值。
二元一次方程组是由两个未知数和两个一次方程组成的方程组。
解决这类问题的方法是通过将方程组中的参数代入方程，然后求解未知数的值。
例如，考虑以下二元一次方程组含参问题：
(1) 2x + 3y = a
(2) 5x - 4y = b
在这个问题中，参数a和b的值未知。
我们的目标是找到x和y的值，以确定参数a和b的具体数值。
为了解决这个问题，我们可以使用消元法或代入法。
消元法是通过将方程组中的一个方程乘以适当的系数，使得方程中的一个未知数的系数相等，然后将两个方程相减来消去一个未知数。
代入法是将一个方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，然后求解这个未知数。
一旦我们求解出x和y的值，我们可以将这些值代入原始的方程组中，
得到参数a和b的具体数值。
总之，二元一次方程组含参问题是指在方程组中存在一个或多个参数的情况下，通过求解方程组来确定参数的值。
消元法和代入法是解决这类问题常用的方法。
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是方程组
ax bx
by ay
=5 =2
的解，则
a＋b＝(
)
A．4
B．3.5
C．2
【答案】D
D．1
解读二 二元一次方程组的同解问题
当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组， 并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参 数的值．
【变
7】已知方程组
ax 3x
y=5① by=2②
，由于甲看错了①中
a，得到方程组的解为
x=
y=5
6
，乙看
错了方程组②中的
b，得到方程组的解为
x=4
y=3
，若按照正确的
a，b
计算，请求出方程组的
解．
【答案】解：把
x= y=5
6
代入
3x＋by＝2
中得：b＝4，
3y=7 (a 1)
y=5
的解
x
和
y
相等，则
a
的值为(
A．1
B．2
C．3
【答案】C
) D．4
【变
6】已知方程组
27 x 63x
63 27
y=59 y= 13
的解满足
x－y＝m－1，则
m
的值为(
)
A．－1
B．－2
C．1
D．2
【答案】A
解读四 二元一次方程组的错解问题
在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得 的是错解，但是可以利用其中正确的部分，将其综合起来进而求出正确的解．
第八讲
七年级寒假人教版课件
二元一次方程组的含参问题
数学教研组 编写
解读一 二元一次方程组的定解问题
当含有字母参数的方程组的解已经给出时，可先把解直接带入原方程组，构造出关于字 母的方程，进而求得其值．
【例
1】若
x=2 y=1
是方程
ax by=2 2ax 3by=4
的解，则
a，b
的值
分别是多少？
【答案】a＝1，b＝－2
【变 3】若 x＋4y＝－15 和 3x－5y＝6 有相同的解，则相同的解是(
A．
x= y=
3 3
B．
x=3 y=
3
C．
x=3 y=3
【答案】A
)
D．
x=-3 y=3
【变
4】如果方程组
x=4 by
a＝________；b＝________．
【答案】1，0
【变
1】若
x=2 y=1
是方程组
ax 3y=1 x by=5
的解，则
x=a
y=b
是下列方程(
A．5x＋2y＝－4
B．2x－y＝1
C．3x＋2y＝5
)的解 D．x＋y＝1
【答案】B
【变
2】若
x=4 y=3
【例
2】已知方程组
3x mx
y=8 y=n
和
x 2
ny=m x y=7
有相同的解，则
m＝_________，n＝_________．
【答案】1，2
【例
3】已知关于
x，y
的方程组
x 2ax
y=5 5by=
22
与
2x ax
y=1 by
8=0
有相同的解，则
把
x=4
y=3
代入
ax－y＝5
中得：a＝2，
原方程组为
2x 3x
y=5 4y=2Fra bibliotek，解得：
x=2
y=
1
．
探究 二元一次方程组的新定义题型
【例 1】对于有理数 x，y 定义新运算：x*y＝ax＋by＋5，其中 a，b 为常数．已知 1*2＝9， (－3)*3＝2，求 a，b 的值．
ax=5
的解与方程组
y=4 bx
ay
=2
的解相同，求
a＋b
的值．
【答案】1
解读三 二元一次方程组的解满足特定关系式问题
方程组的解满足一定的等式的字母求值问题，常常应把方程组中的字母当作已知数，用 含有它的式子表示方程组的解，再根据满足的等式，构造出关于字母的方程．
【例
4】若满足方程组
【变 2】规定“△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果
对任意实数 a，b 都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
A．(0，1)
B．(1，0)
C．(－1，0)
D．(0，－1)
【答案】B
【例
6】已知关于
x，y
的方程组
ax 2 y=1
x
by=2
，甲看错
a
得到的解为
x =1
y
=
2
，乙看错了
b
得
到的解为
x =1
y=1
，他们分别把
a，b
错看成的值为(
)
A．a＝5，b＝－1
B．a＝5，b＝ 1 2
C．a＝－1，b＝ 1 2
D．a＝－1，b＝－1
【答案】A
【答案】解：由题意得：
a 2b 5=9 3a 3b 5=2
，解得：
a=2 b=1
．
【变 1】对 x，y 定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx＋ny(其中 m，n 均为非零常数)，若
1※1＝4，1※2＝3，则 2※1 的值是( )
A．3
B．5
C．9
D．11
【答案】C
3x 2x
y=m 3 y=2m 1
的
x
与
y
互为相反数，则
m
的值为(
)
A．1
B．－1
C．11
D．－11
【答案】C
【例
5】若关于
x，y
的二元一次方程组
x x
2 y=5k 2 y=4k 5
的解满足
x＋y＝9，求
k
的值．
【答案】2
【变
5】若方程组
4x ax