分类讨论思想复习
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
专题4 数形结合、分类讨论思想一．知识探究：1．数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合的途径:（1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解 数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）简单性原则2．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；二．命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
三．再现性题组1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是（ ）。
A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<1 对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2. 若θ∈(0, π2)，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ-的值为（ ）。
第63课 第二轮总复习(2)分类讨论思想
1 2
，现有 a(a＞0)桶水，可以清洗一次。也可以把水平均分 2 份后清洗两
次，试问哪种方；案上残留的农药比较少？说明理由
3.田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌个有等级为上、中、下 的三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌塞马，双 方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌 似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、 下等马要强………… （1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能 取胜？ （2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随即出阵比赛，田忌获胜的 概率是多少？（要求写双方对阵的所有情况）
见学案
4
(2)已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形 分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
1 ， 2
设梯形的面积为 S，梯形中较短的底的长为 x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关 系式，并指出自变量 x 的取值范围．
布置作业 教后记
（4）一次函数 y=kx+b 的自变量取值范围是-3 小于等于 x 小于等于 6，相应函数值的取 值范围是-5 小于等于 y 小于等于 2。则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿ 5.选择： （1）若 x2+4(m-2)x+16 是完全平方式，则 m 等于（ ） A.6 B. 4 C. 0 D. 4 或 0 （2）若圆 O 所在平面内的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离为 a,最小距离为 b(a＞b)， 则此圆的半径为（ ） A.
B C
8.依法纳税是每个公民应尽的义务，从 2006 年 1 月 1 日起，个所得税的起征点从 800 元提到 1600 元。 月工资个人所得税税率表(与修改前一样): (1)某同学父亲 2006 年 10 月工资是 全月应纳税所得额 税率(%) 3000 元（未纳税） ，问他要纳税多 不超过 500 元的部分 5 少？ 超过 500 元至 2000 元的部分 10 (2)某人 2006 年 8 月纳税 150.1 元，那 超过 2000 元至 5000 元的部分 15 么此人本月的工资（未纳税）是多 …… …… 少元？此所得税法修改前少纳税多 少元？ (3)已知某人 2006 年 9 月激纳个人所得税 a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税） 是多少元？
高考数学复习 分类讨论思想、转化与化归思想
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》题型一 根据数学概念分类讨论【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝ ．题型三 根据变量或参数的取值情况分类讨论【例题3】解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是Rt △，求k 的值.1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或122．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( )A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－1123．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或4．不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是 ．6．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ．7．已知a ∈R ,若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根,求a 的取值范围．8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .。
高考数学专题复习 分类讨论的思想
2008高考数学专题复习分类讨论的思想一、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
分类讨论复习
3、如图，在△ABC中，AB=18，AC=12，D为AC边的中点，点E 在AB上，如△ADE与△ABC相似，那么AE的长为
A E2 E1 D C
9或4
.
B
4、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4. 若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径 的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
B
B
D C A C
A
A
∵ AB=AC=5，BC=6， AH⊥BC， ∴ BH=3. 3 在Rt △ABH中，cosB = 5 设运动的时间为 t 秒，那么AP=BQ= t ，BP=5 – t. 3 ∵在Rt △BPQ中，cosB = 5 5-t 3 25 BP 3 解得：t = ∴ = = 即 5 8 t BQ 5 15 25 综合得：当运动 或 秒时，△PBQ为直角三角形. 8 8
（从解题中可以看到，有时用锐角三角比的知识来代替 相似三角形的知识，会使得计算过程更简便）
B
Q A t P
C
5-t B t
H Q
C
六、本课小结
一、用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：
1、明确讨论对象； 2、选择分类标准，进行合理分类； 3、对分类情况，逐类讨论解决； 4、归纳并作出结论. 二、解题关键：统一标准，不重不漏.
分类的原则是既不重复，也不遗漏！
二、代数中的分类讨论问题选讲：
例1：实数运算中的分类讨论： 已知|a|=3，|b|=2，且ab＜0，则a - b= ；
解： |a|=3，∴ a =±3； ∵
∵ |b|=3，∴ b
（2） 当a＜ 0 ，b ＞ 0时； 又∵ ab＜0 ，∴ a 、b 异号； a – b =（ -3 ）–2 = - 5 ∴ a – b =5或 - 5 例2：方程中的分类讨论：
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
。
C B
A
5。△ABC是半径为2cm的圆的
A
C
内接三角3 形，
若BC=2 cm,则角A的度数
是
。
B
C
B
C
6。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以AＣ为圆
心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
A
A
B
C
2021/3/10
B
C
B
C
A
CHENLI
17
7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
CHENLI
13
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A 2021/3/10
B 20°
50° C
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
B A
C
65° 65° 50°
BA C
C
110° 35°
35°
B
50° 50°
BA
CHENLI
B
14
与交点坐标。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交13 点为（- ，0）；
当a不为0时,为二次函数y=ax12+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0.
3
解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ，0）
2021/3/10
CHENLI
10
二.图形位置的分类
2021/3/10
CHENLI
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
在△APC中，S=
1 2
AP·BC=12 ·２ｔ·６＝６ｔ
D
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
中考专题复习之二
分类讨论思想
余金耀
2021/3/10
CHENLI
1
浙江省衢州华茂外国语学校 余金耀 2021/3/10
CHENLI
2
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x度 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1
1
∴∠QPO2 =（180－∠OQ2 P）=（180－x)
1
又∠QPO=∠OCP+∠C2 OP，(180－x)=x+30,
解得x=40, 即∠OCP=40度
（2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C
在O上，且∠AOC=30度，点P是直线AB上的一个动点（与点O
不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么
位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的
度数。
C
B
A
OP
解：∵OQ=OC，Q OQ=OP
∴∠OQC=∠OCQ，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,
∴∠QPO=
1 2
∠OQC=
1 2
x,
又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+
1 x2 ,
得到x=20 即∠OCP=20度
Q P
B
2021/3/10
CHENLI
C
O
A
16
4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC3 的长2 分别是 ，
则∠BAC的度数是
2021/3/10
CHENLI
18
三.与相似三角形有关的分类
8。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB
边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D
开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t
秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
线202段1/3/O10B上。
CHENLI
15
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，
∴∠OPQ=
12（180－x)=
1 x. 2
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,
B
O
解得x=100 即∠OCP=100度
Q C AP
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
11
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
Ｈ
2021/3/10
150°
Ｏ
ＣＥ
CHENLI
Ｆa
12
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
2021/3/10
9
一.与概念有关的分类
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b
-5=6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或 y=-
1 3
x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
2021/3/10
CHENLI
8
分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。
（2）求四边形QAPC的面积； D
C
Q
提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、
A
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
P
B
2021/3/10
CHENLI
19
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
2021/3/10
CHENLI
3
2021/3/10
CHENLI
4
2021/3/10
CHENLI
5
2021/3/10
CHENLI
6
2021/3/10
CHENLI
7
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、 有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系 和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类， 如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几 何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶 角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
2021/3/10
CHENLI