第三章 傅里叶变换 知识要点

2
周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。也就
是说，时域和频域的能量是守恒的。
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
6、有限项傅里叶级数的方均误差
∑( ) EN
=
ε
2 N
(t
)
=
f
2
(t)
−
⎡⎢⎣a02
+
1 2
N n=1
an2 + bn2
⎤ ⎥⎦
∫ f 2 (t ) = 1 t0 f 2 (t ) dt T1 t0 （二）傅里叶级数的主要性质
率分量。但其主要能量集中在第一个零点以内。在允许一定失真的条件下，可以
要求一个通信系统只把 ω ≤ 2π 频率范围内的各个频谱分量传送过去，而舍弃 τ
ω
>
2π τ
的分量。这样，常常把 ω
=0
~
2π τ
这段频率范围称为矩形信号的频带宽
度，记作 B ，于是
Bω
=
2π τ
或 Bf
=1 τ
显然，频带宽度 B 只与脉宽τ 有关，而且成反比关系。
（四）典型周期信号的傅里叶级数 1、周期矩形脉冲信号 矩形信号的三角形式傅里叶级数为
∑ f (t) =
Eτ T1
+ 2Eτ T1
∞ ⎛ nπτ
Sa ⎜ n=1 ⎝
T1
⎞ ⎟
cos
(
nω1t
)
⎠
或
∑ f
(t)
=
Eτ T1
+
Eτω1 π
∞ n=1
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1τ 2
⎞ ⎟⎠
cos
(
nω1t
)
矩形信号的指数形式傅里叶级数为
（4）若信号脉冲宽度τ 相同，周期 T1 不同，谱线包络线的零点所在位置不
变。当周期增长时，相邻谱线的间隔减小，频谱变密。如果周期无限增长（这时 就成为非周期信号），相邻谱线的间隔将趋于零，周期信号的离散谱线就过渡到 非周期信号的连续频谱。
（5）若信号周期 T1 相同，脉冲宽度τ 不同。由于周期相同，因而相邻谱线
∑ f
(t)
=
Eτ T1
∞ n=−∞
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1τ 2
⎞ ⎟⎠
e
jnω1t
周期矩形信号频谱特点：
（1）周期矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共同特点。它们的
频谱是离散的。它仅含有 ω
=
nω1 的各分量，其相邻两谱线的间隔是ω1（ =
2π T1
），
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周期T1 愈大，谱线间隔愈小，频谱愈稠密；反之，则愈稀疏。
4
即 cn ~ ω （或 Fn ~ ω ）的关系，称为信号的幅度谱。
以各次谐波的相位ϕn 为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高 低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。
即ϕn ~ ω 的关系，称为信号的相位谱。
3、周期信号频谱特点 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。 （1）离散性 周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。这样的频 谱称为离散频谱或不联系频谱。 （2）谐波性
jπδ
'
(ω )
−
1 ω2
tn
←⎯→ 2π
(
j )n
dn dωn
δ
(ω )
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（三）傅里叶变换的性质 1、对称性
若 f (t ) ←⎯→ F (ω)
则 F (t ) ←⎯→2π f (−ω )
例 2.1 试求抽样函数 Sa(t ) = sin t 的频谱函数。
t
若 f (t ) ←⎯FS→ Fn
( ) 则 f ∗ t ←⎯FS→ F−∗n
f (−t ) ←⎯FS→ F−n
f
(t ) cos (ω1t ) ←⎯FS→
1 2
( Fn−1
+
) Fn+1
f
(t )s in (ω1t ) ←⎯FS→
1 2j
( Fn−1
−
Fn+1
)
f (k) (t ) ←⎯FS→ ( jnω1 )k Fn
