中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
5.2 中心极限定理
可将Xi ，i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机 变量. 由林德伯格—列维定理知，Tn 近似服从正 态分布 N (50 n, 25 n).
电子科技大学
中 心 极 限 定 理
P{Tn 5000} P{
Tn 50n 5 n
5000 50n 5 n
}
(
故
1000 10n n
P{| f n ( A) P ( A) | 0.01} 0.99 其中 A ={ 出现正面 }
解
有P( A )=1/2，令
1, 第i次出现正面; Xi ( i 1,2,n) 否则, 0, 则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立 且同分布的. 而且有
电子科技大学
p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击， 问其中有 29600 ~ 30500 次纵摇角大于3°的 概率是多少？ 解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的， 记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3°的次数， 故有
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中 心 极 限 定 理
1 X ~ B(90000, ), 3
1 n 90000, p 3
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中 心 极 限 定 理
高尔顿钉板试验 装车问题
重复试验次数估计 报亭售报问题
定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
Yn np lim P n np(1 p)
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中 心 极 限 定 理
lim P{Yn y}
n
2
k
1
y
e
统计学中心极限定理的含义
统计学中心极限定理的含义
中心极限定理（central limit theorem）是统计学中的一个重要
定理，它描述了随机变量和其样本均值之间的关系。
中心极限定理的含义是，当随机变量满足一定条件时，其样本均值的分布会收敛于一个正态分布。
简单来说，无论原始随机变量的分布是什么，只要样本容量足够大，样本均值的分布就会趋近于正态分布。
具体来说，中心极限定理有以下几个关键点：
1. 独立性：样本之间应该是独立同分布的，也就是每个样本点之间是相互独立的。
2. 同分布性：每个样本点应该来自于同一个总体分布。
3. 样本容量：随着样本容量的增加，样本均值的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于，它使得我们可以利用正态分布的知识和性质来研究和推断总体的特征。
当我们的样本容量足够大时，我们可以使用正态分布的统计方法进行假设检验、置信区间估计等统计推断工作。
无论总体分布是什么，只要样本容量够大，就可以使用中心极限定理来大致估计总体分布的特征。
总的来说，中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值会趋近于正态分布，这为统计推断提供了重要依据。
第2节中心极限定理
lim P
nA np
x x
1
x t2
e 2 dt .
n np1 p
2
证:令 Xi ={第 i 次试验中 A 出现的次数},则 Xi ~ 0,1,
n
nA Xi ,且Xi 独立同分布, EXi p, D Xi p1 p ,由列维中心极 i 1
我们还可得 很大时, X ~ P X ~ N , . .
例:重复投掷硬币 100 次,设每次出现正面的概率均为 0.5,问 A={正面出
现次数小于 61,大于 50}的概率是多少?
