江苏省苏州市2014-2015学年高二第一学期期末数学考试(修订版)
2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题
绝密★启用前2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题【参考公式】：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 命题“2010x x ∃-＞≤，”的否定是 ▲ . 2. 求抛物线x y 42=的焦点坐标为 ▲ .3.已知1:,1:≥>x q x p ，则p 是q 的____▲____条件.（填充分不必要、必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）4.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一 个数是另一个的两倍的概率为 ▲ .5右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为_ ▲ .6.已知实数x y 、满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则24z x y =+的最大值为▲ .7.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为 ▲ .8.某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ .9. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点坐标在x 轴上，离心率为2，b=2，则双曲线的标准方程是 ▲ .10.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位cm ），所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如下左图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树.木的底部周长小于100cm.11. 如上右图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ▲ ．12.若关于x 的不等式)2(22<+-+a ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 是C 上的点，︒=∠⊥60,21212F PF F F PF ，则椭圆C 的离心率为______▲_______.14.已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分14分）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程.100 80 90 110 120 130 底部周长/cm16.（本小题满分14分）已知命题p:0>m ；命题q:不等式1,2+≤∈∀x m R x 恒成立. ①若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围;②若命题”p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分14分）已知方程12222=+--my m x 表示双曲线①求实数m 的取值范围;②当1=m 时，求双曲线的焦点到渐近线的距离。
2013-2014学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2013-2014学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一．填空题1．直线x﹣y+3=0的倾斜角为_________．2．抛物线y2=4x的准线方程是_________．3．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=_________．4．已知f（x）=xcosx，则f′（x）=_________．5．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为_________．6．函数f（x）=x﹣2e x的单调减区间是_________．7．若直线y=﹣3x+b是曲线y=x3﹣3x2+2的一条切线，则实数b的值是_________．8．若圆x2+y2=m2（m＞0）与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围是_________．9．已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题正确的序号为_________①m∥n，n∥α⇒m∥α；②m⊥α，m⊥β⇒α∥β；③α∩β=n，m∥α，m∥β⇒m∥n；④α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n．10．双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为_________．11．设P，A，B，C是球O表面上的四点，满足PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=1，PC=2，则球O的表面积是_________．12．点P是椭圆上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为_________．13．13．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为_________．14．已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为_________．二．解答题15．圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，5）；（I）求圆C的方程（II）若过点M（﹣2，0）的直线与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．16．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB，∠ABC为直角，点D，E分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若F在线段AC上，且，求证：AD∥平面PEF．17．已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．18．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G；（I）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG⊥DF；（II）设点E关于直线AC的对称点为E'，问点E'是否在直线DF上，并说明理由．19．已知椭圆过点A（﹣1，1），离心率为（I）求椭圆C的方程（II）设点B是点A关于原点的对称点，P是椭圆C上的动点（不同于A，B），直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，问是否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等，若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．20．函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）（I）求函数f（x）的极值；（II）若a＜0，对于任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有，求实数a的取值范围．三、理科附加题（每题10分）21．（10分）求曲线y=2sin3x在处的切线方程．22．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，0），求满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的坐标．23．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．24．（10分）如图，设抛物线x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．2013-2014学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题1．（3分）直线x﹣y+3=0的倾斜角为45°．考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．解答：解：直线x﹣y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°．故答案为45°．点评：本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2．（3分）（2014•陕西）抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．解答：解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．点评：根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．3．（3分）若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=﹣3．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，解之即可得到答案．解答：解：∵直线2x+（m+1）x+4=0与直线mx+3y+4=0平行，∴，由，解得m=﹣3，或2，又1，∴m≠2，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题考查两直线平行的关系，当两直线方程为一般式时，可根据系数关系列不等式组解决．4．（3分）已知f（x）=xcosx，则f′（x）=cosx﹣xsinx．．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得出．解答：解：f′（x）=cosx﹣xsinx．故答案为：cosx﹣xsinx．点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题．5．（3分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为5．考点：棱柱的结构特征．专题：数形结合．分析：有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可知，有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，解答：解：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，故答案为 5点评：本题考查确定立体几何的公理三，及其三条推论，是对基本概念的应用6．（3分）函数f（x）=x﹣2e x的单调减区间是（ln，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由y′=1﹣2e x≤0，解得x的取值范围即可．解答：解：由y′=1﹣2e x＜0，解得x＞ln．∴函数f（x）=x﹣2e x的单调递减区间是（ln，+∞）．故答案为：（ln，+∞）．点评：熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．7．（3分）若直线y=﹣3x+b是曲线y=x3﹣3x2+2的一条切线，则实数b的值是3．考点：圆的切线方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用导数运算法则可得切线的斜率，进而得到切点．解答：解：∵y=x3﹣3x2+2，∴y′=3x2﹣6x．设切点为M（m，n），则切线的斜率k=3m2﹣6m=﹣3，解得m=1．∴n=﹣1﹣3+2=0．得到切点M（1，0），代入直线可得0=﹣3+b，解得b=3．故答案为：3．点评：本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程，属于基础题．8．（3分）若圆x2+y2=m2（m＞0）与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围是（1，11）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用相交两圆的充要条件：R﹣r＜|O1O2|＜R+r，（R＞r＞0分别为两圆的半径，|O1O2|为两圆的圆心距离）即可得出．解答：解：由圆x2+y2=m2（m＞0）可得圆心M（0，0），半径r=m；由圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0化为（x+3）2+（y﹣4）2=36，得到圆心N（﹣3，4），半径r=6．∴|MN|==5．由于圆x2+y2=m2（m＞0）与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，∴|m﹣6|＜5＜6+m，解得1＜m＜11．∴实数m的取值范围是（1，11）．故答案为：（1，11）．点评：本题考查了相交两圆的充要条件，属于基础题．9．（3分）已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题正确的序号为②③④①m∥n，n∥α⇒m∥α；②m⊥α，m⊥β⇒α∥β；③α∩β=n，m∥α，m∥β⇒m∥n；④α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的判定定理来判断①是否正确；根据垂直于同一直线的两个平面平行来判断②是否正确；借助图形，如图过m作两个相交平面，分别与α，β相交于直线a，b，可证a∥b，从而可证a∥n，进而可证m∥n，由此判断③是否正确；取直线m、n的方向向量，，根据α⊥β，则，可判断④是否正确．解答：解：对①，缺少条件m⊄α，∴①错误；对②，根据垂直于同一直线的两个平面平行，∴②正确；对③，如图过m作两个相交平面，分别与α，β相交于直线a，b，可证m∥a，m∥b，∴a∥b，可证a∥β，α∩β=n，∴a∥n，∴m∥n，故③正确；对④，∵m⊥α，n⊥β，α⊥β，∴，∴m⊥n，故④正确．故答案是②③④．点评：本题考查了线线，线面平行、垂直关系的判断，熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键．10．（3分）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．由于焦距为16，一条渐近线方程为，可得2c=16，，再利用c2=a2+b2，即可得出．解答：解：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．∵焦距为16，一条渐近线方程为，∴2c=16，，又c2=a2+b2，联立解得a=6，b=．