八年级数学勾股定理章节测试卷A卷(A4版)
八年级勾股定理单元测试卷
八年级勾股定理单元测试卷一、选择题1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）。
A. 3，4，5B. 1.5，2，2.5C. 5，12，13D. 20，30，402.在平面直角坐标系中，点P(3,4)到原点的距离是（）。
A. 3B. 4C. 5D. ±53.如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）。
A. 8cmB. 5cmC. 5.5cmD. 1cm4.已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3:4:5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5:12:13。
其中直角三角形有（）。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（）。
A. 12B. 7C. 12或7D. 以上都不对6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M，N分别是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论：①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM²+BN²=MN²；④NM平分∠CND。
其中正确的是（）。
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④二、填空题1.在△ABC中，∠C=90°，AB=25，BC=24，则AC的长为__________。
2.命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是__________。
3.在△ABC中，若AB=13，BC=12，AC=5，则△ABC的面积为__________。
4.已知△ABC是等边三角形，AB=4cm，则BC边上的高AD=__________。
5.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式a²+b²+50-6a-8b-10c=0，则△ABC的形状为__________。
三、解答题1.在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5。
八年级数学勾股定理单元测试(A卷基础篇)
第一章 勾股定理单元测试 （A 卷基础篇）（北师大版）学校: __________ 姓名： __________ 班级： __________ 考号： __________题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人 得 分．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3分）1．（ 2019 春?资阳区校级期中）以下四组数中，不是勾股数的是（）C ．20，21，29ABC 的两条直角边的长分别为 1、 2，则它的斜边长为（3．（ 2019 春?博白县期中）三角形的三边 a ， b ， c 满足 a 2+b 2﹣ c 2＝0，则此三角形是（A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4．（ 2019 春?南岗区校级期中）如图，两个正方形的面积分别是5．（ 2019 春 ?太原期中）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、 4 个结间距、 5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这 样做的道理是（ ）A ．3n ，4n ，5n （n 为正整数）B ．5，12，13 A ． B ．C ．2D ．3A ． 8B ． 10C ． 64D ．1362．（ 2019 春?江岸区校级期中）直角三角形D ．8，5，7100 和 36，则字母 B 所代表的正方形的面A ．直角三角形两个锐角互余B ．三角形内角和等于 180 °C ．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D ．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形6．（ 2019 春?江岸区校级期中）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A ．2、 3、4B ．3、 4、5C ．1、 、D ． 、 、7．（ 2019春?海阳市期中）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点 D 在 AB 上， AD ＝ AC ，AF ⊥ CD 交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F ，则 CF 的长是（9．（ 2019 春?江城区期中）已知等腰三角形的一条腰长是 15，底边长是 18，则它底边上的高为（ ）10．（ 2019 春 ?资阳区校级期中）在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向 东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 2.5米、 6米，则 10秒后两车相距（ ）米．B ．1.8C ．2D ．2.58． 2019 春?汉阳区校级期中）如图，一棵大树在离地面6 米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底部 C 的8C ． 24 米D ．21米A ．9B ．12C ．15D ．18A ．1.5 A ．16米B ．15米A．55 B．65 C．75D．85第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共8 小题，满分24分，每小题3分）11．（2019 春?海沧区校级期中）Rt △ABC 中，∠ B＝90°，AB＝9，BC＝12，则斜边上的高为．12．（2019 春?越秀区校级期中）如图，已知∠ ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．13．（2019 春?鼓楼区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB，垂足为点E，DE ＝2，则BC＝．14．（2019春?阜阳期中）如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是15．（2019 春?花都区期中）如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条长13m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有m．16．（2018 秋?景德镇期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5 米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6 米的学生正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时，处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是三．解答题（共 5 小题，满分 46分）19．（9分）（2019春?路北区期中）在 △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别为∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边．（1）如果 a ＝ 5， b ＝ 12，那么 c ＝ ． （ 2）如果 c ＝ 61， a ＝ 60，那么 b ＝ ．（ 3）若∠ A ＝45°， a ＝ 2，则 c ＝．20．（9 分）（2019 春?高安市期中）已知：如图，四边形 ABCD 中， AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3， ＝ ，求四边形 ABCD 的面积．米．8cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子，筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 cm ．18．（ 2019 春 ?武城县期中）如图所示，圆柱的高 A B ＝ 15cm ，底面周长为 40cm ，现在有一只蚂蚁想要从AD则感应器的最大感应距离是17．（2019 春 ?沂水县期中）如图，一个直径为分21．（9分）（2019春?江城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD22．（9分）（2019春?全椒县期中）如图，有两棵树AB 和CD ，AB＝10米，CD ＝4米，两树之间的距离BD＝8米，一只鸟从 A 处飞到C处，则小鸟至少飞行多少米？23．（10 分）（2019 春?江城区期中）“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？第二章勾股定理单元测试（A 卷基础篇）（北师大版）参考答案与试题解析一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3分）1．（2019 春?资阳区校级期中）以下四组数中，不是勾股数的是（）A．3n，4n，5n（n 为正整数）B．5，12，13C．20，21，29 D ．8，5，7【答案】解：A、3n2+4n2＝5n2，是勾股数；B、52+122＝132，是勾股数；C、202+212＝292，是勾股数；D 、72+52≠82，不是勾股数；故选： D ．【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数称为勾股数，并能够熟练运用．2．（2019春?江岸区校级期中）直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为1、2，则它的斜边长为（）A．B．C．2 D ．3【答案】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝，故选： B ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．3．（2019春?博白县期中）三角形的三边a，b，c 满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】解：∵ a2+b2﹣c2＝0，∴a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形．故选： B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．（2019 春?南岗区校级期中）如图，两个正方形的面积分别是100 和36，则字母 B 所代表的正方形的面A．8 B．10 C．64 D ．136【答案】解：由勾股定理得，AC2+CD2＝AD2，则字母 B 所代表的正方形的面积＝CD2＝AC2﹣AD2＝100﹣36＝64，故选： C ．【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．（2019 春?太原期中）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以 3 个结间距、 4 个结间距、 5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（）A ．