第七章-快速傅立叶变换PPT课件
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《快速傅里叶变换》课件
FFT算法的出现极大地推动了数字信号 处理技术的发展和应用。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
第七章 傅立叶变换
T p j( n - m ) d 0 -T2 e (e ) d t 2p -p e 2p t 2p d t T 其中 wt , 则d ,dt d T T 2p
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
证：f t 1 F ejt d
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
快速傅里叶变换解析课件PPT学习
(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2
2
复加次数: N ( N 1)
2
(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: N
复加次数:
2 2
N
2
N
总共运算量:
复乘: 复加:
N2 N
N(N
1)/ 2 N 2
22
2
N(N
1) N
N2
2
2
*N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1);与分解后相比可知,
X (k) X1(k) WNk X 2 (k) , k 0,1,
, N 1 2
（4-11）
X
k
N 2
X1
k
N 2
W
k
N 2
N
X 2
k
N 2
X1(k) WNk X 2 (k), k 0,1,, N 1 （4-12） 2
13
第13页/共57页
这样，就可将X(k)表达为前后两部分：
n0
n0
N 1
{Re[x(n)]Re[WNnk ] Im[x(n)]Im[WNnk ]
n0
j(Re[x(n)]Im[WNnk ] Im[x(n)]Re[WNnk ])}
（4-3）
由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法； 一次复数加法需二次实数加法。 因而每运算一个X(k)需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。 所以，整个DFT运算 总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。
2
第2页/共57页
N 1
正变换： X (k ) x(n)WNnk
n0
反变换：
x(n)
快速傅里叶变换PPT课件
W
0 N
运算即可求出
所有8点X(k)的
W
1 N
值。
W
2 N
W
3 N
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋N/2蝶形
-
14
运算量比较
N点DFT的运算量
每次蝶形含一次复数
复数乘法次数： N2
乘和两次复数加
复数加法次数： N(N－1)
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋ N/2蝶形：
复数乘法次数： 2*(N/2)2+N/2=N2/2+N/2
-
3
4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量 设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
N1
X(k) x(n)WNnk n0
k=0，，…，N-1
（1）计算一个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N
复数加法次数： N－1
（2）计算全部N个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N2
复数加法次数： N(N－1)
-
5
4.2.2 减少运算工作量的途径
主要原理是利用系数
W
nk N
的以下特性对DFT进行分解：
（1）周期性 W N (nN)kW N n(kN)W N nk
（2）对称性
(WNnk )
W nk N
W k(N n) N
（3）可约性
Wmnk mN
WNnk
WNnk WNnk/m/m
另外，
WNN/2 1
W(kN/2) N
复数加法次数： 2*(N/2)(N/2－1)+2*N/2=N2/2
通过一次分解后，运算工作量减少了差不多一半。
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
t e intdt n
0,1,2,L
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
6
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2
n-1n
又 (n )
1
2
f
(
)e jn
d
e jnt
f
(t
)
lim
n 0
n
T
(n
)n
(n ) d n
( )d
最后可得：
f (t) 1
2
an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：
数字信号处理_快速傅里叶变换..PPT共53页
.
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
傅里叶变换详解(课堂PPT)
的拉氏逆变换．
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
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FFT算法分类:
时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency
§4.3 按时间抽取（DIT）的FFT算法
（Decimation In Time）
1、算法原理
设序列点数 N = 2M，M 为整数。 若不满足，则补零
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。 将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
W W r(N/2k) N/2
rk N/2
X1N 2kNr/201x1(r)WN r(/N 2/2k)
N/21
x1(r)WN r/k2X1(k)
r0
X2N 2kX2(k)
又 W N kN 2W N N/2W N kW N k
X X ( (k N 2 ) k X )1 (kX ) 1(W N 2 N k X k 2()k )， W N k (N /2 0 k,)1 X ,2 2 ,(N .2 N . /.2 k) 1 (2 )
N 2 点
DFT
X2(0) X2 (1)
W
0 N
W
1 N
W
2 N
X2(2)
W
3 N
X2 (3)
X (0) X (1) X (2) X (3)
X (4) X (5) X (6) X (7)
分解后的运算量：
复数乘法
复数加法
一个N/2点DFT (N/2)2
N/2 (N/2 –1)
两个N/2点DFT N2/2
可 约 性 W N n k W m m N n kWNnk WNnk/m /m
j 2 m nk
e mN
j2N
e N2
e j
1
特 殊 点 ： W N 0 1 W N N / 2 1 W N ( k N / 2 ) W N k
FFT算法的基本思想： 利用DFT系数的特性，合并DFT运算中的某些项， 把长序列DFT短序列DFT，从而减少其运算量。
第四章 快速傅里叶变换
（FFT）
.
