专题复习--分类讨论思想
数学思想专题复习
数学思想专题复习 学海导航数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；初中阶段常用的数学思想主要有：数形结合思想，.分类讨论思想，化归思想，整体思想，建模思想，方程思想，函数思想。
通过数学思想的培养，数学的能力能才会有一个大幅度的提高。
掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
分类讨论思想：分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 例1.已知,0,2||,3||<⋅==y x y x 则y x +的值等于（ ）（A ）5或5-； （B ）1或1-； （C ）5或1； （D ）5-或1-. 思路分析：由,2||,3||==y x 可知;2,3±=±=y x 又,0<⋅y x 说明x 、异号.故其和y x +的值应分两种情况来考虑:(1) 当0,0<>y x 时,;123=-=+y x(2) 当0,0><y x 时,.123-=+-=+y x 或由已知有,6||=xy 又.6,0-=∴<xy xy,1)6(2492)(222=-⨯++=++=+xy y x y x 1±=+∴y x .故选(B).[评注]：本题结合绝对值的意义，一个数的绝对值为一个正数，则这个数的绝对值有两个.数形结合的思想数形结合的思想实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
例2．求函数()y x R =∈的最小值。
解：2565222++++-=x x x x y2222)40()3()20()1(-+++-+-=x xy 可以看成是点(,0)x 到两点(1,2)A 、(3,4)B -距离之和（图1），可先求点B 关于x 轴的对称点B '(3,4)--， 则B A '为所求。
初中数学专题复习分类讨论(含答案)
专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
五：数学的分类讨论思想
中考数学专题复习之五：数学的分类讨论思想一、知识要点：1.分类讨论思想方法的意义：分类讨论思想方法就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2.分类讨论思想方法的作用：分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，克服思维的片面性，防止漏解.要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏.要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。
3.分类讨论思想方法的基本类型：在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答：比如：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的；（点、直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类）②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
④对符合题意的图形，按图形的性质作出不同的形状、不同的位置关系等。
（等腰三角形的顶角顶点不确定、直角三角形的直角不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
）在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。
4.分类讨论一般步骤:（1）确定分类对象；（2）进行合理分类；（理清分类的“界限”，选择分类的标准，并做到不重复、不遗漏）（3）逐类进行讨论求解；（4）归纳作出结论。
（综上所述） 二、典例解析：例1 （1）当m= 时，y 关于x 的函数72)3(y --=m x m 是二次函数？（2）代数式2-x 1x +有意义，则x 的取值范围为 .命题意图：本题主要考查二次函数的定义及二次项系数不为0，分式与二次根式的意义. 知识依托：解一元二次方程与不等式的能力.错解分析：（1）错解3m ±=，没有舍去m=3的值，考虑不全面.（2）错解x>-1,没有考虑分母不为0，或解不等式出错.技巧与方法：本题属于概念性的题目，属于中考热点题，难度不大，但容易错.例2. 函数y=ax 2-ax+3x+1与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标。
分类讨论法在高中数学专题复习中的运用
分类讨论法在高中数学专题复习中的运用【摘要】参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。
以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型。
一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。
本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨，不妥之处，敬请斧正。
【关键词】高中数学；分类讨论法解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。
它实际上是一种化难为易。
化繁为简的解题策略和方法。
一、科学合理的分类把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。
即①A1∪A2∪A3∪···∪An＝A②Ai∩Aj＝φ（i，j∈N，且i≠j）。
则称对集A进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。
在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。
二、确定分类标准在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：（1）根据数学概念来确定分类标准例如：绝对值的定义是：所以在解含有绝对值的不等式| x|+| (3－x)|≥1时，就必须根据确定x ，（3－x）正负的x值1和2将定义域（0，3）分成三个区间进行讨论，即0＜x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3三种情形分类讨论。
例1、已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x＝2的距离为n，且m+n＝4（1）求点M的轨迹方程。
(完整版)中考数学分类讨论专题复习教案
中考数学分类讨论专题复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第５３讲中考复习专题（三）分类讨论复习教案【内容分析】重点：从问题的实际出发进行分类讨论．难点：克服思维的片面性，防止漏解．考点解读：在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。
另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。
把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。
它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。
分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。
分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【复习目标】通过复习能够掌握从问题的实际出发进行分类讨论的思想方法．当问题中存在不确定因素时，能够把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题．【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计知识回顾在初中阶段数学教学中已经渗透了分类思想：如..在实数，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个c．3个D．4个2.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．c．D．３．在式子，，，x,,32,,2x-y中单项式有，多项式有，整式有.教师与学生共同回顾，同时根据情况，可让学生适当举例说明．综合应用【典例分析】几何类讨论【例１】如图１，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，ＢＥ=ＣＥ,ＭＮ=１，线段ＭＮ的两端在ＣＤ、AD上滑动，当Dm= 时，△ABE与以D、m、N为顶点的三角形相似.【分析】已知∠B=∠D,要使两三角形相似，必须还得使夹边对应成比例。
这就牵涉到找对应边的问题，Dm到底是和哪那条边对应边，我们不能确定，所以就要分情况来讨论：△ABE与以D、m、N为顶点的三角形相似时，Dm可以与BE 是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况.【思路点拨】当问题中存在不确定因素时，就要分情况进行讨论.【例２】如图２，在Rt△ABc中，∠BAc=90°，AB=Ac=2，点D在Bc上运动（不能到达点B、c），过D作∠ADE=45°，DE交Ac于E。
中考专题复习：直角三角形的分类讨论
中考专题复习：直角三角形的分类常见解题思路：（1）分类讨论：按直角顶点进行讨论 （2）借助勾股定理（3）利用相似三角形 一、直角三角形的边不确定1. 直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长为 ．2. 已知x ，y为直角三角形两边的长，满足240x -=，则第三边的长为 .二、图形折叠与直角三角形3、（2012河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为__________.三、动点与直角三角形类型一：直角三角形中有一边确定4、在平面直角坐标系中，矩形 OABC,的顶点C （0,2），A （5,0），在直线BC 上找一点D ，使得△OAD 为直角三角形，并求出点D 的坐标。
5、在平面直角坐标系中，直线b kx y +=过A(—4,4)、B （0，34）两点，交x 轴于点C ，点P 是y 轴上的一个动点。
(1)求直线AB 的解析式及点Ｃ的坐标。
(2)点P 运动到什么位置时，△APC 是直角三角形，并求出点P 的坐标。
EF C D B A 第15题5、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E(4,m)两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0).⑴求该抛物线的解析式；⑵设动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标..6、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为()10-，．如图所示，B 点在抛物线211222y x x =+-图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．（1）求证：BDC COA △≌△；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、（2012广州市）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．8、（2011沈阳）如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．类型二：直角三角形中没有确定的边9、（2011河南）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.10、（2008河南）如图，直线y=434+-x 和x 轴、y 轴的交点分别为B ，C 。
中考复习之分类讨论思想-圆
A O P
B
A O
B P
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA+PB = a+b 半径为
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA-PB = a-b 半径为
综合（1）（2）可知，此圆的半径为 a b
圆都相切的圆有
与两圆均内切.
