江苏省南京市、盐城市2016届高三第二次模拟考试数学(附答案)
南京市盐城市2016届高三年级第二次模拟考试试卷
英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分120分，考试用时120分钟。
注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where are the speakers?A. At home.B.In a restaurant.C. In a hotel.2. What does the boy mean?A. Nancy has left the TV on.B. He forgot to turn off the TV.C. Nancy remembered turning off the TV.3. What does the woman advise the man to do?A. Go to the post office.B. Call the post office.C. Contact the mail carrier.4. Which word can best describe the man?A. Hardworking.B. Dishonest.C. Humorous.5. What can we learn from the conversation?A. The man is unhappy.B. The woman is very helpful.C. Mr. Barkley is disappointed.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。
2016年江苏南京市、盐城市高三一模数学试卷
2016年江苏南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 已知复数，那么 ______．3. 已知书架上有本数学书，本物理书，若从中随机取出本，则取出的本书都是数学书的概率为______．4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．S 1For I From 1 To 7 Step 2S S+IEed ForPrint S5. 某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生抽取人，其中从高一年级学生中抽取人，则从高三年级学生中抽取的人数为______．6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上．若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为______．7. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为______．8. 若某个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为______．9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为______．10. 已知等比数列的前项和为，且．若，则的最小值为______．11. 如图，在中，若，，，则的值为______．12. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相交于，两点．若恰好是线段的中点，则直线的方程为______．13. 已知是定义在上的奇函数，且，函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______．14. 若函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 设函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围．16. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．17. 如图，，是两个垃圾中转站，在的正东方向处，直线的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂．垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（，，可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，且比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民生活区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）．现估测得，两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为和，问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?18. 如图，在平面直角坐标系中，设是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，．（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程．（2）若．①求证：；②求的最大值．19. 已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为，，试判断的正负，并给出证明．20. 设数列共有项，记该数列前项，，，中的最大项为，该数列后项，，，中的最小项为，．（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是逐项递增的，并给出证明．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）由图象知，，又，，所以，得．所以，将点代入，得，即，又，所以．所以．（2）当时，，所以，即．16. （1）在中，因为是的中点，是的中点，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面．而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面．又面，所以面面．17. 方法一：由条件①得，．设，，则，所以点到直线的距离所以当，即时，取得最大值．即垃圾发电厂的选址应满足，．方法二：如图，以所在直线为轴、线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，，．由条件①得，．设，则，化简得，，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆且位于轴上方的半圆，则当时，点到直线的距离最大，且最大值为．故点的选址应满足在上述坐标系中，其坐标为即可．18. （1）因为椭圆的右焦点坐标为，所以圆心的坐标为，所以圆的方程为．（2）①因为圆与直线相切，，即．同理，有，所以，时方程的两个根，所以．②设点的坐标为，点的坐标为，联立解得，．同理，，所以当且仅当时取等号，所以的最大值为．19. （1）由题意得，，因为函数在处的切线方程为，所以，得．（2）由（1）知对任意的恒成立，所以，即对任意的恒成立，所以．又不等式整理可得，令，所以．令，得．当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以．综上所述，实数的取值范围是．（3）结论是 .证明：由题意知函数，所以，易得函数在上单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可．因为，是函数的两个零点，所以两式相减得．不妨令，则，则，所以，，即证．即证明．因为．所以在上单调递增，所以．综上所述，函数总满足成立．20. （1）因为是逐项递增的，所以，，所以，．（2）若是逐项递减的，则，，所以，不满足，所以是逐项递增的．则，，所以，即，，所以是公差为的等差数列，，．（3）构造，其中，．下面证明数列满足题意：因为，所以数列是逐项递增的，所以，，所以，．因为，所以数列是逐项递增的，满足题意．。
优质解析：江苏省南京市、盐城市2016届高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________． 【答案】{x |－2＜x ＜1} 【解析】试题分析：A ∪B ＝{x |－2＜x ＜0}∪{x |－1＜x ＜1}={x |－2＜x ＜1} 考点：集合的并集2.若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 【答案】2- 【解析】试题分析：因为 z ＝(1＋m i)(2－i)i m m )12()2(-++=，所以.2012,02-=⇒≠-=+m m m 考点：复数概念3.将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ． 【答案】3611考点：古典概型概率4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若 一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．【答【解析】试题分析：950)002.0004.0(30=⨯+⨯（第4题图）考点：频率分布直方图5.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．【答案】5考点：循环结构流程图6.设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于 ▲ ． 【答案】19 【解析】试题分析：设公差为d ，则由题意得20,64)2(2=⇒≠+=+d d d d ，因此.199110=+=d a 考点：等差数列通项公式7.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．（第5题图）【答案】38考点：三棱锥体积8.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，2||πϕ<)的最小正周期为π，且它的图象过点(,12π-，则φ的值为▲________． 【答案】12π-【解析】试题分析：由题意得22)6sin(,22-=+-==ϕπππω，ππϕπk 246+-=+-或)(,2436Z k k ∈+-=+-ππϕπ，因为2||πϕ<，所以12πϕ-= 考点：三角函数性质9.知函数21,0,(),2(1),0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩则不等式f (x )≥－1的解集是▲________．【答案】]2,4[- 【解析】试题分析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≤112x x 或⎩⎨⎧-≥-->1)1(02x x ，解得04≤≤-x 或20≤<x ，即24≤≤-x ，解集（第7题图）ABCA 1B 1FC 1E考点：分段函数解集10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0) 的焦点为F ，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是▲________. 【答案】x y 2±= 【解析】试题分析：由题意得：一条渐近线过点),2(p p ，因此斜率为22=p p，双曲线的渐近线方程是x y 2±=考点：抛物线性质，双曲线渐近线11.