所求的双曲线方程为：．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．11．（3分）设P，A，B，C是球O表面上的四点，满足PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=1，PC=2，则球O的表面积是6π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：根据PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=1，PC=2，构造一个以PA，PB，PC为棱的长方体，则长方体的体对角线等于球的直径，建立方程关系即可求解球的表面积．解答：解：∵PA，PB，PC两两相互垂直，∴构造一个以PA，PB，PC为棱的长方体．∵P，A，B，C是球O表面上的四点，∴长方体的体对角线等于球的直径，设球半径为R，长方体的体对角线为l，∵PA=PB=1，PC=2，∴l=，则l=2R=，解得R=，∴球O的表面积是4=6π．故答案为：6π．点评：本题主要考查球的表面积的计算，根据点P，A，B，C的位置关系构成长方体是解决本题的关键，要正确利用球的直径与长方体的体对角线长度之间的关系．12．（3分）点P是椭圆上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为15．考点：椭圆的简单性质；函数的最值及其几何意义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，由椭圆可得：a2=25，b2=16，．由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．解答：解：如图所示，由椭圆可得：a2=25，b2=16．∴a=5，b=4，．∴F2（3，0），=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．故答案为：15．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于难题．13．（3分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：由函数在区间[﹣1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（﹣1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；解答：解：（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[﹣1，0]上恒成立．只需要即可，也即，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式得d2=（）2=，∴a2+b2的最小值为．故答案为：．点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解点到直线的距离公式，理解二元一次不等式组与平面区域的关系．14．（3分）已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为4．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．解答：解：因为当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，亦即k＜=对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜对任意x＞1恒成立．设p（x）=，则p′（x）=，令r（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）=1﹣=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，r（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，所以lnx0=x0﹣2．所以[p（x）]min=p（x0）===x0﹣1+2∈（4，5），所以k＜[p（x）]min=x0﹣1+2∈（4，5）故整数k的最大值是4．故答案为：4点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．解答题15．（14分）圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，5）；（I）求圆C的方程（II）若过点M（﹣2，0）的直线与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（I）求出圆心坐标与半径，可得圆C的方程（II）直线与圆C有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离等于半径，由此可求直线l的方程．解答：解：（I）由题意，圆心C（2，2），圆的直径为AB==2，所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=10；（II）显然直线l不可能垂直x轴，设直线l的方程为y=k（x+2），因为直线l与圆C有且只有一个公共点，所以圆心到直线的距离d==，解得k=3或k=﹣，所以直线l的方程为3x﹣y+6=0或x+3y+2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB，PA⊥BC,∠ABC为直角，点D，E分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若F在线段AC上，且，求证：AD∥平面PEF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）因为∠ABC为直角，即AB⊥BC．再利用线面垂直判定定理，即可证出AD⊥平面PBC；（Ⅱ）连结DC，交PE于点G，利用线线平行的性质定理，证出AD∥FG即可得到AD∥平面PEF．解答：解：（Ⅰ）∵∠ABC为直角，即AB⊥BC，又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∵AD⊂平面PAB∴AD⊥BC∵PA=PB，点D为BC的中点∴AD⊥PB又∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，连结DC，交PE于点G，∵点D，E分别为PB，BC的中点，∴G为△PBC的重心，∴又，∴AD∥FG，又AD⊄平面PEF，FG⊂平面PEF，∴AD∥平面PEF．点评：本题着重考查了线面垂直的定义与判定、线面平行性质定理等知识，属于中档题．17．（14分）已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：导数的综合应用．分析：根据条件求出圆柱的体积，利用导数研究函数的最值即可．解答：解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x=，∴圆柱的体积为V（r）=，即V（r）=，则V'（r）=，由V'（r）==0，得r=．列表如下：r（0，）．（，a）V'（r）+ 0 ﹣V（r）递增极大值递减∴圆柱的最大体积为，此时r=，x=．点评：本题主要考查导数在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，考查导数的应用．18．（16分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G；（I）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG⊥DF；（II）设点E关于直线AC的对称点为E'，问点E'是否在直线DF上，并说明理由．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（I）建立适当的平面直角坐标系，求出直线EG和DF的方程，利用斜率之间的关系证明：EG⊥DF；（II）求出点E关于直线AC的对称点为E'的坐标，判断E'的坐标是否满足DF的方程即可证明．解答：解：（I）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图，设AD的长度为1，则A（0，0），D（0，1），E（1，0），F（2，0），C（3，1），∴直线AC的方程为，①直线DF的方程为，②由①②解得交点坐标G（），∴EG的斜率k EG=2，DF的斜率，∴﹣，即EG⊥DF；（II）设点E'的坐标为（x1，y1），则EE'的中点M（），由题意得，即，∴E'（），∵，∴E'在直线DF上．点评：本题主要考查直线方程的求法，建立平面之间坐标系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．19．（16分）已知椭圆过点A（﹣1，1），离心率为（I）求椭圆C的方程（II）设点B是点A关于原点的对称点，P是椭圆C上的动点（不同于A，B），直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，问是否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等，若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）B点坐标为（1，﹣1），假设存在这样的点P（x0，y0），设出直线AP的方程和直线BP的方程，由直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，得△PMN的面积=，△PAB的面积=|x0+y0|，由此能确定存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等，并能求出点P坐标．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆过点A（﹣1，1），离心率为，∴，解得a2=4，b2=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）如图，B点坐标为（1，﹣1），假设存在这样的点P（x0，y0），则直线AP的方程为y﹣1=，直线BP的方程为y+1=，∵直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，∴令x=3，得，，∴△PMN的面积|y M﹣y N|（3﹣x0）=，又∵AB=2，直线AB的方程为x+y=0，∴点P到直线AB的距离d=，∴△PAB的面积S△PAB==|x0+y0|，∵点P不同于A，B，∴|x0+y0|=0，∴（3﹣x0）2=||，解得，从而y0=±，∴存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等，点P坐标为（，）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的确定，综合性强，难度大，具有一定的确定20．（16分）函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）（I）求函数f（x）的极值；（II）若a＜0，对于任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；（II），即f（x2）+4×≤f（x1）+4×，设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，则，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数，求导函数，即使x2﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分离法将a分离出来，从而求出a的范围．解答：解：（I）由题意，x＞0，f′（x）=1﹣．若a≤0时，f′（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）不存在极值；当a＞0时，∵x＞a时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；0＜x＜a时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数，∴x=a时，函数f（x）有极小值f（a）=a﹣1﹣alna；（II）当a＜0时，由（I）知函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=在（0，1]上是减函数不妨设0＜x1≤x2≤1则|f（x1）﹣f（x2）|=f（x2）﹣f（x1），∴，即f（x2）+4×≤f（x1）+4×设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，则，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数∵h'（x）=1﹣﹣=，∴x2﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，即a≥x﹣在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x﹣在（0，1]内的最大值．而函数y=x﹣在（0，1]是增函数，∴y=x﹣的最大值为﹣3∴a≥﹣3，又a＜0，∴a∈[﹣3，0）．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题．三、理科附加题（每题10分）21．（10分）求曲线y=2sin3x在处的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，求出切点坐标，直接由点斜式得切线方程．解答：解：由y=2sin3x，得y′=6co s3x．∴当时，．又当时，，切点为．∴所求直线方程为，即．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数即为该点处的切线的斜率，是中档题．22．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，0），求满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的坐标．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：先求出满足PA2﹣PB2=4的点P的轨迹方程，再与圆的方程联立，即可取得P的坐标．解答：解：设P（x，y），∵PA2﹣PB2=4，∴（x+1）2+y2﹣x2﹣（y﹣1）2=4，即x+y﹣2=0．由，可得或，∴所求P的坐标为（0，2）或（2，0）．点评：本题考查点的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．解答：解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：点评：本题考查异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．24．（10分）如图，设抛物线x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x0=x1+x2．判断出三者的横坐标成等差数列．解答：证明：由题意，设A（），B（）（x1＜x2），M（x0，﹣2p）．由x2=2py得，得y′=，所以，．因此直线MA的方程为，直线MB的方程为．所以，①，②由①、②得，因此，即2x0=x1+x2．所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力，属于中档题．。
