解题技巧专题：矩形中的折叠问题
矩形折叠问题知识点总结
矩形折叠问题知识点总结1. 问题概述矩形折叠问题的基本情境是，给定一个长方形纸张，要求将其折叠成一个给定形状，通常是通过将纸张折叠后在两个边缘进行切割。
这个问题最早可以追溯到19世纪，由著名的数学家亨利·杜迪尼（Henri Dudeney）提出。
在这个问题中，关键点在于如何找到最优的折叠方法，使得得到的形状与目标形状最接近。
2. 解决方法矩形折叠问题涉及到了几何学、数学分析、最优化等多个学科知识，因此解决这个问题需要综合运用多种方法。
下面我将介绍一些常见的解决方法。
（1）分割法分割法是解决矩形折叠问题的一种常见方法。
首先将目标形状细分成若干个小矩形，然后将原始的长方形纸张按照这些小矩形进行折叠，最后再将边缘上多余的部分切掉，就可以得到最终的形状。
这种方法的关键在于如何将目标形状进行合理的分割，找到合适的折叠点和切割线。
（2）几何分析法几何分析法是另一种解决矩形折叠问题的常见方法。
通过对目标形状的几何特征进行分析，可以找到最优的折叠方法。
这种方法通常需要借助于数学工具，例如微积分、线性代数等，对目标形状进行数学建模，然后通过求解最优化问题，得到最佳的折叠方案。
（3）仿射变换法仿射变换法是一种比较高级的解决方法，它利用了几何变换的性质，将目标形状通过仿射变换映射成一个简单的形状，然后再将纸张按照这个简单的形状进行折叠，最后再通过逆变换将折叠后的纸张映射回原来的形状。
这种方法需要较强的数学功底和熟练的计算能力，但是可以得到非常优美的折叠结果。
3. 相关知识点解决矩形折叠问题需要涉及到很多相关的数学知识点，下面我将逐一介绍这些知识点。
（1）几何形状矩形折叠问题本质上是一个关于几何形状的问题，因此需要熟悉各种几何形状的性质，包括面积、周长、对称性等方面的知识。
在解决矩形折叠问题时，需要对目标形状进行合理的分割和组合，这就需要对几何形状的特征有深入的了解。
（2）数学分析数学分析是解决矩形折叠问题的重要数学工具，通过对目标形状进行数学建模，并利用微积分、线性代数等数学工具，可以求解最优的折叠方案。
初二数学矩形折叠问题专题讲解,只需三步就能搞定!
例1如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，则CE的长为多少？分析：根据折叠可知：△ADE≌△AFE⇒AD=AF=BC=10,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=6，AF=10,根据勾股定理，得BF==8,所以CF=10-8=2.设CE的长为x,则DE=EF=6-x.在Rt△CEF中，CF=2,CE=x,EF=6-x,根据勾股定理列出方程，即可求出x的长.例2如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=3,AD=4,你能求折痕EF的长吗？分析：连接AC交EF与点O，由翻折可得到FE垂直平分AC，那么AF=FC，易证△AEO≌△CFO.那么求出OF长，乘2后就是EF长，利用直角三角形ABF求解即可．总结矩形折叠问题解题技巧和关键步骤（1）折叠确定全等等量线段转移（2）求出线段长度（3）设未知数，利用勾股关系建立方程好记性不如烂笔头，快快整理笔记在笔记本上，找题目练练哦！题目已经给你们准备好啦专题小练一．选择题1．（2018•牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）A．6 B．5C．4 D．32．（2019•辽阳）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP 折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（ ）3．（2019•桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）4．（2018•朝阳）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（ ）5．（2018•毕节市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）二．填空题（共4小题）6．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝ ．7．（2019•西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为 ．8．（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为 ．9．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．三．解答题10．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．▍ 声明：本文整理自网络，如有侵权，请联系删除。
七年级折叠问题解题技巧
七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。
这意味着对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。
折痕是对应点连线的垂直平分线。
比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。
2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。
解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。
先根据勾股定理求出AB=公式。
设AB中点为F，则AF=公式。
由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。
设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。
在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。
矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。
解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。
设AE = x，则BE = 4 x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
所以公式。
二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。
这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。
第二步：设未知数。
通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。
第三步：求解方程。
通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。
2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。
如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。
利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧初二数学四边形的折叠问题技巧数学中的几何形状是我们学习的重要内容之一。
四边形作为一种常见的几何形状，其折叠问题技巧也是我们需要掌握的。
本文将介绍初二数学中四边形的折叠问题技巧。
一、矩形的折叠问题技巧矩形是一种特殊的四边形，其两对边相等且平行。
在处理矩形的折叠问题时，我们需要注意以下几个技巧。
1. 折叠对角线：将一个矩形沿对角线方向折叠，可以得到重叠的两个直角三角形。
这个技巧在解决一些矩形面积、周长等问题时很有用。
2. 平行线折叠：我们还可以将矩形沿其中一对平行边折叠，使得另外一对平行边重合。
这样可以得到一个与原来矩形相似且大小相等的矩形。
这个技巧在解决一些矩形相似性质的问题时很有帮助。
二、平行四边形的折叠问题技巧平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。
在处理平行四边形的折叠问题时，我们也可以运用一些技巧。
1. 对折：可以将平行四边形沿两对平行边分别对折，使得两对对折线上的点重合。
这样可以证明平行四边形的对角线互相平分。
2. 平移：可以将平行四边形平移，使得相邻两边重合，从而得到一个与原平行四边形相似的形状。
这个技巧在解决一些平行四边形相似或面积问题时很有用。
三、菱形的折叠问题技巧菱形是一种特殊的平行四边形，其四条边相等且对角线垂直。
在折叠菱形时，我们可以运用一些技巧。
1. 中点折叠：可以将菱形沿对角线方向折叠，使得两个对角线的中点重合。
这样可以得到一个与原菱形相似的等腰直角三角形。
2. 对称折叠：可以将菱形沿其中一条对称轴折叠，使得两个顶点重合。
这样可以得到一个与原菱形相似的小菱形。
四、梯形的折叠问题技巧梯形是一种具有一对平行边的四边形。
在折叠梯形时，有如下技巧可用。
1. 平行线折叠：可以将梯形沿长边折叠，使得两个平行边重合。
这样可以得到一个与原梯形相似的矩形。
这个技巧在解决一些梯形相似性质的问题时很有帮助。
2. 对称折叠：可以将梯形沿对称轴折叠，使得两个底边重合。
这样可以得到一个与原梯形相似的小梯形。
利用勾股定理解决矩形中的折叠问题
（二）探索新知
1、动手折一折，在矩形纸片ABCD中，将
矩形纸片折叠，使点A与点C重合．请在图
中画出折痕。
D
A
D
F
A
C
(A') C
B
B E
B'
2、用矩形纸片，你还能折出其它的情形吗？ 两人一 组，试一试。
2024/7/14
（（ 二）探索新知
3、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比 比看， 哪组方程列的快?
