量子力学复习

一、填空1．量子力学中，描写微观粒子状态的波函数随时间的变化规律由(薛定谔方程)给出．2．一维线性谐振子的波函数n ψ的宇称为 ． 3．在z σ表象中，z σ的矩阵表示为 ．4．泡利不相容原理指出不容许有两个全同的 处于同一个单粒子态． 5．高能粒子散射宜采用 方法处理，低能粒子散射宜采用 处理． 6．微观体系的状态由 完全描述，由此可以得出体系的所有性质．它一般应满足 、 、 三个条件． 1．几率守恒定律的微分表达式 ．2．描述微观粒子的动量算符为ˆp= ． 3．两个厄密算符之和 （一定，不一定）为厄密算符．4．原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为 ． 5．体系的 具有确定值的状态称为定态． 体系处于定态时， 和 都与时间无关．1．不能有两个或两个以上的 处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理． 2．算符在其自身表象中是一个 矩阵．3．量子力学中，体系的任意态()x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态()n x φ展开：()()n n nx c x ψφ=∑，展开式系数n c = ．4．用球坐标表示，粒子波函数表为(,,)r ψθϕ，粒子在立体角d Ω中被测到的几率为 ．5．如果一个力学量在经典力学中有对应的量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量p用算符 代换得出．6．满足 式的矩阵S 称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换．幺正变换 （改变、不改变）算符的本征值．7．波函数应满足三个基本条件 、 、 ． 1．量子力学描述方式的特点是微观系统的运动状态用 完全描写． 2． 是指质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子．3．粒子波函数为(,,)r ψθϕ，则粒子在球壳d r r r →+中被测到的几率为 ． 4．一维无限深势阱中粒子的波函数n ψ的节点数为 ．5．占有数表象中，产生算符†ˆa和湮灭算符ˆa 的对易关系为 ，一维线性谐振子的哈密顿算符ˆH用†ˆa ，ˆa 表示为 ． 6．量子力学中表示力学量的算符都是 算符，它们的本征函数组成 ．力学量F 对应的算符ˆF 的本征方程为ˆn n n F φλφ=．当体系处于波函数()()n n nx c x ψφ=∑所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值必定是算符ˆF 的 之一，测得nλ的几率是 ．1．自由粒子的能量算符为 ．2．在量子力学中，体系的量子态用希尔伯特空间中的 来描述，而力学量用 描述．3．普朗克的量子假说揭示了微观粒子的 特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的 性．4．算符在其自身表象中是一个 矩阵，并且此矩阵的对角元素是算符的 ．5．线性谐振子的零点能是 所要求的最小能量．6．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值 ． 7．在考虑自旋时氢原子的第n 个能级的简并度为 ．1．根据表示力学量的算符规则写出量子力学中角动量算符的形式 ．2．定态薛定谔方程的表示式为 ．3．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的基本假设中，每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上的投影只能取 个数值为 ；每个电子具有自旋磁矩S M，它和自旋角动量S的关系是 （e -表示电子的电荷，μ表示电子的质量．4．波函数的标准条件是： 、 、 ． 5．1924年，德布罗意在光有波粒二象性的启示下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假说．把粒子的能量E 和动量p与波的频率ν和波长λ联系起来，表示为德布罗意关系 、 ．二、单项选择1．以下表达式错误的是（）．A ．ˆˆˆ[,]x y zL L i L =B ．ˆˆ[,]x xp i =C ．