( ) f t − t0 ←⎯FS → Fne− jnω1t0
（三）周期信号的频谱 1、周期信号可分解为直流、基波（ω1 ）和各次谐波（ nω1 ：基波角频率的
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
（ ω1
=
2π T1
）
16、
fΔ
(t)
=
⎜⎝⎛1
−
2 τ
t
⎞ ⎟⎠
⎡ ⎢⎣u
⎛ ⎜⎝
t
&
u
⎛ ⎜⎝
t
−τ 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
←⎯→ τ 2
Sa2
⎛ ⎜⎝
ωτ 4
⎞ ⎟⎠
17、 t ←⎯→ j2πδ ' (ω )
t
←⎯→ −
2 ω2
1 ←⎯→ − jπ Sgn (ω )
t
tu
(t ) ←⎯→
∗
dt
⎧0 = ⎩⎨T1
2、三角函数形式的傅里叶级数
m≠n m=n
任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + ⎡⎣an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t )⎤⎦ n=1 傅里叶系数：
1
⎧ ⎪ ⎪
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
jω
5、 sgn (t ) ←⎯→ 2
jω
7
6、 Gτ
(t ) ←⎯→τ
Sa
⎛ ⎜⎝
ωτ 2
⎞ ⎟⎠
7、
Sa(ω 0 t )
↔
π ω0
G2ω0
(ω )
Sa (t ) ←⎯→πG2 (ω)
8、 e−atu (t ) ←⎯→ 1
a + jω
（ a 为正实数）
9、 e−a t
←⎯→
2a a2 +ω2
10、 e jω0t ←⎯→ 2πδ (ω − ω0 )
(ω
−
ω0
)⎤⎦
+
ω02
jω − ω2
14、
s
in
(ω0t
)u
(t
) ←⎯→
π 2j
⎡⎣δ
(ω
+
ω0
)
−
δ
(ω
−
ω0
)⎤⎦
+
ω0 ω02 − ω 2
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 15、δT (t ) = δ (t − nT1 ) ←⎯→ω1 δ (ω − nω1 ) = e− jnωT1
n=−∞
n=−∞
n = −∞
arctan
an bn
n = 1, 2,3,L n = 1, 2,3,L
3、虚指数形式的傅里叶级数
∞
∑ f (t) =
Fne jnω1t
n=−∞
傅里叶系数：
∫ ( ) Fn
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t e− jnω1t dt
n = 0, ±1, ±2,L
Fn 与其它系数有如下关系：
F0 = c0 = d0 = a0
∫ ⎪
⎨an ⎪
=
2 T1
t0 +T1 t0
f
(t ) cos (nω1t ) dt
∫ ⎪
⎪ bn ⎩
=
2 T1
t0 +T1 t0
f
(t )sin (nω1t ) dt
n = 1, 2,3,L n = 1, 2,3,L
其中 ω1
=
2π T1
∞
∑ （2） f (t) = c0 + cn cos (nω1t + ϕn ) n=1
(ω )⎤⎦
=
1 2π
∞ F (ω )e jωt dω
−∞
可简记为： f (t ) ←⎯FT→ F (ω )
（二）典型信号的傅里叶变换
1、δ (t ) ←⎯→1
2、δ ' (t ) ←⎯→ jω δ (n) (t ) ←⎯→ ( jω )n
3、1←⎯→ 2πδ (ω)
4、 u (t ) ←⎯→πδ (ω ) + 1
（ n 为奇数）
在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项。而
不会包含偶次谐波项。
3
5、周期信号的平均功率
( ) ∫ ( ) ∑( ) ∑ ∑ P = f 2 t
=1 T1
T1 0
f
2
t
dt
=
a
2 0
+1 2
∞ n=1
an2
+ bn2
=
c02
+
1 2
∞
c
2 n
n=1
=
∞
Fn
n=−∞
3、周期三角脉冲信号
∑ f
(t)
=
E 2
+
4E π2
∞ n=1
1 n2
sin 2
⎛ ⎜⎝
nπ 2
⎞ ⎟⎠
cos
(
nω1t
)