数学建模-生物种群模型分析
数学与生物学模型与生物现象
数学与生物学模型与生物现象数学与生物学模型是一种将数学工具应用于解决生物现象的方法。
通过建立数学模型，可以更好地理解生物学中的复杂过程，并预测和分析各种生物现象。
本文将介绍数学在生物学中的应用以及数学与生物学模型对生物现象的解释能力。
一、数学在生物学中的应用生物学与数学的结合可以追溯到古希腊时期，当时亚里士多德对植物的生长形态进行了数学描述。
随着时间的推移，数学在生物学领域的应用越发广泛。
以下是数学在生物学中常见的应用领域：1. 种群动态模型种群动态模型是生物学中最常见的数学模型之一。
通过建立方程来描述种群数量随时间的变化，可以预测种群增长、衰退和平衡的趋势。
种群动态模型经常被用于研究动物和植物的数量变化，揭示种群之间的相互作用以及资源利用的动态平衡。
2. 遗传学模型遗传学模型使用数学方法来研究遗传信息的传递和变异。
通过建立遗传学模型，可以分析基因的分布、代际间的遗传变异以及基因型与表型之间的关系。
遗传学模型为遗传疾病的研究和基因工程的发展提供了重要支持。
3. 神经科学模型神经科学模型使用数学方法来研究神经元之间的相互连接和信息传递。
通过建立神经网络模型，可以模拟大脑的结构和功能，研究神经元如何处理信息，并解释大脑对外界刺激的反应。
神经科学模型对于理解认知、记忆和学习等生物现象具有重要意义。
二、生物学模型对生物现象的解释能力生物学模型是一种将生物系统抽象成数学形式的工具，通过对生物现象的建模，可以更深入地理解生物进化、生长和发展等过程：1. 预测生物进化生物学模型可以模拟不同环境条件下生物种群的演化过程。
通过调整模型参数，可以预测物种在不同环境下的适应性变化、物种灭绝和新物种的形成。
生物学模型为人们研究生物进化提供了重要工具。
2. 解释生物生长和发展生物学模型可以解释生物生长和发展的机制。
通过建立生长模型，可以模拟生物体组织的增殖和分化过程，探究细胞分裂、组织分化和器官发育等基本生命过程。
生物学模型为人们研究生物生长和发育提供了新的视角。
数学建模生物种群模型(课件资料)
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06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。
生物数学模型第6讲 生物系统论-生物种群模型
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
2018/10/10
记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2018/10/10
记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
假定方程组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) ， 在平面区 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2018/10/10
平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2018/10/10
说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
研究种群遗传学的数学模型
研究种群遗传学的数学模型种群遗传学是一门研究种群基因遗传变异及其演化的学科。
随着现代计算机技术和数学方法的日益发展，研究种群遗传学的数学模型也越来越多地被应用于生物学和遗传学的研究中。
种群遗传学的数学模型主要分为两类：一类是利用微积分和概率论等数学工具建立的连续模型，另一类是基于遗传学原理建立的离散模型。
连续模型主要包括几个经典的模型，如Hardy-Weinberg均衡、Malthus模型、Logistic模型和Fisher定理等。
其中，Hardy-Weinberg均衡是最经典的连续数学模型之一。
它是基于以下几个假设：（1）种群是大的；（2）种群是随机交配的；（3）没有新的基因变异发生；（4）没有选择的作用；（5）没有迁移。
通过这些假设，我们可以利用基因频率公式来推断出每个基因型的比例。
这个模型的应用极为广泛，可以用于基因频率的演化、人口学以及生态学研究中。
Malthus模型和Logistic模型则是连续人口动态模型。
Malthus模型是描述自然增长的最简单模型，它认为每个个体繁殖率相同，并且没有明显的上限。
与之不同的是，Logistic模型引入了一个饱和项，即个体在种群密度高的情况下减少了繁殖的机会。
这两个模型对动态变化的种群数量进行了良好的建模。
Fish定理也被广泛应用于近亲繁殖老化研究中。
Fisher定理是关于鱼群数量随时间的演化。
它基于一个简单的假设：鱼的数量取决于鱼的繁殖和死亡率。
该公式将鱼的数量建模为一个微分方程，其系数取决于繁殖和死亡的参数。
通过解方程可以得到鱼群数量随时间的变化规律，可以用于预测鱼的数量和可持续捕捞量，为渔业管理提供重要参考。
离散模型建立在基因遗传原理上，并着重考虑个体之间的交配和后代的基因型组合。
这类模型主要考虑的问题包括杂交、基因漂变、突变、选择等，可以更真实地反映遗传变异和演化的实际情况。
其中，经典的离散模型主要包括马尔科夫链和复杂遗传系统模型。
马尔科夫链被广泛应用于基因型随时间的变化，其中一个常见的模型是Wright-Fisher模型。
高中生物种群数量增长的几种数学曲线模型例析
种群数量增长的几种数学曲线模型例析吉林省梨树县第一高级中学姜万录种群生态学研究的核心是种群的动态问题。
种群增长是种群动态的主要表现形式之一，它是在不同环境条件下，种群数量随着时间的变化而增长的状态。
数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。
为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。
1．种群数量增长曲线模型种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。
也就是说，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J”型增长曲线。
然而自然种群不可能长期地呈指数增长。
当种群在一个有限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。
种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。
两种类型种群增长模型如右图所示。
例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D )A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型B．改善空间和资源有望使K值提高C．阴影部分表示有环境阻力存在D．种群数量达到K值时，种群增长最快解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲线呈“S”型增长。
