D113幂级数48992
例谈幂级数的应用重点
例谈幂级数的应用 DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘要幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数, 由于其本身具有很多便于运算的性质, 因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。
利用幂级数的分析性质, 通常可以使形式进行转化, 使复杂问题得以化简。
本文通过归纳和举例, 从幂级数的定义出发, 对幂级数的重要性质进行总结性证明, 举例分析幂级数在各种计算中的应用,包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不等式, 结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。
本文还举例介绍了如何应用复数范围内的双边幂级数求解复积分和某些实积分。
进一步地, 本文对于代数学中的形式幂级数进行了初步说明。
关键词 :幂级数; 函数; 应用ABSTRACTPower series is a kind of series of functions with simple form and extensive application, which can be used to solve many problems powerfully in terms of the function because of its calculated properties. By the analysis properties of power series, many problems usually can be transformed their form such that the complex problem can be simplified. With the beginning of the definition of power series , this paper summarizes the proofs of important properties of power series. Furthermore, all sorts of computing applications with power series are illustrated, including calculating limit, seeking derivative, computing integration, solving differential equations, and inequalities proving, which are elaborated with examples of power series methods and techniques in the application. This paper also describes an example of how to compute complex integration and some real integration by means of bilateral power series within the scope of complex. At last, a preliminary description of formal power series is given in algebra.Key word:Power Series; function; application目录1 前言 ................................................... 1 1.1 背景和意义 (1)1.2 本文研究的主要内容 (2)2 幂级数相关的基本知识 ...................................3 2.1 幂级数的定义 ..................................................................................... 3 2.2 幂级数相关定理及推论 (3)2.3 留数的基础知识 (10)3 幂级数在近似计算与级数求和中的应用 .................... 13 3.1 计算常数 e 的问题 . (13)3.2 幂级数在计算级数和中的应用 (14)4 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用 ................ 16 4.1 幂级数在求极限中的应用 ............................................................... 16 4.2 幂级数在求导中的应用 (17)4.3 幂级数在积分运算中的应用 (17)5 幂级数在求解微分方程中的应用 .......................... 20 5.1 求解常微分方程 ............................................................................... 20 5.2 求解偏微分方程 ............................................................................... 20 5.3 实际问题中的微分方程的解 .. (21)6 幂级数在证明不等式中的应用 (24)7 代数学中的形式幂级数 .................................. 25 7.1 斜幂指数诣 Armendariz环 .............................................................. 25 7.2 多项式环 ............................................................................................ 26结论 .................................................... 28参考文献 ................................................ 29致谢 (30)1 前言1.1 背景和意义说到幂级数的来历, 肯定要提到最基础的级数的来源。
幂级数怎么求和函数
幂级数怎么求和函数幂级数是指一种数学表达式，可以用来描述一些复杂函数、曲线或者概率分布，如正态分布。
幂级数求和函数是指根据特定的数学表达式，把一系列幂级数的各项求和，从而得到结果的过程。
首先，我们来了解幂级数的定义。
幂级数是指具有如下形式的函数：s = a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ... + an * x^n 其中，a1，a2，a3，…，an都是常数，而x是未知数。
幂级数通常用来表示复杂函数、曲线或者概率分布，而幂级数求和函数就是用来求出上述函数的积分，从而得到曲线的完整形状。
幂级数求和函数的定义可以分为三种形式：一种是按项数型求和，即使用到一系列a1、a2、a3…等常数；另一种是正则和，是基于幂级数的一阶导数来求和，另外还有梯形和，是基于幂级数的二阶导数来求和。
按项数型求和的形式是最常用的求和形式，即s = a1 + a2 + a3 + ... + an可以看出，此函数的结果取决于a1、a2、a3…an的值，它可以用来计算一系列数字的总和，也可以用来计算一系列复杂函数的总和。
正则求和是在幂级数函数中求总和的一种形式，它基于幂级数函数的一阶导数，即：s = a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ... + an*x^n => s = a1 + 2 * a2 * x + 3*a3*x^2 +...+ n*an*x^(n-1)可以看出，此函数的结果取决于a1、a2、a3…an和x的值，正则求和函数可以用来计算一系列一阶导数的总和，从而得到幂级数的总和。
最后还有一种梯形求和，是基于幂级数函数的二阶导数，即：s = a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ... + an*x^n => s = 1*a1 + 2*a2 + 6*a3*x + 12*a4*x^2 +...+ n*(n-1)*an*x^(n-2) 最后，梯形求和函数可以用来计算一系列二阶导数的总和，从而得到幂级数的总和。
