2020中考数学二轮复习几何专题突破 三角形中常见辅助线的添加技巧(原卷版)

2020
中考数学几何专题突破
模块二：三角形中常见辅助线添加技巧
例1. （2019·
吉林中考真题）性质探究 如图①，在等腰三角形ABC 中，0120ACB ∠=，
则底边AB 与腰AC 的长度之比为________．
理解运用
⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843+________；
⑵如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==．
①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠；
②在边,FG GH 上分别取中点,M N ，连接MN ．若0120FGH ∠=，10EF =,直接写出线段MN 的长．
类比拓展
顶角为2σ的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含σ的式子表示）．
1. 与角平分线有关的辅助线
（1） 可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
【变式训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E 。

若DE=1，则BC 的长为（ ）
A ．2+2
B ．23+
C ．32+
D ．3
2. （2018•德州）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC=5，OM=4，则点C 到射线OA 的距离为 ．
3. （2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC=1，则OF= ．
例1．（2019·山东中考真题）如图，在ABC
∆中，120
ACB
∠=︒，4
BC=，D为AB的
中点，DC BC
⊥，则ABC
∆的面积是_____．
【变式训练】
1．（2019·湖北黄石中考真题）如图，在ABC
△中，50
B
∠=︒，CD AB
⊥于点D，BCD
∠
和BDC
∠的角平分线相较于点E，F为边AC的中点，CD CF
=，则ACD CED
∠+∠=
（）
A．125°B．145°C．175°D．190°
2. 与线段长度相关的辅助线
（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2．（2019·甘肃中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．
（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；
（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．
例1. （2018•徐州）边长为a 的正三角形的面积等于 ．
【变式训练】
1．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为________cm.
3. 与等腰等边三角形相关的辅助线
（1）考虑三线合一
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °
2．（2019·江苏中考真题）如图，一块含有45 角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为cm(结果保留根号)
_______2
3.（2018•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．
例1．（2018·贵州中考真题）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）
A．
1
2
B．1 C．
3
3
D．3
【变式训练】
1．（2019·甘肃中考真题）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm （含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
4.与解直角三角形有关的辅助线添加
（1）围绕要求的角的（除角顶点外）两端点，往两边做垂直，构建直角三角形（2）围绕要求的边，构建直角三角形。

2．（2019·江苏中考真题2019·江苏中考真题）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1:2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角1830'α=，竖直的立杆上C 、D 两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．
求：（1）观众区的水平宽度AB ；
（2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．（sin1830'0.32≈，tan1830'0.33≈，结果精确到0.1m ）
3．（2019·江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O --表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量： 6.8cm AO =，8cm CD =，
30cm AB =，35cm BC =．
（结果精确到0.1） （1）如图2，70ABC ︒∠=，//BC OE ．
①填空：BAO ∠=_________°；
②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求ABC ∠的大小．（参考数据：sin 700.94︒≈，cos200.94︒≈，sin36.80.60︒≈，cos53.20.60︒≈）
4．（2019·上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求E、E'两点的距离.
例1．（2019·安徽中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D 在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【变式训练】
1．（2019·青海省中考真题）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为51：，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm.
5.与构建三角形相似的辅助线添加
（1）构建A字型相似
（2）构建8字型相似
（3）构建K字型相似
2．（2019·四川省中考真题）如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．
3．（2019·内蒙古自治区中考真题）已知正方形ABCD 的面积2E ，是为正方形一边BC 在从B 到C 方向的延长线上的一点，若2CE ＝，连接AE ，与正方形另外一边CD 交于点F ，连接BF 并延长，与线段DE 交于点G ，则BG 的长为_____．
4．（2019·安徽中考真题）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB =∠BPC =135°
（1）求证：△PAB ∽△PBC
（2）求证：PA =2PC
（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 12=h 2·h 3
11 5．（2019·辽宁省中考真题）如图1，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，30B ，点M 是AB 的中点，连接MC ，点P 是线段BC 延长线上一点，且PC BC <，连接MP 交AC 于点H ．将射线MP 绕点M 逆时针旋转60︒交线段CA 的延长线于点D ．
（1）找出与AMP ∠相等的角，并说明理由．
（2）如图2，12CP
BC =，求AD BC 的值． （3）在（2）的条件下，若13MD =
，求线段AB 的长．。