在种群生态学中，环境容纳量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量。
环境容纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。
因此，改善空间和资源有望使K值提高。
图像中阴影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。
生物学中的数学模型及其应用研究
生物学中的数学模型及其应用研究生物学中的数学模型是指用数学语言和方法，对生物学领域或生境中的生物系统或生物现象进行描述、分析和预测的模型。
生物学中的数学模型应用于从基础研究到应用研究等方面，在生物学的各个分支领域中均有着广泛的应用。
一、生物学中的数学模型种类与应用研究1.模拟模型模拟模型是生物学中的一种数学模型，通过对生物系统的相关数据进行建模和仿真，预测和模拟生物系统的动态行为和进化过程。
生物学中，一个生物群体的增长和演化都可以被建模和仿真。
生物系统的生长率和死亡率是影响生物群体增长的主要因素。
为了预测生物群体的状态，动态方程可以用来预测时间步骤中的生物增长和死亡情况，给出一个群体的数量 vs 时间的曲线，以便了解生物群体增长和演化的情况。
2.计算模型计算模型是一种应用于生物学中的数学技术，用于研究物种之间的互动、动物行为、疾病影响等方面。
利用概率、统计学和计算机科学等技术，实现对生物进化和演化的模拟和计算。
例如：利用计算模型，研究治疗和药物治疗的效果，或者研究物种之间的交叉适应。
3.动力学模型动力学模型是生物学领域中另一个流行的模型，以研究复杂系统中的各种过程如生物进化和群体行为为目的。
动力学模型通过建立一系列方程来描述数量、时间、速度、能量等物理量的变化，模拟物种群体数量的变化过程以及物种间的相互作用，并预测物种数量的趋势和变化规律。
二、生物学中的数学模型在应对生物问题中的作用生物学中的数学模型在研究生物问题中发挥着重要的作用，它为生物学家提供了一种比较直观、全面可信的分析工具，促进了对生物系统和生态系统行为的理解。
通过使用数学模型研究生态系统的相互关系和动力学，可以了解自然界中不同物种之间的交互作用和它们对生物多样性的影响。
此外，生物学中的数学模型还有以下应用：1.预测疾病流行趋势许多生物病原体的流行趋势与时间相关。
因此，通过使用预测模型，可以预测人口密度、食品供应、气候等影响疫情的因素，从而促进公共卫生策略的制定并有效地应对流行病爆发。
数学建模 种群模型
(9)
数学建模
种群模型
15
近似方程 (9) 的一般解为：
p(t ) C e
于是有下述结论：
若
F ( p )t
p
F ( p ) 0 ，则p*
是稳定平衡点。
若
F ( p ) 0 ，则p* 不是稳定平衡点。
数学建模
种群模型
16
回到我们的问题，由于 F ( p0 ) k r F ( p1 ) r k
dh 2k r N 1 0 km dk r 2
数学建模
种群模型
19
对应的
r 1 rN hm N 1 2 2 4
N pm 2
结论
控制捕捞强度k = r/2 ，使渔场产量pm保持在
最大鱼量N 的一半时，可以获得最大的持续产 量hm = rN / 4。
1r2 a11 0 a12 2
a21
2
特征方程为
r 1r 2 0
此时，两个特征根是共轭复数，实部为0，故无法直 接判断平衡点稳定性。 为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空 间中去分析解轨迹的图形。在（14）、（15）中消 去dt ，得：
数学建模 种群模型 33
dx1 x1 (r1 1 x2 ) dx2 x2 (r2 2 x1 )
数学建模 种群模型 27
年份
1914 1915 1916 1917 21.4 22.1 21.2
1918 36.4
1919 27.3
1920 16.0
1921 15.9
1922 14.8
鲨鱼比例 11.9
他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学 家V.Volterra，希望他能帮助建立一个P—P系统的数 学模型，来解释这种现象。 模型建立（Volterra模型）
种群增长数学模型分析及其教学
种群增长数学模型分析及其教学种群增长数学模型分析及其教学一、教材分析种群的数量变化是学习种群的核心内容，重点是掌握种群数量增长的“J”型曲线和“S”型曲线的含义和变化规律，并借此学习掌握构建数学模型的一般方法。
本节教学涉及数学知识，同时不同环境下的种群增长各具特点，所以本节内容抽象复杂，学生很难准确深入理解曲线变化规律和原因。
通过分析不同条件下种群增长模型、种群的动态规律及其调节机制，能帮助学生深刻理解种群数量的变化规律、影响因素及其应用，在此基础上掌握构建数学模型的方法。
二、种群数量增长模型的多样性（一）理想情况下种群离散增长模型这是世代不相重叠种群的增长模型，是种群在无限的环境中，拥有充足的空间和资源，气候适宜、没有天敌的理想条件下种群的增长模型，该模型在自然界中是不存在的。
该模型的假设是：1.种群在无限的环境中增长，种群增长不受种群密度的制约，出生率和死亡率为常数；2.世代不重叠，种群呈离散增长；3.种群空间分布均匀，没有迁入和迁出；4.种群没有年龄结构。
如细菌的繁殖、一年生的植物或一年生殖一次的昆虫等都属于此类种群，其增长模型如下：Nt+1=Ntλ或Nt=N0λtNt表示第t年种群的数量，N0为初始种群数量，λ为种群的年周限增长率数，t为时间。
当λ大于1时，种群数量上升；当λ等于1时，种群数量稳定；当λ小于1时，种群数量下降。
理想情况下，种群呈指数式增长，增长率始终保持不变，增长速度逐渐增加，曲线呈“J”型，所以称为“J”型增长曲线。
（二）理想情况下种群连续增长模型该种群有世代重叠现象，表现为连续增长。
该模型的假设是：1.种群在资源无限的环境中增长，出生率和死亡率是常数；2.世代有重叠，种群呈连续增长；3.种群在空间上分布均匀，没有迁入和迁出；4.种群有年龄结构。
如多年生植物、人或兽类等动物种群都属于该种群，其增长模型如下： dN/dt=rN或Nt=N0ert（积分式）Nt表示第t年种群的数量，N0为初始种群数量，e表示自然常数，r为种群的瞬时增长率。
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线性化，得
dx x ( a10 a11 x a12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
x(t ) c11e c12te y(t ) c e1t c te1t 21 22
2017/11/2
1t
1t
p (a d ), q ad bc
1 , 2 1 2 0
p, q
p p 2 4q 1, 2 2 平衡点类型 稳定性
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
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dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
