北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)(解析版)
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么A. 2，B. 0，C.D.【答案】B【解析】解：集合，，0，．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在等比数列中，若，，则A. 10B. 16C. 24D. 32【答案】D【解析】解：等比数列中，若，，则，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，．可知其最长棱长为．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.在极坐标系中，点到直线的距离等于A. 1B. 2C. 3D.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点，，，点P的直角坐标方程为，直线，直线的直角坐标方程为，点到直线的距离．故选：A．求出点P的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，由此能求出点到直线的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点，点B在圆上，则的最大值为A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】解：，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6.设M，，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当，则为减函数，又，所以，可得，即“”是“”的充分条件，由“”不能推出“”，故由“”不能推出“”，即“”是“”的不必要条件，即即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．由，则为减函数，可得“”的充要条件为：，再判断即可．本题考查了对数函数的增减性及充分必要条件，属简单题．7.已知函数，，则A. 曲线不是轴对称图形B. 曲线是中心对称图形C. 函数是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，为轴对称图形，且其中一条对称轴为，，为轴对称图形，且其对称轴为，故是轴对称图形，且其对称轴为，A错误；对于B，，不是中心对称图形，则曲线不是中心对称图形，B错误；对于C，不是周期函数，不是周期函数，C错误；对于D，，当时，取得最小值，而，当时，取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的对称性、周期性和最值，关键掌握函数的性质，属于基础题．8.一个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对【答案】C【解析】解：由下图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌．故选：C．由右图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，由此能这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成“L”形骨牌的块数．本题考查满足条件的“L”形骨牌个数的求法，考查简单的计数问题等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数z满足方程，则______．【答案】【解析】解：由，得，则．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.已知角的终边经过点，则______；______．【答案】【解析】解：角的终边经过点，则；，故答案为：；．利用意角的三角函数的定义，诱导公式，求得所求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出数据的总个数为______．【答案】6【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，，输出n的值为3，满足条件，执行循环体，，输出n的值为7，满足条件，执行循环体，，输出n的值为15，满足条件，执行循环体，，输出n的值为31，满足条件，执行循环体，，输出n的值为63，满足条件，执行循环体，，输出n的值为127，此时，不满足条件，退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故答案为：6．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设x，y满足约束条件则的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据x，y满足约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：．则的取值范围是．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．13.能说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：可举函数，可得，，即有，但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题．故答案为：．可考虑函数，计算，但在内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．14.设双曲线：的左焦点为F，右顶点为若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解：双曲线：的左焦点为，右顶点为设，可得：，推出，，，，可得，，如图：当：时，在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，故答案为：．设出P的坐标，求出双曲线：的左焦点为F，右顶点为利用推出的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，，，．Ⅰ求的值；Ⅱ试比较与的大小．【答案】本题满分为13分解：Ⅰ，，．由正弦定理可得：，分；分Ⅱ，，可得：，分，，分，分，，分，又函数在上单调递减，且B，，分【解析】Ⅰ由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，进而可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值，由于，根据余弦函数的图象和性质可求．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别是，AC的中点，平面BCM．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求证：平面BCM；Ⅲ若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面BCM，平面BCM，，正方形，，，平面，平面，平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，，N分别是，AC的中点，，且，又，，，，四边形为平行四边形，，平面BCM，平面BCM，平面BCM．解：Ⅲ由Ⅰ知BA，BM，BC两两互相垂直，以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，是边长为2的菱形，M为的中点，且，，0，，0，，，0，，，，，0，，，0，，，设平面的法向量y，，则，令，则，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面BCM．Ⅲ以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下面表，其中．Ⅰ现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；Ⅱ为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【答案】解：Ⅰ由，解得，所以甲企业的样本中次品的频率为，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是；Ⅱ由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；且，，，，，随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；以产品的合格率非次品的占有率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，由图表可知，甲企业产品的合格率约为，乙企业产品的合格率约为，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以认为乙企业的食品生产质量更高．