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC 上，且2,BD DC AD ==，则AC 的长为▲________． 【答案】3考点：向量数量积12.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________． 【答案】[2-+ 【解析】试题分析：由题意得：2=OP，因此由两圆有交点得：2221211(4)922OM a a a -<<+⇒≤+-≤⇒≤≤+考点：直线与圆位置关系13.已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝ {x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则11a b-的最大值是▲________． 【答案】1.2试题分析：由题意得b a f ≥-⇒≥-240)2(，241111--≤-a a b a ，令111,()422y a a a =->-，则221401(42)y a a a '=-+=⇒=-，当1a >时，0y '<；当112a <<时，0y '>；因此当1a =时，y 取最大值12；即11a b -的最大值是1.2考点：一元二次不等式解集，利用导数求函数最值14.若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________． 【答案】10.a a e<≥或考点：利用导数求函数值域二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知α为锐角，cos (α＋4π)． （1）求tan(α＋4π)的值； （2）求sin(2α＋3π)的值．【答案】（1）2（2【解析】试题分析：（1）由同角三角函数平方关系得sin (α＋4π)=，注意角的范围确定开方取正，再根据同角三角函数关系中商数关系得tan(α＋4π)＝sin()42cos()4παπα+=+（2）将α＋4π看做整体，设为β，则2α＋236ππβ=-，再结合两角差的正弦公式及二倍角公式，可求得sin(2α＋3π)的值考点：同角三角函数关系，两角差的正弦公式及二倍角公式 16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点． （1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .ANBPMC【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，往往从平面几何中寻求，本题利用中位线性质得MN ∥PB ．（2）线面垂直的证明，往往需要线面垂直判定及性质定理多次转化，而面面垂直条件，一般利用面面垂直性质定理给予转化，本题利用等腰三角形性质CM ⊥AB ，将平面P AB ⊥平面ABC 转化为CM ⊥平面P AB ，从而得CM ⊥P A ．结合P A ⊥PB 及MN ∥PB 可得：（第16题图）P A⊥MN，因此可由线面垂直判定定理推出结论.考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理, 线面垂直判定及性质定理17.(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【答案】当A，B两点离道路的交点都为2(百米)时，小道AB最短．试题解析：解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ．设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 则直线AB 方程为1x ya b+=，即bx ＋ay －ab ＝0． 因为AB 与圆C 1=．……………4分化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．……………6分因此AB ====8分 因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤2()2a b +， 解得0＜a ＋b ≤4－，或a ＋b ≥4＋．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－，………………………………………12分 所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－)＝－2， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以AB 最小值为－2，此时a ＝b ＝2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2(百米)时，小道AB 最短．……………14分 考点：直线与圆位置关系，基本不等式应用 18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)上．若点A (－a ，0)，B (0，3a )，且32AB BC =．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点(0，－67)，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）23（2）①y ＝－x ＋67或y ＝95-x ＋67，②(，0)∪(0)．因为32AB BC =，所以(a ，3a )＝32 (x 0，y 0－3a )＝(32x 0，32y 0－2a )， 得002359x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………………2分代入椭圆方程得a 2＝95b 2． 因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝23c a =．………………………………………4分（2）①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为22195x y +=，设Q (x 0，y 0)，则2200195x y +=……① ………………………………………………6分因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为003(,)22x y -，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以0000627332y y x x +⋅-+＝－1， ………………………………………………8分 化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……② 将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0（舍），或y 0＝157．将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或95-，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝95-x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx +m ，则直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ． 将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ， x N ＝1229259x x km k +=-+，代入直线PQ 的方程得y N ＝2559mk +，…………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……②又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，＜k，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(，0)∪(0)． 综上所述，点D 横坐标的取值范围为(，0)∪(0)．…………………………16分考点：椭圆离心率，弦中点问题19.(本小题满分16分)对于函数f (x )，在给定区间[a ，b ]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，记S ＝10n i -=∑|f (x i ＋1)－f (x i )|．若存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N )均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V ． （1）若函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值；（2）若函数f (x )＝xxe ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值； （3）对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e ]上具有性质V ．【答案】（1）4，（2）22(1)e e -，（3）详见解析试题解析：（1）解：因为函数f (x )＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数，所以f (x i ＋1)＜f (x i )，所以|f (x i ＋1)－f (x i )|＝ f (x i )－f (x i ＋1)．S ＝10n i -=∑|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝f (－1)－f (1)＝4． …………………………………………2分（3）证明：f ′(x )＝k x －x ＝2k x x-，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为增函数， 所以S ＝10n i -=∑|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 1)－f (x 0)]+[ f (x 2)－f (x 1)]+…+[ f (x n )－f (x n -1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (e)－f (1)＝k +12－12e 2． 因此，存在正数A ＝k +12－12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．……………10分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为减函数， 所以S ＝10n i -=∑|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝ f (1)－f (e)＝12e 2－k －12． 因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．…………12分考点：绝对值不等式性质，利用导数研究函数单调性 20.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)． （1）求p 的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ．若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．