f ( x0 , y 0 ) 0 g ( x0 , y 0 ) 0
记为
P 0 ( x0 , y0 )
2017/11/2
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 ( x(t ), y (t )) 从这个邻域内的某一初值 ( x(0), y(0))
出发，满足
lim x(t ) x 0 , lim y (t ) y 0
竞争。图示如下：
2017/11/2
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 （ A x ( a a x a x a x 2 20 21 1 22 2 23 3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 )
2017/11/2
dx x ( a10 a11 x a12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
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记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
a 记系数矩阵 A c b d
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
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记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
(1)
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相平面： x, y 所在的平面。 轨线：
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
l ( x(t ), y(t )) : x f ( x(t ), y(t )), y g ( x(t ), y(t )),t
p 0, q 0, p 2 4q 稳定结点(node) p 0, q 0, p 2 4q 不稳定结点
q0
鞍点(saddle)
stable
unstable unstable stable unstable stable unstable
1 2 0
1 0 2
C B ）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1 dt x1 (a10 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 （ B x ( a a x a x a x ) 3 30 31 1 32 2 33 3 dt
1 2 0 1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q 稳定退化结点 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定退化结点
1,2 i , 0 p 0, q 0, p 2 4q 稳定焦点(focus) 1,2 i , 0 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定焦点 1,2 i , 0 p 0, q 0, p 2 4q 中心(center)
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约；
3)
a12 0, a21 0 a12 0, a21 0
表示甲、乙种群相互竞争；
4)
表示甲、乙种群相互依存；
5) a12 a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
2017/11/2
3 三种群的一般模型 三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
2
2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1
2017/11/2
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。 C A C
B
A
B
C
B
A
2017/11/2
下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两 种群间的影响都是线性的，建立其相互作用
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
种群模型的求解方法：
微分方程定性与稳定性理论 数值方法
2017/11/2
微分方程定性与稳定性理论
平面自治系统
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
A） B C
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a32 x2 a33 x3 )
N 表示 t 时刻的种群数量，r 称
为内禀增长率。
r (t t0 )
N (t ) N (t0 )e
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r (1 ) N K 表示该种群的最大容纳量。 dt K K N (t ) N ( t 0 ) r ( t t 0 ) 1 KN ( t0 ) e
的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互
1, 2
p p 2 4q 2
唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。 方程组（2）解的一般形式为
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方程组（Байду номын сангаас）解的一般形式为
1t 2t x ( t ) c11e c12 e y(t ) c e1t c e2t 21 22
2017/11/2
3） 一般的种群模型
dN Nf ( N ) dt
4) 开发了的单种群模型
dN Nf ( N ) h dt dN Nf ( N ) h(t ) dt
具有常数收获率
具有时变收获率
2017/11/2
2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t ), y(t ) ，则
假定方程组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) ， 在平面区 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2017/11/2
平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足