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180 °C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【答案】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，∴以3m、4m、5m 为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选： D ．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．6．（2019 春?江岸区校级期中）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、D．、、【答案】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、12+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误．故选： B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．（2019春?海阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥ CD 交CD 于点E，交CB 于点F，则CF 的长是（C．2 D．2.5答案】解：连接DF ，如图所示：AC＝3，BC＝4，∴ AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥ CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF 和△ACF 中，，∴△ ADF ≌△ ACF（SSS），∴∠ ADF ＝∠ ACF＝90°，∴∠ BDF ＝90°，设CF＝DF ＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF 中，由勾股定理得：DF 2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝ 1.5；∴CF ＝ 1.5； 故选： A ．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质； 熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．8．（2019春?汉阳区校级期中）如图，一棵大树在离地面 6米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底部 C 的 8米处，则大树数断裂之前的高度为（ ）A ．16米B ．15米C ．24 米D ．21 米【答案】解：由题意得 BC ＝ 6，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得： AB ＝ ＝ 10 米．所以大树的高度是 10+6＝16 米． 故选： A ．点睛】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接 用算术法求解．9．（ 2019 春?江城区期中）已知等腰三角形的一条腰长是 15，底边长是 18，则它底边上的高为（答案】解：过点 A 作 AD ⊥ BC ， ∵AB ＝ AC ，∴AD ＝＝12（ cm ），∴它底边上的高为 12cm ；点睛】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构 造直角三角形．10．（ 2019 春 ?资阳区校级期中）在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向A ．9B ．12C ．15D ．18∴BD ＝CD ＝＝18＝9，2.5 米、 6 米，则10 秒后两车相距（）米．C．75 D．85Rt△ACB中，AC＝2.5 ×10＝25 米，BC＝6×10＝60 米，则AB＝＝＝65（米），则10 秒后两车相距65 米．点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．二．填空题（共8 小题，满分24分，每小题3分）11．（2019 春?海沧区校级期中）Rt △ABC 中，∠ B＝90°，AB＝9，BC＝12，则斜边上的高为【答案】解：设AC 边上的高为h，∵在Rt△ABC 中，∠ B＝90°，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴AB?BC＝AC?h，故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．12．（2019 春?越秀区校级期中）如图，已知∠ ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为96m2．答案】解：在Rt△ADC 中，∵ CD ＝6m，AD ＝8m，∠ ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶A ．55 B．65【答案】解：如图所示：由题意可得，12∴AC ＝ 10m ，（取正值）．在△ABC 中，∵ AC 2+BC 2＝102+242＝ 676，AB 2＝262＝676． ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ ACB 为直角三角形，∠ ACB ＝90°．∴S 阴影＝ AC ×BC ﹣ AD ×CD ＝ ×10×24﹣ ×8×6＝96（m 2）．故答案是： 96m 2 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出 △ACB 为直角三角形．13．（2019 春?鼓楼区校级期中）如图，在 △ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝ 30°， AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点 E ， DE ＝2，则 BC ＝ 6 ．答案】解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，∠ C ＝ 90°，DE ⊥ AB ， ∴DC ＝DE ＝2，在 Rt △BDE 中，∠ B ＝ 30°， ∴BD ＝2DE ＝4， ∴BC ＝ CD+BD ＝ 6， 故答案为： 6．【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解 题的关键．14．（ 2019 春?阜阳期中）如图，在一个高为 5m ，长为 13m 的楼梯表面铺地毯， 则地毯的长度至少是 17m【答案】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度＝＝ 12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是 12+5＝17 米．AC故答案为： 17m ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．15．（2019 春?花都区期中）如图，从电线杆离地面 5m 处向地面拉一条长 13m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有 12 m ．【答案】解：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形， AC ＝ 5m ，BC ＝13m ， ∴AB ＝＝＝ 12m ．点睛】本题考查的是勾股定理的应用，有利于培养学生理论联系实际的能力．16．（ 2018 秋 ?景德镇期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5 米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6 米的学生正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时，1.5 米．答案】解：如图，过点 B 作 BC ⊥ AD 于点 C ，依题意知， BE ＝CD ＝1.6米，ED ＝BC ＝1.2 米， AD ＝2.5 米，则 AC ＝AD ﹣CD ＝AD ﹣ BE ＝ 2.5﹣ 1.6＝ 0.9 米）．在 Rt △ABC 中，由勾股定理得到： AB ＝ ＝＝1.5（米）故答案是： 1.5．则感应器的最大感应距离是【点睛】考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AB 的长度．8cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子答案】解：设杯子的高度是 xcm ，那么筷子的高度是（ x+1） cm ，由题意： x 2+4 2＝（ x+1）216＝ 2x+1， x ＝ 7.5，∴ x+1 ＝ 8.5∴筷长 8.5cm ，杯高 7.5cm ． 故答案为 8.5．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．18．（2019 春?武城县期中）如图所示，圆柱的高 AB ＝ 15cm ，底面周长为 40cm ，现在有一只蚂蚁想要从 A故答案为： 25cm ．，筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 8.5 cm ．C 处捕食，则它爬行的最短距离是 25cm答案】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A 、C 的最短距离为线段 AC 的长．在 Rt △ADC 中，∠ ADC ＝90°，CD ＝AB ＝15，AD 为底面半圆弧长， AD 40＝20，所以 AC ＝ ＝＝ 25，17．（2019 春 ?沂水县期中）如图，一个直径为【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．三．解答题（共 5 小题，满分46分）19．（9分）（2019春?路北区期中）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠ A、∠ B、∠ C的对边．（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝13 ．（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝11 ．（3）若∠ A＝45°，a＝2，则c＝ 2 ．【答案】解：（1）∵在△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴ c＝＝＝13．故答案为13；（2）∵在△ABC 中，∠ C＝90°，c＝61，a＝60，∴ b＝＝＝11．故答案为11；（3）∵在△ABC 中，∠ C＝90°，∠ A＝45°，∴∠ B＝90°﹣∠ A＝45°，∴∠B＝∠ A，∴b＝a＝2，∴ c＝＝＝ 2 ．故答案为 2 ．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．20．（9 分）（2019 春?高安市期中）已知：如图，四边形ABCD 中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD【答案】解：连接AC．∵∠ ABC ＝90°，AB＝1，BC ＝2，∴ AC＝＝＝．在△ACD 中，AC2+CD 2＝5+9＝14＝AD2，∴△ ACD 是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB?BC+ AC?CD ，＝×1×2+ × ×3＝1+ ．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状是解答此题的关键．21．（9分）（2019春?江城区期中）如图，在锐角三角形A BC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD【答案】解：∵ AD⊥ BC，∴∠ ADC ＝90°，在Rt△ACD 中，CD＝＝＝5，∵BC＝14，∴BD＝BC﹣CD＝9．【点睛】本题考查了勾股定理的运用．关键是利用垂直的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解．22．（9分）（2019春?全椒县期中）如图，有两棵树AB 和CD ，AB＝10米，CD ＝4米，两树之间的距离BD ＝8米，一只鸟从 A 处飞到C处，则小鸟至少飞行多少米？【答案】解：连接AC，作CE⊥AB 于E，则AE＝10﹣4＝6（米），CE＝BD＝8 米．所以AC＝＝＝10（米）即：小鸟至少飞行10 米．【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．23．（10 分）（2019 春?江城区期中）“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠ QPR＝90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠ QPS＝45°，则∠ SPR＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．。