3、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比比看，哪 组方程列的快?
(4) 将矩形沿对角线折叠
2024/7/14
2024/7/14
(三）典例解析
例1 ：如图，在矩形ABCD中AB=5cm，在边CD
上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，
使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面
积是30cm2。求此时AD的长。若此时要求CE的
(1)将对角顶点重合
2024/7/14
（（ 二）探索新知
2、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比 比看， 哪组方程列的快?
(2) 顶点折叠到对边上
2024/7/14
（二）探索新知
3、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比比看，哪 组方程列的快?
(3) 顶点折叠到对角线上
2024/7/14
（二）探索新知
边上一点，连结AE，把∠B沿AE折叠，使点B落
在点B'处，当ΔCEB'为直角三角形时，BE的长
为______
A
D
B'
2024/7/14
B
E
C
（五）小结与反思
今天这节课你有什么收获？204/7/142024/7/14
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题是计算几何学中一个经典的问题，需要将一个矩形
单片纸折叠成不同的形状。
根据折叠的方式不同，长方形折叠问题可
以划分为四个类型。
一、矩形对折型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一边对折，得到的形状为一个小矩形。
其面积为原矩形面积的四分之一。
二、两个小矩形型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一个边对折，将得到两个小矩形。
这两个小矩形的面积之和等于原矩形面积。
三、梯形型
将矩形沿着某一边对折后再折成一三角形，将三角形的一条边与另一
边平行，得到的形状为梯形。
梯形的面积为原矩形面积的一半。
四、折叠成立体型
把矩形按一定方式折叠成一个几何立体体，如立方体、正四棱锥等。
这种类型的长方形折叠问题需要对几何概念和立体几何有一定的认识。
无论是哪种类型的长方形折叠问题，其解题方法都需要灵活掌握，考
虑到折叠的方向和次数，从而推导出最终的形状和面积。
长方形折叠
问题不仅能够训练我们的空间想象力，也有助于提高我们的计算能力和数学应用能力。
矩形中的折叠问题
若点E，点F分别是边AB，边AD
上的点，将⊿AEF沿EF对折，使
C
点A落在边BC上，记为A′．观察
图形，请回答下列问题：
D
E
B
图4 A'
F
A
（1）如图1，BA’ = 3 .
（2）如图5，BA’ = 1 ，
5
AE= 3
.
（3）如图4，A’B的范围 是 1≤ A’B≤3 .
C
B (E)
A' 图1
D (F)
x
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
(2)过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于 点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求 点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
H B1
备用图
直击中考
（2015•绍兴）在平面直角坐标系中，O为原点，四边 形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P， 点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点 B关于PQ的对称点。 （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
课后练习
已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所
在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边
BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比y例函k 数(k 0)
的图象与AC边交于点E．
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
人教版中考数学考点系统复习 第五章 四边形 微专题(四) 矩形的折叠问题
EA′＝EA
拓展折法：如图⑤，当点B′恰 好落在CD边上时，设A′B′交AD
于点P.
图⑤：过点E作 EG⊥BC，则
△EFG∽△BB′C △A′EP∽△DB′P △CFB′∽△DB′P △BB′F为等腰三角形
4．★如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上 的点A′处，点D的对应点为点D′.若A′B＝3，则DM＝2 2 .
4 B.3
3 C.2 D.53
类型三：折痕过两边
基本折法
结论
如图④，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD， 图④：△ABE≌△A′B
BC上，沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A′B
′E
′FE，点B′恰好落在AD边上．
四边形BFB′E是菱形
△B′EF为等腰三角形
∠B′FE＝∠BFE
FB′＝FB，
基本折法
结论 图②：△DBC∽△PDE △BDA∽△PDE △BPE≌△BPA
基本折法
结论
图③：△GCB∽△GEF △GEF∽△PDF △BPE≌△BPA
3．★(2021·遂宁)如图，在矩形ABCD中ห้องสมุดไป่ตู้AB＝5，AD＝3，点E为BC上一
点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长（ D ） A．1
微专题(四) 矩形的折叠 问题
类型一：折痕过对角线 基本折法
如图，点P是矩形ABCD边AD上一点， 当点P与点D重合时，将△ABP沿BP折
叠得到△EBP，BE交CD于点H.
结论
△BPE≌△BPA； △BCH≌△DEH； △DEH是直角三角形； △BHD是等腰三角形
1．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落 在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AC的长为4 5 cm，S△COE＝ 66 cm2.