5
个.
与两圆均 外切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与两圆均 外切.
分类讨论思想在圆中应用的一般步骤：
1、先明确需讨论的对象； 2、选择分类的标准，合理分类；
统一标准，不重不漏 （统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论； 4、归纳作出结论。
F
B
OE=3cm
OF=4cm
OE=3cm
OF=4cm
∴ EF=OF-OE=1cm
∴ EF=OF+OE=1cm
分类思想 圆中的应用
三、圆的大小或位置不唯一
例3、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4. 若 以点Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点， 则R的值为多少？ B B
D C A C A
分类讨论：（1）当圆的半径R<3时
12 R= 5
（3）当圆的半径R>3时 从圆由小变大的过程中，可知R
3＜ R
4
4
（2）当圆的半径R=3时 圆与斜边有2个交点，不合题意。
∴综上可知，当 R= 5
12
或 3＜ R
4 时，
圆与斜边只有一个公共点.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
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a n 满 足 : a1 1, a 2 r (r 0) 7.已 知 数 列 数 列a n a n1 是 公 比 为 q(q 0)的 等 比 数 列 , 数 列bn a 2 n1 a 2 n , 设S n b1 b2 bn , 1 求 lim . n S n
1 1 q 0 q 1, lim ; n S 1 r n 1 q 1, lim 0. n S n
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专 题 3
分类讨论思想
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一、引起分类讨论的因素：
（1）由数学概念、性质、定理、公式的 限制条件引起讨论； （2）由数学变形所需的限制条件所引起 的分类讨论； （3）由图形的不确定性引起的讨论；
（4）由于题目含有参数而引起的讨论。
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二、分类讨论的一般步骤：
（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；
（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无 重复；
（3）逐类（或逐段）讨论，分级进行； （4）归纳总结作出整个题目的总结。
注：并非含有参数的问题都需要讨论， 能避免讨论的应尽量避免讨论。
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4.解 关 于 x的 不 等 式: x 3x x x 2 2 ( 2 2 ).
(1). 0时, ( 2). 0时, 若0 1, 若 1, 无解; 若 1,
x ( ,0); 1 x ( log 2 ,0). 2 1 x (0, log 2 ). 2
( y 2) ( x 1) 1.(1)圆 锥 曲 线 1的 9 a8 1 离心率 e , 则a的 值 为 ( B ) 2 59 A. 20 B . 或 20 4 59 19 C. D.20或 4 4
2 2
(2)有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会日 语，其余3人既会英语又会日语，现从中选6人， 安排种？ 新世纪教
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2 2a
lg(2 x ) 6.若 方 程 2, 则a为 何 值 时 , lg(x a ) y 方程有两解 , 一 解, 无 解.
2
y 2 x , y x a.
2
-1
o
1
x
2 a 2时, 两解; 2 a 0或0 a 2时, 一解; a 2或a 2或a 0时, 无解.
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5.解关于 x的不等式: 2 loga x 1 2a 1, 其中a 0且a 1.
1 0 a 时, x 0; 2 1 1 1 a 时,0 x 或 x 2或x 2; 2 2 2 1 2a 2 2a a 1时,0 x a 或a xa 2 2a 或x a ; 2a 2a a 1时,0 x a 或x a .
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3.讨论(m 3) x (5 m) y 1表示的曲线 .
2 2
(1).m 5或m 3时, 方程均表示两平行直线 . ( 2).m 4时, 方程表示圆 . ( 3).3 m 5且m 4时, 方程表示椭圆 . (4).m 5或m 3时, 方程表示双曲线 .
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2.设a为 实 常 数 ,求 函 数 y (a 1) sin x 2 2 4a sin x cos x (a 1) cos x .的 值 域 .
2 2
a 0时, 2 2 y [ a 1 2 2a , a 1 2 2a ] a 0时, 2 2 y [ a 1 2 2a , a 1 2 2a ] a 0时, y 1.