†ˆˆ[,]1aa = D ．ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABC B A C A B C =+ 2．占有数表象中，下列表述有误的是（）．A ．粒子数算符为†ˆˆˆNa a = B ．线性谐振子的哈密顿算符†1ˆˆˆ()2H a a ω=+C ．†ˆ1a n =+D ．ˆ1an =- 3．电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，不计电子自旋，第n 个能级有（ ）度简并． A ．nB ．2nC ．1n -D ．2n4．2ˆˆ(,)z L L 的共同本征函数是球谐函数(,)lm Y θϕ，以下表述正确的是（ ）．A ．2ˆ(,)(1)(,)lm lm L Y l l Y θϕθϕ=+B ．ˆ(,)(,)z lm lmL Y m Y θϕθϕ=C ．2ˆL 的本征值是(1)l l +D ．ˆzL 的本征值是m 1．粒子处于一维束缚态，能级基态的节点数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．0 D ．均有可能2．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用．玻色子只有两个可能的单粒子态．体系可能的状态有（ ）个．A ．4B ．3C ．6D ．无法确定3．以下对力学量算符ˆF的本征值和本征函数说法错误的是（ ）．A ．本征值一定是实数B ．本征函数构成正交归一函数系C ．本征值必大于零D ．本征函数构成完备函数系 4．以下有关散射理论说法正确的是（ ）． A ．高能粒子散射宜采用分波法处理 B ．低能粒子散射宜采用玻恩近似处理C ．总散射截面(,)Q q d θϕ=Ω⎰（(,)q θϕ为微分散射振幅）D ．碰撞中原子被激发属于非弹性散射 1．测不准关系的存在是由于（ ）． A ．实验仪器精度的限制 B ．测量技术的限制C ．波粒二象性D ．不能分别测准粒子的坐标和相应的动量 2．以下关于表象间的变换矩阵说法错误的是（ ）．A ．表象间的变换矩阵是幺正矩阵B ．幺正变换不改变算符的本征值C ．幺正变换改变矩阵的阵迹D ．幺正变换不改变态矢量的归一化3．若ˆA ，B ˆ是厄密算符，则下列各算符中必为厄密算符的是（）．A ．ˆˆABB ．ˆˆA B +C ．ˆˆˆˆ()/2i ABBA + D ．ˆcB （c 是任一复数） 4．以下对玻色子和费密子的叙述中错误的是（ ）．A ．全同费密子体系的波函数是反对称的B ．质子是玻色子C ．全同玻色子体系服从玻色－爱因斯坦统计D ．电子是费密子 5．以下关系错误的是（ ）．A ．ˆˆ,0z x σσ+⎡⎤=⎣⎦B ．ˆˆ[,]x xp i = C ．ˆˆˆ,2y z x i σσσ⎡⎤=⎣⎦ D ．ˆˆ[,]z yp i = 1．以下有关ˆzL 和2ˆL 说法正确的是（）．A ．ˆz L 和2ˆL 有共同的本征函数系B ．2ˆL 的本征值由磁量子数确定C ．ˆz L 的本征值是m ,其中1,2,m =D ．2ˆˆ,0z L L ⎡⎤≠⎢⎥⎣⎦2．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ描写，则归一化常数A 等于（）．A ．530aBC ．530aD 3．两个厄密算符ˆˆFG 、之积为厄密算符的一般条件（ ）．A ．ˆˆ[,]0F G += B ．ˆˆˆˆFGGF ≠C ．ˆˆ[,]0F G =D ．ˆˆFG = 4．以下对玻色子和费密子的叙述中正确的是（ ）．A ．全同费密子体系的波函数是对称的B ．质子是费米子C ．全同玻色子体系的波函数是反对称的D ．电子是玻色子 1．Planck 在解释黑体辐射时，提出了（ ）概念． A ．光子 B ．能量子 C ．光量子 D ．辐射场量子 2．下列关于波粒二象性说法正确的是（ ）．A ．粒子性就是经典中的粒子性质B ．波动性是粒子运动的相干叠加性C ．波动性就是经典中波动的特点D ．粒子性就是物质的动量和能量守恒 3．在一维空间中运动的粒子的势能为0,||(),||x aU x x a<⎧=⎨∞≥⎩，则其基态波函数的宇称是（ ）．A ．奇宇称B ．偶宇称C ．奇和偶宇称都有可能D ．无法判断13、在一维无限深方势阱中的粒子可以有若干能态，如果势阱的宽度缓慢地增大至某一较大的宽度，则（ ）。

