第三章 傅里叶变换(一)
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第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
信号与系统第三章傅里叶变换
a0
F f t F
f t
0
t
2
2
f
(at)
1 |a|
F
a
F
2
2
f t
0
t
4
4
F
4
4
时域中压缩
频域中扩展，时域中扩展
频域中压缩
（实例：录音：慢录快放，时间短、频带宽
t
f
t
1
t T1
0 t T1
F
2T1 sincT1
f t sinWt F
t
f t W sin cWt
W /
/W
/W
0
F
j
1
0
W W
F
t
1 F j
-W 0 W ω
1 X1 j
F j ea t e j tdt
0
eat e j t dt e at e j t dt
0
1 1
a j a j
F
j
2a
a2 2
ea t
a
0F
a
2
2a
2
f
t
1
0
2
2 f t F j e j td
交换 t ,
2 f
F
jt e j t dt
1F 2 2
f (t) 1
第三章离散傅里叶变换DFT(一)
F2
1 2
e j 4
3.1连续时间信号的傅里叶变换
非周期连续信号傅里叶变换
F j f (t)e j t dt
f (t)
1
F je j t d
2
该变换存在的充分条件： f t dt
频谱密度函数
周期信号的傅氏级数：
f (t)
F en
n
jn0t
(0
2 T
)
(1)
周期信号的频谱：
3.3连续时间信号的抽样
抽样原理（采样、sample）
周期 序列
3.3连续时间信号的抽样
需要解决的问题
fs (t) f (t) s(t)
1
Fs ( j) 2 F( j) * S( j)
由f sf(st
)
t
Fs j与F 能否恢复f t
j的关系
理想冲激序列抽样
s(t) Ts (t) (t nTs )
2
f (t) 1 sin t 2 cos t cos 2t
Fne jnt
4
n 2
1 2
e
j
4e
j 2t
[1
1 2j
]e
jt
1 [1 1 ]e jt 2j
1 e j 4e j2t 2
F2
1 2
e
j
4
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
F0 1
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t)
――傅里叶变换
第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。
）可由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T1 1为f (t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t)n=1各谐波成分的幅度值按下式计算a = —f t o+T1 f (t)dto T t o a =」t o+T1 f (t)cos (n3 t)dt n T t1ob = — j t o+ T1 f (t)sin(n3 t)dt n T t1o其中n = 1,2, •••狄利赫里条件:（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个;（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。
t o（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即f (t)= £F (n3)ej n31 n1n二一8其中F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。
3.1m号的傅里叶级!瞬析(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系(1)偶函数由于f。
)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则1b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t11 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数由于f (t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则1a =— J t0+T f (tb t = 00 T t10a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t11t0所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项(3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ])I 27半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
第3章-1-傅里叶变换与正交函数集
y
Ay
Uy
Ux
A
Ax
x
Ay A Uy
Ux •Ux Uy Uy 1 Ux •Uy 0
Ux 和 Uy 是一组模为1的正
平面矢量分解图
交矢量
8
A Ax Ay Az
y
Ay
A
Ax A Ux Ay A Uy
Uy
Uz Az
z
Ux
x
Ax
Az A Uz
Ux Ux Uy Uy Uz Uz 1
则称两个函数在区间 t1, t2 上正交。
18
一、周期信号的傅立叶级数展开
函数集的正交性:
如果函数集 k (t) 满足关系式：
t2 t1
m (t)n
(t)dt
t2 t1
m2
(
t
)dt
Km
0, m
n
则称该函数集在区间 t1, t2 上正交。
T 0
m (t)n(t)dt
T e e jm0t jn0t dt
从A2几 何A1图c o上s可得A：1 A2Ac2
os
A1 • A2
A2
C12
A1 A2 A2 A2
A1 A2 A22
A1 E
A2
c12 A2
从解析角度： 2
2
(a)
则令 C12
E A1 C12 A2
2
A1 C12 A2 0
Hale Waihona Puke 也可导出C12A1. A2
A22
C12——是在最小平方误差的意义上标志着 A1和 A2
2