解:设正面出现次数为 nH 则 nH ~ B 100,0.5
所以 nH ~ N 50, 25
们具有数学期望和方差:
E
Xk
k
,
D
Xk
2 k
0, k
1, 2,
n
记 Sn2
2 k
,
若存在正数
,使得当 n
时,
k 1
1 n
Sn2
E
k 1
Xk k 2
n
0 ,(即每个 Xi 对总和 X i 影响不大)则
i 1
n
n
n
n
Zn
n
n n
i 1
Xi
E i1
Xi
i 1
Xi
n
n
D Xi
n
i1
的分布函数 Fn x 对任意 x 满足
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论与统计学中的一个重要定理，它指出在一定条件下，大量独立随机变量的均值的分布接近正态分布。
这个定理在现代统计学中有着广泛的应用，为我们理解各种现象提供了重要的数学工具。
Levy Lindeberg条件是中心极限定理的一个重要前提条件。
它要求独立同分布的随机变量序列的方差之和要趋于无穷大，而每个随机变量的方差要有限。
这个条件的提出，使得中心极限定理的适用范围更广，更符合实际应用的情况。
中心极限定理的重要性在于它可以帮助我们理解为什么在许多情况下，随机现象会呈现出正态分布的特征。
无论是自然界中的现象，还是人类社会中的行为，往往都可以被看作是大量随机变量的叠加。
而正态分布则是一种极具普遍性的分布形式，它在统计学中有着独特的地位。
通过中心极限定理，我们可以更好地理解抽样分布的性质。
在统计学中，我们常常需要通过抽样来推断总体的特征。
而中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逼近正态分布。
这为我们在实际应用中进行推断提供了理论依据。
除了在统计学中的应用，中心极限定理还在其他领域有着重要的作用。
在金融学中，它可以帮助我们理解股票价格的波动特性；在生态学中，它可以帮助我们分析种群数量的波动规律。
无论是自然科学还是社会科学，中心极限定理都有着广泛的应用前景。
总的来说，中心极限定理是统计学中的一个基础定理，它为我们理解随机现象提供了重要的数学工具。
Levy Lindeberg条件作为中心极限定理的前提条件，进一步拓展了定理的适用范围，使其更具有实际意义。
通过深入理解和应用中心极限定理，我们可以更好地分析和解释各种现象，为科学研究和实践应用提供有力支撑。
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
中心极限定理的基本概念和应用场景
中心极限定理的基本概念和应用场景中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论和统计学中的重要定理之一，它描述了在某些条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会近似服从正态分布。
该定理的重要性在于它提供了一种解决实际问题时的近似方法，其应用场景涵盖了各个领域。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理基于大数定律及正态分布的性质，其基本概念可归纳为以下几点：1. 大数定律大数定律指出对于独立同分布随机变量而言，随着样本容量的增大，随机变量的平均值收敛于其数学期望。
这意味着当样本量充足时，可以准确估计出总体的特征。
2. 正态分布正态分布是一种对称的连续概率分布，具有均值为μ、标准差为σ的特征。
在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，呈现出钟型曲线的形态。
许多随机现象在一定条件下可以近似地服从正态分布。
3. 中心极限定理中心极限定理描述了当独立同分布随机变量的样本容量足够大时，其和的分布将近似于正态分布。
我们可以通过计算样本的均值与标准差来评估总体参数，并进行各类假设检验和置信区间估计。
二、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际问题中有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用场景：1. 抽样调查在社会科学和市场调研中，抽样调查是获取数据的重要方式。
利用中心极限定理，我们可以通过随机抽样的方式获取样本数据，并利用样本数据的均值和标准差来估计总体参数，如人口普查、选民调查等。
2. 假设检验假设检验是统计学中对某个假设进行科学验证的一种方法。
中心极限定理使得我们可以通过计算样本均值和标准差，进而得到服从正态分布的统计量，进行假设检验。
例如，医学研究中对某种新药疗效的检验、市场营销中对广告效果的评估等。
3. 投资风险评估在金融领域，投资风险评估是一项重要的任务。
中心极限定理可以用于评估一揽子投资组合的风险分布情况，预测其潜在的回报和风险水平，并为投资决策提供科学依据。
4. 信号处理在信号处理领域，中心极限定理被广泛应用于噪声信号的处理和恢复过程中。
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第二节 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.
定理5.5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量
σ
μ
n n X
X D X E X Y n
k k
n
k k n k k n
k k n -=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1
111
)
(
的分布函数F n （x ）对于任意x 满足
⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ （5.7）
从定理5.5的结论可知，当n 充分大时，近似地有
Y n =
2
1
σ
μ
n n X
n
k k
-∑=~N (0,1).
或者说，当n 充分大时，近似地有
()
.,~21
σμn n N X
n
k k
∑= (5.8)
如果用X 1，X 2，…，X n 表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布（不论
服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）.则（5.8）式说明，作为总和
∑=n
k k
X
1
这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.
例5.3 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.