【答案】（1）－12（2）11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为正奇数为正偶数（3）详见解析【解析】试题分析：（1）因为对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n ，所以取特殊情形：a 1＝－S 1＋p ，及a 2＝S 2＋p 2从而有a 1＝2p ，a 1＝－p 2，所以2p ＝－p 2．即p ＝－12．（2）利用一般数列和项与通项关系得项的递推关系：由1(1)()2n n n n a S =-+-，及1111(1)()2n n n n a S +++=--+-，相加得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ．再分奇偶讨论得11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为正奇数为正偶数（3）A n ＝{－14n ，14n }，因为b 1≠c 1则b 1 与c 1一正一负，不妨设b 1＝14，c 1＝－14．然后估计P n ，Q n 范围，由于P n ＞170436->，而Q n ＜－14＋736＜0，故P n ≠Q n．（3）A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，则b 1 与c 1一正一负， 不妨设b 1＞0，则b 1＝14，c 1＝－14．则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(224＋334+…＋4n n)．……………………………12分设S ＝224＋334+…＋4n n ，则14S ＝324＋434+…＋14n n+两式相减得34S ＝224＋314+…＋1144n n n +-＝11111748124448n n n -+-⨯-<．所以S ＜736，所以P n ≥14－(224＋334+…＋4n n )＞170436->．………………………14分 因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736＜0，所以P n ≠Q n ． ………………………………………………………………16分 考点：数列通项，数列求和附加题21.A 选修4—1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析考点：切割线定理21.B 选修4—2：矩阵与变换已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． （1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112BA【解析】 试题分析：（1）由对应点坐标关系解出a，b的值⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51462336436236433223b a b a b a b a （2）由逆矩阵公式求出矩阵A 的逆矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⇒-=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-35121||25131A B A A再根据矩阵运算求⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B 试题解析：解：（1）由题意，得323234a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，…………………4分 所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………6分（2）由（1），得3152A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．由矩阵的逆矩阵公式得2153B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦……………………8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B ……………………………………………………………10分 考点：逆矩阵，矩阵运算21.C 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C的参数方程为2cos x ty t=⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数) ． （1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）y =22143x y +=（2）16.5考点：极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程21.D选修4—5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2【答案】{x|－3＜x＜－1或x＞0}．【解析】试题分析：解含绝对值不等式，一般方法为利用绝对值定义，分类讨论法：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2,最后求这三类不等式解集的并集试题解析：解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，解得－3＜x≤－2；………………………………………………3分当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；…………………………………………………6分当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2,解得x≥2；………………………………………………………9分所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}．……………………………………………………10分考点：解含绝对值不等式22.（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)． 【答案】（1）1136（2）E (ξ) ＝1试题解析：解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率12322133323333332112112111()()()()()()()3323323236p C C C C C =++=…………………………………4分（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为…………………………………………………8分所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．……………………………10分 考点：互斥事件概率，概率分布和数学期望 23.（本小题满分10分）设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2． （1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值； （2）设b k ＝1k n k+-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||m mn S C - 的值．【答案】（1）1024，（2）1试题解析：解：（1）因为a k ＝(－1)k kn C ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝67891011111111111111C C C C C C +++++ ＝01101110111111111()21024.2C C C C ++++==……………………………………………3分（2）b k ＝1k n k +-a k ＋1＝(－1)k ＋11k n k+-1k n C +＝(－1)k ＋1kn C ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 k n C ＝ (－1)k ＋1 (111k k n n C C ---+)＝(－1)k ＋111k n C --＋(－1)k ＋1 1k n C -＝(－1)k －1 11k n C --－(－1)k1k n C -． ……………………………………7分当m ＝0时，011||||m m n n S b C C --=＝1． ……………………………………8分 当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋1mk =∑[(－1)k －111k n C --－(－1)k 1k n C -]＝－1＋1－(－1)m 1m n C -＝－(－1)m 1mn C -，所以1||mmn S C -＝1． 综上，1||mmn S C -＝1． ……………………………………10分 考点：组合数性质：。
2016年江苏省高考数学二模试卷(解析版)
2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4； 当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7； 当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10； 当l=10时，不满足进行循环的条件， 故输出的S 值为15． 故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球， 从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos α，tan α的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cos α=﹣=﹣，tan α==﹣2，∴tan （α+β）===，整理可得：tan β=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h ，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，∵b1008=1，∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，∴a2016=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n 的坐标为（t ，0），直线方程为y=k （x ﹣t ），代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，即有x 1+x 2=，x 1x 2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则实数a 的取值范围为 [3，+∞） ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则a ≥3即可，故实数a 的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x ，同理可得+≥2y ，+≥2z ，三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），即为++≥x +y +z ，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，Eξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2016），∴，则a2017＜1；又，∴×2017=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2016年10月17日。
