21.2.3用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
①(x－5 )(x+2)=18
2 ②(2a－3) =(a－2)(3a－4)
③
2
2 y =3y
2 ④x +7x+12=0
⑤t(t+3)=28
2 2 ⑥(4x－3) =(x+3)
(7) x ( 3 2 ) x 6 0
2
x 3 x(3 2 x) x(3x 1) (8) 3 2 3
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = B解
十字相乘法
解下列方程 1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x2+2x－8=0 (x－2)(x+4)=0 x－5=0或x+2=0 x－2=0或x+4=0 ∴ x1=5 ,x2=-2 ∴ x1=2 ,x2=-4
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个 一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 x－2=0或 x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解 就是原方程的解
1.用因式分解法解下列方程：
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
重 点 难 点
重点： 用因式分解法解一元二次方程 难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0 （ A、B表示两个因式）
例1、解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3x 1) 5 0
(1)3x( x 2) 5( x 2)
解：移项，得 3x( x 2) 5( x 2) 0
( x 2) (3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
一元二次方程的解法 用因式分解法解一元二次方程
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x － 4=0
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
21.2.3因式分解法解一元二次方程教案
降次——解一元二次方程〔5〕
过程设计
4、分解因式的方法有那些?
〔1〕提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c) 〔2〕公式法:
（3）十字相乘法:
5、实际问题
【活动方略】在学生解决问题的根底上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s
物体离地面的高度〔单位：m 〕为 2
9.410x x ，根据这个规律求出物体经过多少秒
提取公因式法
应用公式法
分组分解法
十字相乘法
a 2-
b 2=(a+b)(a-b),a 2±2ab+b 2=(a ±b)2. x 2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
b2
24)12(35+=+x x x ）（
解：化为一般式为
0262=--x x
因式分解，得
十字相乘法
〔3x-2)(2x+1)=0 有3x-2=0或2x+1=0
2
1
2321,-==x x 四、百花竟芬芳：
1、〔十字相乘法稳固再练〕
(学生进行板演，其余的同学独立解决，师针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．〕
056)1(2=++x x
056)2(2=+-x x
0127)3(2=+-x x
01213)4(2=+-x x
012)5(2=--x x 012)6(2=-+x x。
九年级数学上册(人教版)21.2.3解一元二次方程(因式分解法)优秀教学案例
一、案例背景
在我国九年级数学上册的教学中，一元二次方程是学生需要掌握的重要知识点。人教版教材21.2.3节主要介绍了利用因式分解法解一元二次方程。针对此部分内容，本教学案例旨在通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生运用因式分解法解决一元二次方程，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.在小组合作过程中，鼓励学生积极表达自己的观点，学会倾听他人的意见，形成良好的沟通与协作。
4.教师巡回指导，给予每个小组个性化的帮助，确保合作学习的顺利进行。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，以促进学生自我成长。具体措施如下：
1.鼓励学生在解题过程中进行自我反思，总结经验教训，提高解题能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，我将以学生熟悉的实际情景引入新课，例如：“同学们，你们在体育课上是否尝试过投篮？如果想要将篮球投入篮筐，除了掌握投篮的力度外，还需要考虑什么因素呢？”通过这个问题，引导学生思考投篮角度与成功的关系。
2.接着，我会提出一个与一元二次方程相关的问题：“假设我们要求解最佳的投篮角度，使得篮球在空中的轨迹形成一个抛物线。我们可以通过什么数学方法来解决这个问题呢？”由此引出一元二次方程的概念。
5.针对不同学生的学习情况，给予个性化指导，帮助学生找到适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，激发学生的学习内驱力。
2.培养学生面对困难时，保持积极的心态，敢于挑战自我，不断进取。
3.培养学生的团队意识，学会在合作中尊重他人，分享成功与快乐。
4.通过数学学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法
解：
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
【例2】解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0⑵3x(x+2)=5(x+2)
(3
⑶x+1)2-5=0⑷x2-6x+9=（5-2x）2
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
解：
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。
如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
【练习】Р40 1 2创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、自主总结 拓展新知
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
五、课堂作业 P43 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思。
人教版九年级上册数学第21章21.2.3《因式分解法》教案