(完整版)八年级数学勾股定理单元测试题(含答案)
勾股定理单元测试（时间：100分钟 总分：120分）姓名 得分一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分）1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A . 6B . 4.5C . 2.4D . 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形. 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5B ．25C ．7D ．5或76．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定 二、你能填得又快又对吗？（每小题4分，共32分）9. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．10.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和于．11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米. 14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .三、认真解答，一定要细心哟！（共72分）17．（5分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．18．（6分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.60121406BAC第10题图第13题图第14题图第15题图19．（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？20.（6分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏。
八年级初二数学第二学期勾股定理单元测试基础卷试卷
一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF =- ④ AC=AFA ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④2．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ） A ．10B ．410C ．13D ．2133．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．94．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ）A ．6B ．6C ．42D ．266．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．27．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a b c 、、，下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（ ） A ．222b a c =-B ．;C A B ∠=∠-∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =9．如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC 的面积是（ ）．A ．36B ．1013C ．60D ．121310．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24二、填空题11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2． 18．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．19．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM ＝7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ≅； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）； （2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求mn的值.26．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）27．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的． 【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠， ∵AF CD ⊥， ∴90AGD ∠=︒， ∴90FAB CDA ∠=︒-∠， ∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确； ∵3CG =，1DG =， ∴314CD CG DG =+=+=， ∴4AC CD ==， 在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=，∴1272ACDSAG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒， ∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴47GF AF AG =-=-，在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=-，故③正确．故选：B ． 【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．D解析：D 【分析】根据已知设AC ＝x ，BC ＝y ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC ，BC 的长，最后根据勾股定理即可求得AB 的长． 【详解】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 、BE 为△ABC 的两条中线，且AD ＝210，BE ＝5，求AB 的长． 设AC ＝x ，BC ＝y ， 根据勾股定理得： 在Rt △ACD 中，x 2+（12y ）2＝（210）2， 在Rt △BCE 中，（12x ）2+y 2＝52， 解之得，x ＝6，y ＝4，∴在Rt △ABC 中，2264213AB =+= ， 故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.3．D解析：D 【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 4．D解析：D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，12OA AC =，12OB BD =，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.【详解】 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，11622OA AC ==⨯=3cm ， 118422OB BD cm ==⨯=根据勾股定理得，5cm AB == ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.解析：C【解析】【分析】根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD 和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．【详解】∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD=12BD•PE+12CD•PF=12BD•AC，∴PE+PF=AC，设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，∴x=2，∴，∴故选C【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．6．D解析：D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.，故选D．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.8．C解析：C【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可．【详解】解：A 、由222b a c =-得a 2=b 2+c 2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三角形，不符合题意；B 、由C A B ∠=∠-∠得∠C +∠B=∠A ，此时∠A 是直角，能够判定△ABC 是直角三角形，不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC 不是直角三角形，故此选项符合题意；D 、a ：b ：c=5：12：13，此时c 2=b 2+ a 2，符合勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．9．A解析：A【分析】作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解．【详解】如图，作AD BC ⊥于点D设BD x =，则12CD BC x x =-=-∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -=∴2222AB BD AC CD -=-∵AB=10，AC=∴(()22221012x x -=-- ∴8x =∴6AD ===∴△ABC 的面积111263622BC AD =⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．10．D解析：D【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，整理方程即可．【详解】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE ＝BD ＝4，CE ＝CF ＝6，∴BC ＝BE ＋CE ＝BD ＋CF ＝10，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2，即（6＋x ）2＋（x ＋4）2＝102，整理得，x 2＋10x ﹣24＝0，∴x 2＋10x ＝24，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二、填空题11．