2016年江苏省南京市、盐城市高考一模数学试卷【解析版】
2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{﹣1，2，5}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．3．（5分）书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．5．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．7．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x﹣y的最小值为．8．（5分）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为．9．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则•的值为．12．（5分）过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是．14．（5分）设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．16．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O 是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．17．（14分）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2＝1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r＝，①求证：k1k2＝﹣；②求OP•OQ的最大值．19．（16分）已知函数f（x）＝在x＝0处的切线方程为y＝x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．20．（16分）设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1＝1，r i＝﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC＝4，DE＝3，求BD的长．选修4-2：矩阵-变换22．（10分）设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2＝1，求曲线C的方程．选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1．求证：+++≤2．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ．（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．26．（10分）设集合M＝{1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{﹣1，2，5}，则A∩B＝{﹣1}．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，2，5}，∴A∩B＝{﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：复数z＝＝＝，则|z|＝＝．故答案为：．3．（5分）书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．【解答】解：∵书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，基本事件总数n＝＝10，则取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m＝，∴取出的两本书都是数学书的概率p＝．故选为：．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．5．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得＝，解得x＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18＝17人，故答案为：17．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．【解答】解：由题意，可设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为曲线C经过点P（1，3），所以p＝，所以其焦点到准线的距离为．故答案为：．7．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y＝x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y＝x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时z min＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为2．【解答】解：已知正四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SB＝，过S作SE⊥底面ABCD，垂足为E，过E作EF⊥BC，交BC于F，连结SF，则EF＝BF＝，SF＝＝，SE＝＝2，＝＝＝8，∴V S﹣ABCD设该正方体的棱长为a，∵一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，∴a3＝8，解得a＝2．故答案为：2．9．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝7．【解答】解：∵cos B＝，a＝5，A＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝4，∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即：32＝25+c2﹣6c，解得：c＝7或﹣1（舍去）．故答案为：7．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为20．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q＞0，q≠1．∵S6﹣2S3＝5，∴﹣＝5．∴＝5．∴q＞1．则S9﹣S6＝﹣＝•q6＝＝5+10≥5×+10＝20，当且仅当q3＝2，即q ＝时取等号．∴S9﹣S6的最小值为20．故答案为：20．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则•的值为﹣2．【解答】解：∵＝﹣，∴•＝（+）•，＝（+）•，＝（+﹣）（﹣），＝（+）（﹣），＝（•+﹣2），＝（3×3×+32﹣2×32），＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（5分）过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为x±3y+4＝0．【解答】解：由割线定理，可得（PC﹣）（PC+）＝P A•PB，∴20＝2P A2，∴P A2＝10设A（x，y），则（x+4）2+y2＝10，与圆C：（x﹣1）2+y2＝5，联立可得x＝﹣1，y＝±1∴直线l的方程为x±3y+4＝0．故答案为：x±3y+4＝0．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是[﹣，]．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，∴f（0）＝0，即f（0）＝1+m＝0，得m＝﹣1，则f（x）＝2x﹣，则g（x）＝，则当x＞1时，函数为增函数，且当x→1时，g（x）→＝2﹣＝，当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）＝﹣（）＝﹣2＝﹣，由y＝g（x）﹣t＝0得g（x）＝t，作出函数g（x）和y＝t的图象如图：要使函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则函数g（x）与y＝t只有一个交点，则﹣≤t≤，故答案为：[﹣，]14．（5分）设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）＝0，即＝（t+1）lnt（**）令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）由图象知，A＝2，…（2分）又＝＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1．…（4分）所以f（x）＝2sin（x+φ），将点（，2）代入，得+φ＝2k（k∈Z），即φ＝+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜，所以，φ＝．…（6分）所以f（x）＝2sin（x+）．…（8分）（2）当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]，…（10分）所以sin（x+）∈[﹣，1]，即f（x）∈[﹣，2]．…（14分）16．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O 是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OM∥A1B，…（4分）又OM⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1．…（6分）（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC，又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC⊂面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以BC⊥面ACC1A1，…（8分）而AC1⊂面ACC1A1，所以BC⊥AC1，又ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1，而BC，A1C⊂面A1BC，且BC∩A1C＝C，所以AC1⊥面A1BC，…（12分）又AC1⊂面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC．…（14分）17．（14分）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【解答】解：由条件①，得＝＝，∵P A＝5x，∴PB＝3x，则cos∠P AB＝＝+，由同角的平方关系可得sin∠P AB＝，所以点P到直线AB的距离h＝P A sin∠P AB＝5x•＝，∵cos∠P AB≤1，∴+≤1，∴2≤x≤8，所以当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15千米．即选址应满足P A＝5千米，PB＝3千米．