江苏省苏州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题
苏州市2015–2016学年第一学期期末考试2016.1.13高二数学注意事项：1.本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．参考公式：球的体积公式：V=43πr3，其中r是球的半径．一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在.答.题.卡.相.应.位.置.上．1.若直线l经过两点A(1,2),B(3,4)，则l的倾斜角为．答案：π4．建议解法：直线l的斜率k=4−23−1=1，其倾斜角α满足tanα=1，且α∈(0,π)，所以α=π4．2.抛物线y=12x2的焦点到其准线的距离为．答案：1．建议解法：抛物线的标准方程是x2=2y，焦点到准线的距离p=1．3.已知两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y−9=0，则l1与l2的距离是．答案：32．建议解法：直线l1的方程即为8x+6y+6=0，两平行直线l1,l2间的距离d=|(−9)−6|√82+62=1510=32．另解：点P(0,−1)在直线l1上，点P到l2的距离d=|−6−9|√82+62=32．4.函数y=sin x的图象在点(π,0)处的切线方程为．答案：x+y−π=0．建议解法：y′=cos x，当x=π时，切线的斜率k=cosπ=−1，所求的切线方程为y−0=−1(x−π)，即x+y−π=0．5.一质点的运动方程为S=t2+10（位移单位：m；时间单位：s），则该质点在t=3时的瞬时速度为m/s．答案：6．建议解法：因为v(t)=S′(t)=2t，所以v(3)=6．6.若函数f(x)=x3−3x2+a在区间[−1,1]上的最大值是2，则实数a的值为．答案：2．建议解法：f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，易得f(x)在[−1,0]上递增，在[0,1]上递减，所以f(x)max=f(0)=a=2．7.将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来圆锥的高为．答案：√3．建议解法：设圆锥的高为ℎ，底面半径为r，母线长为l=2，则2πr=πl=2π，即r=1．所以ℎ=√l2−r2=√3．8.设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120∘，则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率是．答案：√3+12.建议解法：不妨设AB=BC=1，则AC=√3，离心率e=2c2a =1√3−1=√3+12．9.关于异面直线a,b有下列四个命题：①过直线a有且只有一个平面β，使得b⫽β；②过直线a有且只有一个平面β，使得b⟂β；③在空间存在平面β，使得a⫽β，b⫽β；④在空间不存在平面β，使得a⟂β，b⟂β．其中，正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）．答案：①③④．建议解法：10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l：x+y−4=0．点B(x,y)是圆C：x2+y2−2x−1=0上的动点，AD⟂l，BE⟂l，垂足分别为D,E，则线段DE的最大值是．答案：52√2．建议解法：圆C：(x−1)2+y2=2，圆心为C(1,0)，半径r=√2．# »AC=(1,−2)在直线l的方向向量r=(1,−1)上的射影长为d=|# »AC⋅r||r|=32√2．DE max=d+r=52√2．11.已知三棱锥S −ABC 的各个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⟂底面ABC ，AC =√2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是．答案：4π．建议解法：底面△ABC 内接于球的大圆，所以∠ACB =90∘，且AC =BC =√2r ．V 球=43πr 3，V S−ABC =13S △ABC ⋅SO =13r 3．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左、右焦点，B,C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若tan ∠F 1BO =34，则直线CD 的斜率为．答案：1225．建议解法：由k CD ⋅k DB =−b 2a 2，得k CD ⋅(−b c )=−b 2a 2，所以k CD =bca2．本题中，a ∶b ∶c =5∶4∶3．13.如图，一根长为2米的竹竿AB 斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下端点A 从距离墙角O 点1米的地方移动到√3米的地方，则AB 的中点D 经过的路程为米．yxAA ′BB ′ODD ′答案：π6．建议解法：点D 的路经是：以O 为圆心，1为半径的圆弧，圆心角为π6，弧长为π6米．14.已知函数f (x)=a x −x ln a （0<a <1），若对于任意x ∈[−1,1]，不等式f(x)⩽e −1（其中e 是自然对数的底）恒成立，则实数a 的取值范围是．因为0<a<1，所以f(x)在[−1,0]上递减，在[0,1]上递增，f(x)max={f(−1),f(1)}max．所以⎧⎪⎨⎪⎩a−1−ln a−1⩽e−1, a−ln a⩽e−1.记g(t)=t−ln t，则g′(t)=t−1t，所以g(t)在(0,1]上递减，在[1,+∞)上递增．由a−1−ln a−1⩽e−1，得g(a−1)⩽g(e)，即1<a−1⩽e，所以1e⩽a<1．当1e ⩽a<1时，g(a)⩽g(1e)=1e+1<e−1成立．综上所述，实数a的取值范围是[1e,1)．再解：考虑ℎ(a)=f(−1)−f(1)=1a −a+2ln a，则ℎ′(a)=−1a2−1+2a=−(a−1)2a2，所以ℎ(a)在a∈(0,1)上单调递减，ℎ(a)>ℎ(1)=0，所以f(−1)>f(1)，即f(x)max=f(−1)=1a+ln a．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线的方程为x−2y−5=0．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC的方程．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P−ABC中，D,E,F分别是棱P C,AC,AB的中点．已知P A⟂AC，P A=6，BC=8，DF=5．(1)求证：直线P A⫽平面DEF；(2)求证：平面BDE⟂平面ABC．AB CPEFD解：(1)在△P AC中，因为D,E分别是P C,AC的中点，所以DE⫽P A．.................3分又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以P A⫽平面DEF．...............6分(2)因为D,E,F分别是棱P C,AC,AB的中点，所以DE=12P A=3，EF=12BC=4．............................................8分在△DEF中，DE2+DF2=42+32=25=DF2，所以DE⟂EF．..............10分由(1)知DE⫽P A，又P A⟂AC，所以DE⟂AC．因为AC∩EF=E，AC,EF⊂平面ABC，所以DE⟂平面ABC．...............12分因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⟂平面ABC．.............................14分某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s（万元）与改造投入资金x（万元）之间满足：s=5150x2−1100x3+x−x ln(ax)（1⩽x⩽60）．当x=10时，s=102．景点新增毛收入f(x)（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．(1)求y=f(x)的解析式；(2)若将f(x)x定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率．（参考数据：ln5=1.61）解：(1)把x=10时，s=102代入s=5150x2−1100x3+x−x ln(ax)，得102=102−10+10−10ln(10a)，即a=110，....................................3分所以s=5150x2−1100x3+x−x lnx10（1⩽x⩽60）．所以f(x)=s−x=5150x2−1100x3−x lnx10（1⩽x⩽60）．.........................6分(2)记g(x)=f(x)x=5150x−1100x2−lnx10，即g(x)=5150x−1100x2−ln x+ln10（1⩽x⩽60）．g′(x)=5150−150x−1x=51x−x2−5050x=−(x−1)(x−50)50x．.........................9分令g′(x)=0，得x=1或x=50．列表如下：x1(1,50)50(50,60)60g′(x)0+0−g(x)↗极大值↘..............11分由上表可知，g(50)是极大值，也是最大值．g(x)max=g(50)=51−25−ln5=26−1.61=24.39．...............................13分答：当投入资金50万元时，改造资金的收益率最高，最高收益率为24.39．........14分如图，圆O：x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB是过点P且倾斜角为135∘的弦．(1)求弦AB的长；(2)若圆C与圆O内切且与弦AB相切于点P，求圆C的方程．已知A(−2,0),B(2,0)是椭圆C的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A,B的动点，且△AP B面积的最大值为2√3．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)直线AP与过点B关于x轴的垂线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线P F的位置关系，并加以证明．解：(1)由题意，得|y P|的最大值为√3，所以a=2，b=√3，从而c=1．................2分椭圆C的方程为x 24+y23=1，其离心率e=12．....................................4分(2)由(1)知F(1,0)，设以BD为直径的圆的圆心为M(2,m)，则半径r=|m|，D(2,2m)．6分设P(x0,y0)，由A,P,D共线，得2y0=m(x0+2)．.................................8分直线F P的方程为y0(x−1)−(x0−1)y=0．......................................10分圆心M到直线F P的距离d=|y0−m(x0−1)|√y20+(x0−1)2=|2y0−2m(x0−1)|√4y20+4(x0−1)2．即d=|m(4−x0)|√12−3x20+4(x0−1)2=|m(4−x0)|√(4−x0)2=|m|．...............................15分所以以BD为直径的圆与直线P F总相切．........................................16分说明实际上，直线P F的法向量n=(y0,−(x0−1))的模|n|=|# »F P|=a−ex0=2−12x0．已知函数f(x)=ln x−ax，g(x)=f(x)+ax−6ln x，其中a∈R为常数．(1)当a=1时，试判断f(x)的单调性；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数ℎ(x)=x2−mx+4，当a=2时，若存在x1∈(0,1)，对任意的x2∈[1,2]，总有g(x1)⩾ℎ(x2)成立，求实数m的取值范围．解：(1)当a=1时，f(x)=ln x−1x的定义域为(0,+∞)．因为f′(x)=1x +1x2>0在定义域上恒成立，所以f(x)=ln x−1x在定义域(0,+∞)上是单调递增函数．..........................3分(2)g(x)=ax−ax−5ln x的定义域为(0,+∞)．因为g(x)在(0,+∞)内是增函数，所以g′(x)=a+ax2−5x=a(x2+1)−5xx2⩾0对x>0恒成立．......................5分即a⩾5xx2+1对x>0恒成立．.....................................................7分由基本不等式，当x=1时，x 2+1x=x+1x的最小值为2，所以5xx2+1的最大值为52．所以a⩾52，即实数a的取值范围是[52,+∞)．......................................9分(3)首先，由题意，等价条件为g(x1)max⩾ℎ(x2)max．..................................10分当a=2时，g(x)=2x−2x −5ln x，g′(x)=(2x−1)(x−2)x2，易得g(x)在(0,12]上递增，[12,1)上递减，所以g(x1)max=g(12)=5ln2−3．.......12分由二次函数ℎ(x)的图象知，ℎ(x2)max={ℎ(1),ℎ(2)}max．...........................14分所以⎧⎪⎨⎪⎩5ln2−3⩾5−m,5ln2−3⩾8−2m,即⎧⎪⎨⎪⎩m⩾8−5ln2,m⩾112−52ln2.而(8−5ln2)−(112−52ln2)=52(1−ln2)>0，所以得m⩾8−5ln2．综上所述，实数m的取值范围是[8−5ln2,+∞)．.................................16分苏州市2015–2016学年第一学期期末考试2016.1.13高二数学（附加题）注意事项：1.本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2.请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上答题无效．3.答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21.（本小题满分10分）求函数f(x)=ln12x+1+x的最小值．