《一元二次方程》教案5教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标(1)了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程；(2)学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学难点学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学过程设计1．创设情景，引出问题问题一根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”．【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程．在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲．2．观察感知，理解方法问题二如何求出方程的解呢？师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程．【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备．问题三如果，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？师生活动：学生很容易回答有或的结论．由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积．【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解．问题四上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导．【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容．3．例题示范，灵活运用例解下列方程(1)；(2)．师生活动：提问：(1)如何求出方程(1)的解呢？说说你的方法．(2)对比解法，说说各种解法的特点．学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同．【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构．师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同？(2)谈谈方程(2)的解法．学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题．【设计意图】问题(2)的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构．4．巩固练习，学以致用完成教材P14练习1，2．【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．5．小结提升，深化理解问题五(1)因式分解法的一般步骤是什么？(2)请大家总结三种解法的联系与区别．师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤．总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题．【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想．五、目标检测设计解下列方程1．．【设计意图】利用提取公因式法解方程．2．．【设计意图】利用平方差公式解方程．3．．【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决．4．．【设计意图】选用适当的方法解方程．《解一元二次方程》同步试题北京市海淀区中关村中学谢琳一、选择题1．方程的解是( )．A．B．C．D．考查目的：考查直接利用因式分解法的求解．答案：B．解析：两项一次项乘积为0，两个一次项分别为零．2．方程的正确解法是( )．A ．化为B．C．化为D．化为考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：C．解析：以为整体提取公因式．3．方程正确解法是( )．A．直接开方得B．化为一般形式C．分解因式得D ．直接得或考查目的：考查平方差公式求解．答案：C．解析：将9和4分别看作3和2的平方，利用平方差公式进行因式分解求方程解二、填空题4．方程的解是____________________．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．5．方程的解是___________________．考查目的：考查平方差公式求解．答案：或．解析：将256看作16的平方，利用平方差进行因式分解求方程解．三、解答题用适当的方法解下列方程．6．．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．7．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了4倍，求小圆形场地的半径．考查目的：考查平方差公式求解的实际问题．答案：或(舍)．解析：能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．。
21.2.3 因式分解法(复习课件)
(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它 1．(4分)方程x2－3x＝0的解为( D )
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．(4分)方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( D ) A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
3 解：x1＝3，x2＝5
利用平方差、完全平方公式解一元二次方程 6．(4 分)下列方程能用因式分解法解的有( C )
1 ①x2＝x；②x2－x＋4＝0；③x－x2－3＝0；④(3x＋2)2＝16. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．(4 分)方程 25x2＝10x－1 的解是 8．(8 分)解下列方程： (1)(2＋x)2－9＝0； (2)x2－4x＋4＝(3－2x)2.
去，∴周长＝3＋7＋7＝17
17．(12分)阅读下列材料，并解答问题： 因为(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋
2)，因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以x2＋(a＋b)x＋
ab＝(x＋a)(x＋b)． 请用上面的分析思路和方法，用因式分解法解下列方程：
(2)4x2－4 2x＋1＝0；
1＋ 2 2－1 解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(3)(3x＋2)2＝(5－2x)2.
3 解：x1＝5，x2＝－7
16．(8分)已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长 是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的 周长． 解：解方程得x1＝10，x2＝7，∵3＋7＝10，故x＝10舍
21.2
解一元二次方程
21.2.3用因式分解法解一元二次方程
课题：人教版九年级数学21.2.3因式分解法课型：新授课教学目标1.了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程；2.学会观察方程特征，选用适当的方法解一元二次方程。
重点：能规范运用因式分解法解一元二次方程。
难点：能灵活选用适当的方法解一元二次方程。
教学过程：一课堂导入及出示学习目标旧知识回顾：请分别用配方法和公式法解一元二次方程X2-6x=0除配方法和公式法外，能否找到更简单的方法解上面方程呢？设计意图：复习解一元二次方程的方法配方法和公式法，完成后思考还有较简单的方法解上面方程吗，引入新课。
出示目标：1.了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程；2.学会观察方程特征，选用适当的方法解一元二次方程。
学生齐读（心中有目标，效率才会高。
）二预习展示用较简单的方法解方程X2-6x=0 ①方程X2-6x=0的右边为0，左边可因式分解，得：x(x-6)=0 ②x=0或x-6=0所以方程的根是x1＝0，x2＝6.思考：以上解方程X2-6x=0的方法是如何使二次方程降为一次的？上述解法中，由①到②的过程，是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
设计意图：通过此例引出什么是因式分解法。