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2＝1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r＝，①求证：k1k2＝﹣；②求OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x＝，代入+y2＝1，可得y ＝±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2＝；（2）因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆R相切，所以直线OP：y＝k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣＝0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣＝0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣＝0的两个不相等的实数根，∴k1k2＝，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2＝1﹣，所以k1k2＝＝﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1＝0，所以+1＝0，即y12y22＝x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22＝（1﹣）（1﹣）＝x12x22，整理得x12+x22＝4，所以y12+y22＝1所以OP2+OQ2＝5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝5，综上：OP2+OQ2＝5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）＝2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．19．（16分）已知函数f（x）＝在x＝0处的切线方程为y＝x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，在x＝0处的切线斜率为，由切线的方程y＝x，可得a＝1；（2）由题意可得x2﹣2x＜k＜+x2﹣2x在x∈（0，2）恒成立，由x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈（﹣1，0），可得k≥0；由h（x）＝+x2﹣2x的导数为h′（x）＝（x﹣1）（2+），可得0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有h（x）在x＝1处取得最小值，且为e﹣1，则k＜e﹣1．综上可得k的范围是[0，e﹣1）；（3）函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，即为b＝lnx﹣x有两个零点，y＝lnx﹣x的导数为y′＝﹣1，当x＞1时，y′＜0，函数递减；0＜x＜1时，y′＞0，函数递增．即有x＝1处取得最大值，且为﹣1．画出y＝b和y＝lnx﹣x的图象，可得＞1，g（x）＝lnx﹣x﹣b的导数为g′（x）＝﹣1，g′（）＝﹣1＜0，则g′（）为负的．另解：由题意可得g（x）＝lnx﹣x﹣b，g′（x）＝﹣1＝，可得g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，只需证＞1即可．由x1，x2为g（x）的两个零点，可得x1+b＝lnx1，x2+b＝lnx2，相减可得，x2﹣x1＝ln，令t＝＞1，则x2＝tx1，tx1﹣x1＝lnt，则x1＝，x2＝，即证lnt＞2，即证φ（t）＝lnt﹣2•＞0，φ′（t）＝﹣＝＞0，φ（t）在（1，+∞）递增，可得φ（t）＞φ（1）＝0，综上可得，g（x）满足g′（）＜0．20．（16分）设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1＝1，r i＝﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．【解答】解：（1）因为a n＝2n单调递增，所以A i＝2i，B i＝2i+1，所以r i＝A i﹣B i＝﹣2i，1≤i≤m﹣1；（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i＝A i﹣B i＝﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i＝1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i＝a i，B i＝a i+1，所以r i＝a i﹣a i+1＝﹣2，即a i+1﹣a i＝2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n＝n﹣（）n，其中b n＝n，c n＝﹣（）n，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n＝n﹣（）n，所以数列{a n}单调递增，所以A i＝a i＝i﹣（）i，B i＝a i+1＝i+1﹣（）i+1，所以r i＝a i﹣a i+1＝﹣1﹣（）i+1，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i＝[﹣1﹣（）i+2]﹣[﹣1﹣（）i+1]＝（）i+2＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC＝4，DE＝3，求BD的长．【解答】解：因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA＝∠DBA，…（2分）又因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，所以∠EDA＝∠DBA，所以∠EDA＝∠CDA．…（4分）又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△ACD≌△AED．所以AE＝AC＝4，所以AD＝5，…（6分）又＝，所以BD＝．…（10分）选修4-2：矩阵-变换22．（10分）设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2＝1，求曲线C的方程．【解答】解：由题意，矩阵M的特征多项式f（λ）＝（λ﹣a）（λ﹣1），因矩阵M有一个特征值为2，f（2）＝0，所以a＝2．…（4分）所以M＝＝，即，代入方程x2+y2＝1，得（2x）2+（2x+y）2＝1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2＝1．…（10分）选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．【解答】解：∵点A的极坐标为（2，﹣），∴点A的直角坐标为（2，﹣2），…（2分）∵圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，∴圆E的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，…（6分）则点A（2，﹣2）到圆心E（2，2）的距离d＝＝4＞r＝2，所以点A在圆E外．…（10分）选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1．求证：+++≤2．【解答】证明：运用分析法证明．要证+++≤2，由正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，即证（+++）2≤24，即有（+++）2≤4（1+2a+1+2b+1+2c+1+2d），由柯西不等式可得，上式显然成立．则原不等式成立．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ．（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．【解答】解：（1）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2），…（2分）当λ＝1时，D为BC的中点，∴D（1，2，0），＝（1，﹣2，2），＝（0，4，0），＝（1，2，﹣2），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，0，1），又cos＜＞＝＝＝，∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为．…（6分）（2）∵＝，∴D（，，0），∴＝（0，4，0），＝（，，﹣2），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（λ+1，0，1）．…（8分）又平面A1B1C1的一个法向量为＝（0，0，1），∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，∴|cos＜＞|＝||＝＝，解得或（不合题意，舍去），∴实数λ的值为．…（10分）26．（10分）设集合M＝{1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．【解答】解：（1）当n＝3时，M＝{1，2，3），S3＝1，T3＝2，＝2，当n＝4时，M＝{1，2，3，4），S4＝4，T4＝2+2+3+3＝10，＝，＝3，＝（2）猜想＝．下用数学归纳法证明之．证明：①当n＝3时，由（1）知猜想成立；②假设当n＝k（k≥3）时，猜想成立，即＝，而S k＝∁k3，所以得T k＝∁k3，则当n＝k+1时，易知S k+1＝C k+13，而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k+1}时，T k+1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和（k﹣1）个k，所以T k+1＝T k+2×1+3×2+4×3+…+k（k﹣1），＝∁k3+2（C22+C32+C42+…+∁k2），＝∁k3+2（C33+C32+C42+…+∁k2），＝C k+13+2C k+13，＝C k+13，＝S k+1，即＝．即所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．。
南京市盐城市2016届高三年级第二次模拟考试试卷
南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分 分，考试用时 分钟。
注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分 听力 共两节，满分 分做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节 共 小题；每小题 分，满分 分听下面 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的 、 、 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
第二节 共 小题；每小题 分，满分 分听下面 段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的 、 、 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题 秒钟；听完后，各小题将给出 秒钟的做答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第 段材料，回答第 至 题。