解：函数f(x)=−ln(2x+1)+x的定义域为(−12,+∞)．.................................2分f′(x)=−22x+1+1=2x−12x+1．令f′(x)=0，得x=12．................................................................4分列表如下：x(−12,12)12(12,+∞)f′(x)−0+f(x)↘极小值↗.................................8分由上表可知，当x=12时，f(x)取极小值，也是最小值，所以f(x)min=f(12)=12−ln2．.......................................................10分22.（本小题满分10分）求与圆C：x2+y2−4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．解：圆C：x2+y2−4x=0的标准方程为(x−2)2+y2=22，圆心为C(2,0)，半径为2．..............................................................2分设动圆的圆心为M(x,y)，半径为r，则⎧⎪⎨⎪⎩MC=2+r,|x|=r>0,.............................4,5分即√(x−2)2+y2=2+|x|（x≠0）．...................................................6分化简，得y2=4x+4|x|．（x≠0），.....................................................8分即y=0（x<0）或y2=8x（x>0）．所以动圆圆心的轨迹方程为y=0（x<0）或y2=8x（x>0）．........................10分如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，侧棱P A⟂底面ABCD，且P A=AD=2，E,F,H分别是线段P A,P D,AB的中点．(1)求直线AH与平面EF H所成角的大小；(2)求二面角H−EF−A的大小．AB C DPE F H解：以{# »AB,# »AD,# »AP}为正交基底向量建立空间直角坐标系A−xyz．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．1分(1)# »AH=(1,0,0)，# »EF=(0,1,0)，# »EH=(1,0,−1)．设平面EF H的一个法向量为m=(x,y,z)．由m⟂# »EF，m⟂# »EH，得⎧⎪⎨⎪⎩y=0,x−z=0,不妨取m=(1,0,1)．.......................3分设直线AH与平面EF H所成角为α，则sinα=|cos⟨# »AH,m⟩|=1√2=√22．.......5分所以直线AH与平面EF H所成角的大小为π4．....................................6分(2)由(1)知平面HEF的一个法向量为m=(1,0,1)．平面AEF的一个法向量为n=(1,0,0)．............................................7分所以cos⟨m,n⟩=1√2=√22．.......................................................9分因为二面角H−EF−A是锐二面角，二面角H−EF−A的大小为π4．..........10分已知抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=−1．(1)求抛物线的方程；(2)设F是抛物线的焦点，直线l：y=kx+b（k≠0）与抛物线相交于A,B两点，记AF,BF的斜率之和为m．求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)抛物线的顶点为原点，准线方程为y=−1，焦点坐标为F(0,1)．由抛物线的定义，得标准方程为x2=4y，即y=14x2．.............................4分(2)由(1)知抛物线方程为y=14x2．设A(x1,14x21)，B(x2,14x22)，则m=x14−1x1+x24−1x2=x1+x24−x1+x2x1x2．........5分由⎧⎪⎨⎪⎩y=kx+b,x2=4y,得x2−4kx−4b=0．当Δ=16k2+16b>0时，x1+x2=4k，x1x2=−4b．..............................7分所以m=k+kb ，即b=km−k．所以直线l：y=kx+km−k．......................................................8分当常数m=0时，直线l恒过定点(0,−1)．........................................10分。
2015年江苏省苏州市高二上学期苏教版数学期末测试试卷
2015年江苏省苏州市高二上学期苏教版数学期末测试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 若直线经过两点，，则的倾斜角为．2. 抛物线的焦点到准线的距离为．3. 已知两条直线，，则与的距离是．4. 函数的图象在点处的切线方程为．5. 一质点的运动方程为（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在秒的瞬时速度为．6. 若函数在区间上的最大值是，则实数的值为．7. 将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为的半圆，则原来的圆锥的高为．8. 在中，，，则以，为焦点且过点的双曲线的离心率为．9. 关于互相平行的两直线，有下列四个命题：①过直线有且只有一个平面．使；②过直线有且只有一平面．使；③在空间存在平面，使得，；④在空间不存在平面，使，．其中，正确的命题的序号是（把所有正确序号都填上）．10. 在平面直角坐标系中，已知点，直线．点是圆的动点，，，垂足分别为，，则线段的最大值是．11. 已知三棱锥的各个顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是．12. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为椭圆上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为．13. 如图，一根长为米的竹竿斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下端点从距离墙角点米的地方移动到米的地方，则的中点经过的路程为米．14. 已知函数．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．二、解答题（共10小题；共130分）15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为．边上的高所在直线为．求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程．16. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点．已知，，， .求证：（1）直线 平面；（2）平面平面 .17. 某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额（万元）与改造投入资金（万元）之间满足（），当时，，景点新增毛收入（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．（1）求的解析式；（2）若将定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率．（参考数据：）．18. 如图，圆内有一点，为过且倾斜角为的弦．（1）求的长；（2）若圆与圆内切又与弦切于点，求圆的方程．19. 已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．20. 已知函数，，其中为常数．（1）当时，试判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围．21. 求函数的最小值．22. 求与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程．23. 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，，，分别是，，的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．24. 已知抛物线的准线方程为，焦点坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）设是抛物线的焦点，直线：与抛物线相交于，两点，记，的斜率之和为，求常数，使得对于任意的实数，直线恒过定点，并求出该定点的坐标．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9. ③10.11.12.13.【解析】点的路径是：以点为圆心，为半径的圆弧，其圆的方程为：．当时，；当时，，所以．所以．14.【解析】．由，得．由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减．由此，当时，函数取得最小值．因为，，所以．设，则，所以在上为增函数，从而，即，所以，于是，函数在上的最大值为．若对于任意，不等式恒成立，只需，即．设，则，所以在上为减函数．由，得．于是等价为，结合，解得．第二部分15. （1）直线的方程为：，即，解方程组得则点坐标为．（2）设，则，整理得解得则点坐标为，，即．16. （1）因为，分别是，的中点，所以有．又平面，平面，所以 平面．（2）因为，，所以．又是的中点，所以，．又，所以，所以．因为，所以平面．又平面，所以平面平面．17. （1）将，代入（），得：，即，所以（），所以（）．（2）记，则（），令，可知或，列表如下：递增极大递减由上表可知，是极大值，也是最大值，，答：当投入资金万元时，改造资金的收益最高，最高效益率为．18. （1）依题意直线的斜率为，直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则，所以的长为．（2）过与直线垂直的直线方程为，即，设圆的圆心为，则，所以，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为．19. （1）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，．故椭圆的方程为，离心率为．（2）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可设直线的方程为．则点坐标为，中点的坐标为．由得．设点的坐标为，则．所以，．因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为．直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．当时，则直线的斜率．所以直线的方程为．点到直线的距离．又因为，所以．故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．20. （1）由，得的定义域为，，当时，，在上单调递增．（2）由已知得，，其定义域为，．因为在其定义域内为增函数，所以，，即，则．而，当且仅当时，等号成立，所以．（3）当时，，，由，得或．当时，；当时，．所以在上，，而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”，而在上的最大值为，所以有所以所以解得，所以实数的取值范围是．21. 的定义域是，，令，解得：，令，解得：，所以在递减，在递增，．所以最小值极小值22. 若动圆在轴右侧，则动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，其轨迹是抛物线；且，其方程为．若动圆在轴左侧，则动圆圆心轨迹是轴负半轴，方程为，．23. （1）以为正交基底向量建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的大小为．（2）由（）知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．24. （1）将，化为标准方程为，所以抛物线的准线方程为：．因为抛物线的准线方程为，所以，解得．所以抛物线的方程是．（2），设，，由得．所以，，．所以．所以直线．令对任意的恒成立．则解得所以，直线过定点．。
江苏省苏州市中等职业学校2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试题 Word版含答案
2014-2015学年第一学期苏州市中等专业学校2013级学业水平测试数学试卷一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每题所给的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一个选项是正确的，请选出正确1．下列说法正确的是A ．一个平面的面积可以是16cm 2B ．空间三点可以确定一个平面C ．平面α与平面β相交于线段ABD ．两条相交直线可以确定一个平面2．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条直线A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交 3．空间内一条直线和一个平面所成角的范围是 A .(0，π) B . [0,2π] C .(0, 2π] D . [0, 2π) 4．天气预报“明天降雨的概率为90%”，这是指 A ．明天该地区约90%的地方会降雨，其余地方不降雨 B ．明天该地区约90%的时间会降雨，其余时间不降雨C ．气象台的专家中，有90%的人认为明天降雨，其余的专家认为不降雨D ．明天该地区降雨的可能性为90%5．“完成一件事需要分成n 个步骤，各个步骤分别有m 1，m 2，• • • ，m n 种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，要解决上述问题，应用的原理是 A ．加法原理 B ．减法原理 C ．乘法原理 D ．除法原理6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为A B C ．1 D ．27．从一副54张的扑克牌中抽取1张，那么抽出的一张刚好是8的概率 A ．154B ．19C ．227D ．18．把半径是3，4，5的三个铁球熔铸成一个大球，则大球的体积是A ．298πB .288πC .144πD .72π 9. 用数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数A ．60B ．125C ．50D ．2510. 某中专校2014级新生共有500人，其中计算机专业125人，物流专业200人，财会专业125人，美术专业50人．