傅立叶变换(FT)
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系一、拉氏变换1、拉氏变换的定义：如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用二、傅里叶变换1、傅里叶变换的定义：f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
傅里叶变换及反变换
1 2{F [j(0) ]F [j(0) ] }
F ( j )
1
m 0 m
P( j)
( )
( )
0
0
0
R( j)
1 2
0
0
0
F ( j )
1
m 0 m
f (t)
r(t)
y1(t)
低通
滤波
y(t)
cos(0t) cos(0t)
R( j)
1 2
0 ( )
0
P( j)
0 ( )
§4.5 连续时间傅里叶变换的性质
复习
F(j)＝ f(t)ejtdt
f(t)21 F(j)ejtd
1 唯一性： 2 线性特性： 3 奇偶特性： 4 共轭特性： 5 对称特性： 6 时域展缩特性： 7 时移特性：
9 时域微分特性： 10 频域微分特性： 11 时域卷积定理： 12 频域卷积定理：
偶信号的频谱是偶函数，奇信 号的频谱是奇函数。
F(j) f(t)ejtdt令t
f()ejd f()关e于jtd F(j)
f(t) F (j) ， 则 f* (t) F * ( j)
证F (： j)＝ f (t)ejtd可 t F 得 *(j)＝ f*(t)ejtdt
F *(j)＝ f *(t)ejtdt
0
1 4
20
0
0
Y1( j)
1
1
2
4
0
20
Y ( j) 1
2
0
4.7 傅里叶反 变换
要解决的问题：由F( jw)求 f(t)
f(t)21 F (j)ejtd
利用傅里叶变换的互易对称性 部分分式展开
信号与系统傅里叶变换对照表
信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。
下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。
频域表示，1。
2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。
频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。
频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。
频域表示，T sinc(fT)。
5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。
频域表示，T^2 sinc^2(fT)。
6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。
频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。
7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。
频域表示，1/(a+j2πf)。
8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。
频域表示，1/(j2πf) + 1/2。
9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。
频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。
以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。
傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。
1序列的傅里叶变换(DTFT)
z变换 X z x k z k
k
对于离散序列 xk ：
s j , T , kT k
z e jω
傅氏变换 X e
jω
j kω
k
x k e
X
第
2．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
13 页
σ 0, s j
H j H s s j
3. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z e jω
X jω X z z e jω
X
与z变换之关系
j Im s
虚轴( s j )
第
14 页
j Im z
单位圆 ( z e j ) 1 Re z
k 0
x(kTs )e
k 0
- jkTs
x(k ) Z k X ( z )
k 0
e jTs Z
(B)
X
表明单位圆上的Z变换就是序列的频谱
第
2. ZT与LT的关系
Z变换也可由LT推得：
4 页
x(t ) xs (t ) X s ( s) X ( z )
LT
T ( t ) 抽样
e sTs Z
将（A)两边取LT：
X s ( s ) [ x(t ) (t kTs )]e-st dt
k 0
[ x(kTs )e skTs (t kTs )dt]
k 0
x(kTs )e
k 0
skTs
第 1 页
短时傅里叶反变换原理
短时傅里叶反变换原理1. 前言短时傅里叶反变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）是一种在信号处理领域中常用的分析方法，用于将一个信号表示为时频域上的成分。
它将信号分为多个时间段，并对每个时间段进行傅里叶变换，从而得到该时间段内信号的频谱特征。
本文将详细介绍短时傅里叶反变换的基本原理。
2. 傅里叶变换回顾在介绍短时傅里叶反变换之前，我们先来回顾一下傅里叶变换（Fourier Transform, FT）的基本原理。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以把一个连续或离散的信号分解成一系列复指数函数。
对于一个连续时间域上的信号x(t)，其傅里叶变换X(f)定义如下：∞(t)e−j2πft dtX(f)=∫x−∞其中，f表示频率，j表示虚数单位。
傅里叶变换可以将一个信号分解成一系列复指数函数的线性组合，每个复指数函数对应一个频率成分，并给出该频率成分在信号中的振幅和相位信息。
3. 短时傅里叶变换然而，傅里叶变换将整个信号一次性转换到频域，无法提供关于信号在时间上的变化信息。