cos t sin tdt 0
0
C12 0
也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。
3-1图像变化-傅立叶变换
1 3 1 F (0) f ( x ) exp[0] [ f (0) f (1) f (2) f (3)] 4 x 0 4 1 [2 3 4 4] 3.25 4 f(x)全部值对FT 1 3 都产生影响；反 F (1) f ( x ) exp[ j 2x / 4] 4 x 0 之，全部变换系 1 1 数对反变换也产 [2e0 3e j / 2 4e j 4e j 3 / 2 ] [2 j ] 4 4 生影响。 1 3 F (2) f ( x ) exp[ j 4x / 4] 4 x 0 1 1 [2e0 3e j 4e j 2 4e j 3 ] [1 j 0] 4 4 1 3 F (3) f ( x ) exp[ j 6x / 4] 4 x 0 1 1 [2e0 3e j 3 / 2 4e j 3 4e j 9 / 2 ] [2 j ] 4 4
f e ( x) g e ( x) f e (m) g e ( x m), x 0,1,2,...,M 1
m 0
M 1
定理：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G*(u,v), f(x,y) g *(x,y) F(u,v) G(u,v), ―*‖表示复共轭。
快速傅立叶变换
DFT与FFT计算量比较
基本思想
基本思想
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
FFT特性
FFT思想
例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
算法实现
算法实现
算法实现
例题
用傅立叶变换和FFT分别求F(u).
f e ( x) g e ( x) f e (m) g e ( x m), x 0,1,2,...,M 1
m 0
M 1
定理：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G*(u,v), f(x,y) g *(x,y) F(u,v) G(u,v), ―*‖表示复共轭。
快速傅立叶变换
DFT与FFT计算量比较
基本思想
基本思想
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
FFT特性
FFT思想
例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
算法实现
算法实现
算法实现
例题
用傅立叶变换和FFT分别求F(u).
第三章 富里叶变换分析
–
浙江中医学院
陈礼民
例
f(x)是一个连续函数，x=0,1,2,3时，分别取样得到 是一个连续函数， 是一个连续函数 时 f(0)=2, f(1)=3, f(2)=4, f(3)=4 由公式：Ｆ(u)=(1/M) ∑ f(x)[cos2π ux/M-jsin2π ux /M] 由公式： π π 3 //所有取样点都贡献 得F(0)=1/4* ∑ f(x)exp[-j2π0X /M] 所有取样点都贡献 x=0 //u=0, exp[-j2π0X /M] =1 =1/4* [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=3.25 3 F(1)=1/4* ∑ f(x)exp[-j2πX /M] //u=1 x=0 = 1/4* (2exp[0] +3*exp[- jπ/2]+4* exp[- jπ]+ 4*exp[- j3π/2]) = 1/4[-2+j] //按欧拉公式算得 按 F(2)= 1/4* (2exp[0] +3*exp[- jπ]+4* exp[- j2π]+ 4*exp[- j3π]) = -1/4*[1+j0]
Ｆ(u)=(1/M) ∑ f(x)exp[-j2πux/N]
x=0
u: 0,1,2,…..,N-1
N-1
f(x)=(1/M) ∑ F(u)exp[j2πux/N] ,
x=0
(3.1.2)
x=0,1,2,….M-1
浙江中医学院 陈礼民
注解： 1。Ｆ(u)由所有的f(x)值和cos,sin 相乘的和组成 2。X是空间域的，u是频率域的 3．函数f(x)对应着频率域中一个Ｆ(u)序列，
x=0 y=0
u,v: 0,1,2,…..,N-1
第三章 傅里叶变换
P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
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傅里叶级数中无余弦分 量，F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3．奇谐函数
若波形沿时间轴平移半个周 期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化： T T f (t ) f t 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 a0 0
f (t )
23 23 页 页
1 t 0 T 直流分量 a0 f (t ) d t t T 0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
X
第 第
其他形式
余弦形式
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
（2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
16 16 页 页
X
第 第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
T1 f t f t 2
f (t )
24 24 页 页
T1 O 2 T1 2
T1
1
2 T1Βιβλιοθήκη T1tf(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量
当n 1,3,5时
当n 2,4,6时
an bn 0
4 an f ( t ) cosn 1t d t T1 T1 4 2 bn f ( t ) sinn 1t d t T1 0
A f (t ) t T1