现采取分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本参加劳动周，那么计算机、物流、财会、美术专业抽取的人数分别为 A ．16，10，10,，4 B ．10，16，10，4 C ．4，16，10 ，10 D ．10，10，16，4 11．[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ．十进制数（6）10 转化成二进制数为 A ．(100)2 B ．(101)2 C ．(111)2 D ．(110)2 II ．数组a =(1,2)b =(-2,6),则a b ⋅等于A ．4B ．6C ．8D ．10D 1C 1B 1A 1ABCD②① ③ ④⑤⑥⑦B 3C 1A 7 I 0 D 3G 2 E 3F 2J 0 H 112．[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答． I ．根据如图的算法流程图，当输入x 的值为3A ．5 B ．6 C ．7 D ．8II ．某项工程的流程图如下图所示，完成该工程的最短总工期是A ．7B ．9C ．10D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填写在相应位置上．13．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 . 14．已知一个样本为8，12，14，18，则样本的中位数是 ． 15．()()()31=85A A PB A B =⋃已知、B 是互斥事件，且P ，，则P 的值是 .16．[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ． 程序框图的判断框有 个出口.II ．工作流程图中，长度最长的路径叫做 . 17． [选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ．101100∙++∙+= .II ．已知数组a =(1，0，1)，b =(1-，1，2)，则a +b = . 三、解答题：本大题共6小题，共65分．请把答案写在相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. （本小题满分8分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体． （1） 与直线AB 异面的直线有哪些？ （2） 求A 1B 与直线CD 所成角的大小．第12 I 题19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，SA=a 且SA ⊥底面ABCD(1) 证明AB ⊥侧面SAD ；(2) 求四棱锥S-ABCD 的体积． 20．（本小题满分10分）已知下面一组数据：24 21 23 25 26 28 24 29 30 29 26 25 24 27 28 22 24 26 27 28填写频率分布表 20.522.522.524.524.526.526.528.528.530.5BCD 第19题S()()()()(________)........................................(______)___________________................(______)______________________..........(______)B =+=+=+21.（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率是0.6，乙投篮的命中率是0.7，两人是否投中相互之间没有影响．求：（1）甲投两次，只有一次命中的概率； （2）两人各投篮一次，只有一人命中的概率．22. （本小题满分8分）[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ．填空：（说明：最右一列三个括号填写每个步骤用到的逻辑运算律）II ．已知数组a =(1,2,x ), b =(y ,3,4) c =(0, z,1)且2a +b =c 求x,y,z ．AB B +① ③ ④ ② A 3 C 2 B 4 ①③ ④②A 9C 1B 7③①A 1B 1DC 323．（本小题满分15分）[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答． I ．判断下列网络图的绘制是否符合规则，并说明原因． (1) (2) (3)II ．填表：写出程序框图中的图形符号的名称．苏州市中等职业学校2013级学业水平测试数学试卷参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题 (本大题共5小题，每小题5分，共25分) 13. 平行或相交 14. 13 15.234016. (I) 两 (II)关键路径 17. (I) 1 (II) （0,1,3）三、解答题 (本大题共6小题，共65分．) 18. （本小题满分8分）解：(1)与直线AB 异面的直线是：CC 1, DD 1, A 1D 1, B 1C 1 …………………4分(2) DC ∥AB∴∠A 1BA 为异面直线A 1B 与DC 所成的角 …………………2分 四边形ABB 1A 1是正方形,∴∠A 1BA=450 …………………1分 ∴A 1B 与CD 所成的角是450 …………………1分 19. （本小题满分12分）解: (1∵SA ⊥面ABCD ∴SA ⊥AB ， …………………2分∵四边形ABCD 为正方形 ∴ AD ⊥AB …………………2分 ∵SA 交AD 于点A …………………1分 ∴AB ⊥面SAD …………………1分(2)S ABCD V -=13S 底h=13a 2•a =13a 3, …………………5分 所以四棱锥S ABCD -的体积是13a 3 …………………1分20. （本小题满分10分）20.522.522.524.524.526.526.528.528.530.5()()()()()AB B A B BA B BA B +=++=++=+(……………每空1分共计10分)21. （本小题满分12分） 解：(1)设{}甲投篮命中=A{}乙投篮命中=B ()6.0=A P ()()4.01=-=A P A P …………………1分()7.0=B P ()()3.01=-=B P B P …………………1分设C ={}命中甲投篮两次，只有一次则()48.06.04.04.06.0=⨯+⨯=C P …………………4分∴甲投篮两次，只有一次命中的概率是0.48 …………………1分设D={}一人命中两人各投篮一次，只有则（2）P (D )=46.07.04.03.06.0=⨯+⨯ …………………4分 ∴两人各投篮一次，只有一人命中的概率是0.46 …………………1分 22. （本小题满8分） (I ) 解:(反演律) （结合律）（重叠率）说明：每个空1分，共计8分(II ) 解:2a +b =(2,4,2x)+(y,3,4)=(2+y,7,2x+4)……………………………..3分c =(0,z ,1)∵2a +b = c∴207241y z x +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩………… 3分∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=7223z y x …………2分23 （本小题满15分）(1) 解:（1）不符合规则， …………2分节点内的编号从左向右应由小到大；…… 3分 （2）不符合规则， …………2分出现了逆向箭头； ……………3分 （3）不符合规则， …………2分 虚设工作的箭头应为虚箭线． …………3分（每个名称3分，共计15分）。
2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷
2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷考试时间：120分钟；满分：150第I 卷（选择题）一、选择题1．已知向量2(4,1),(,2)a x b x =+=r ,则4x =是//a b r r 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题：“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是 （ ）A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b4．设e 是椭圆224x y k +＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0,3) B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2) 5．已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x ＞2x ，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是 （ ）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）6．抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ）A.1B.12 C. 14 D. 18 7．命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )．A ．2000x 0,x x 0>+>∃B ．2000x 0,x x 0>+∃≤C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞08．、若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于A．6 B ．6πC ．D ．第8题9．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长AB=2BB 1，则异面直线AB 1与BC 所成的角的余弦值是（ ）A ．53B ．55C ． 32D ．36 10．已知双曲线2222x y a b－＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝的焦点重合，且双曲( ) A ．x 2－29y ＝1 B ．x 2－y 2＝15 C.29x －y 2＝1 D.29x －29y ＝1第II 卷（非选择题）二、填空题11．（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）12．以椭圆1222=+y x 的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于_____ ___.14．已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,则m 的取值范围为 .15．已知圆C ：22240x y x y m ++-+=与直线:2l y x =+相切，且圆D 与圆C 关于直线l 对。
江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题时间：120分钟 满分：160分 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为样本平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．置上．12．抛物线y x =的准线方程为 ▲ ． 3． 在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最 低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．6. 右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ． 7 .已知曲线 ln y x =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 ▲ ．8. 一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲ ．9. 已知等比数列{}n a =成立．类似地，在等差数列{}n b 中，有______▲ ___成立．10．为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A 、B 、C 三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A 同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有 ▲ 种．（用数字作答）11． “42a -<<”是“方程22142x y a a+=+-表示椭圆”的_____▲ _条件． （填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”）12. 函数()sin f x x x tx =-在[]0,π上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲ ．13. 椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足PF AF =，则222(ln ln )b b a a --的范围是 ▲ ．14. 函数1320142012()()20141x xf x x x R ++=+∈+,其导函数为/()f x ，则//(2015)(2015)(2015)(2015)f f f f ++---= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）设p ：复数(12)(2)z m m i =-++在复平面上对应的点在第二或第四象限；q ：函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个．求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围．16. （本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)60,50，[)70,60…[]100,90后画出如下部分．．频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C 级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率； （3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.17. （本小题满分14分）对于一切*n N ∈，等式2314121(,)122232(1)2(1)2n nn b a a R b R n n n +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+∈∈⨯⨯++⋅恒成立． （1）求,a b 的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．18. （本小题满分16分） 如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ABCD ⊥平面，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为060．