高数同济六版课件D123幂级数
当$x_0=0$时，泰勒级数称为麦克劳林级数，形如 $sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。
几何级数
形如$sum_{n=0}^{infty} a cdot q^n$的级数称为几何级数，当 $|q|<1$时收敛于$frac{a}{1-q}$。
泰勒级数应用
泰勒级数在数学、物理和 工程等领域有广泛应用， 如求解微分方程、计算函 数的近似值等。
麦克劳林级数展开式
麦克劳林级数定义
01
麦克劳林级数是泰勒级数在展开点为零时的特例，也称为麦克
劳林展开式。
麦克劳林级数展开条件
02
与泰勒级数展开条件相同，需要函数在零点附近具有任意阶导
数，并且这些导数在零点处取值有限。
实际应用举例
计算圆周率
求解微分方程
利用泰勒级数或麦克劳林级数展开式，可 以计算出圆周率的近似值。
幂级数方法可以用于求解微分方程，通过 将微分方程转化为幂级数形式，可以方便 地求解出微分方程的解。
信号处理
其他领域
在信号处理中，幂级数方法可以用于信号 的滤波、压缩和重构等操作。
幂级数方法还广泛应用于计算机图形学、金 融数学、统计学等其他领域。
1 2 3
积分变换求解微分方程原理
通过积分变换将微分方程转化为代数方程进行求 解。
幂级数在积分变换中作用
利用幂级数的展开式，可以将复杂的函数进行简 化处理，从而更容易地应用积分变换求解微分方 程。
实际应用举例
例如，在求解热传导方程、波动方程等物理问题 时，可以利用幂级数和积分变换相结合的方法进 行有效求解。
x_0)^n$，其中$a_n$是常数，$x_0$是给定实数。
《高等数学下册》(资料全集)D113-PPT课件
n
x M x0
n0
n
x M 当 x x 0 时, x0 n 0
故原幂级数绝对收敛 .
n
收敛, a n x n 也收敛,
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之.
假设有一点 x 1 满足 x 1 x 0 且使级数收敛 , 则由前
面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾, 故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
可能收敛也可能发散 . R 外发散; 在 x
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发
散
收
o 敛
发
散
x
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第三节
幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第十一章
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一、 函数项级数的概念
为定义在区间 I 上的函数, 称 ( x ) ( n 1 , 2 , ) 设u n
n 1
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x ) n 1 2 n
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对x I, 若常数项级数 u n ( x 0 ) 收敛, 称 x0 为其收 0
n 1
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 u n ( x 0 ) 发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法
幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法哎呀呀，朋友们！今天咱就来讲讲幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法，这可真是个超级有趣的东西呢！
比如说幂级数∑(n=0 到∞)aₙxⁿ，这个大家都不陌生吧。
那怎么去找到它的收敛半径呢？其实有个很简单的办法哦，就好像我们去寻找宝藏的线索一样。
我们可以用比值判别法呀！就拿这个例子来说，设 an+1/an=l，当 n 趋向于无穷时，如果 l 的绝对值小于 1，那这个幂级数不就收敛啦？这就好像是我们找到了打开宝藏大门的钥匙！
再来说说收敛域。
它就像是一个神秘的区域，我们要一点点去探索。
比如说，如果我们求出了收敛半径，那在这个半径范围内，幂级数肯定是收敛的呀，但还要考虑端点的情况呢！“哎呀，这收敛域可真是让人捉摸不透啊！”朋友小张曾经这么感叹过。
咱就好比说有个幂级数∑(n=1 到∞)(-1)ⁿ(x-2)ⁿ/n，先求出它的收敛半径是 1，然后再去研究 1 和 3 这两个端点。
经过一番计算和分析，最后才能确定整个收敛域。
其实呀，掌握了幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法，就像是掌握了
一种神奇的魔法！我们可以用它来解决很多问题，就像魔法师挥动魔法棒一样酷呢！
总之啊，大家一定要好好去理解和掌握这个计算方法，它真的超级重要！不要觉得难就退缩呀，要勇敢地去探索，去尝试，肯定能学会的！相信我！。
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈!为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
(完整word版)幂级数概念
§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 |x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当 x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散. 提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为 n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a nx n 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n nn x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为: 当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域. 例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n nnt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n , 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b xa ,减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx xdx x xx n n --=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然S (0)=1. 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx xdx x xx n n , 所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x .综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(.11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n nx n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n nn .。
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
(10.3) 第三节 幂级数(同济少学时第三版简约型)
C
r 1
O
逐步用接正多边形面积逼
近圆面积，可类似地求得 A u1( r )+ u 2( r )+ „ + un( r ).