听第 段材料，回答第 至 题。
听第 段材料，回答第 至 题。
听第 段材料，回答第 至 题。
． ．．．．．．．听第 段材料，回答第 至 题。
第二部分 英语知识运用 共两节，满分 分第一节 单项填空（共 小题；每小题 分，满分 分）请认真阅读下面各题，从题中所给的 、 、 、 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。
第二节 完形填空（共 小题；每小题 分，满分 分）请认真阅读下面短文，从短文后各题所给的 、 、 、 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。
声称的第三部分 阅读理解（共 小题；每小题 分，满分 分）请认真阅读下列短文，从短文后各题所给的 、 、 、 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。
表现不固定性遗传酶无活力的 白血病伯氏先天性黑蒙①②跳蚤③ 不知足的 ④① ② ③ ④第四部分 任务型阅读 共 小题；每小题 分，满分 分请认真阅读下列短文，并根据所读内容在文章后表格中的空格里填入一个．．最恰当的单词。
江苏省南京市、盐城市2016届高三第二次模拟考试
南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分120分，考试用时120分钟。
注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号等填涂在答题卡相应位置处。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节（共5小题：每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where are the speakers?A. At home.B. In a restaurant.C. In a hotel.2· What does the boy mean?A. Nancy has left the TV on.B. He forgot to turn off the TV.C. Nancy remembered turning off the TV.3 · What does the woman advise the man to do?A. Go to the post office.B. Call the post office.C. on tact the mail carrier.4· Which word can best describe the man?A. Hardworking.B. Dishonest.C. Humorous.5· What can we learn什om the conversation?A. The man is unhappy.B. The woman is very helpful.C. Mr. Barkley is disappointed.第二节（共15个小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
南京市盐城市2016届高三年级第二次模拟考试试卷
南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分120分，考试用时120分钟。
注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where are the speakers?A. At home.B.In a restaurant.C. In a hotel.2. What does the boy mean?A. Nancy has left the TV on.B. He forgot to turn off the TV.C. Nancy remembered turning off the TV.3. What does the woman advise the man to do?A. Go to the post office.B. Call the post office.C. Contact the mail carrier.4. Which word can best describe the man?A. Hardworking.B. Dishonest.C. Humorous.5. What can we learn from the conversation?A. The man is unhappy.B. The woman is very helpful.C. Mr. Barkley is disappointed.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。
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2016届高三年级第二次模拟考试(二)数学本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、 填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分．1.设集合A ＝{x|－2<x<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A ∪B ＝________．2.若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．3.将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是________．4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________．(第4题图)(第5题图)5.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为________．6.设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于________．(第7题图)7.如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥AA 1EF 的体积是________．8.已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，－2，则φ的值为________．9.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x≤0，－（x －1）2， x>0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O)．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是________．11．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4.若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC的长为________．12．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________． 13．已知函数f(x)＝ax 2＋x －b(a ，b 均为正数)，不等式f(x)>0的解集记为P ，集合Q ＝{x|－2－t<x<－2＋t}．若对于任意正数t ，P ∩Q≠∅，则1a －1b的最大值是________．14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a(y －2ex)(lny －1nx)＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为________．二、 解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝55.(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2) 求sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点． (1) 求证：PB ∥平面MNC ；(2) 若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC.(第16题图)17. (本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB.问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？(第17题图)18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上．若点A(－a ，0)，B ⎝⎛⎭⎫0，a 3，且AB →＝32BC →.(1) 求椭圆M 的离心率；(2) 设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P(－3，0)，直线l 过点⎝⎛⎭⎫0，－67，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1)，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．对于函数f(x)，在给定区间[a ，b]内任取n ＋1(n≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，记S ＝∑n －1i ＝|f(x i ＋1)－f(x i )|.若存在与n 及x i (i≤n ，i ∈N)均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V . (1) 若函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值； (2) 若函数f (x )＝xex ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值；(3) 对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12x 2在区间[1，e]上具有性质V .已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n都有a n＝(－1)n S n＋p n(p为常数，p≠0)．(1) 求p的值；(2) 求数列{a n}的通项公式；(3) 设集合A n＝{a2n－1，a2n}，且b n，c n∈A n，记数列{nb n}，{nc n}的前n项和分别为P n，Q n.若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，P n≠Q n.(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)2016届高三年级第二次模拟考试(二)数学附加题本试卷总分40分，考试用时30分钟．21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC .以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F .