（1）求证：AC BDE ⊥平面；（2）求二面角F BE D --的正弦值；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM BEF 平面，并证明你的结论．19. （本小题满分16分） 已知椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>> ,以抛物线28y x =的焦点为顶点,且离心率为12．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知A 、B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M.(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．20. （本小题满分16分）已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求函数()F x 的单调区间；(2）若以函数()(2)y F x x =≥图象上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）是否存在实数b ，使得函数22()11ay g b x =+-+的图象与函数4()y f x =的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）答题纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸．．．相应位．．．置上．．．1 2 3 4 56 7 8 910 11 12 13 14二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出10090807060分数江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科） 参考答案与评分标准一、填空题：二、解答题：15. 解：∵复数(12)(2)z m m i =-++在复平面上对应的点在第二或第四象限， ∴(12)(2)0m m -+<，即2m <-或12m >. ………………5分 ∵函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个， ∴24()3203g x x mx m '=+++=有两个不同的解，即△＞0. 由△＞0，得m ＜－1或m ＞4 …………10分 要使“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题， ………………12分 ∴ 12,24214m m m m m m ⎧<->⎪<->⎨⎪<->⎩或解得或或． m ∴的取值范围为(,2)(4,)-∞-+∞． ………………14分16.解: （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：1.010)005.0025.003.02015.0(11=⨯+++⨯-=f ………………………………3分所以低于60分的人数为60(0.10.15)15⨯+=（人）……………………………….5分 （2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为 (0.0250.005)100.3+⨯=所以，抽样学生成绩的优秀率是30%……………………………………………………8分.于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%……………………………………9分. （3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9．所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：761415561=⨯⨯-=P …………………14分17. 解：(1)将1,2n n ==代入等式得：344311246b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩解得：11a b =⎧⎨=-⎩……………6分 （2）由（1）得，231412111122232(1)2(1)2n nn n n n +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⨯⨯++⋅ 下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=34,右边=34，等式成立；…………………………8分②假设n ＝k 时等式成立，即231412111122232(1)2(1)2k kk k k k +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⨯⨯++⋅ 则n ＝k ＋1时，2+1+11131412131=+122232(1)2+1(2)213132(2)=11(1)2+1(2)2+1(2)211(2)2k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯++++-+-+⨯=++⋅++⋅=-=+⋅左边（）（）（）右边 即n ＝k ＋1时等式成立. ……………………12分所以(0,3,6),(3,0,BF EF =-=-设平面的法向量为(,,n x y =00BF EF ⋅=⋅=，即. ，所以CA 为平面的法向量，(3,CA =-,|||3n CA CA CA ⋅>==. …………………9所以二面角的正弦值为则(AM t =-，所以0AM n ⋅=4(3)2t -+. …………………1此时，点坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………16分 19. 解：(1)因为抛物线28y x =的焦点为(2,0),又椭圆以抛物线焦点为顶点,(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设(,)A m n ，则(,)(0)B m n n -≠，22143m n +=. AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0,n x m y ---=(4)(4)0,n x m y ---=设00(,)M x y ，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎪⎨---=⎪⎩由上得00583,2525m n x y m m -==--，…6分由于22220022(58)(3)434(25)3(25)x y m n m m -+=+=--222222(58)12(58)36914(25)4(25)m n m m m m -+-+-==--， 所以点M 恒在椭圆C 上…………10分/0(0,),(0,)F x a F a <∈解得所以（x ）在上是减函数；所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞). ……………4分（2）由/221()(2)a x a F x x x x x -=-=≥得/000201()(2)2x a k F x x x -==≤≥恒成立,即20012a x x ≥-+恒成立………………………6分因为当02x =时，20012x x -+取得最大值0，所以，0a ≥，所以，a 的最小值为0. ……9分（3）若22211()1122a y gb x b x =+-=+-+的图象与函数4()4ln y f x x ==的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交点，即2114ln 22x b x +-=在[1,]x e ∈有两个不同的根，亦即2114ln 22b x x =-+两个不同的根. ………………………11分令211()4ln 22G x x x =-+，[1,]x e ∈，则2/44(2)(2)()x x x G x x x x x--+=-==，[1,]x e ∈.………………………13分当x 变化时G /(x)、G （x ）的变化情况如下表：由上表知：max 3()4ln 22G x =-,又21402e -+>，所以，当213[4,4ln 2)22e b -∈+-时，()y b y G x ==与的图像有两个不同交点，所以，当213[4,4ln 2)22e b -∈+-时，22()11ay g b x =+-+的图象与函数4()y f x =的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交点．………………………16分。
苏州市(高二上学期期末考试数学试卷)
数学试卷2015-2016学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.若直线经过两点()1,2A ，()3,4B ，则的倾斜角为 ．2.抛物线212y x =的焦点到其准线的距离为 ． 3.已知两条直线1:l 4330x y ++=，2:l 8690x y +-=，则1l 与2l 的距离是 ．4.函数sin y x =的图象在点(),0π处的切线方程为 ．5.一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为 m /s ．6.若函数()323f x x x a =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则实数a 的值为 ．7.将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来圆锥的高为 ．8.设C ∆AB 是等腰三角形，C 120∠AB =，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率是 ．9.关于异面直线a ，b ，有下列四个命题：①过直线a 有且只有一个平面β，使得//b β；②过直线a 有且只有一个平面β，使得b β⊥； ③在空间存在平面β，使得//a β，//b β；④在空间不存在平面β，使得a β⊥，b β⊥． 其中，正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都填上）．10.在平面直角坐标系x y O 中，已知点()0,2A ，直线:l 40x y +-=．点(),x y B 是圆C :22210x y x +--=上的动点，D l A ⊥，l BE ⊥，垂足分别为D ，E ，则线段D E 的最大值是 ．11.已知三棱锥C S -AB 的各个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面C AB ，C A =，则球的体积与三棱锥体积之比是 ．12.如图，在平面直角坐标系x y O 中，1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2F B 与椭圆的另一个交点为D ，若13tan F 4∠BO =，则直线CD 的斜率为 ．13.如图，一根长为2米的竹竿AB 斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下端点A 从距离墙角O AB 的中点D 经过的路程为 米．14.已知函数()ln xf x a x a =-（01a <<），若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()1f x e ≤-（其中e 是自然对数的底）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）已知C ∆AB 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线C M 所在直线的方程为250x y --=，边C A 上的高BH 所在直线的方程为250x y --=．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线C B 的方程．16.（本题满分14分）如图，在三棱锥C P -AB 中，D ，E ，F 分别是棱C P ，C A ，AB 的中点．已知C PA ⊥A ，6PA =，C 8B =，DF 5=．（1）求证：直线//PA 平面D F E ；（2）求证：平面D B E ⊥平面C AB ．17.（本题满分14分）某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s （万元）与改造投入资金x （万元）之间满足：()23511ln 50100s x x x x ax =-+-（160x ≤≤）．当10x =时，102s =．景点新增毛收入()f x （万元）为门票新增额扣除改造投入资金．（1）求()y f x =的解析式；（2）若将()f x x定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x （万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率．（参考数据：ln 5 1.61=） 18.（本小题满分16分）如图，圆:O 228x y +=内有一点()1,2P -，AB 是过点P 且倾斜角为135的弦． （1）求弦AB 的长；（2）若圆C 与圆O 内切且与弦AB 相切于点P ，求圆C 的方程．19.（本小题满分16分）已知()2,0A -，()2,0B 是椭圆C 的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B的动点，且∆APB 面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）直线AP 与过点B 关于x 轴的垂直交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以D B 为直径的圆与直线F P 的位置关系，并加以证明．20.（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x=-，()()6ln g x f x ax x =+-，其中R a ∈为常数． （1）当1a =时，试判断()f x 的单调性；（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（3）设函数()24h x x mx =-+，当2a =时，若存在()10,1x ∈，对任意的[]21,2x ∈，总有()()12g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围．苏州市2015-2016学年第一学期期末考试高二数学（附加题）21.（本小题满分10分）求函数()1ln 21f x x x =++的最小值． 22.（本小题满分10分）求与圆C :2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．23.（本小题满分10分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面CD AB ，且D 2PA =A =，E ，F ，H 分别是线段PA ，D P ，AB 的中点．（1）求直线AH 与平面F E H 所成角的大小；（2）求二面角F H -E -A 的大小．24.（本小题满分10分）已知抛物线2y ax =（0a ≠）的准线方程为1y =-．（1）求抛物线的方程；（2）设F 是抛物线的焦点，直线:l y kx b =+（0k ≠）与抛物线相交于A ，B 两点，记F A ，F B 的斜率之和为m ．求常数m ，使得对于任意的实数k （0k ≠），直线恒过定点，并求出该定点的坐标．苏州市2015-2016学年第一学期期末考试高二数学答案end。
