【优质课件】人教版中职数学拓展模块3.1排列、组合与二项式定理1优秀课件.ppt
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最新语文版中职数学拓展模块3.1排列、组合1课件PPT.ppt
动 脑 思 考
= n(n 1)(n 2) (n m 1) 21 (n m) 21
（n
n! m)!
探
索 新
即
Pnm
（n
n! m)!
知
例2 计算 P52 和 P44．
解 P52 =5×4=20， P44 4！ 4 3 2 1 24．
巩
例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有 kn 种方法，那么完 成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
设
上面的计数原理叫做分类计数原理．
导
北京→重庆，北京→上海， 重庆→北京，
入
重庆→上海，上海→北京， 上海→重庆．
我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，那么上面的
动
问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以
脑
得到多少种不同的排列．
思
考
一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照一定的顺
北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，要准备多少种不同的机票？
创
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
设 点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法． 趣 根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT
组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．
排列与组合、 二项式定理的应用PPT优秀课件
所以符合题意的不同取法种数为 C104(4C64+6+3)=141.
方法二, 在四面体中取定一个面,
记为, 那么取不同不共面的4个点, 可
分为四类：
第一类, 恰有3个点在 上, 这时该
3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C633)=68.
第二类，恰有2个点在α上，可分两 种情况：①该2点在同一条棱上，这时4 个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ② 该2点不在同一条棱上，这时4个点的不 同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30.
(4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(5) 从7个位置中选出4个位置把男 生排好, 则有A74种排法; 然后再在余下 的3个空位置中排女生, 由于女生要按 身体高矮排列, 故仅有一种排法, 这样 总共有A74 840种不同排法.
[评注] 排列问题中，部分元素 相邻的问题可用“视一法”解；部分 元素不相邻的问题可用“插入法”解， 部分元素定序的问题也可用“插入法” 解.
[例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人 2本；
(2) 平均分成三份，每份2本； (3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一 人得2本，一人得3本；
4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6
不栽同一种花，则区
域2、3两块中有1种栽
5
法，总共有4×3×2× 6 1 4
1×1=24，所以一共有
方法二, 在四面体中取定一个面,
记为, 那么取不同不共面的4个点, 可
分为四类：
第一类, 恰有3个点在 上, 这时该
3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C633)=68.
第二类，恰有2个点在α上，可分两 种情况：①该2点在同一条棱上，这时4 个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ② 该2点不在同一条棱上，这时4个点的不 同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30.
(4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(5) 从7个位置中选出4个位置把男 生排好, 则有A74种排法; 然后再在余下 的3个空位置中排女生, 由于女生要按 身体高矮排列, 故仅有一种排法, 这样 总共有A74 840种不同排法.
[评注] 排列问题中，部分元素 相邻的问题可用“视一法”解；部分 元素不相邻的问题可用“插入法”解， 部分元素定序的问题也可用“插入法” 解.
[例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人 2本；
(2) 平均分成三份，每份2本； (3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一 人得2本，一人得3本；
4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6
不栽同一种花，则区
域2、3两块中有1种栽
5
法，总共有4×3×2× 6 1 4
1×1=24，所以一共有
【精选课件】人教版中职数学拓展模块3.1排列、组合与二项式定理1课件.ppt
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有A53种排法
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
【高教版】中职数学拓展模块：3.2《二项式定理》ppt课件(1)
巩 固 知 识 典 型 例 题
Tm1 C x
m 9 m 9
(2) C9 (1)6 2 x 系数是指 x 的系数C3 (2)3 =-672． 9
6
3 二项式系数是 而第4项的 84 ； m m m C m m 9 9
4
9
由9－m=6,得m＝3．
即二项展开式中含 x 的项为第4项． 故这一项的系数是
m 10
10 m
首先求出公式中字母 故 m的取值，从而确定要 求的是哪一项，最后根 解得 m=5． 据公式写出该项，是解 决这类问题的一般方 所以二项式展开式中第5项是常数项，为 法． 10 9 8 7 6 5 C10 252． 5 4 3 2 1
10 m m 0． 2
( a b) 3 (a b)4
………… 1 5 10 10 5 1 (a b)5 …… …… 上述二项式系数列成的表，称为杨辉三角． 是我国宋朝时的 数学家杨辉于1261年所著《详解九章算法》中列出的图表．
可以看出二项式系数具有下列性质：
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；
10
二项式系数与系数．
自 我 反 思 目 标 检 测
系数最大项是第6项，该项的二项式系数是252．
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
读书部分：阅读教材相关章节
继 续 探 索 活 动 探 究
书面作业：教材习题3.2（必做） 学习指导3.2（选做）
实践调查：用本课所学知识解决
生活中的实际问题
3 1 a b 种，所以 的系数是 a 的系数是C4；恰有1个取b的情况有C1 C 4 4；
语文版中职数学拓展模块3.1《排列、组合》ppt课件3
解1： 桔子：0 – 6；苹果：0 - 9 包括空篮：7*10=70 篮子不空：70-1=69
解2： s1=没有桔子的装法：9 s2=至少有1个桔子的装法：6*10 由加法原理 S=s1+s2 篮子不空： 9+60=69
例5 解：
在1000和9999之间有多少个具有不同数字 的奇数？
1-9 0-9 0-9 奇数
解 (1)每2个点唯一确定一条直线
n
C
2 25
25! 2!23!
25 24 2
300
(2)每3个点唯一确定一个三角形
n
C
3 25
25! 3!22!