三预习自测用因式分解法解下面的一元二次方程：（1）x2+3x＝0；（2）3y(y－1)＝2－2y；（3）9x2-25＝0；（4）16x2 -8x＝-1解：（1）因式分解得：x(x+3)＝0，于是得：x＝0或x+3＝0所以x1＝0，x2＝-3.（4）移项得：16x2 -8x+1＝0因式分解得：（4x-1）x2 ＝0于是得：4x-1 ＝0或4x-1 ＝0所以x1＝x2＝1/4归纳：1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.理论依据是.“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零3.分解因式法解一元二次方程的步骤是:(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边分解为_________________________；(3)令每一个因式分别_______，得到两个_____________；(4)解所得到的两个一元一次方程，即得到原方程的解．四 合作探究1. 解方程5x(x ＋3)＝3(x ＋3)，下面是小亮的解法，请判断是否正确？解；方程两边都除以x+3得，5x=3所以：x=3/5易错点：x+3可能为0，方程两边不能除以含有未知数的式子2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？注意：因式分解法解一元二次方程的条件：方程左边易于分解,而右边等于零;3.解下面的一元二次方程：（1） x 2 -10x + 25 = 9 -12x + 4x 2（2） （x-1）（x+6） = 8（3） 2x 2 + 3x +1 = 0（4） 3x 2 - 6x -4 = 0.48.462;83563)2)(5(18)2)(5(21==∴==+==-⨯=+-=+-x x x x x x x x x x 或原方程的解为，得由，得由原方程化为解：解方程思考：1. 哪种方法更简便？2. 因式分解法适用于什么样的方程？讨论：解一元二次方程的基本思路是什么？有哪些方法可以达到这些目的？将二次转会为一次，即降次配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，如果方程可以用直接开平方法或者因式分解法，能使过程更简便。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.3 因式分解法
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=± 50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
21.2.3一元二次方程的解—— 因式分解法(优秀经典公开课比赛课件)
—— 因式分解法
一、预习检测 1．把下列各式因式分解： am+bm+cm=因式分解的方法有： 2．按要求解下列方程： ⑴2x2+x=0（用配方法）
⑵3x2+6x=0（用公式法）
二、探究案 阅读教材 12–14,结合教材例题格式完成下面问题 ： 1.用因式分解 法解下列方程
__
___法．
2．解一元二次方程，首先看能否用__
___；
再看能否用__
___；否则就用__
___；
若二次项系数为 1，一次项系数为偶数可先用__ ___．
四、课堂练习
知识点 1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0 的解是( )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 2．一元二次方程 x(x－5)＝5－x 的根是( )
则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x－7）=0
B．（x－5 ）（x+7）=0
B． C．（x+5）（x+7）=0
D．（x－5）（x－7）=0
三、知识点归纳
1．当一元二次方程的一边为 0，另一边可以分解
成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程
化为_____的乘积等于 0 的形式，再使这两个一
次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做
5．方程 x2－2x＝0 的解为_____．
6．方程 x2－2x＋1＝0 的根是____．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4＝0；
(2)x2－2 3x＝0；
(3)(3－x)2－9＝0；
知识点 2：用适当的方法解一元二次方程
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法学习目标：1.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程；2.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力； 重点难点:重点: 应用分解因式法解一元二次方程难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.一、复习导入1、因式分解有如下几种方法，分别是________,_________,_________;2、对以下整式进行因式分解：142-x 96x 2+-x )2()2(x 2x --- 16x 6x 2-+二、自主学习1、思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;问题：（1）你能观察出这两题的特点吗？（2）你知道方程的解吗？说说你的理由归纳：因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为____.即：若ab=0,则_____或______。
由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。
这种方法叫做因式分解法。
2、解下列方程0196x 2=- ）12(3)12(x +=+x x 012x 4x 2=-+三、合作探究用适当的方法解下列一元二次方程( x-2)2 -x+2 =0 (2x+1)2=(x-1)2 49122=+-x x （x ＋2）2－16＝0x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. 044)12(22=----x x x 01032=+-x x四、达标训练1、说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=2、用因式分解法解下列方程：x 2-4x=0 4x 2-49=0 5x 2-20x+20=0 22(3)9x x -=-小结：因式分解法解一元二次方程的思路：将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
因式分解法解一元二次方程的步骤：① 将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
第五课时21.2.3用因式分解法解一元二次方程
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来： 2 一般形式： ax bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
8、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 解：设这个数为x,根据题意得：
2x2=7x. 2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以 10 米/秒 的速度竖直上抛，那么经 过 x 秒 物体离地面的高度h（单位：米） 2 2 为10x - 4.9x ．即：h= 10x - 4.9x 你能根据上述规律，求出物体经过多 少秒落回地面吗？
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解
用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a 2ab b a b
2 2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
x 1 x 1x 1