以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为，乙企业产品中一等品的概率约为，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．根据第Ⅱ问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．【解析】Ⅰ由频率和为1列方程求出a的值，再计算甲企业的样本中次品的频率；Ⅱ由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，可以参考产品的合格率为标准，以产品次品率为标准，以产品中一等品的概率为标准，根据第Ⅱ问的定价为标准等．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，是中档题．18.已知函数，其中．Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；Ⅱ若，证明：；Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．【答案】解：求导得曲线与x轴相切，此切线的斜率为0．由，解得，又由曲线与x轴相切，得解得．证明由题意，，令函数求导，得由，得，当x变化时，与的变化情况如下表所示：函数在上单调递增，在单调递减，故当时，，任给，，即，Ⅲ由题意可得，，，当时，在上恒成立，函数单调递增，当时，在上恒成立，函数单调递减，在上恒成立，或在上恒成立，在上恒成立，或在上恒成立，令，，由，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，，或，或，函数在区间上不是单调函数，，故a的取值范围为．【解析】Ⅰ先求导，再根据导数的几何意义即可求出，Ⅱ构造函数，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明Ⅲ先求出函数在上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．Ⅰ若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；Ⅱ设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，，椭圆的方程为，设，由点P在椭圆C的内部，得，又，直线AM的斜率，又M为椭圆C上异于A，B的一点，，，证明Ⅱ由题意，，其中，则，直线AM的方程为，令，得点P的坐标为，，直线AQ的方程为，令，得点Q的坐标为，由，，，，即，故为定值【解析】Ⅰ根据题意可得得，由，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，Ⅱ题意，，可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，即可证明．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.设正整数数列A：，，，满足，其中如果存在3，，，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k 阶平衡数列”．Ⅰ判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？Ⅱ若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，，．Ⅲ如果，且对于任意3，，，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．【答案】解：Ⅰ由不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；Ⅱ证明：若N为偶数，设，考虑1，2，3，，k这k项，其和为．所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；这k项，其和为，所以这k项的算术平均数为：，此数不是整数；故数列A，1，2，3，4，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，4，；Ⅲ在数列A中任意两项，，，对于任意3，4，5，，，在A中任意取两项，，相异的项，并设这项和为由题意可得，都是k的倍数，即，，q为整数，可得，即数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，，的倍数，如果数列A的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数，，即，这与矛盾，故数列A的项数至多7项．数列A的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数，又，且，所以，，，，所以当且仅当，取得最大值12873；验证可得此数列为“k阶平衡数列”，3，，，如果数列的项数小于或等于6，由，可得数列中所有项的之和小于或等于，综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873．【解析】Ⅰ由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；Ⅱ讨论k为偶数或奇数，结合新定义即可得证；Ⅲ在数列A中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，讨论数列A的项数超过8，推得数列A的项数至多7项讨论数列A的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．。
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北京市西城区2018-2019年度第一学期期末试卷高三数学理科试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么A B = （A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是 （A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2x y = （D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）11] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）[11]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2018-2019年度第一学期期末试卷高三数学理科试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．12n -；6311．3-12[4,9)14．16注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]1sin 2cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠= ，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩ 令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30 ，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-， 所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分] 所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数， 所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分]因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分] 直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分]令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222200224242=n y n y y n----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以()()i j a i i a j j -+<-+， 所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n = ．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有i j a i a j ++≤．所以(1,2,3,,)n n B ∈ ，所以n n A B ⊆．[7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =． 当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a - 是1,2,3,,1k - 的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a - 是1,2,3,,1n - 的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上23111n n b b b b -=+++++ ，3n ≥． 因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++= ，[12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以{}n b 成等比数列．[13分]。