解 设一盒重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为X i (i =1,2,…,100).X 1，X 2，…，X 100相互独立，E （X i ）=1，)(i X D =0.1，则有 X =
∑=100
1
i i
X
，且E （X ）=100·E （X i ）=100（两），)(i X D =1（两）.
根据定理5.5，有
P {X >102}=}2100{111001021100≤--=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧->-X P X P
≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.
例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 解令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =
∑=100
1
i i
X
，应用定理
5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13.所以
P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20}=⎭⎬⎫
⎩
⎨
⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.87644.
定理5.6(李雅普诺夫（Liapunov ）定理) 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，它们具有数学期望和方差：
E （X k ）=μk , D (X k )=σk 2≠0 (k =1,2,…). 记∑==
n
k k
n B 1
2
2σ
，若存在正数δ，使得当n →∞时，
{
}∑=++→-n
k k
k n
X E B 1
2201δ
δ
μ,
则随机变量
Z n =
n
n k k
n
k k
n
k k n
k n
k k k
B X X D X E X
∑∑∑∑∑=====-=
-1
1
1
1
1)
()
(μ
的分布函数F n （x ）对于任意x ，满足
⎰∑∑∞--==∞←∞→=⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n n
k k n k k n n n t x B X P x F d e π21
1221lim )(lim μ. (5.9)
这个定理说明，随机变量
Z n =
n
n
k k
n k k
B X ∑∑==-1
1
μ
当n 很大时，近似地服从正态分布N （0，1）.因此，当n 很大时,
∑∑==+=n
k k n n n
k k
Z B X
1
1
μ
近似地服从正态分布⎪⎭
⎫
⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量X k （k =1，2，…）具有怎样的分
布，只要满足定理条件，则它们的和
∑=n
k k
X
1
当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在许多
实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近
似服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.
在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础. 下面介绍另一个中心极限定理.
定理5.7 设随机变量X 服从参数为n ，p （0＜p ＜1）的二项分布，则 （1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当n →∞时
P {X =k }≈
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
--
npq np k npq npq
npq
np k ϕ121
2)(2e π， (5.10) 其中p +q =1,k =0,1,2,…,n ，2
221
)(x x -
=
e π
ϕ.
(2) （德莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 积分极限定理：对于任意的x ，
恒有
⎰∞--∞→=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t
n t x p np np X P d e π22
21)1(lim . （5.11）
这个定理表明，二项分布以正态分布为极限.当n 充分大时，我们可以利用上两式来计
算二项分布的概率.
例5.5 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.
解 10部机器中同时停机的数目X 服从二项分布，n =10,p =0.2,np =2,npq ≈1.265. (1) 直接计算：P {X =3}=3
10C ×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：
P {X =3}=)79.0(265.11265.123265.111ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-npq np k npq =0.2308. (2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n 不够大.
例5.6 应用定理5.7计算§5.1中例5.2的概率. 解 np =7000,npq ≈45.83.
P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}
=1)36.4(236.483.457000-=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧<-ΦX P
=0.99999.
例5.7 产品为废品的概率为p =0.005，求10000件产品中废品数不大于70的概率. 解 10000件产品中的废品数X 服从二项分布，n =10000,p =0.005,np =50,npq ≈7.053.
P {X ≤70}=)84.2(053.75070ΦΦ=⎪⎭
⎫
⎝⎛- =0.9977.
正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n →∞，同时p →0，np
→λ为条件，而前者则只要求n →∞这一条件.一般说来，对于n 很大，p (或q )很小的二项分布（n p ≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.
例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.
解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，n =500,p =0.01,np =5,npq ≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较： （1） 用二项分布公式计算：
P {X =5}=5
500C ×0.015×0.99495=0.17635.
(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：
np =λ=5,k =5,P 5(5)≈0.175467.
(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：
P {X =5}=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-npq np npq 51ϕ≈0.1793. 可见后者不如前者精确.。