1
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IDFT高效算法及实序列的
FFT算法 线性调频z变换
§4.1 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley-Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。
FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。
DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
典型应用：信号频谱计算、系统分析等
频谱分析与功率谱计算
x(n) D F TX(k)
系统分析
x (n ) h (n ) y (n )
x(n)FFT
IFFTy(n)
h(n)FFT
§4.2 直接计算DFT的问题及改进途径
1、 DFT与IDFT
N 点 有 限 长 序 列 x(n)
N1
X(k) x(n)WNkn n0
x(n)N 1N k01X(k)WNkn
2、DFT与IDFT运算特点
N 1
x(n)WNnk
n0
一个X(k) N个X(k) (N点DFT)
X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ， k 0 ,1 ,2 ,N ./. 2 .1
X(Xk(k)N2)X1X(k1)(k)W NW kXNk2X(k2)(k) k 0 ,1 ,...,N /2 1
将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。
X1(k)
X1(k)W N kX2(k)
n为偶
n为奇
N/21
N/21
x1(r)WNr/k2WNk x2(r)WNr/k2
r0
r0
X1(k)
X2(k)
（这一步利用： WN 2rkWN r/k2 ） r ,k 0 ,1 ,...N /2 1
记： X (k ) X 1 (k ) W N k X 2 (k ) ………（1）
再利用周期性求X(k)的后半部分
分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。
3、降低DFT运算量的考虑
WNnk的特性
WNnk
j2nk
e N
对 称 性 ( W N n k ) * W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
W
N N
k
W
N
n
k
W
n N
N
W
N
n
k
周 期 性 W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
X2(k)
W
k N
X1(k)W N k减法；
b. 乘法运算的支路标箭头和系数。
用“蝶形结”表示上面运算的分解：
N823
x(0) x(2) x(4) x(6)
x (1) x(3) x(5) x(7)
N 2 点
DFT
X1(0) X1(1) X1(2) X1(3)
x x1 2 ((r r)) x x ((2 2 r r) 1 )， r0 ， 1 ， 2 ， ..N /.2 1
将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT
X (k ) Dx F (n ) T N n 0 1 x (n )W N kn
N r/ 2 0 1x( 2 r)W N 2rk N r/ 2 0 1x (2 r 1 )W N (2r 1)k
N (N/2 –1)
一个蝶形
1
2
N/2个蝶形
N/2
N
总计
N 2 / 2 N / 2 NN/21N
N2/2
N2 /2
运算量减少了近一半
进一步分解
由于 N2M，N 2M1 仍为偶数，因此，两个
2
同理：IDFT运算量与DFT相同。
例 用FFT算法处理一幅N×N点的二维图像，如用每秒可做 10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不 考虑加法运算时间）？
解 当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘
法约为
N2 2
log2 N2
107
次，仅为直接计算DFT所需时间的10万
复数乘法 复数加法
N
N–1
N 2 N (N – 1)
a j b c j d a c b d j a d c b
实数乘法 实数加法
一次复乘 4
2
一次复加
2
一个X (k) 4N
2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1)
N个X (k) 4N 2
2N (2N – 1)
(N点DFT)
时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency
§4.3 按时间抽取（DIT）的FFT算法
（Decimation In Time）
1、算法原理
设序列点数 N = 2M，M 为整数。 若不满足，则补零
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。 将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
W W r(N/2k) N/2
rk N/2
X1N 2kNr/201x1(r)WN r(/N 2/2k)
N/21
x1(r)WN r/k2X1(k)
r0
X2N 2kX2(k)
又 W N kN 2W N N/2W N kW N k
X X ( (k N 2 ) k X )1 (kX ) 1(W N 2 N k X k 2()k )， W N k (N /2 0 k,)1 X ,2 2 ,(N .2 N . /.2 k) 1 (2 )
N 2 点
DFT
X2(0) X2 (1)
W
0 N
W
1 N
W
2 N
X2(2)
W
3 N
X2 (3)
X (0) X (1) X (2) X (3)
X (4) X (5) X (6) X (7)
分解后的运算量：
复数乘法
复数加法
一个N/2点DFT (N/2)2
N/2 (N/2 –1)
两个N/2点DFT N2/2
可 约 性 W N n k W m m N n kWNnk WNnk/m /m
j 2 m nk
e mN
j2N
e N2
e j
1
特 殊 点 ： W N 0 1 W N N / 2 1 W N ( k N / 2 ) W N k
FFT算法的基本思想： 利用DFT系数的特性，合并DFT运算中的某些项， 把长序列DFT短序列DFT，从而减少其运算量。
第四章 快速傅里叶变换
（FFT）
.