2019年北京市西城区第一学期高三数学(理科)期末试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-110．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；侧(左)视图（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；甲组乙组 890 1 a822 F BCEAHD（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区20xx — 第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分（Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……………… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BDEF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量(0,AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由33(,)222DH =， 得32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n .………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． (2)分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2ex ax x -=， 显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. (9)分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. (11)分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以OD 42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当15k ±=OD有最小值5. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. .................. 1分 所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î，所以 11n n a a qN -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被kr 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。
北京市西城区2019届高三第一学期期末考试(数学理)
高三数学（理科）2019.1合题目要求的一项•1. 已知全集 U= R ，集合 A={xx+1<0}，B={xx —3c0}，那么集合（Cu A ）Pl B = （A ）{x —1Exc3} （B ）{x —1cxc3} （0 {xx£_1}（D {XXA 3}2. 已知点A （_1,1），点B （2,y ），向量a = （1,2），若AB//a ，则实数y 的值为（A ）5（ B ）6（ C ）7（ D ）8 3.已知 ABC 中，a=1,b 「2，B=45；，则角A 等于（A ） 150：（B ）90（C ）60： （D ）30；(A ) A C_BD ( B ) / BA C =90〃1(C ) CA •与平面ABD 所成的角为30 ( D )四面体 A - BCD 的体积为-113&对于函数① f (x) =4x +— 一5，② f (x) =|log 2 x — (—)x ，③ f (x) = cos(x +2) -cosx , x 2判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1,2）上是增函数;北京市西城区20192019学年度第一学期期末试卷4.在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程(A ) Q 二COST ( B ) 亍二 si nr (C ) COST -1 (D ) sin v -1 5.阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数x 的取值范围是 (A ) (-：：，-2] (B ) [-2,-1] （C ） [-1,2] （ D ） [2,二）6.设等比数列"a n 匚的前n 项和为S n ,若8a 2 a 5 式子中数值不能确定的是(A )a 5(B )a 3S5 (C )也(D )S n1S 3 a nS n7.如图，四边形 BD 『2 , 对角线BD 折成四面体 A-BCD ，使平面ABD —平面BCD ，则下列结论正确的是ABCD 中，AB =AD =CD =1BD _ CD .将四边形 ABCD 沿下列命题乙： f （x）在区间（0, •：：）上恰有两个零点x1, x2，且^x2 :: 1.［来源：学科网］［来：学.科.网］能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A）①（B）②（C）①③（D）①②第n卷（非选择题共no分）、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.29. i为虚数单位，则------ 2（计）10. 在（2+x）5的展开式中，x2的系数为______ .［x-y+1 K0,11. 若实数x, y满足条件＜x + y£2, 则2x + y的最大值为______ .x＜1,12. 如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A B两点，BA =2 AP , PT与圆C相切于T点.已知圆C的半径为2 ,NCAB =30",则PT = _____ .［来源：学科网ZXXK］13•双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为___________ ；P,Q两点，且若双曲线C的右顶点为A，过A的直线丨与双曲线C的两条渐近线交于PA =2AQ，则直线丨的斜率为14. 在平面直角坐标系中，定义d（P,Q）=咅—x2+ % —y2为两点卩（为，％）, Q（X2,y2）之间的“折线距离”.则坐标原点O与直线2x + y-2j5 = 0上一点的“折线距离”的最小值是 __________ ；圆x2十y2 =1上一点与直线2x + y —2 J5 = 0上一点的“折线距离”的最小值是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数f（x） = 3sin 2x-2sin2x.［来源:］（i）若点p（1,-.3）在角〉的终边上，求f（＞）的值；江（n）若x［,］，求f （x）的值域.6 3坐标原点0在以MN 为直径的圆上，且“岂仝，求k 的取值范围216. (本小题满分13分)如图，在三棱柱 ABC - ABC 中，侧面ABBA , ACC 1A 1均为正方形，/ BAC = 90 , 点D 是棱BG 的中点.(I)求证：AD 丄平面BBGC ； (n)求证：AB,//平面 A 1DC ； (川)求二面角D - AC - A 的余弦值.17. (本小题满分13分)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,62个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率;3个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列.[来源：学科网ZXXK]18. (本小题满分13分)2 2已知椭圆 令y 2 =1 ( a b 0 )的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e .a b(n)设直线y = kx 与椭圆相交于• A , B 两点，M , N 分别为线段 AF 2, BF 2的中点.