2014-2015学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2014-2015学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.下列各组数据中，数值相等的是（）A.（25）10和（10110）2B.（13）10和（1101）2C.（11）10和（1100）2D.（10）10和（10）2【答案】B【解析】解：A，∵25÷2=12…112÷2=6…06÷2=3…03÷2=1…11÷2=0…1∴（25）10=（11001）2∴（25）10≠（10110）2．B，∵13÷2=6…16÷2=3…03÷2=1…11÷2=0…1故13（10）=1101（2）∴（13）10=（1101）2．C，∵11÷2=5…15÷2=2…12÷2=1…01÷2=0…1故11（10）=1011（2）∴（11）10≠（1100）2．D，∵10÷2=5…05÷2=2…12÷2=1…01÷2=0…1故10（10）=1010（2）∴（10）10≠（10）2．综上可知，故选：B．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到二进制数，即可判断．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．2.已知向量=（3，-1），=（k，7），若+与3-2平行，则实数k等于（）A.-21B.21C.2D.0【答案】A【解析】解：+=（3+k，6），3-2=3（3，-1）-2（k，7）=（9-2k，-17），∵+与3-2平行，∴6（9-2k）+17（3+k）=0，解得k=-21．故选：A．利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出．本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题．3.在等差数列{a n}中，已知a3+a6=12，那么它的前8项和等于（）A.12B.24C.36D.48【答案】D【解析】解：∵在等差数列{a n}中a3+a6=12，∴a1+a8=a3+a6=12，∴前8项和S8===48故选：D由题意和等差数列的性质可得a1+a8=a3+a6=12，代入等差数列的求和公式可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．4.已知数据a1，a2，a3的方差为2，则数据2a1+3，2a2+3，2a3+3的方差为（）A.2B.4C.8D.10【答案】C【解析】解：新数据的方差是：22×2=8，故选：C．根据方差的性质，得到新数据的方程，从而求出答案．本题考查了方程的性质问题，是一道基础题．5.某学校高二年级共有学生180人，他们来自机电、电子、市场营销三个专业．为检查学生的学习情况，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从机电、电子、市场营销三个专业抽取的个体数组成一个等差数列，则电子专业的学生人数为（）A.40B.60C.80D.120【答案】B【解析】解：设电子专业的学生人数为x，∵从机电、电子、市场营销三个专业抽取的个体数组成一个等差数列，∴设机电、市场营销的个体人数为x-d，x+d，则x-d+x+x+d=180，即3x=180，解得x=60，故选：B．根据等差数列的定义进行求解即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据等差数列的定义和性质是解决本题的关键．6.如果圆柱与圆锥的底面直径、高和球的直径相等，则体积比V圆柱：V圆锥：V球为（）A.3：1：2B.3：1：4C.6：：4D.3：3：2【答案】A【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=πR3，圆柱的体积V圆柱=2πR3，圆锥的体积V圆锥=πR3，故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：πR3：πR3=3：1：2故选：A由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．7.下列命题中正确的是（）A.若a∥α，α⊥β，则a⊥βB.α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC.a⊥α，α⊥β，则a∥βD.α∥β，a⊂α则a∥β【答案】D【解析】解：∵a∥α，α⊥β，a与β的位置关系a⊂β、a∥β或a∩β=O，∴A×；∵α⊥β，β⊥γ，α与γ即可以平行，也可以相交，∴B×；∵a⊥α，α⊥β，a有可能在β内，∴C×；∵α∥β，a⊂α根据面面平行的性质a∥β，∴D√．故选D根据空间中直线与平面的位置关系a∥α，α⊥β，a与β的位置关系不确定，来判断A的正确性；同样α⊥β，β⊥γ，α与γ的位置关系不确定，可判断B；由于直线a有可能在平面β内，可判断C的正确性；根据面面平行的性质，可判断D是否正确．本题考查面面垂直的判定和线面平行的判定．8.从4个不同的树种里选出3个品种，分别种植在三条不同的道路旁，不同的种植方法种数为（）A.4B.12C.24D.72【答案】C【解析】解：∵4个不同的树种里选出3个品种，∴从4个不同的树种里选出3个品种，有C43=4种结果，再把三种种植在三条不同的道路旁全排列，共有A33=6种结果，根据分步计数原理知共有4×6=24种结果，故选C．由题意知本题是一个分步计数问题，要求4个不同的树种里选出3个品种，分别种植在三条不同的道路旁全排列，根据分步计数原理得到结果．本题考查分步计数原理，作为选择或填空题出现，是一个必得分题目，是一个基础题．9.平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线方程是（）A.2x-y+5=0B.2x-y-5=0C.2x-y±5=0D.2x+y±5=0【答案】C【解析】解：∵直线和直线2x-y+1=0平行，∴设切线方程为即2x-y+b=0，圆心坐标为（0，0），半径R=，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=5，解得b=5或b=-5，故切线方程为2x-y±5=0，故选：C．利用直线平行的关系设切线方程为2x-y+b=0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．10.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合，则p的值为（）A.4B.-4C.8D.-8【答案】C【解析】解：双曲线-=1的a2=6，b2=10，c2=a2+b2=16，则右焦点为（4，0），抛物线y2=2px的焦点为（，0），即有=4，解得p=8．故选C．求出双曲线的a，b，c，可得焦点为（4，0），再由抛物线的焦点坐标，解方程可得p．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查焦点的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共20.0分)11.已知数组=（-3，1，-1），=（1，3，5），=（-2，-1，2），则（-）•= ______ ．【答案】-2【解析】解：∵=（-3，1，-1）-（1，3，5）=（-4，-2，-6），=（-2，-1，2），∴（-）•=8+2-12=-2．故答案为：-2．利用向量坐标运算、数量积运算即可得出．本题考查了向量坐标运算、数量积运算，属于基础题．12.化简：+= ______ ．【答案】【解析】解：由向量的三角形法则得+=，故答案为：根据向量的三角形法则进行化简即可．本题主要考查向量三角形法则的应用，比较基础．13.掷两颗骰子，出现点数之和不大于5的概率为______ ．【答案】【解析】解：设第一颗骰子的点数为x，第二颗骰子的点数为y，用（x，y）表示抛掷两个骰子的点数情况，x、y都有6种情况，则（x，y）共有6×6=36种情况，而其中点数之和不大于5即x+y≤5的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）共10种情况，则其概率为=故答案为：根据题意，设第一颗骰子的点数为x，第二颗骰子的点数为y，用（x，y）表示抛掷两个骰子的点数情况，由分步计数原理可得（x，y）的情况数目，由列举法可得其中x+y≤5的情况数目，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．本题考查等可能事件的概率计算，注意用列举法分析点数之和不大于5的情况时，做到不重不漏14.已知圆锥的母线长为8cm，母线与底面所成的角为60°，则圆锥的表面积为______ ．【答案】48πcm2【解析】解：∵圆锥的母线长l=8cm，母线与底面所成的角为60°，∴圆锥的底面半径r=4cm，∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=48πcm2，故答案为：48πcm2根据已知中圆锥的母线长为8cm，母线与底面所成的角为60°，求出圆锥的底面半径，代入圆锥表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．15.椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______ ．【答案】【解析】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，|AF1|=a-c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，所以（a-c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=．故答案为：．直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)16.根据如图所示的程序框图，回答下列问题：（1）如果输入0，则输出______ ；如果输出的是2，则输入的是______ ．（2）试说明输入值和输出值能否相等（x，y为实数）．【答案】-1；1或-3【解析】解：（1）模拟执行程序框图，可知程序的功能是求分段＞的值，函数y=故输入0，则执行y=-x-1，输出-1------------------------------------------------（2分）如果输出的是2，则有：x2+1=2或-x-1=2，从而解得：x=1或-3，即：输入的是1或-3--------------（2分）（2）当x＞0时，令x=x2+1，无实数解．当时，令，解得．所以，当时，输入值和输出值相等．---------------------------------------------（2分）＞的值，故输（1）模拟执行程序框图，可知程序的功能是求分段函数y=入0，则执行y=-x-1，如果输出的是2，则有：x2+1=2或-x-1=2，从而解得x的值．（2）当x＞0时，令x=x2+1，当x≤0时，令x=-x-1，即可求解．本题主要考察了程序框图和算法，模拟执行程序框图得到程序的功能是求分段函数＞的值是解题的关键，属于基础题．y=（1）小王家每月家庭开支共多少元？（2）饼图中，表示衣食住行的扇形的圆心角为多少度？（3）请将表格补充完整；（4）请将直方图补充完整．【答案】解：（1）根据饼形图，得；金融投资占家庭支出的频率是40%=0.4，∴4000÷0.4=10000元，--------（2分）即小王家每月家庭开支共10000元；--------（1分）（2）由饼图知，衣食住行占1-0.4-0.3-0.1=0.2，0.2×360°=72°，-------（2分）∴饼图中衣食住行的扇形的圆心角为72度；------（1分）（3）衣食住行所占的比例是0.2，∴衣食住行支出的是10000×0.2=2000；教育支出所占的比例是0.3，∴教育支出为10000×0.3=3000；将表格补充完整如下：（4）根据（3）中的数据，将直方图补充完整，如图所示；------（2分）【解析】（1）根据题意，求出小王家每月家庭开支多少即可；（2）根据饼图，求出衣食住行所占的比例，计算对应的圆心角即可；（3）求出衣食住行与教育支出各是多少，将表格补充完整即可；（4）根据（3）中的数据，将直方图补充完整即可．本题考查了统计知识的应用问题，是基础题目．18.求直线l：（t为参数）被圆C：（θ为参数）所截得的弦长．【答案】解：由直线l：（t为参数）消去参数t可得：直线l：x-2y+3=0，由圆C：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆方程为x2+y2=9．圆心为C（0，0），半径r=3，圆心C到直线l的距离，∴弦长．【解析】由直线l：（t为参数）消去参数t可得直线l的普通方程，由圆C：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆方程为x2+y2=9．圆心为C（0，0），半径r=3，利用点到直线的距离公式可得：圆心C到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2．本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.已知复数z=1-i．（1）设w=z2+3-4，求w的三角形式；（2）如果z2-az+b=2+4i，求实数a，b的值．【答案】解：（1）w=（1-i）2+3（1+i）-4=-1+i，∴，，∴w的三角形式为．（2）z2-az+b=（1-i）2-a（1-i）+b=（-a+b）+（-2+a）i=2+4i，∴，解得．【解析】（1）利用复数的运算法则、模的计算公式、幅角的定义即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、幅角的定义、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．20.已知（+）n的展开式中，第3项的系数与第2项的系数比是9：2，求：（1）展开式中的常数项；（2）展开式中含x-10的项的二项式系数．【答案】解：由题意，得：=解得n=10-------------------------------（2分）所以通项为-------------------（2分）（1）由题意，解得r=2----------------------------------（2分）所以展开式中的常数项为第三项---------------------（2分）（2）由题意，解得r=6---------------------------（2分）所以展开式中含x-10的项为第七项，第七项的二项式系数为---（2分）【解析】（1）利用（+）n的展开式中，第3项的系数与第2项的系数比是9：2，求出n，再利用通项，令x的指数为0，可得展开式中的常数项；（2）令x的指数为-10，即可求出展开式中含x-10的项的二项式系数．