A 、每一能级的能量增加； B 、能级数增加；C 、每个能级的能量保持不变；D 、相邻能级间的能量差减小；E 、粒子将不再留在势阱内。

14、下列波函数哪个所描写的状态是定态？（ ） A 、tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1； B 、tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2；C 、t E it E ie x v ex u t x21)()(),(3--+=ψ；D 、tE i t Ei ex v e x u t x)()(),(4+=ψ-。

15、2ˆˆ(,)z L L 的共同本征函数是球谐函数(,)lm Y θϕ，以下表述正确的是（）．A ．2ˆ(,)(1)(,)lm lm L Y l l Y θϕθϕ=+ B ．ˆ(,)(,)z lm lm L Y m Y θϕθϕ=C ．2ˆL 的本征值是(1)l l +D ．ˆz L 的本征值是m16、电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，不计电子自旋，第n 个能级有（）度简并．A ．n ；B ．2n ； C ．1n -；D ．2n。

17、以下对力学量算符ˆF的本征值和本征函数说法错误的是（ ）．A ．本征值一定是实数；B ．本征函数构成正交归一函数；C ．本征值必大于零；D ．本征函数构成完备函数系 2ˆˆ(,)z L L 的共同本征函数是什么？相应的本征方程和本征值分别是什么？4．对于ˆσ算符，下列关系式不正确的是（ ）．A ．2ˆi σ的本征值21i σ=，其中,,i x y z =B ．ˆˆ,0z x σσ+⎡⎤=⎣⎦C ．ˆˆ,0y x σσ⎡⎤=⎣⎦D ．ˆˆˆ,2y z x i σσσ⎡⎤=⎣⎦ 1．单位时间内，与粒子前进方向垂直的单位面积内通过的几率称为（ ）． A ．几率密度 B ．几率流密度 C ．质量密度 D ．质量流密度 2．下列有关德布罗意关系表述错误的是（ ）． A ．E ω=B ．p hk =C ．E h ν=D ．h p n λ=3．对于阶梯形方势场12,(),V x aV x V x a<⎧=⎨>⎩，如果有21V V -有限，则有关定态波函数()x ψ说法正确的是（）．A ．()x ψ及其一阶导数()x ψ'都连续B ．()x ψ及其一阶导数()x ψ'都不连续C ．()x ψ连续而其一阶导数()x ψ'不连续D ．()x ψ及其一阶导数()x ψ'连续与否不确定 4．下列波函数所描写的状态是定态的是（ ）． A ．(,)()()EE i t i t x t u x eu x eψ-=+B ．()()()1212, ()E E it it x t u x e v x eE E ψ-=+≠C ．()()()(),()E E i x t i x t x t u x ev x eψ--+=+ D ．(,)()()EE ix i tix i tx t u x ev x eψ--+=+5．一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用．玻色子只有两个可能的单粒子态1()q φ和2()q φ．对体系可能状态说法有误的是（ ）． A ．体系有3种可能的状态B ．111213()()()q q q Φφφφ=是体系的可能状态C ．2212223()()()q q q Φφφφ=是体系的可能状态D ．111223112213211213()()()()()()()()()q q q q q q q q q Φφφφφφφφφφ=++是体系的可能状态三、简答1．束缚态、非束缚态及相应能级的特点．2．完全描述电子运动的旋量波函数为(,/2)(,)(,/2)z r r s r ψψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，准确叙述2(,/2)r ψ 及23(,/2)d r r ψ-⎰分别表示什么样的物理意义．3．2ˆˆ(,)zL L 的共同本征函数是什么？相应的本征方程和本征值分别是什么？（8分） 4．一个电子运动的旋量波函数为(,/2)(,)(,/2)z r r s r ψψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，写出表示电子自旋向下、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向上的几率的表达式．（6分）1．写出力学量F 在ψ态中的平均值公式（ψ已归一化和未归一化两种情况）．（4分）2．何谓几率流密度？写出几率流密度(,)J r t的表达式．（6分）3．ˆzS 的本征函数为1/2χ，1/2χ-，写出两电子体系的自旋函数(1)S χ，(2)S χ，(3)S χ,A χ．（8分） 1．写出定态薛定谔方程及定态波函数．2．二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？1．简述量子力学中关于力学量与算符关系的基本假定． 2．指出波函数()()()(),()E E i x t i x t x t u x ev x eψ--+=+ 所描写的状态是否为定态并说明理由．1．写出电子自旋z s 的两个本征值和对应的本征态． 2ˆˆ(,)z L L 的共同本征函数是什么？相应的本征方程和本征值分别是什么？在非相对论量子力学中，波函数具有不确定性，简要回答不确定性以及产生不确定性的原因。