若(I)若从袋中每次随机抽取 的概率；1个球，有放回的抽取 2次，求取出的两个球编号之和为 6(n)若从袋中每次随机抽取 (川)若一次从袋中随机抽取 (I) 求椭圆的方程;B19. (本小题满分14分)1 2 已知函数f(x) ax-(2a 1)x 2In x (a R).2(I )若曲线y二f (x)在x =1和x = 3处的切线互相平行，求a的值；(n)求f (x)的单调区间；(川)设g(x) =x2 -2x，若对任意为• (0,2］，均存在x^ (0,2］，使得f(xj ：：： g(X2),求a的取值范围•［来源：学科网］20. (本小题满分14分)已知数列｛a n｝, ｛b n｝满足b n 二a. 1 - a.，其中n =1,2,3川I •(I)若a =1,b n二n，求数列｛a n｝的通项公式；(n)若bmb n^ =bn(n-2)，且b^ =1,b2 =2.(i)记C n =a6n」(n -1)，求证：数列｛C n｝为等差数列；(ii)若数列｛-a n｝中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项a应满n足的条件.北京市西城区2019 —2019学年度第一学期期末［来源:］高三数学参考答案及评分标准(理科) 2019.114. .5，兰2注：13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标 准给分.） 15. （本小题满分13分）解：（I ）因为.点P （1, —J3）在角0（的终边上，[来源：学科网ZXXK]所以 f(：)h 』3sin2： -2sin 2： =2、、3sin : cos ： -2sin 2：................. 4分3 1, 3 2 =2 ‘3 () 2 ()3..................... 5 分2 2 2(n) f(x)=、“3sin 2x -2sin 2x=、3sin2x cos2x-1 ................. 6分= 2sin(2 x —) -1 ,.................. 8 分65 ：：.因为［,］，所以 2x ■, .................. 10分6 366 61兀所以一三sin(2x)乞1 , ............... 11分26所以f(x)的值域是［-2,1］. .................... 13分［来源: ］16. （本小题满分13分）（I ）证明：因为侧面 ABBA , ACGA 均为正方形,所以 AA — AC,AA _ AB ,所以AA -平面ABC ，三棱柱ABC -'AB I G 是直三棱柱 因为ADu 平面ABG ，所以CG 丄AD ,9.一i10. 8011.412. 3 所以sin :二1 cos ：2又因为AB1二AC1 , D为BG中点，所以AD _ B1C1.因为CC1 PIRC1 =G,1分所以AD _平面BBGC . ............. 4分(n)证明：连结AC i，交AC于点0，连结0D ,因为ACGA为正方形，所以0为AC中点，又D为B1C1中点，所以0D为；A^C1中位线，所以AB // 0D , .................... 6分因为0D 平面A1DC , AB^平面ADC ,所以AB〃平面A i DC . .................... 8分(川)解：因为侧面ABB1A1, ACGA均为正方形，NBAC = 90",所以AB, AC, AA,两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 A - xyz .1 1设AB/，则C(0,1,0), B(1,0,0), A(0,0,1), D( , ,1).2 2A1D =(1,1,0)1 AC =(0,1, -1), .................... 9 分2 2[来源：学。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷数学试题
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =（A ）{0,2,4} （B ）{2,0,2}- （C ）{0,2}（D ）{2,2}-2．在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7a = （A ）10（B ）16（C ）24（D ）323．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为 （A（B（C）（D4．在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D5. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为（A ）3 （B）1（C）2+（D ）4侧(左)视图正(主)视图俯视图国际象棋棋盘6. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则 （A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形 （B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形（C ）函数()()y f x g x =是周期函数 （D ）函数()()f x y g x =最大值为478. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则（A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌 （D ）前三个答案都不对第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数z 满足方程1i i z -⋅=，则z =____．10．已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____．11．执行如图所示的程序框图，若输入的1m=，则输出数据的总个数为____．12．设x，y满足约束条件230,3,20,x yx yx y-+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤0≥则的取值范围是____．13. 能说明“若定义在R上的函数满足(0)(2)0f f>，则在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．14．设双曲线的左焦点为F，右顶点为. 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P使得=PF PAλ⋅成立，则实数λ的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC∆中，3a=，b=2B A=．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM ．（Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：1//A N 平面BCM ；（Ⅲ）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N与平面1MCC 所成角的正弦值．B 1AMBA 1CC 1N17．（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a ）.0.080甲企业乙企业（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P . （Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ∠为定值.设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：满足i j a a <，其中1i j N<≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈，数列均为“k阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.AA。