9625【分析】将△B´CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B´CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，∵S △ABC ＝12AC•BC ＝12AB•CE ， ∴AC•BC ＝AB•CE ，∵根据勾股定理求得AB ＝10，∴CE ＝245， ∴EF ＝245，∵AE 185， ∴BF ＝AB−AE−EF ＝10－185－245＝85， ∴S △CBF ＝12×BF ×CE ＝12×85×245＝9625， ∴S △CB´F ＝9625， 故填：9625． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．12．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b+=2248a b+=，∴248S=．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．【详解】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP＝22OP OC-＝2254-＝3，则P的坐标是（3，4）．②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM＝22PD DM-＝3，当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.14．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC ＝6（cm ）；①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，解得：t ＝94， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94． 故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．10【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC =∴422DC DB ===∵OD =∴OC DC OD =-=∴OB =设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+∴OE =∴17EC ==∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°∴1217FG EC ==∴17BE BO OE =+=∴12GO GE OE BE OE =-=-=∴OF =【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.16．258【分析】 先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴=5；∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，∴△AFD ∽△CBA ， ∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258． 【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．17．8或10或12或25 3【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m2）；②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m2）；④如图4，延长BC 到D ，使BD=AB=5m ，故CD=2m ， 此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m 2）； 综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或253m 2． 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．18．49【解析】连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =22AB BC =10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=（52）2+（52）2=100．∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12×52×52=24+25=49．点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．32【分析】由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．【详解】解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，∵AM 7EF ，2,,2a a∴==∵正方形EFGH的面积为4，∴24b=，∴正方形ABCD的面积=2224+832.a b b==故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.20．【分析】根据三角形等面积法求出32ACBC=，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=14BC2+36，依据这两个式子求出AC、BC的值.【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴12AC•BE＝12BC•AD，∵AD＝6，BE＝4，∴ACBC＝32，∴22ACBC＝94，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝12BC，∵AC2﹣CD2＝AD2，∴AC2＝14BC2+36，∴221364BCBC+＝94，整理得，BC2＝3648⨯，解得：BC＝∴△ABC的面积为12×cm2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22CD CE -222520-，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．22．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，AD ===故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．23．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2， ∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.24．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决． 【详解】 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ，∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形， ∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==∴262312CN FN ===， ∴)2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==∴△BCG 的面积=116262222BC CG ⋅==． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ====2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．26．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0）， ∵AB ⊥x 轴，∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，∴AB 2+OB 2＝OA 2，∴a 2+a 2＝（）2，解得a ＝5，∴点B 坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF ⊥x 轴于F ．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．27．(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①6；②s ab=，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，连接BE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，∵∠DEF=∠DCF=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°，∵∠EFB+∠EFC=180°，∴∠EFB=∠EDC，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴DE=EF，∵∠DEF=90°，∴∠EDF=45°故答案为45°．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，∵∠DAC=90°，∴∠DAC+∠DAH=180°，∴H、A、G三点共线，∴GH=AG+AH=AG+CF，∵∠EDF=45°，∴∠CDF+∠ADG=45°，∴∠ADH+∠ADG=45°∴∠GDH=∠EDF=45°又∵DG=DG∴△GDH ≌△GDF （SAS ）∴GH=GF ，∴GF=AG+CF ．（3）①设CF=x ，则AH=x ，BF=6-x ，GF=3+x ，则有（3+x ）2=（6-x ）2+32，解得x=2∴S △BFG =12•BF•BG=6． ②设正方形边长为x ，∵AG=a ，CF=b ，∴BF=x-b ，BG=x-a ，GF=a+b ，则有（x-a ）2+（x-b ）2=（a+b ）2，化简得到：x 2-ax-bx=ab ，∴S=12（x-a ）（x-b ）=12（x 2-ax-bx+ab ）=12×2ab=ab ． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．28．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），。
(完整版)初二数学_勾股定理_单元测试题及答案_2,推荐文档