本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，考查学生的计算能力，确定通项是关键．21.已知等差数列{a n}，a2=9，a5=21，（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=，①证明{b n}是等比数列；②求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=9，a5=21，∴a5-a2=3d=21-9，解得d=4．∴a n=a2+（n-2）d=9+（n-2）×4=4n+1．（2）①证明：，∴为常数，∴{b n}是以16为公比的等比数列，②解：b1=32，q=16，∴．【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）①，只要证明为常数即可；②利用等比数列的前n项和公式，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.袋内有质地均匀，大小相同的3个红球、5个白球、2个黑球，现从中随机取3个球，求下列各事件的概率：（1）A={恰有一个红球、一个白球、一个黑球}；（2）B={没有黑球}；（3）C={至少有一个红球}．【答案】解：（1）----------------------------------------------------（3分）所以事件A的概率为---------------------------------------------------（1分）（2）---------------------------------------------------------------（3分）所以事件B概率为---------------------------------------------------（1分）（3）-----------------------------------------------------------（3分）所以事件C概率为---------------------------------------------------（1分）【解析】由题意知本题是一个古典概型，利用古典概型的概率公式，即可得出结论．理解古典概型的特征，试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，正确运用古典概型的概率公式是关键．23.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹与双曲线：＞，＞交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于，求双曲线C的方程．【答案】解：（1）∵，∴（x，y）=m（1，0）+（m-1）（0，-1）∴，∴x+y=1即点P的轨迹方程为x+y-1=0（2）由得：（b2-a2）x2+2a2x-a2-a2b2=0∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M、N，∴b2-a2≠0，且△=4a4-4（b2-a2）（-a2-a2b2）＞0（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∵以MN为直径的圆经过原点，∴，即：x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=0，即即b2-a2-2a2b2=0①，∵，∴，∴b2=2a2②．∴由①、②解得，符合（*）式∴双曲线C的方程为4x2-2y2=1．【解析】（1）由点的坐标求出向量的坐标，代入整理即可得到点P的轨迹方程；（2）联立两曲线方程，利用根与系数关系得到两交点的横坐标的和与积，再由以MN 为直径的圆经过原点得到，代入根与系数关系后得到关于a，b的方程，结合离心率可求解a，b的值，经验证判别式大于0成立，所以答案可求．本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．高中数学试卷第11页，共11页。
2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案
2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。
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2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学 （正题卷） 2015.01 注意事项：1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的体积公式：343V R π= （其中R 是球的半径）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．命题“x ∈()0,+∞，2x x >”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系中，准线方程为1x =的抛物线的标准方程是 ▲ ． 3．若直线l 经过点(2,1)A ，且与直线310x y ++=垂直，则直线l 的方程为 ▲ ． 4．函数12ln y x x=+的单调递减区间为▲.5．记函数f (x )＝21x x-的导函数为f (x )，则 f (1)的值为 ▲ ．6．棱长为2的正方体的各顶点均在球O 的表面上，则球O 的体积等于 ▲ ．7．“2m >”是“方程22212x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ▲ 条件．（“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）8．已知函数()cos sin 2f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的图象在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是▲.9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11C D BC -的体积等于▲.10．过点()0,1P 的直线l 与圆22:230C x y x +--=交于,A B 两点，则当ABC ∆的面积最大时，直线l 的方程是▲.11．若,,l m n 是三条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)．①若//,,,l n αβαβ⊂⊂则//l n ； ②若,,l αβα⊥⊂则l β⊥； ③若,,l n m n ⊥⊥则//l m ； ④若,//,l l αβ⊥则αβ⊥．12．已知点()0,2M ，()2,0N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数），对于l 上任意一点P ，恒有2MPN π∠<，则实数k 的取值范围是▲．13．已知A 是曲线C 1：y ＝ (a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．14．直角坐标平面上，已知点()()1,0,1,0A B -，直线:1l x =-，点P 是平面上一动点，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，且121k k ⋅=-，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，则三角形APQ 的面积的最大值等于▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分14分)已知命题p ：任意x ∈()0,+∞，x 24ax -+≥0， 命题q ：方程－25y a-＝1表示双曲线．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若 “p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分14分)已知圆22:30C x y Dx Ey ++++=关于直线10x y +-=2，且圆心C 在第二象限． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，且与圆C 相切，求直线l 的方程．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点. （Ⅰ）若点D 是BC 的中点，求证1//A C 平面1AB D ； （Ⅱ）平面1AB D ⊥平面11BCC B ，求证AD BC ⊥.18．(本小题满分16分)现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图 (2)，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值．19．(本小题满分16分)设1F ,2F 分别是椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点，2MF 与x 轴垂直，且M 位于x 轴上方，直线1MF 与椭圆C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 交y 轴于点()0,P m ，m 是正常数，且15MN F N =，求椭圆C 的方程.（用含m 的方程表示）20．（本小题满分16分）已知函数x x g bx ax x f ln )(,)(2=+=．（Ⅰ）当0=a 时，① 若)(x f 的图象与)(x g 的图象相切于点00(,)P x y ，求0x 及b 的值；② 若关于x 的方程()()f x g x =在],1[m 上有解，求b 的范围； （Ⅱ）当1-=b 时，若)()(x g x f ≥在1[,]n e上恒成立（n 为正常数），求a 的取值范围．附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）【必做题】第21题、第22题、第23题、第24题，每题10分，共40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.（本小题满分10分） 在直角坐标系中，已知A （0，1），点P 是抛物线221y x =+上的动点，点M 是线段AP 的中点，求点M 的轨迹方程．22.（本小题满分10分）已知函数()()0kx f x xe k =≠在区间()1,1-上是增函数,求k 的取值范围.23.（本小题满分10分）三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知12,4,3AB AC AA ===，D 是BC 的中点。
(1) 求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； (2) 求二面角111B A D C --的正弦值．24.（本小题满分10分）已知抛物线()220P1,0 y px p=>上纵坐标为1的点到焦点的距离为p,过点()作斜率为k的直线l交抛物线于,A B两点,A点关于x轴的对称点为C,直线BC 交x轴于点Q.(Ⅰ) 求p的值;(Ⅱ) 探究:当k变化时,点Q是否为定点?2014-2015学年度第一学期期末考试 高二数学 （正题卷）参考答案 2015.01一、填空题1.2(0,),x x x ∃∈+∞≤；2.24y x =-；3.310x y -+=；4. 1(0,)2； 5. 2； 6.43π； 7. 充要； 8.1y =； 9.16； 10. 10x y -+= 11.④12.1(,)(1,)7-∞-+∞U ； 13.2；33． 二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）x ∈()0,+∞时，240x ax -+≥等价于4a x x≤+对一切x ∈()0,+∞恒成立，2分又 x ∈()0,+∞时，42x x +≥=（当且仅当2x =时取等号）…………………4分故若命题p 为真命题，4a ≤．…………………6分 （Ⅰ）命题q 为真命题时，()()250a a +->，解得25a -<< (9)分“p 且q ”为真命题，故命题p 与命题q 均为真命题， …………………11分 有4a ≤，且25a -<<，所以，实数a 的取值范围是：24a -<≤．…………………14分 16．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由22:30C x y Dx Ey ++++=，得圆C 的圆心为,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， Q 圆C 关于直线10x y +-=对称，2D E ∴+=- ① (3)分Q 圆C ，221224D E +-∴= ②…………………5分又Q 圆心C 在第二象限，0,0D E ∴><，于是，解得，2,4D E ==-，…………………7分所以圆C 的方程为222430x y x y ++--=．…………………8分 （Ⅱ）由题意可设，所求直线l 的方程是()0x y a a +=≠， 由（Ⅰ）得，圆C 的圆心为()1,2C -，…………………10分Q 直线l 与圆C 相切，=分解得1a =-或3a =，故直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．…………………14分17．（本小题满分14分） ⑴连接1A B ,设11AB A B E =I,则E 为1A B 的中点, (2)分连接DE ,由D 是BC 的中点,得1//DE A C ， ……4分 又1DE AB D ⊂面,且11A C AB D ⊄面,所以1//A C 平面1AB D ． ……6分⑵在平面11BCC B 中过B 作1BF B D ⊥， 因平面1AB D ⊥平面11BCC B ，又平面1AB D I 平面111BCC B B D =，11BF BCC B ⊂面 所以BF ⊥平面1AB D ， ……9分 又AD ⊂平面1AB D ，所以BF AD ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面1AB D ，所以1BB AD ⊥， ……12分 又1BB BF B =I，所以AD ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AD BC ⊥. ……14分 18．(本小题满分16分)方案一：设小正方形的边长为x ，由题意得460x =，15x =，所以铁皮盒的体积为365301529250()cm ⨯⨯=． …………………………4分方案二：设底面正方形的边长为(060)x x <<，长方体的高为y ，由题意得244800x xy +=，即248004x y x-=，……………………6分所以铁皮盒体积222348001()120044x V x x y x x x x -===-+， (9)分F E/23()12004V x x =-+，令/()0V x =，解得40x =或40x =-（舍），………12分当(0,40)x ∈时，()0V x '<；当(40,60)x ∈时，()0V x '>，……………………14分 所以函数()V x 在40x =时取得最大值332000cm ．……………………15分 答：方案一铁皮盒的体积为329250cm ；方案二铁皮盒体积的最大值为332000cm 。