2019届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合 A={x|x ＞ 1} ，集合 B={a+2} ，若A∩B= ∅，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣∞ ，﹣ 1 ]B ．（﹣∞ ， 1 ]C ． [ ﹣ 1 ，+∞ ）D ． [1 ，+∞ ）2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）A ． y=x 2 +1 ________B ． y=e x ﹣ e ﹣ x ________C ． y=lg|x| ________D ．3. 设命题 p ：“ 若，则” ，命题 q ：“ 若 a ＞ b ，则” ，则（）A ．“p ∧ q” 为真命题B ．“p ∨ q” 为假命题C ．“ ￢q” 为假命题D ．以上都不对4. “ ” 是“ 数列 {a n } 为等比数列” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）________ （B）（C）________ （D）6. 设 x ， y 满足约束条件，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7 ，则实数 m= （）A ． ______________B ． ______________C ． ___________D ．7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过 4 千米的里程收费 12 元；超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所收费用，用 [x ] 表示不大于 x 的最大整数，则图中① 处应填（）A ．B ．C ．D ．8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6 ，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 DE=2AE ，CF=2BF ．如果对于常数λ，在正方形 ABCD 的四条边上，有且只有 6 个不同的点 P使得成立，那么λ的取值范围是（）A ．（ 0 ， 7 ） ________B ．（ 4 ， 7 ） _________C ．（ 0 ， 4 ）_________ D ．（﹣ 5 ， 16 ）二、填空题9. 已知复数 z 满足 z （ 1+i ） =2 ﹣ 4i ，那么z=______________________________ ．10. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．若 A=B ， a=3 ，c=2 ，则 cosC=______________ ．11. 双曲线 C ：的渐近线方程为；设 F 1 ， F 2 为双曲线 C 的左、右焦点， P 为 C 上一点，且 |PF 1 |=4 ，则 |PF 2|=_________________________________ ．12. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90° ， AB=3 ， BC=4 ，点 O 为 BC 的中点，以BC 为直径的半圆与 AC ， AO 分别相交于点 M ， N ，则AN=_________________________________ ；_________________________________ ．13. 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_________________________________ 种．（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间 t （单位：小时）与储藏温度 x （单位：℃ ）满足函数关系且该食品在 4 ℃ 的保鲜时间是 16 小时．已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：① 该食品在 6 ℃ 的保鲜时间是 8 小时；② 当x ∈ [ ﹣ 6 ， 6 ] 时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少；③ 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④ 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是___________________________________ ．三、解答题15. 已知函数，x ∈ R ．（Ⅰ ）求 f （ x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ ）设α＞ 0 ，若函数 g （ x ） =f （ x+α）为奇函数，求α的最小值．16. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分．两人 4 局的得分情况如下：p17. ly:宋体; font-size:10.5pt">甲 6 6 9 9 乙 7 9 x y（Ⅰ ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ ）如果 x=y=7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ，求 X 的分布列和数学期望；（Ⅲ ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x的所有可能取值．（结论不要求证明）18. 如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ BCD=135° ，侧面PAB ⊥ 底面 ABCD ，∠ BAP=90° ， AB=AC=PA=2 ， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点，点 M 在线段 PD 上．（Ⅰ ）求证：EF ⊥ 平面 PAC ；（Ⅱ ）若 M 为 PD 的中点，求证：ME ∥ 平面 PAB ；（Ⅲ ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求的值．19. 已知函数 f （ x ） =x 2 ﹣ 1 ，函数 g （ x ） =2tlnx ，其中t≤1 ．（Ⅰ ）如果函数 f （ x ）与 g （ x ）在 x=1 处的切线均为 l ，求切线 l 的方程及 t 的值；（Ⅱ ）如果曲线 y=f （ x ）与 y=g （ x ）有且仅有一个公共点，求 t 的取值范围．20. 已知椭圆 C ：的离心率为，点在椭圆 C上．（Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ ）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 P 1 ， P 2 （两点均不在坐标轴上），且使得直线 OP 1 ，OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．21. 在数字 1 ， 2 ，， n （n≥2 ）的任意一个排列 A ： a 1 ， a 2 ，， a n 中，如果对于 i ，j ∈ N * ， i ＜ j ，有 a i ＞ a j ，那么就称（ a i ， a j ）为一个逆序对．记排列 A 中逆序对的个数为 S （ A ）．如 n=4 时，在排列 B ： 3 ， 2 ， 4 ， 1 中，逆序对有（ 3 ， 2 ），（ 3 ，1 ），（2 ， 1 ），（ 4 ， 1 ），则 S （ B ） =4 ．（Ⅰ ）设排列 C ： 3 ， 5 ， 6 ， 4 ， 1 ， 2 ，写出 S （ C ）的值；（Ⅱ ）对于数字 1 ， 2 ，， n 的一切排列 A ，求所有 S （ A ）的算术平均值；（Ⅲ ）如果把排列 A ： a 1 ， a 2 ，， a n 中两个数字 a i ， a j （ i ＜ j ）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列 A' ： b 1 ， b2 ，， b n ，求证： S （ A ） +S （ A' ）为奇数．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
北京市西城区2018-2019学年度高三第一学期期末考试
北京市西城区2018-2019学年度高三第一学期期末考试语文试题（2019.1）一、本大题共7小题，共22分。
阅读下面的材料，完成1-7题。
材料一超级计算机（以下简称“超算”），是具有超强计算能力的计算机，能够执行个人电脑无法处理的大资料量与高速运算，是计算机中功能最强、运算速度最快、存储容量最大的一类。
从技术角度简要而言，家用电脑一般只有一颗CPU，每颗CPU内通常只有2-8个物理核心。
而一般的超算有成千上万颗CPU，每颗CPU通常有几十个物理核心，这么大数量的CPU是为了通过并行计算，完成繁重的计算任务的。
一些复杂的问题，如果用单个CPU核心计算，可能要花上几个月甚至是几年的时间才能得到结果。
毫无疑问，这么长的计算时间是难以接受的，所以人类需要用多个CPU核心并行计算以提高效率，集成大量CPU于一身的超级计算机就应需而生了。
超算多用于国家高科技领域和尖端技术研究，被誉为计算机中的“珠穆朗玛峰”。
超算的研制水平，长久以来一直被当作一个国家综合国力及创新能力的象征，制造强大的超算，已被视为衡量一国科研实力的重要指标。
尤其是在大数据和移动互联网发展迅猛的当今时代，现代传播体系发生了本质性的改变，而超算则是未来超级传播的引擎动力。
超算能够深度推进时下风头正劲的人工智能改革。