1
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IDFT高效算法及实序列的
FFT算法 线性调频z变换
§4.1 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley-Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。
FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。
DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
典型应用：信号频谱计算、系统分析等
频谱分析与功率谱计算
x(n) D F TX(k)
系统分析
x (n ) h (n ) y (n )
x(n)FFT
IFFTy(n)
h(n)FFT
§4.2 直接计算DFT的问题及改进途径
1、 DFT与IDFT
N 点 有 限 长 序 列 x(n)
N1
X(k) x(n)WNkn n0
x(n)N 1N k01X(k)WNkn
2、DFT与IDFT运算特点
N 1
x(n)WNnk
n0
一个X(k) N个X(k) (N点DFT)
X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ， k 0 ,1 ,2 ,N ./. 2 .1
X(Xk(k)N2)X1X(k1)(k)W NW kXNk2X(k2)(k) k 0 ,1 ,...,N /2 1
将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。
X1(k)
X1(k)W N kX2(k)
n为偶
n为奇
N/21
N/21
x1(r)WNr/k2WNk x2(r)WNr/k2
r0
r0
X1(k)
X2(k)
（这一步利用： WN 2rkWN r/k2 ） r ,k 0 ,1 ,...N /2 1
记： X (k ) X 1 (k ) W N k X 2 (k ) ………（1）
再利用周期性求X(k)的后半部分
分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。
3、降低DFT运算量的考虑
WNnk的特性
WNnk
j2nk
e N
对 称 性 ( W N n k ) * W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
W
N N
k
W
N
n
k
W
n N
N
W
N
n
k
周 期 性 W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
X2(k)
W
k N
X1(k)W N k减法；
b. 乘法运算的支路标箭头和系数。
用“蝶形结”表示上面运算的分解：
N823
x(0) x(2) x(4) x(6)
x (1) x(3) x(5) x(7)
N 2 点
DFT
X1(0) X1(1) X1(2) X1(3)
x x1 2 ((r r)) x x ((2 2 r r) 1 )， r0 ， 1 ， 2 ， ..N /.2 1
将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT
X (k ) Dx F (n ) T N n 0 1 x (n )W N kn
N r/ 2 0 1x( 2 r)W N 2rk N r/ 2 0 1x (2 r 1 )W N (2r 1)k
N (N/2 –1)
一个蝶形
1
2
N/2个蝶形
N/2
N
总计
N 2 / 2 N / 2 NN/21N
N2/2
N2 /2
运算量减少了近一半
进一步分解
由于 N2M，N 2M1 仍为偶数，因此，两个
2
同理：IDFT运算量与DFT相同。
例 用FFT算法处理一幅N×N点的二维图像，如用每秒可做 10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不 考虑加法运算时间）？
解 当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘
法约为
N2 2
log2 N2
107
次，仅为直接计算DFT所需时间的10万
复数乘法 复数加法
N
N–1
N 2 N (N – 1)
a j b c j d a c b d j a d c b
实数乘法 实数加法
一次复乘 4
2
一次复加
2
一个X (k) 4N
2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1)
N个X (k) 4N 2
2N (2N – 1)
(N点DFT)