24 31《勾股定理》单元模拟试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题选对得 3 分．1.已知三角形的两边长分别为 4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2．能将三角形面积平分的是三角形的（）A、角平分线B、高C、中线D、外角平分线3.三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．属于哪一类不能确定4.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE第4 题第5 题图第6 第7 题图5.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（）A、900B、1200C、1600D、18006.如图所示，点B、C、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A. △ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFCC.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA7.要测量河两岸相对的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在一条直线上（如图所示），可以说明△≌△，得，因此测得的长就是的长，判定△≌△最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角8.已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A.∠A 与∠D 互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2 9．如图，在直角三角形ABC 中，AC≠AB，AD 是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A、3 个B、4 个C、5 个D、6 个第8 题图11 题第 12题、 10. 一个多边形内角和是 10800，则这个多边形的边数为（ ）A 、 6B 、 7C 、 8D 、 911. 小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块）， 你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形？应该带 （ ）A. 第1块B.第2块C.第3块D. 第4块12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线 BD ，CE 相交于 O 点，且 BD 交 AC 于点 D ，CE 交 AB 于点 E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ；②△BAD ≌△ BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ） A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④ 非选择题 （共 84 分）二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分． 13. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是.14. 如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件： ，使△ABD≌△ACD.第 13 题图第 16 题图15、如图，小华从点 A 出发向前走 10m ，向右转 15°，然后继续向前走 10m ，再向右转 15°， 他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到点 A 时共走了 m 。
初二勾股定理测试题及答案
初二勾股定理测试题及答案一、选择题1. 在直角三角形中，如果直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个三角形的两边长分别为5和12，且这两边构成直角，那么第三边的长度是多少？A. 10B. 13C. 15D. 17二、填空题3. 如果一个直角三角形的直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。
4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是_________。
三、计算题5. 在一个直角三角形中，如果已知斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z。
已知x=9，y=12，求z的值。
四、解答题7. 一个梯形的两底边长分别为3和5，高为4，求梯形的对角线长度。
8. 一个长方体的长、宽、高分别为3米、4米和5米，求这个长方体的对角线长度。
答案：一、选择题1. A（根据勾股定理：3² + 4² = 5²）2. B（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）二、填空题3. 10（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）4. 12（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）三、计算题5. 另一条直角边的长度为8（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）6. z的值为15（根据勾股定理：9² + 12² = 15²）四、解答题7. 梯形的对角线长度为5（根据勾股定理：(3+5)² + 4² = 5²）8. 长方体的对角线长度为5（根据勾股定理：3² + 4² + 5² = 50，再开方得5）结束语：通过本次测试，我们复习了勾股定理的应用，希望同学们能够熟练掌握并灵活运用勾股定理解决实际问题。
第一章 勾股定理 章节测试2022-2023学年北师大版八年级数学上册
北师大版八上勾股定理章节测试一、选择题（共11小题）1. 一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x2为( )A. 5B. 25C. 7D. 7或252. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米?( )A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.83. 如图所示，正方体的棱长为1，一只蜘蛛从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 【例4】下列结论中，错误的有( )①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2=AB2，则∠A=90∘；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm6. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的Bʹ．则这根芦苇的长度是( )A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺7. 如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是( )A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm8. 硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是( )A. 正面向上B. 正面不向上C. 正面或反面向上D. 正面和反面都不向上9. 张瑞同学制作了四块全等的直角三角形纸板，准备复习功课用，六岁的弟弟看到纸板随手做拼图游戏，结果七拼八凑地拼出了如图所示的图形．张瑞热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=a，HG=b，则斜边BD的长为( )A. a+bB. a−bC. √a2+b22D. √a2−b2210. 如图 所示，矩形纸片 ABCD 中，AB =6 cm ，BC =8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点 C 与点 A重合，则 AF 的长为 ( )A. 258 cmB. 254 cmC. 252 cmD. 8 cm11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为 ( )A. 2.2 米B. 2.3 米C. 2.4 米D. 2.5 米二、填空题（共10小题）12. 如图所示，AB =BC =CD =DE =1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则 AE = ．13. 如图，有一块直角三角形纸片 ABC ，两直角边 AC =6，BC =8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，点 C 与点 E 重合，则 CD 长为 ．14. 如图，在一个长为 2 米，宽为 1 米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽 AD 平行且大于AD ，木块的正面是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从 A 处爬行到 C 处需要走的最短路程是 米．15. 已知三角形的三边长分别为AB=2cm，BC=2√3cm，CA=4cm，则此三角形面积是．16. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动米．（假设绳子是直的）17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点Bʹ处，则BE的长为 .18. 小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，当他把竹竿的顶端拉向岸边时，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为．19. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，则S1=．20. 阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2−b2c2=a4−b4，（A）∴c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2)，（B）∴c2=a2+b2，（C）∴△ABC是直角三角形．问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的结论为 .21. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少?示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．三、解答题（共7小题）22. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．23. 如图，有一只小鸟在一棵高4m的小树的树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，该小鸟立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少经过几秒才能到达大树和伙伴在一起?24. 列方程解下列应用题．如图，∠ABC=90∘，AB=12厘米，点P从A点开始沿AB边向B点移动，P的速度为2厘米/秒．点Q同时从点B开始沿BC边向C移动，Q的速度为3厘米/秒．几秒后，两点相距10厘米?25. 如图所示，若OA=3，OB=4，AB=5，OC=5，OD=12，CD=13，则∠BOC+∠AOD的度数是多少?26. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为线段的端点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）．（1）在图1中画一条线段AB，使AB=√17，并标出AB的中点M；（2）在图2中画一条线段CD，使CD=2√13，并标出CD的中点N．27. 如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBʹF，连接BʹD，求BʹD的最小值.28. 如图，某学校（A点）到公路（直线D）的距离为300m，到公交站（D点）的距离为500m，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，求商店C与车站D之间的距离．答案1. D2. D【解析】∵AB=2.5米，AC=0.7米，∴BC=√AB2−AC2=2.4（米），∵梯子的顶部下滑0.4米，∴BE=0.4米，∴EC=BC−0.4=2米，∴DC=√DE2−EC2=1.5米．∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8（米）．3. D【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接AB，如图所示，爬行的最短路径为线段AB．由勾股定理得，AB2=(1+1)2+12=5，故选D．4. C【解析】①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或√7，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2=AB2，则∠C=90∘，错误；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．5. A【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AB=√BC2+AC2=√82+62=10，由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6，∠DEA=∠C=90∘，∴BE=AB−AE=10−6=4，∠DEB=90∘，设DC=x，则BD=8−x，DE=x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴CD=3．6. D 【解析】设芦苇长AB=ABʹ=x尺，则水深AC=(x−1)尺，因为边长为10尺的正方形，所以BʹC=5尺．在Rt△ABʹC中，52+(x−1)2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．7. C 【解析】如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×24=12cm，EF=18−1−1=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=√SE2+EF2=√122+162=20(cm)，答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．8. C【解析】A．正面向上的可能性为12；B．正面不向上的可能性为12；C．正面或反面向上的可能性为1；D．正面和反面都不向上的可能性为0．9. C【解析】设CD=x，则DE=a−x，∵HG=b，∴AH=CD=AG−HG=DE−HG=a−x−b=x，∴x=a−b2，∴BC=DE=a−a−b2=a+b2，∴BD2=BC2+CD2=(a+b2)2+(a−b2)2=a2+b22，∴BD=√a2+b22．10. B【解析】设AF=x cm，则DF=(8−x)cm .∵矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=DʹF．在Rt△ADʹF中，∵AF2=ADʹ2+DʹF2，∴x2=62+(8−x)2 .解得x=25.411. A 【解析】如图，在Rt△ACB中．∵∠ACB=90∘，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△AʹBD中，∵∠AʹBD=90∘，AʹD=2米，BD2+AʹD2=AʹB2，∴BD2+22=6.25．∴BD2=2.25．∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．即小巷的宽度为2.2米，故答案选A．12. 2【解析】∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC=√AB2+BC2=√12+12=√2；AD=√AC2+CD2=√(√2)2+12=√3；AE=√AD2+DE2=√(√3)2+12=2．13. 314. 2.6【解析】如图，将木块看成是由纸片折成的，将其拉平成一个长方形，连接AC，AB=2+0.2×2=2.4米，BC=1米，∴AC2=2.42+12=6.76=2.62，∴AC=2.6米，∴妈蚁从A处爬行到C处需要走的最短路程为2.6米．15. 2√3cm216. 9【解析】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90∘，BC=17米，AC=8米，∴AB=√BC2−AC2=√172−82=15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD=17−1×7=10（米），∴AD=√CD2−AC2=√102−82=6（米），∴BD=AB−AD=15−6=9（米），答：船向岸边移动了9米．17. 3218. 2米【解析】若假设竹竿长x米，则水深(x−0.5)米，由题意得，x2=1.5x+(x−0.5)2，解之得，x=2.5．所以水深2.5−0.5=2米．19. 2【解析】∵△ABC中，∠ABC=90∘，∴AB2+BC2=AC2，∴BC2=AC2−AB2．∵BC2=S1，AB2=S2=4，AC2=S3=6，∴S1=S3−S2=6−4=2．20. C，没有考虑a=b的情况，△ABC是等腰三角形或直角三角形21. x−3，(x−3)2+82=x2【解析】x−3；由题意可知AB⊥BC，由勾股定理可得(x−3)2+82=x2．22. 由题意得DB=AD；设CD=xcm，则AD=DB=(8−x)cm，∵∠C=90∘，∴在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2−CD2=AC2，即(8−x)2−x2=36，解得x=7；4cm．即CD=7423. 这只小鸟至少经过5s才能到达大树和伙伴在一起．秒或2秒24. 221325. 在△AOB中，OA=3，OB=4，AB=5，所以OA2+OB2=AB2，所以△AOB是直角三角形，且∠AOB=90∘，在△COD中，OC=5，OD=12，CD=13，所以OC2+OD2=CD2，所以△COD是直角三角形，且∠COD=90∘，所以∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=90∘+90∘=180∘．26. （1）如图1，AB=√17，点M为线段AB的中点．（2）如图2，CD=2√13，点N为线段CD的中点．27. 如图，当∠BEF=∠DEF，点Bʹ在DE上时，BʹD的值最小.根据折叠的性质，得△EBF≌△EBʹF，所以EBʹ⊥FBʹ，EBʹ=EB .因为E是AB边的中点，AB=4，所以AE=EBʹ=2 .因为AD=6，所以DE=√62+22=2√10，所以BʹD=2√10−2 .28. 过点A作AB⊥l于点B，AD=500，AB=300，∴BD=400，设CD=AC=x，则BC=400−x，在Rt△ABC中，x2=(400−x)2+3002，x=312.5，∴CD=312.5m．。
八年级数学《勾股定理》单元测试题(A卷)
八年级数学《勾股定理》单元测试题（A 卷）一．选择题（共10小题）1．满足下列条件中的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．a 2＝b 2﹣c 2B ．∠A ﹣∠B ＝∠C C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝7：24：252．下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（ ）A ．4，8，4√3B ．4，8，4√5C ．7，24，25D ．7，14，153．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）A ．10B ．13C ．7D ．144．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上的高是（ ）A ．25√10B ．√2C ．2√2D ．35√105．下列几组数，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．5，12，13B ．2，3，4C ．3，4，5D ．7，24，256．如图，数轴上的点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是1，CB ⊥AB 于点B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧交数轴正半轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．√2B ．2√2C ．2√2−1D ．2√2+17．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为（ ）A．√34B．√41C．√43D．√598．下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（）A．1，2，3B．6，7，8C．1，1，√3D．5，12，13 9．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．√5B．√13C．4D．510．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝25二．填空题（共5小题）11．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．12．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为10，18，则正方形C的面积是．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，在AC上截取CD＝CB．在AB上截取AP＝AD，则AP＝．14．如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为．15．小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为．三．解答题（共8小题）16．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB ＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD ⊥AB．（1）请判断△ABC的形状？（2）求修建的公路CD的长．17．面积、体积探究．如图，三角形ABC为直角三角形，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大19平方厘米，求BC的长．（取π＝3）18．如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由．19．八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE）（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB＝15，AD＝12，CD＝16．求证：△ABC是直角三角形．21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，且a+b＝7，c＝5，求Rt△ABC的面积．22．已知：如图，△ABC中，D是AB中点，若AC＝12，BC＝5，CD＝6.5，求证：△ABC 是直角三角形．23．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．。
八年级数学(上)第一章《勾股定理》测试题及答案
八年级数学(上)第一章《勾股定理》测试题及答案选择题
1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）
A.4
B.8
C.10
D.12
2.小丰的妈妈买了一部29英寸(74m)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是()
A.小丰认为指的是屏幕的长度
B.小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度