例如，智能交通传播方面，预计无人驾驶汽车将于2020年在中美等大国被广泛使用。
2017年10月，美国的英伟达公司推出了专门针对level5无人驾驶的超算Pegasus，Pegasus每秒可完成320万亿次浮点计算。
这台超算虽然只有车牌大小，但其AI性能可以抵得上一百台数据服务器，英伟达公司由此成为首个提供完整level4/level5自动驾驶堆栈的厂商。
超算还能够支撑物联网传播的实现。
物联网的核心，一是传感器，二是物联网连接的网络技术，三是应用。
传感器能够源源不断地向互联网虚拟的大脑中枢传送世界各个方面的神经信号和感觉信息，并将其普遍连接，形成一张物联网，而要将这样巨大的物联网与互联网整合起来，必须通过超算强大的数据处理能力才能实现。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题答案
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i -- 10．43-；3511． 6 12．[1,)-+∞13．答案不唯一，如2()(1)f x x =-14．(2,0)-注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A = ……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A = ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=. ……………… 8分所以sin B =. ……………… 9分 又因为πA B C ++=，所以co s co s()co s co s s i ns C A B A B A B =-+=-+. ……………… 11分 所以cos cos B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，所以AB BC ⊥． ……………… 1分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥， 又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 3分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，．因为M ，N 分别是11A B ，AC 的中点， 所以//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =． 所以四边形1A MQN 为平行四边形．所以1//A N MQ ． ……………… 6分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA ，BM ，BC 两两互相垂直，因此以B 为原点，以BA ，BM ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． ………… 9分因为11A ABB 是边长为2的菱形，M 为11A B 的中点，且11A B BM ⊥， 易得1160BB A ∠=，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,0)M ，(0,0,2)C，10)A，1(1,0)B -，1(12)C -，(1,0,1)N ． ……………… 10分所以1(0,A N −−→=，1(1,0,2)MC −−→=-，1(0)CC −−→=-. 设平面1MCC 的法向量为(,,)n x y z =，x则 110,0,MC CC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则x =，z =2,=n ． ……………… 12分 设直线1A N 与平面1MCC 所成角为α， 则111sin |cos ,|||||A N A N A N α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n nn =． 因此直线1A N 与平面1MCC． ……………… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240. …… 6分且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较. X由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ， ……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--； max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分解得2a =，c C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C 的内部，得m < 又因为(2,0)A -，所以直线AM 的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈. ……………… 6分（Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ y k x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -. 由002()2y FP x =+，002()2y FQ x =- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列；数列1, 5, 9, 13, 17是4阶平衡数列. ……………… 3分 （Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N . 考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=， 所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数. ………… 5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+这k 项，其和为(1)12k k S +'=+， 所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈. ……… 8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈-，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ， 因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈-.因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N -的公倍数. ……………… 9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6, 7的倍数，即213287,,,a a a a a a ---均为420的倍数 （注： 420为2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项. ……………… 11分 如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6的倍数，即213276,,,a a a a a a ---均为60的倍数（注：60为2, 3, 4, 5, 6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<<，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤，，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯=≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i =）时，167a a a +++取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等 于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873. ……………… 13分。
2019年北京西城区高三数学理科试题答案