(2) 归纳为一般性问题
为建立用无穷和形式表达函数的方式，应选择怎样
的工具函数列{ un( x )}及相应的系数 an ，使得
f x a n un x .
• 当 x 0 > 1 时， x 0 发散，原幂级数发散； n n0 • 当 x 0 = 1 时，原幂级数化为 1 ，发散； n 0 n • 当 x 0 = -1 时，原幂级数化为
n0
n
1 n
n
，收敛。
综上讨论求得本例幂级数的
收敛域为：I1 =[ -1,1 )，
n 1
作为函数表达工具的函数列及系数须具以下特点 工具函数列 un( x )自身应形式简单，且 具有良好的分析性质。
各项系数 an 应易于计算。
由上述条件容易想到，可选择幂函数列{ x n }作为
表达工具的基础函数列。
(3) 幂级数的定义 形如
n0
a n x n a 0 a1 x a 2 x 2 L a n x n L ,
数收敛，对于| x 0| 1，该函数项级数发散。 由此求得该函数项级数的收敛域为 I1 =( -1 ,1 )， 发散域为 I 2 = ( - ,-1 )∪( 1 ,+ )．
在收敛域 I1 = ( -1 ,1 )内，函数项级数的和函数为 n 1 x S x lim S n x lim 1 . n n 1 x 1 x 余项函数为
n
第二节幂级数
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
zR R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
20
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
1 1
z
lim zn 0
n
级数 zn 收敛,
n0
级数 zn 发散.
n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
25
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
1.
n
所以 R 1 1.
18
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim n n
cn
0,
那末收敛半径
R 1.
说明:
如果
0
R R0
(与比值法相同)
19
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
时, f [g(z)] an[g(z)]n.
n0
说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.
21
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
定理四 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R,
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1) 对标准型幂级数 anxn (an 0)
n0
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
求收敛半径时直接用比值法或根值法,
也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质
1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
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当x 1,
即
x
1
时, 原级数发散.
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因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R;
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发散 ,
因此 R0.
说明:据此定理
an x n 的收敛半径为 R lim an
n l i m[ 2 n ] !
[ n ! ]2
x
x2(n1)
2n
n l i m (2n(n 1 )(1 2)n 22)x2 4x2
当4x2 1即x 12 时级数收敛 故收敛半径为 R 1 .
当4x2 1即x 12 时级数发散
2
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例解4: .令求 tx幂 1,级 n 级 1数(x数 2变n1n为)nn的1 收21n敛n t域n .
n0
数S(x)在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S(x)anxn
nanxn1,
x (R,R)
n0
n1
0xS(x)dxan n0
xxndx an xn1,
0
n0n1
x (R,R)
(证明见第六节)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
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n0
anxnbnxn cn xn ,
x R
n0
n0
n0
n
其中 cn akbnk
k0
以上结论可用部分和 的极限证明 .
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说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比
原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设
a n x n 1 ( a 0 1 , a n 0 , n 1 , 2 , )
定理2. 若 an x n
n0
的系数满足
liman1 n an
, 则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R;
3) 当 ＝∞时, R0.