C.小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长
D.售货员认为指的是屏幕对角线的长度
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D. 等腰三角形
4.一直角三角形的一条直角边长是 7cm，另一条直角边与斜边长的和是 49cm，则斜边的长()
A.18cm
B.20 cm
C.24 cm
D.25cm
填空题
1. 小华和小红都从同一点0出发，小华向北走了9米到 A 点，小红向东走了12米到了B点，则AB=_____米。
2.一个三角形三边满足(a+b)2-c2=2ab，则这个三角形是_____三角形。
3.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60cm，宽为
32cm，对角线为 68cm,这个桌面______(填“合格”或“不合格”)。
4.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为_______。
参考答案：
选择题：CDCD
填空题：1.15；2.直角；3.合格；4.30。
2024～2025学年八年级数学上册第一章勾股定理单元检测[含答案]
1．下列不能构成直角三角形三边长的是 （ ）A ．1、2、3B ．6、8、10C ．3、4、5D ．5、12、132．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）A ．6，8，8B ．6，8，10C ．6，8，12D ．6，8，143．在Rt ABC △中，90C Ð=°，12AC =，9BC =，则正方形ABDE 的面积为（ ）A ．81B ．144C ．225D ．1694．在Rt ABC △中，90C Ð=°，若6cm 10cm BC AB ==，，则ABC V 的面积是（ ）A ．24cm²B ．36cm²C ．48cm²D ．60cm²5．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）．A ．3米B ．4米C ．5米D ．7米6．如图，在33´的正方形网格中标出了1Ð和2Ð，则12Ð+Ð=（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°7．如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈（一丈＝10尺），折断后，其竹稍恰好抵地（地面水平），抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．8尺B ．345尺C ．165尺D ．8．分别以Rt ABC △的三条边向外作三个正方形，连接EC ，BG ，若设1EBC S S =△，2BCG S S =△，3BCIH S S =正方形，则1S ，2S ，3S 之间的关系为( )A ．12322S S S +=B ．12333S S S +=C ．123S S S +=D ．123223S S S +=9．如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A 到顶点B 镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为5cm ,底面边长为2cm ,则这圈金属丝的长度至少为（ ）A ．8cmB ．13cmC ．12cmD ．15cm10．下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ）①23，24，25 ②6，8，10 ③7，24，25 ④13，14，15⑤1.5，2，2.5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，90ABC Ð=°，3CB =，5AC =，则阴影部分的面积是 ．12．如图，在四边形ABCD 中，90A Ð=°，4cm AB =，2cm AD =，BC CD =，E 是AB 上的一点．若沿CE 折叠，使B ，D 两点重合，则AED △的面积为 ．13．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若3a =，1b =，则长方形的面积为 .14．如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量3m AC =，4m AB =，计算仅仅少走了 步．(假设1米为2步)15．如图，一根长16cm 的牙刷置于底面直径为6cm 、高8cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是 ．16．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两基地前去拦截,6分钟后同时到达C 地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东 °17．如图，在直线l 上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是1234,,,S S S S ，则1234S S S S +++= ．18．如图，ABC V 的顶点都在边长为1的正方形网格上．BD AC ^于点D ，则BD = ．19．如图，在ΔABC 中，50cm AB =，30cm BC =，90C Ð=°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，则几秒后，PCB D 的面积等于2450cm ？20．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，5cm AB =，3cm BC =，D 为AC 上的一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 恰好落在AB 上的点E 处．(1)求AC 的长．(2)求AD 的长．21．如图，90ACB Ð=°，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，5BE CD ==，13AC =．(1)求ABC Ð的度数；(2)求线段DE 的长度．22．如图，两条公路1l 、2l 交于点O ，在公路2l 旁有一学校A ，与O 点的距离为170m ，点A （学校）到公路1l 的距离AM 为80m ．一大货车从O 点出发，行驶在公路1l 上，汽车周围100m 范围内有噪音影响．（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？（2）若汽车速度为180/km h ，则学校受噪音影响多少秒钟？23．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；(2)问题解决：p，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30cm最短路程是多少厘米？（结果保留π）1．A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A 、222123+¹，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；B 、2226810+=，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；C 、222345+=，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；D 、22251213+=，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．故选：A ．2．A【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长边进行比较作出判断即可．【详解】解：A 、108=＞，688+＞，∴能组成锐角三角形；B 、10=是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；C 1012=＜，6812+＞，∴不能组成锐角三角形；D 、∵6814+=，∴不能组成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．3．C【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出2AB 的值是解题关键．【详解】解：因为90,12,9C AC BC Ð=°==，所以正方形ABDE 的面积为22222912225AB BC AC =+=+=，故选C ．4．A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出AC 的长，再代入直角三角形的面积公式即可．【详解】解：由勾股定理得，8(cm)AC ==，Rt ABC \V 的面积为2118624(cm )22AC BC ´´=´´=，故选：A5．D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度4==（米），Q 地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，\地毯的长度至少是347+=（米）．故选：D ．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．6．A【分析】连接，CD DE ，先根据勾股定理的逆定理证明CDE V 是直角三角形，再根据CD DE ==45DCE DEC Ð=Ð=°，进而可得1345Ð+Ð=°，然后利用平行线的性质可得23ÐÐ=，再利用等量代换即可解答．【详解】解：如图：连接，CD DE ，由题意得：222125CD =+=，2221310CE =+=，222125ED =+=，∴222CD DE CE +=，∴CDE V 是直角三角形，∵CD DE ==∴45DCE DEC Ð=Ð=°，∴139045DCE Ð+Ð=°-Ð=°，∵AB CD ∥，∴23ÐÐ=，∴1245Ð+Ð=°．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．C【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：x 2+62=（10-x ）2．解得165x =∴折断处离地面的高度为165尺．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．8．A【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得222AB AC BC +=，再由正方形、三角形面积公式可得2ABED S AB =正方形，2ACGF S AC =正方形，23BCIH S S BC ==正方形，212AB S =，222AC S = ，即可得出答案．【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥HI 于点K ，交BC 于点J ，Q Rt ABC △中，90BAC Ð=°，\222AB AC BC +=，Q 四边形ABED 、四边形ACGF 、四边形BCIH 均为正方形，\2223ABED ACGF BCIH S AB S AC S S BC ====正方形正方形正方形，，，Q 正方形ABED 与EBC V 同底等高，\122EBC ABED S S S ==正方形V ，\212AB S =，Q 正方形ACGF 与EBC V 同底等高，\222BCG ACGF S S S ==正方形V ，\222AC S =，Q 3BCIH S S =正方形，\12322S S S +=，故选：A ．9．B【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径问题，将六棱柱侧面展开，运用勾股定理求解即可【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为AB 的长，由勾股定理得，()13cm AB ==，故选：B ．10．