T1 2 T 1 1 2 T1 2 T 1 1 2 T1 2 T 1 1 2
9 9 页 页
1 A a0 tdt 0 T T1 2 A an t cosn 1t d t 0 T T1
T1 T1 t 2 2
f ( t ) d 0 d n sinn 1 t n
2 2 d n an bn
d 0 a0 an d n sin n
bn d n cos n
bn n arctan a n
X
第 第
例3-2-1
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
X
第 第
§3.2 周期信号傅里叶级数分析
•三角函数形式的傅氏级数
5 5 页 页
• 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn1t , sinn1t 是一个完备的正交函数集
X
主要内容
第 4 页
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
f t
A/2
T1 2 T1 2
t
2 A A bn t sinn 1t d t ( 1)n1 n 1,2,3 T T1 nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f t 0 sin 1t sin 2 1t π 2π
直流 基波 谐波
n 0
傅里叶级数中不含正弦 项，只含直流项和余弦 项。 F ( n 1 )为实函数。
X
2．奇函数
波形相对于纵坐标是反 对称的：f (t ) f (t ) 1 T f (t ) 2 a0 T f ( t ) d t = 0 1 T 2
2 an T
第 第
22 22 页 页
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
X
n 1
第 第
频谱图
幅度频谱
cn ~ 或 Fn ~ 曲线
O 1
3 1
15 15 页 页
cn
c1
离散谱，谱线
c0 c3
相位频谱
n
n ~ 曲线
O
1
3 1
X
第 第
2π 1 T1
X
第 第
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
10 10 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
T1 2 0
X
第 第
六．周期信号的功率
1 P T
25 25 页 页
T
0
1 1 2 2 2 2 2 2 f ( t ) d t a0 an bn a0 cn Fn 2 n 1 2 n 1 n 2
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
8 8 页 页
2
c0 a0
cn a b
2 n
2 n
an cn cos n bn cn sin n
正弦形式
n 1
bn n arctan a n
T1
0
f ( t ) e j n1t d t
5
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n1t 的线性组合。
如给出F ( n 1 )，则f t 惟一确定， (4)、 (5)式是一对 变换对。
X
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F ( n 1 ) T
偶函数
20 20 页 页
奇函数
奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第 第
1．偶函数
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t )
21 21 页 页
f (t ) f ( t )
bn 0
4 an T
E
T
O
T t
T 2 0
f ( t ) cosn 1t d t 0
1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an 2 2
F (n1 ), F ( n1 )是复数
F n1 F (n1 ) e j n
X
第 第
幅频特性和相频特性
幅频特性 相频特性
an bn F ( n 1 )
14 14 页 页
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
bn n arctan a n
f ( t ) e j n1t d t e j n1t e j n1t d t
T1 0
也可写为 Fn
1 T
f ( t )e j n1t d t
5
X
第 第
说明
f (t )
n
12 12 页 页
F (n ) e
1
j n 1 t
4
1 F n 1 T
mn mn
mn mn
X
第 第
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
n 1
7 7 页 页
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
第三章 傅里叶变换
§3.1 引言
宁波大学科技学院理工分院 2008.2
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。
19 19 页 页
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对 e j n1 和e－j n1，才能保证f ( t )的实函数的性质不变。
X
第 第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系
n 1
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= c0 cn cos(n 1 t n )
n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1
e
j n 1 t
X
第 第
(2)两种频谱图的关系
● 三角函数形式： cn ~ ， n ~
18 18 页 页
单边频谱 双边频谱
F0 c0 a0
T t
T 2 T 2
f ( t ) cosn 1t d t 0
T
O 1
2 T 4 T2 bn f ( t ) sinn 1t d t f ( t ) sinn 1t d t 0 T 0 T 0 1 1 Fn F ( n 1 ) an jbn jbn 2 2