证:
n l i m an a n 1x xn n1
lim an1 n an
x
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当 x 1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
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例2. 求下列幂级数的收敛域 :
(1)n 0n 1!xn;
(2) n!xn.
n0
解: (1)
1
规定: 0 ! = 1
Rliman n an1
limn
n
! 1
lim (n1)
n
(n 1)!
所以收敛域为 (, ).
(2)
Rliman n an1
limn ! n (n1)!
n0
n an1
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例1.求幂级数 xx2x3 ( 1 )n 1xn
23
n
的收敛半径及收敛域.
1
解: Rlim an lim n an1 n
n 1
1
n 1
对端点
x
=
1,
级数为交错级数
(1)n1
n1
1, n
收敛;
对端点
x =－1,
级数为
1 ,
n1 n
发散 .
故收敛域为 (1,1].
lim 1 nn1
0
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
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例3. 求幂级 n 0((n2数 !n))2!x2n的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un(x)
[ 2(n 1)] !
[(n1)! ]2
Rliman nan1
1
nl im 2 n
n
1 2n1(n
nl im 2n12(nnn1)2
1)
当
t
=
2
时,
级数为
n 1
1 n
,
此级数发散;
当 t = – 2 时, 级数为 (1)n , 此交错级数收敛;
n1 n
因此级数的收敛域为 2t2,故原级数的收敛域为
2 x 1 2 ,即 1x3.
例7. 求级数
xn
的和函数 S(x).
n0n 1
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 且x1时级数
收敛 , 则x当 0时 ,有
S(x)
xn
1
xn1
1
x
xn dx
n0n1 x n0 n 1 x n0 0
1x xn
x0 n0
dx
1 x
x1
01
x
dx
1ln1(x) (0x1及 x1) x
谢 谢！
故假设不真. 所以若当 xx0 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 xx0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
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由Abel 定理可以看出, an x n 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0R,幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 xR可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收 o敛
发散x
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例6. 求幂级数 nxn的和函数 S(x).
n1
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发
散, 故 x 当 ( 1,1 )时 ,
S(x) nxn x nxn1
n1
n1
x (xn)
x
xn
n1
n1
x 1 x
x
(1
x x)2
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2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
思考与练习
1. 已知 a n x n 在xx0处条件收敛 , 问该级数收敛
n0
半径是多少 ?
答: 根据Abel 定理可知, 级数在 xx0 收敛 , xx0 时发散 . 故收敛半径为 Rx0 .
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的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 xx0 时该幂级数发散 , 则对满足不等式
xx0 的一切 x , 该幂级数也发散 .
证:
设
a
n
x
n 0
收敛,
则必有 limanx0n0,于是存在
n0
n
常数 M > 0, 使 anx0 nM(n1,2, )
收敛 发散
发散
收 o敛
发散x
阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
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S(x) 1ln1(x), x
(0x1及 x1)
而
S(0) 1, xl i0m ln(1xx)1,
因此由和函数的连续性得:
1ln1(x), S(x) x
1,
x [ 1 ,0 ) ( 0 ,1 ) x0
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
n
Sn(x) uk(x)
k1
令余项 r n ( x ) S ( x ) S n ( x )
则在收敛域上有
n l i S m n(x)S(x), nl i m rn(x)0
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例如, 等比级数 xn1xx2 xn
n0
它的收敛域是 (1,1),当 x (1,1)时 ,有和函数
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三、幂级数的运算
定理3. 设幂级数 a n x n 及 bn x n 的收敛半径分别为
n0
n0
R1, R2, 令 R m R 1 ,i R 2 n ,则有 :
an xn anxn (为常)数
x R
n0
n0
anxnbnxn (anbn)xn,
x R
n0
n0
xn
1
n0 1 x
它的发散域是 (, 1 ]及 [1 ， ） ,或写作 x 1.
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二、幂级数及其收敛性
形如
an(xx0)n a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2
n0
a n(x x 0 )n
的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a n(n 0 ,1 , )称
“红领巾”真好
厦门市松柏第二小学 吴小蔚
一、 函数项级数的概念
设 u n (x )( n 1 ,2 , )为定义在区间 I 上的函数, 称