为了解决这个问题，人们提出了短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）方法。
短时傅里叶变换将信号分为多个时间段，并对每个时间段进行傅里叶变换。
这样可以得到信号在不同时间段内的频谱特征，从而反映出信号在时间和频率上的变化过程。
短时傅里叶变换的基本原理如下：1.将原始信号x(t)分为多个长度为T的窗口，每个窗口内的数据可以看作是平稳的。
2.对每个窗口内的数据应用傅里叶变换，得到该窗口内的频谱X(f,t)。
3.将所有窗口内的频谱拼接起来，得到整个信号在时间-频率域上的表示。
4. 窗函数在进行短时傅里叶变换之前，我们需要选择一个合适的窗函数来对信号进行分段。
窗函数通常是一个在有限区间内非零的实值函数，用于限制信号在时间上的有效区域。
常见的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
FS,FT,DFS,DTFT,DFT,FFT的联系和区别
FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别对于初学数字信号处理（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是傅里叶级数展开（FS），它用于分析连续周期信号。
FT是傅里叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅里叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度，压力等在时间上连续的信号，还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如，某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。
用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅里叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。
我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
稀疏傅里叶变换 一种离散傅里叶变换的简化算法
稀疏傅里叶变换一种离散傅里叶变换的简化算法随着科技的发展和人们对智能计算机的需求日益增强，傅里叶变换（FT）技术一直被广泛应用于许多领域，包括计算机图形学、心电信号处理、声学处理、自动车辆导航系统等等。
傅里叶变换允许在任何类型的时频域中进行高效的图像处理和信号处理，而且是一种很有效率的变换技术。
然而，由于傅里叶变换涉及大量的计算量，在智能计算机应用中其计算速度可能会很慢，并可能导致系统性能的下降。
因此，稀疏傅里叶变换被提出，旨在解决上述问题。
稀疏傅里叶变换（SFT）是一种离散傅里叶变换（DFT）的简化算法，它具有较低的计算复杂度，同时仍可提供较高的处理性能。
与FT不同，稀疏傅里叶变换并不要求对任意图像进行完整的傅里叶变换，而是在每个频率分量上只计算一小部分数据，从而可实现稀疏性。
这种算法还可以提高系统的计算性能，从而有效处理复杂图像。
稀疏傅里叶变换的工作原理如下：首先，给定要处理的图像，需要确定若干频率分量以及它们的极值大小。
接下来，对于每个频率分量，可以将其分解成一系列度量，其中每个度量都可以用来估计原图像的每个像素值。
最后，将所有度量值加和放在一起，并在得到的结果中去除不希望的噪声，从而实现原图像的处理。
稀疏傅里叶变换的优点还包括：它可以有效平衡计算复杂度与傅里叶变换处理系统的性能。
此外，由于其计算量相对较少，稀疏傅里叶变换可以更快地处理数据，从而带来更快的响应时间。
最后，除了具有稀疏性和高精度处理之外，稀疏傅里叶变换还可以实现较高的并行性，从而提高处理速度。
另外，稀疏傅里叶变换还可以用于地面运动检测和跟踪，人体识别，智能遥控器检测，目标识别，运动估计，空中交通监控，空中显微检测等多种应用场景。
总而言之，稀疏傅里叶变换是一种新的、高效的离散傅里叶变换算法，它可以有效改善系统的计算效率，并可用于多种实际应用场景。
在未来，稀疏傅里叶变换将继续发展，以满足更多实时多媒体系统的需求。
综上所述，稀疏傅里叶变换是一种使用较少数据来实现较高精度图像处理的离散傅里叶变换算法。
功率信号的傅里叶变换
功率信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于分析和处理各种类型的信号。
其中，功率信号的傅里叶变换是一种特殊情况，它在能量有限的信号分析中起着重要的作用。
功率信号是指在无穷时间内的平均功率有限的信号。
与能量信号相比，功率信号的能量是无穷大的，但其平均功率是有限的。
傅里叶变换能够将功率信号从时域转换到频域，将信号表示为一系列频率成分的叠加。
在进行功率信号的傅里叶变换时，首先需要将信号表示为无穷级数的形式，即将信号分解为各个频率成分的叠加。
这可以通过傅里叶级数展开来实现。
傅里叶级数展开是一种将周期信号表示为正弦和余弦函数的和的方法，通过调整不同频率成分的幅值和相位，可以准确地描述原始信号。
然而，对于非周期信号或者具有有限持续时间的信号，傅里叶级数展开并不适用。
在这种情况下，可以使用傅里叶变换来处理信号。
傅里叶变换是傅里叶级数展开的推广，可以处理非周期信号以及具有有限持续时间的信号。
功率信号的傅里叶变换可以通过积分的形式来表示。
对于一个功率信号x(t)，它的傅里叶变换X(f)可以表示为：X(f) = ∫[x(t) * e^(-j2πft)] dt其中，X(f)表示信号在频率域的表示，f表示频率，t表示时间，e^(-j2πft)为复指数函数。
功率信号的傅里叶变换提供了一种将信号从时域转换到频域的方法。
通过傅里叶变换，我们可以获取到信号中各个频率成分的信息，进而对信号进行分析和处理。
例如，可以通过傅里叶变换来计算信号的频谱密度，了解信号中各个频率成分的能量分布情况。
功率信号的傅里叶变换在通信系统、音频处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
在通信系统中，傅里叶变换可以用于信号调制、解调、滤波等处理过程。
在音频处理中，傅里叶变换可以用于音频信号的压缩、降噪、特征提取等任务。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像增强等操作。
功率信号的傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要工具。