北京市西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．A5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010．2214y x -=，2y x =± 11．4- 12．2 13．答案不唯一，如4n a n =- 14．① ③ 注：第10题第一问3分，第二问2分；第14题漏选、多选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos(2)2sin cos 6f x x x x =-+ ππcos2cos sin 2sin sin 266x x x =++……………… 4分3sin 22x x =+π)6x =+. ……………… 6 分 所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）由（Ⅰ），知π())6f x x =+，所以ππ5π())])366g x x x =++=+. …………… 10分 由π5ππ2π22π262k x k -+++≤≤，k ∈Z ， 得2ππππ36k x k -+-+≤≤， 所以()g x 的单调增区间为2ππ[π,π]36k k -+-+，k ∈Z . ……………… 13分 (注：单调区间写成开区间不扣分)16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ， 依题意，有1122()6123P M ==+，293()695P M ==+，且事件1M ，2M 相互独立. ……………… 2分 设“抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机”为事件M ，4分 （Ⅱ）由表可知：W 型号手机销售量超过T 型号的手机店共有2个，故X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 5分且032335C C 1(0)C 10P X ⋅===，122335C C 3(1)C 5P X ⋅===，212335C C 3(2)C 10P X ⋅===.……………… 8分 故5610325311010)(=⨯+⨯+⨯=X E . ……………… 10分 （Ⅲ）.92m s =……………… 13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在图1中，由2AE =，AF =，45A ∠= ，得AE EF ⊥.所以在图2中1A E EF ⊥. ……………… 1分 因为平面1A EF ⊥平面BCDEF ，平面1A EF 平面BCDEF EF =，所以1A E ⊥平面BCDEF . ……………… 3分 又因为CD ⊂平面BCDEF ，所以1A E CD ⊥. ……………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1,,EF ED EA 两两垂直，故以1,,EF ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分 则(0,0,0)E ，(2,0,0)F ，(0,2,0)D ，(4,2,0)B ，(4,6,0)C ，1(0,0,2)A ，(2,3,1)M .所以(4,0,0)DB = ,(2,1,1)DM = .设平面MBD 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0DB ⋅= m ，0DM ⋅= m ，得40,20,x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =，得(0,1,1)=-m . (7)易得平面BCD 的法向量(0,0,1)=n . 所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n . 由图可得二面角M BD C --为锐二面角，所以二面角M BD C --的大小为45. ……………… 9分 （Ⅲ）当N 为线段1A D 的中点（注：表述不唯一）时，平面//NEF 平面MBD . ……… 10分证明如下：由N 为线段1A D 的中点，得(0,1,1)N .所以(0,1,1)EN = ，又因为(2,0,0)EF = ，设平面NEF 的法向量为(,,)a b c =u ，由0EN ⋅= u ，0EF ⋅= u ，得0,20,b c a +=⎧⎨=⎩ 令1c =，得(0,1,1)=-u . ……………… 12分 又因为平面MBD 的法向量为(0,1,1)=-m ，所以=-m u ，即//m u ，所以平面//NEF 平面MBD . ……………… 14分解：（Ⅰ）求导，得()2ln f x x '=+， ……………… 1分 所以曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为00()2ln f x x '=+. ……… 3分 由题意，得02ln 1x +<，解得100e x -<<. ……………… 5分（Ⅱ）“1()()2f x k x -≥对(0,)x ∈+∞恒成立”等价于“当0x >时，1()()02f x k x --≥恒成立”. 令11()()()ln (1)22=--=+-+g x f x k x x x k x k ， ……………… 7分 求导，得()ln 2g x x k '=+-，由()0g x '=，得2e k x -=. ……………… 8分 随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在2(0,e )k -上单调递减，在2(e ,)k -+∞上单调递增.所以函数()g x 的最小值221(e )e 02k k g k --=-≥. ……………… 10分 令21()e 2k h k k -=-，则221(2)2e 02h -=⨯-=， 当2k =时，因为()g x 的最小值2(e )(1)0k g g -==，所以1()()2f x k x -≥对于0x >恒成立，符合题意； ……………… 11分 当2k >时，由22211()e e 022k h k --'=-<-<，得函数21()e 2k h k k -=-在(2,)+∞单调递减， 所以()(2)0h k h <=，故此时()g x 的最小值2(e )()0k g h k -=<，不符合题意.所以整数k 的最大值是2． ……………… 13分解：（Ⅰ）由题意，可知12p =，所以2p =. ……………… 1分 所以抛物线方程为24y x =，焦点为(1,0)F .不妨设00(,)A x y ，则0||15AF x =+=，解得04x =.代入抛物线方程，得04y =±，则点A 的坐标为(4,4)或(4,4)-，所以||OA = ……………… 3分故以OA 为直径的圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=或22(2)(2)8x y -++=. …… 5分 （Ⅱ）结论：四边形OABC 不可能为等腰梯形. ……………… 6分 理由如下：假设四边形OABC 为等腰梯形，由题意，可知直线OA 的斜率k 存在且不为零，故设直线OA 的方程为y kx =，直线BC 的方程为(1)y k x =-，11(,)B x y ，22(,)C x y ， ……………… 7分 联立2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩消去y ，得2240k x x -=， 解得0x =或24x k =， 所以点244(,)A k k ，线段OA 的中点M 的坐标为222(,)k k. ……………… 9分 联立2(1)4 y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=. 因为直线BC 过焦点(1,0)F ，斜率存在且不为0，所以0∆>恒成立，所以212224k x x k++=，121x x =. ……………… 11分 设线段BC 的中点为33(,)N x y ，则2123222x x k x k ++==，332(1)y k x k =-=，故2222(,)k N k k+. ………………12分 因为直线MN 的斜率22222022MN k k k k k k-==+-，OA 的斜率为k ，所以1MN k k ⋅≠-，故直线MN 与直线OA 不垂直.这与等腰梯形上下底中点的连线垂直于上下底矛盾， 所以四边形OABC 不可能为等腰梯形. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）100(1,1,0)X =. ……………… 3分 （Ⅱ）假设,,i i i a b c 三个数中有2个为0，或三个数均为0. ……………… 4分（1）当,,i i i a b c 三个数中有2个为0时，显然i ≥1. 不妨设0(1)i i a b i ==≥，0i c ≠，则11||0i i i a a b --=-=，11||0i i i b b c --=-=，即111i i i a b c ---==. 这与11||0i i i c c a --=-≠矛盾； ……………… 6分（2）当,,i i i a b c 三个数均为0时，显然i ≥1.则11||0i i i a a b --=-=，11||0i i i b b c --=-=，11||0i i i c c a --=-=. 所以111i i i a b c w ---===（定值）.由000,,a b c 三数互不相等，得2i ≥，且122||i i i a a b w ---=-=，122||i i i b b c w ---=-=，122||i i i c c a w ---=-=. 