求证：BE ·CE ＝EF ·EA .B. 选修4-2：矩阵与变换 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3ab －2所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． (1) 求a ，b 的值；(2) 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数)．(1) 求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； (2) 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. 选修4-5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2) 设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．23. (本小题满分10分)设(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2. (1) 设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；(2) 设b k ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求|S m C m n －1|的值．(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)2016届高三年级第二次模拟考试(二)(南京、盐城市)数学参考答案一、 填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程．) 1. {x|－2<x<1} 2. －2 3. 1136 4. 9 5. 5 6. 19 7. 83 8. －π129. [－4，2] 10. y ＝±2x 11. 3 12. ⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 13. 12 14. a<0或a≥1e二、 解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分14分)解：(1) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4⎝⎛⎭⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝255，(3分)所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2.(6分)(2) 因为sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，(9分)cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝－35，(12分)所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.(14分)16. (本小题满分14分)证：(1) 因为M ，N 分别为AB ，PA 的中点， 所以MN ∥PB.(2分)因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ， 所以PB ∥平面MNC.(4分)(2) 因为PA ⊥PB ，MN ∥PB ，所以PA ⊥MN.(6分) 因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB.(8分) 因为平面PAB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面PAB∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面PAB.(12分) 因为PA ⊂平面PAB ，所以CM ⊥PA.因为PA ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ， 所以PA ⊥平面MNC.(14分)17. (本小题满分14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a ，0)，B(0，b)(0<a<1，0<b<1)， 则直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab|b 2＋a 2＝1.(4分)化简得ab －2(a ＋b)＋2＝0， 即ab ＝2(a ＋b)－2.(6分)因此AB ＝a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab＝（a ＋b ）2－4（a ＋b ）＋4＝（a ＋b －2）2.(8分) 因为0<a<1，0<b<1，所以0<a ＋b<2， 于是AB ＝2－(a ＋b)． 又ab ＝2(a ＋b)－2≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，解得0<a ＋b≤4－22，或a ＋b≥4＋2 2. 因为0<a ＋b<2，所以0<a ＋b≤4－22，(12分) 所以AB ＝2－(a ＋b)≥2－(4－22)＝22－2， 当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．(14分) 解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF.设∠DCE ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则∠DCF ＝π2－θ.在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2.(4分)在直角三角形CDB 中，BD ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ2，(6分)所以AB ＝AD ＋BD －tan θ2＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ2＝tan θ2＋1－tanθ21＋tanθ2.(8分)令t ＝tan θ2，0<t<1，则AB ＝f(t)＝t ＋1－t 1＋t ＝t ＋1＋21＋t－2≥22－2， 当且仅当t ＝2－1时取等号．(12分)所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－ 2. 答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．(14分) 18. (本小题满分16分) 解：(1) 设C(x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫a ，a 3，BC →＝⎝⎛⎭⎫x 0，y 0－a 3. 因为AB →＝32BC →，所以⎝⎛⎭⎫a ，a 3＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，(2分)代入椭圆方程得a 2＝95b 2.因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23.(4分)(2) ①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，设Q(x 0，y 0)，则x 209＋y 205＝1. ①(6分)因为点P(－3，0)，所以PQ 中点为(x 0－32，y 02)，因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫0，－67，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以y 02＋67x 0－32·y 0x 0＋3＝－1，(8分)化简得x 2＝9－y 20－127y 0. ② 将②代入①化简得y 20－157y 0＝0，解得y 0＝0(舍)，或y 0＝157. 将y 0＝157代入①得x 0＝±67， 所以Q 为⎝⎛⎭⎫±67，157， 所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或－95，所以直线l 的方程为y ＝－x －67或y ＝－95x －67.(10分)②设PQ ：y ＝kx ＋m ，则直线l 的方程为： y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k.将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0. ① 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5＋9k 2，代入直线PQ 的方程得y N＝5m 5＋9k 2，(12分) 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5. ② 又因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k 2)(9m 2－45)>0， 化得m 2－9k 2－5<0.(14分)将②代入上式得m 2－4m<0，解得0<m<4， 所以－113<k<113，且k≠0， 所以x D ＝－k ∈⎝⎛⎭⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎫0，113. 综上所述，点D 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎫0，113.(16分) 19. (本小题满分16分)(1) 解：因为函数f(x)＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f(x i ＋1)<f(x i )，所以|f(x i ＋1)－f(x i )|＝f(x i )－f(x i ＋1)．S ＝i ＝0n －1|f(xi ＋1)－f(x i )|＝[f(x 0)－f(x 1)]＋[f(x 1)－f(x 2)]＋…＋[f(x n －1)－f(x n )] ＝f(x 0)－f(x n )＝f(－1)－f(1)＝4.(2分) (2) 解：由f′(x)＝1－xe x＝0，得x ＝1. 当x<1时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)为增函数；当x>1时，f ′(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)为减函数； 所以f(x)在x ＝1时取极大值1e .(4分)设x m ≤1<x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，则S ＝i ＝0n －1|f(xi ＋1)－f(x i )|＝|f(x 1)－f(0)|＋…＋|f(x m )－f(x m －1)|＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋|f(x m ＋2)－f(x m ＋1)|＋…＋|f(2)－f(x n －1)|＝[f(x 1)－f(0)]＋…＋[f(x m )－f(x m －1)]＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋[f(x m ＋1)－f(x m ＋2)]＋…＋[f(x n －1)－f(2)]＝[f(x m )－f(0)]＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋[f (x m ＋1)－f(2)]．