B【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可．【详解】解：①()()()222222345+¹，所以①不是勾股数；②2226810+=，所以②是勾股数；③22272462525+==，所以③是勾股数；④222111345æöæöæö+¹ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以④不是勾股数；⑤2221.52 6.25 2.5+==，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数.综上所述②③是勾股数，共2个.故选：B.【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．11．2π【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得AB 的长度，由扇形面积公式即可计算．【详解】解：90ABC Ð=°Q ，3CB =，5AC =，4AB \==，即半圆的半径为422¸=；则阴影部分面积为：21π22π2´=．故答案为：2π．12．23cm 2【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，设cm AE x =，由折叠的性质得到4DE BE x ==-，根据勾股定理列方程求得32AE =，于是得到AED △的面积．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：设cm AE x =，由折叠的性质得到4DE BE x ==-，∵90A Ð=°，∴222AE AD DE +=，即()222x 24x +=-，解得：32x =，∴32AE =，∴AED △的面积()211332cm 2222AD AE =×=´´=故答案为：23cm 2．13．12【分析】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，进而可求出该矩形的面积．【详解】解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x ，∵3a =，∴AB=x+3，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，即（1+x ）2+（1+3）2=(x+3)2，整理得，x=2，∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x ）=4×3=12故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x 的方程是解题的关键．14．4【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．正确应用勾股定理是解题的关键．【详解】解：根据题意知：90BAC Ð=°，3AC =，4AB =，∴()5m BC ===，∴少走的距离是：()3452m +-=，∵1米为2步，∴2米为4步，∴仅仅少走了4步．故答案为：4．15．6≤h≤8．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB10==cm，故h＝16﹣10＝6cm．故h的取值范围是6≤h≤8．故答案是：6≤h≤8．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．50【分析】先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解．【详解】根据题意，如图所示∵AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），AB=13海里，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．∵∠CBA=90°-40°=50°，∴∠CAB=40°，∴甲的航向为北偏东50°．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC 为直角三角形是解题的关键．17．12【分析】如图，易证△CDE ≌△ABC ，得AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2，同理FG 2+LK 2=HL 2，S 1+S 2+S 3+S 4=4+8=12．【详解】解：如图，∵EDC CBA ACE 90ÐÐÐ===°，EC CA =，ECD ACB ACB CAB 90ÐÐÐÐ+=+=°，∴ECD ACB ÐÐ=，∵在△CDE 和△ABC 中，EDC CBA ECD CAB EC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△ABC （AAS ），∴AB=CD ，BC=DE ，∴AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2=8，同理可证FG 2+LK 2=HL 2=4，∴S 1+S 2+S 3+S 4=CE 2+HL 2=4+8=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2是解题的关键．18．3【分析】正方形边长为1，则5AC ===, 5BC =，AE 为3，等面积法A B C A B C S S =V V , 1122AC BD BC AE ´=´即可求得BD．【详解】如图所示，过A 作AE BC ^，因为ABC V 的顶点都在边长为1的正方形网格上，所以5AC ===，5BC =，3AE =,因为A B C A B C S S =V V ，所以1122AC BD BC AE ´=´，即5335BC AE BD AC ´´===，故答案为：3【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC 的长，以及运用等面积法列式．19．5秒后，PCB D 的面积等于2450cm .【分析】设经过ts 后，PCB D 的面积等于2450cm .在Rt ABC D 中，根据勾股定理，得40cm AC =，根据面积公式可求出t.【详解】解：设经过ts 后，PCB D 的面积等于2450cm .在Rt ABC D 中，根据勾股定理，得40cm AC =，所以()402cm PC t =-.所以()1304024502PCB S t D =´´-=.解得5t =.故5秒后，PCB D 的面积等于2450cm .【点睛】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.根据勾股定理求出AC 是解题关键.20．(1)AC 的长为4cm ；(2)AD 的长为2.5cm【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC 的长即可；（2）根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：在Rt ACB △中，90C Ð=°，5cm AB =，3cm BC =．由勾股定理得()4cm AC ===，∴AC 的长为4cm ；（2）解：∵3cm BC =，90C Ð=°，由折叠可知3cm BE BC ==，ED DC =，90DEB C Ð=Ð=°，∵5cm AB =，∴2cm AE AB BE =-=．设cm AD x =，∵4cm AC =，∴()4cm ED DC AC AD x ==-=-．在Rt AED V 中，90AED Ð=°，由勾股定理得222AE ED AD +=，∴()22224x x +-=，解得 2.5x =，∴AD 的长为2.5cm ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．21．(1)45°(2)7【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据条件可以得出ACD CBE Ð=Ð，进而运用ASA 得出ABC DEF ≌△△，就可以得出AC BC =即可得到结论；（2）利用（1）中结论，先运用勾股定理求出AD 长，然后根据全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）∵AD CE ^，BE CE ^，∴ADC CEB Ð=Ð，∵90ACB Ð=°，∴90ACD BCE Ð+Ð=°，∵90CBE BCE Ð+Ð=°，∴ACD CBE Ð=Ð，在ADC V 和CEB V 中，ADC CEB CD BEACD CBE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ADC CEB V V ≌，∴AC BC =，∵90ACB Ð=°，∴=45ABC а（2）∵90ADC Ð=°，5CD =，13AC =.∴12AD ===，∵ADC CEB V V ≌，∴12CE AD ==，∴1257DE CE CD =-=-=．22．（1）货车开过时，学校会受噪音影响，证明见解析． （2）学校受噪音影响2.4s ．【分析】（1）根据80100AM m m =<，即可判断货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，根据勾股定理求出CM 、BM 的长，即可得到BC 的长，即可求解学校受噪音影响的时间．【详解】（1）∵80100AM m m=<∴货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ．∵AM MO^∴90AMO AMB ==°∠∠∴60CM m ===，60BM m ===∴6060120BC CM BM m=+=+=∵180000180//50/3600km h m s m s ==∴12050 2.4s¸=故若汽车速度为180/km h ，则学校受噪音影响2.4s ．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的性质以及解法是解题的关键．23．(1)见解析(2)从点A 爬到点B 的最短路程是50p 厘米【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积4-直角三角形面积额即可得答案；（2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．【详解】（1）Q 阴影部分的面积=大正方形面积4-直角三角形面积，221()42b ac ab \-=-´，22222a ab b c ab \-+=-，222a b c \+=；（2）画出圆柱侧面展开图：根据圆柱底面半径为40cm ，得出24040(cm)2AC p p ´==，Q 高为30cm p ，50(cm)AB p \==，\从点A 爬到点B 的最短路程是50p 厘米．【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．。
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勾股定理章节测试（A 卷）
（满分100分，考试时间60分钟）
学校___________ 班级________ 姓名_______
一、选择题（每小题4分，共20分）
D
C B
A
D
E A B
C
第3题图 第5题图
D
A
B
C
13.（10分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，小华按下列要求作图：
①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连接
三个格点，使之构成直角三角形．图中的Rt△ABC是小华作出的图形．
（1）求AC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）请你按照同样的要求，在下面的正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
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图1图2。