25 24 23 23
例2 15选修数学课，其中12人来上课，他们随 便坐在教室的25个座位上。
共有多少中不同坐法？
解 (1)选择12个人来上课：
设8个车中有1个红车，3个蓝车，4个黄车。
S {1 R,3 B,4 Y}, 所以
8! 8!2
n 8!
1!3!4! 1!3!4!
定理3.4.3
设n个 车 共 有k种 颜 色 ， 第i种 颜 色 的 车ni个,
n n1 n2 nk。 则 在n n的 棋 盘 上 ， 非 攻
定理3.3.1
特别：
n r
P(n, r) r!
n! r!(n r)!
C
0 n
1,
C
1 n
n,
C
2 n
n(n 1) 2
C
r n
C
n n
r
定理3.3.2
解2： s1=没有桔子的装法：9 s2=至少有1个桔子的装法：6*10 由加法原理 S=s1+s2 篮子不空： 9+60=69
例5 解：
在1000和9999之间有多少个具有不同数字 的奇数？
1-9 0-9 0-9 奇数
解 (1)每2个点唯一确定一条直线
n
C
2 25
25! 2!23!
25 24 2
300
(2)每3个点唯一确定一个三角形
n
C
3 25
25! 3!22!
25 24 23 23
例2 15选修数学课，其中12人来上课，他们随 便坐在教室的25个座位上。
共有多少中不同坐法？
解 (1)选择12个人来上课：
设8个车中有1个红车，3个蓝车，4个黄车。
S {1 R,3 B,4 Y}, 所以
8! 8!2
n 8!
1!3!4! 1!3!4!
定理3.4.3
设n个 车 共 有k种 颜 色 ， 第i种 颜 色 的 车ni个,
n n1 n2 nk。 则 在n n的 棋 盘 上 ， 非 攻
定理3.3.1
特别：
n r
P(n, r) r!
n! r!(n r)!
C
0 n
1,
C
1 n
n,
C
2 n
n(n 1) 2
C
r n
C
n n
r
定理3.3.2
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计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的n①类方m办法1+法,m在中2+第m有23m类＋n…办种+法不m中同n种有的不m方同2种法的不,方那同法么的. 完方成法这，件…事…共，有在N第= 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的种不方同法的,做方第法2步,那有么m完2种成不这同件的事方共法有，……,做第n步有mn N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
所以
C 1x
2
=C
4 x
2
，
所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
点评 凡遇到解排列、组合的方程,
不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
题型三 结合两个计数原理求 排列、组合问题的方法数
例3用 0,1,2,3,4 这 五 个 数 字 ， 可 以 组
成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22 +A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33 =12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个). 故有6+12+12+3+6=39(个).
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选 法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
(2)由组合数的性质可得
+ C x1 x 1
C
+ x
x 1
C x2 x2
=
C
2 x 1
+
C
1 x 1
+ Cx42
=
C
2 x
2
+
C4 x2
.
又C
x 1 x3
=
C
2 x3
,
所以 C
2 x3
=
C2 x2
+
C4 x2
,
即
C
1 x
2
+
C2 x2
=
C2 x2
+
C
4 x
2,
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语
书各一本，有多少种不同的取法？
N=m1×m2×m3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
例2 解下列方程：
(1)
P4 2 x1
=140
Px3;
(2)
C
x 1 x3
=
+ C x1 x 1
+ C C x
x2
x 1
x2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有
(4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.
选C.点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm n(n 1)(n 2)
(n m 1) n! (n m)!
所有组合的个数叫做Cnm组合数,用符号 表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n 1)(n 2) (n m 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
=
C nm n
;
(ⅱ)
Cm n 1
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
=
Cnm
+
C m1 n
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从n个不同元
素中，任取m个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）”.因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型二 排列、组合数方程问题
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的n①类方m办法1+法,m在中2+第m有23m类＋n…办种+法不m中同n种有的不m方同2种法的不,方那同法么的. 完方成法这，件…事…共，有在N第= 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的种不方同法的,做方第法2步,那有么m完2种成不这同件的事方共法有，……,做第n步有mn N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
所以
C 1x
2
=C
4 x
2
，
所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
点评 凡遇到解排列、组合的方程,
不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
题型三 结合两个计数原理求 排列、组合问题的方法数
例3用 0,1,2,3,4 这 五 个 数 字 ， 可 以 组
成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22 +A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33 =12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个). 故有6+12+12+3+6=39(个).
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选 法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
(2)由组合数的性质可得
+ C x1 x 1
C
+ x
x 1
C x2 x2
=
C
2 x 1
+
C
1 x 1
+ Cx42
=
C
2 x
2
+
C4 x2
.
又C
x 1 x3
=
C
2 x3
,
所以 C
2 x3
=
C2 x2
+
C4 x2
,
即
C
1 x
2
+
C2 x2
=
C2 x2
+
C
4 x
2,
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语
书各一本，有多少种不同的取法？
N=m1×m2×m3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
例2 解下列方程：
(1)
P4 2 x1
=140
Px3;
(2)
C
x 1 x3
=
+ C x1 x 1
+ C C x
x2
x 1
x2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有
(4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.
选C.点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm n(n 1)(n 2)
(n m 1) n! (n m)!
所有组合的个数叫做Cnm组合数,用符号 表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n 1)(n 2) (n m 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
=
C nm n
;
(ⅱ)
Cm n 1
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
=
Cnm
+
C m1 n
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从n个不同元
素中，任取m个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）”.因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型二 排列、组合数方程问题