高一数学集体备课(可编辑修改word版)

三角恒等变换

（一） 教材分析

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。 通过本章的学习， 要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

由本章的章头语所介绍的,三角恒等变换既是解决生产实际问题的工具，又是学后继内容和高等数学的基础．三角恒等变换是实践中经常使用的工具．在力学、物理、电气工程、机械制造、图像处理，及其他科学研究和工程实践中经常会用到这些公式．三角函数恒等变形的教学内容是在三角函数的教学内容基础上的，进一步研究单角的三角函数之间以及单角的三角函数与复角的三角函数之间的关系．他包括同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式、半角公式等．经验证明通过这一部分知识等教学，对于培养学生等运算能力、推理能力和逻辑思维能力起较大作用．

（二）知识要点

1. 两角和与差的三角函数公式：（1）

c os (

- ) = cos cos + s in sin （2）

cos (+

) = cos

cos - sin sin

2. 倍角公式：

sin 2= 2 s in cos

；

cos 2

= cos 2 - sin 2

= 2 cos 2

- 1 = 1 - 2 sin 2

tan 2=

2 tan

；

1 - tan 2

3、半角公式：

cos 2 = 1 + cos 2； sin 2 = 1 - cos 2

；

2 2 tan = 1 - cos = ；

2 sin 4、辅助角公式： a s in + b c os =

a 2 +

b 2 sin(+) （角终边过点 P (a , b ) ）。

5、积化和差公式：

sin ·cos = 1

[sin(+ )+sin(- )] 2

cos

·sin

= 1

[sin(

+

)-sin(

- )]

2

cos ·cos = 1

[cos(+ )+cos(- )] 2 sin

·sin = - 1

[cos(+ )-cos(- )]

2

（三）要点概述

（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如

2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β，α是2α的半角，α是α的倍角等。

3 3 2 4

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：

①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有

一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，

使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所

得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：2α=(α+β)+(α-β)，tanα+ tanβ= tan(α+β)(1 - tanα tanβ)

等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：

①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。

(四)教学要点

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．本节课是在学生已学习了同角三角函数式的变换的基础上，进一步学习包含两个角的三角函数式的变换方法，体验变换思想的第一课时。本课所推导的两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。

证明过程如下：

→→→→

假设O A与O B的夹角为θ，O A＝（cosα，sinα），O B＝（cosβ，sinβ）, 由向量数量积的概念，有：

→→→→

O A•O B= O A O B cos =cos ,又由向量数量积的坐标表示有：

→→

O A•O B＝cosαcos β+ sinαsinβ

于是有cosθ＝cosαcos β+ sinαsinβ 分类讨论如下：

（1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β

（2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β）

此时cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β）

（3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π] 综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcos β+ sinαsinβ。得证

（五）考点聚焦

考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切；2、理解二倍角的正弦、余弦、正切；

3、了解几个三角恒等式；

要点：