(6分)因为|f(x m ＋1)－f(x m )|≤[f(1)－f(x m )]＋[f(1)－f(x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S≤f(x m )－f(0)＋f(1)－f(x m )＋f(1)－f(x m ＋1)＋f(x m ＋1)－f(2) ＝2f(1)－f(0)－f(2)＝2（e －1）e 2.所以S 的最大值为2（e －1）e 2.(8分)(3) 证明：f′(x)＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e ]．①当k≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，e ]上为增函数，所以S ＝i ＝0n －1|f(xi ＋1－f(x i )|＝[f(x 1)－f(x 0)]＋[f(x 2)－f(x 1)]＋…＋[f(x n )－f(x n －1)] ＝f(x n )－f(x 0)＝f(e )－f(1)＝k ＋12－12e 2.因此，存在正数A ＝k ＋12－12e 2，都有S≤A ，因此f(x)在[1，e ]上具有性质V.(10分)②当k≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，e ]上为减函数，所以S ＝i ＝0n －1|f(xi ＋1)－f(x i )|＝[f(x 0)－f(x 1)]＋[f(x 1)－f(x 2)]＋…＋[f(x n －1)－f(x n )] ＝f(x 0)－f(x n )＝f(1)－f(e )＝12e 2－k －12.因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S≤A ，因此f(x)在[1，e ]上具有性质V .(12分)③当1<k<e 2时，由f′(x)＝0，得x ＝k ； 当f′(x)>0，得1≤x<k ；当f′(x)<0，得k<x ≤e ，因此f(x)在[1，k)上为增函数，在(k ，e ]上为减函数． 设x m ≤k<x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，则S ＝i ＝0n －1|f(xi ＋1)－f(x i )| ＝|f(x 1)－f(x 0)|＋…＋|f(x m )－f(x m －1)|＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋|f(x m ＋2)－f(x m ＋1)|＋…＋|f(x n )－f(x n －1)|＝f(x 1)－f(x 0)＋…＋f(x m )－f(x m －1)＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋f(x m ＋1)－f(x m ＋2)＋…＋f(x n －1)－f(x n ) ＝f(x m )－f(x 0)＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋f(x m ＋1)－f(x n )≤f(x m )－f(x 0)＋f(x m ＋1)－f(x n )＋f(k)－f(x m ＋1)＋f(k)－f(x m ) ＝2f(k)－f(x 0)－f(x n )＝k ln k －k －⎣⎡⎦⎤－12＋k －12e 2＝k ln k －2k ＋12＋12e 2. 因此，存在正数A ＝k ln k －2k ＋12＋12e 2，都有S ≤A ，因此f(x)在[1，e ]上具有性质V.综上，对于给定的实数k ，函数f(x)＝k ln x －12x 2在区间[1，e ]上具有性质V.(16分)20. (本小题满分16分)解：(1) 由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2.(2分)由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2.又p≠0，所以p ＝－12.(3分)(2) 由a n ＝(－1)nS n ＋⎝⎛⎭⎫－12n，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝（－1）nS n ＋⎝⎛⎭⎫－12n， ①a n ＋1＝－（－1）n S n ＋1＋⎝⎛⎭⎫－12n ＋1， ②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n(－a n ＋1)＋12×⎝⎛⎭⎫－12n.(5分)当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n ＋1.(7分)当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n ＋2＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 所以a n＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数，n ∈N *，12n，n 为偶数，n ∈N *.(9分)(3) A n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14n ，14n ，由于b 1≠c 1，则b 1与c 1一正一负，不妨设b 1>0，则b 1＝14，c 1＝－14.则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－⎝⎛⎭⎫242＋343＋…＋n 4n .(12分) 设S ＝242＋343＋…＋n 4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n ＋n4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143＋…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－⎝⎛⎭⎫14n －11－14－n4n ＋1 ＝748－112×14n －1－n 4n ＋1<748. 所以S <748×43＝736，所以P n ≥14－⎝⎛⎭⎫242＋143＋…＋14n >14－736＝118>0.(14分) 因为Q n ＝c 1＋2c 2＋3c 3＋…＋nc n ≤－14＋S <－14＋736＝－118<0，所以P n ≠Q n .(16分) 附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A. 选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD .因为AB 为直径，所以BD ⊥AC . 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC .(4分)因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，(6分) 所以CE ＝EB .(8分)因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ×EA ，即BE ×CE ＝EF ×EA .(10分)B. 选修4—2：矩阵与变换解：(1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，(4分)所以a ＝－1，b ＝5.(6分)(2) 由(1)，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－15－2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－15－3.(8分)所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.(10分)C. 选修4—4：坐标系与参数方程解：(1) 由ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32，得ρ(32cos θ－12sin θ)＝32，即32x －12y ＝32，化简得y ＝3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝3x － 3.(2分)由⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 32＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 24＋(x －1)2＝1，化简得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，(8分)所以A (0，－3)，B ⎝⎛⎭⎫85，353， 则AB ＝⎝⎛⎭⎫0－852＋⎝⎛⎭⎫－3－3532＝165.(10分)D. 选修4—5：不等式选讲解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)>2， 解得－3<x ≤－2；(3分)当－2<x <2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)>2， 解得－2<x <－1或0<x <2；(6分)当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)>2， 解得x ≥2；(9分)所以原不等式的解集为{x |－3<x <－1或x >0}．(10分) 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22. (本小题满分10分)解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个概率P ＝C 1323⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫123＋C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫13C 13· ⎝⎛⎭⎫123＋C 33⎝⎛⎭⎫233C 23⎝⎛⎭⎫123＝1136.(4分)(2) ξ的取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分)23. (本小题满分10分) 解：(1) 因为a k ＝(－1)k C k n ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024.(3分) (2) b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1C k n ，(5分) 当1≤k≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1C k n ＝(－1)k ＋1·(C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1C k －1n －1＋(－1)k ＋1C k n －1＝(－1)k －1C k －1n －1－(－1)k C k n －1.(7分)当m ＝0时，⎪⎪⎪⎪S m C m n －1＝⎪⎪⎪⎪b 0C 0n －1＝1.(8分)当1≤m≤n －1时，S m ＝－1＋k ＝1m [(－1)k －1C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)m C mn －1，所以⎪⎪⎪⎪S mC m n －1＝1.综上，⎪⎪⎪⎪S mC m n －1＝1.(10分)。