不妨设222i i i a b c ---≤≤，则有22i i b a w ---=，22i i c b w ---=，22i i c a w ---=， 由222222()()i i i i i i b a c b c a -------+-=-，得2w w =， 所以0w =，即1110i i i a b c ---===.以此类推，可得2220i i i a b c ---===，3330i i i a b c ---===，，1110a b c ===，0000a b c ===， 这与000,,a b c 三个数互不相等矛盾，所以对于任意的i ∈N ，,,i i i a b c 三个数中至多有一个数为0. ……………… 8分 （Ⅲ）设,,i i i a b c 三个数中最大的为i m ,记作max{,,}i i i i m a b c =.因为1||i i i a a b +=-，1||i i i b b c +=-，1||i i i c c a +=-，且,,i i i a b c ∈N ,所以1i i m m +≤,其中=0123i ，，，，, 由题意，可知i m ∈N ,其中=0123i ，，，， 所以123,,,m m m 不可能单调递减，即必存在某个*k ∈N ，使得1k k m m +=. ……………… 10分 根据1k X +的定义，可得向量(,,)k k k k X a b c =中的三个数,,k k k a b c 中必有0. 由（Ⅱ）知,,k k k a b c 中有且仅有一个为0，不妨设0k a =，（1）若k k b c ≠，由题意，不妨设0k k b c <<，则1||=k k k k a a b b +=-，1||=k k k k k b b c c b +=--，1||=k k k k c c a c +=-，1k k k m m c +== 所以2111||max{,}k k k k k k k a a b b c b m ++++=-<-<，同理21k k b m ++<，21k k c m ++<， 所以21k k m m ++<.又因为i m ∈N ，所以此种情形不可能一直出现（至多出现1k m +次）.所以一定能找到某个*j ∈N ，使得j j b c =. ……………… 12分（2）若k k b c =，由题意，得(0,,)k k k X b b =，1(,0,)k k k X b b +=，2(,,0)k k k X b b +=，3(0,,)k k k X b b +=，所以存在正整数t k =，使得3t t X X +=.综上，存在正整数t ，使得3t t X X +=. ……………… 13分。
2019年北京市西城区高三上学期期末考试数学理试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π=（B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A （B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8)（B ）(4,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．（C ）(0,4) （D ）(8,)+?13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.B CDA B 1C 1E FA 1 D 119．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区20xx — 第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角， 所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s -=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0).…………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =,2c , ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠，……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
西城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
西城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域是（）(){,|,,1A x y x y x y =--}AA ．B ．C ．D ．2． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
AB C D3． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣24． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）A ．9B ．11C ．13D ．155． i 是虚数单位，i 2015等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i6．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（）A．（0，1）B．（2，1）C．（2，0）D．（0，2）7．函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）8．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）A．B．C．或D．39．已知2a=3b=m，ab≠0且a，ab，b成等差数列，则m=（）A．B．C．D．610．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种B．22种C．24种D．36种11．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．412．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A．B．C．πD．2π二、填空题13．若曲线f（x）=ae x+bsinx（a，b∈R）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b﹣a= ．14．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ．15．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．16．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）17．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且，双曲线：1C x y 42=F P 3||=PF 2C 12222=-by a x （，）的渐近线恰好过点，则双曲线的离心率为 .0>a 0>b P 2C 【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.18．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN= m ．三、解答题19．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；（2）若f （x ）=（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．18．已知函数f （x ）=是奇函数．20．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）．（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；（2）已知函数g （x ）=log，当x ∈[，]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．21．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA 和正△CED．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．23．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．24．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g （x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．西城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】考点：二元一次不等式所表示的平面区域.2．【答案】B【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。