广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：复数
2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---三角函数(含答案)
2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---三角函数(含答案)一、选择、填空题题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设函数的最小正周期为,最大值为,则A ．,B . ,C ．,D ．, 答案：C2、（广州市2014届高三1月调研测试）．函数（，，）的部分图象如图1所示，则函数对应的解析式为A ．B ．C ．D ． 答案：A3、（增城市2014届高三上学期调研）已知，则（A ） （B ） （C ） （D ）答案：A4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）函数的部分图象如图所示，则AB.C.D.答案：B5、（江门市2014届高三调研考试）在中，，，．答案：sin 2y x x =T A T π=A =T π=2A =2T π=A =2T π=2A =()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>2πϕ<()y f x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭2sin 22sin 1tan x xx+=-2875-287521100-21100()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>()f x =π)6x -π)3x -π)3x +π)6x +ABC ∆3=c 045=A =B =a 26、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知函数①，②，则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点成中心对称B ．两个函数的图象均关于直线对称C ．两个函数在区间上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移个单位得到函数①的图像答案：C7、（中山市2014届高三上学期期末考试）已知,,则 答案：8、（珠海市2014届高三上学期期末）已知,则 答案： 9、（珠海市2014届高三上学期期末）在△ABC 中，A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c 等于（ ）A 、1：2：3B 、3：2：1C 、12D 、2 1 答案：C10、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）如果函数的图象关于直线对称，那么a 等于（ C ） A.B.－C.1D.－1答案：C 二、解答题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））在中,角、、的对边分别为、、,且,. (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 设函数,求的值. 【解析】解法1：(Ⅰ) 因为，所以，……………………………………2分x x y cos sin +=x x y cos sin 22=(,0)4π-4x π=-(,)44ππ-4π20πα<<=+)6cos(πα53=αcos 1cos 3ϕ=-()0ϕπ<<sin 2ϕ=9-sin 2cos 2y x a x =+8x π=-22ABC ∆A B C a b c 2a =B C =cos B ()()sin 2f x x B =+6f π⎛⎫⎪⎝⎭B C =c b =又， 所以， ……………………………3分………………………………………………4分……………………………………………5分 解法2：∵，∴…………………………………2分∵，且，所以 (3)分又 ……………………4分 ∵， ∴.………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得，................................................7分 （注：直接得到不扣分） 所以 (8)分 ……………………………10分………………………………11分 . ………………………………………12分 2、（广州市2014届高三1月调研测试）在△中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值；（2）若，，求的值．解：（1）在△中，．………………………………………1分所以 …………………………………………………2分a =222cos 2a c b B ac+-=23b ==a =sin A B =B C =A B C ++=πsin 2B B =2sin cos B B B =sin 0B ≠cos B =sin 4B ==sin B =sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 33B B ππ=+12=+38+=ABC A B C a b c cos 23A C +=cos B 3a =b =c ABC A B C π++=coscos 22A C Bπ+-=．………………………………………………3分 所以 …………………………………………………………5分 ．………………………………………………………………7分 （2）因为，，，由余弦定理，……………………………………………9分 得．…………………………………………………………………11分 解得．………………………………………………………………………12分 3、（增城市2014届高三上学期调研） 已知函数（1）当时，求的最大值及相应的x 值； （2）利用函数y=sin的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.解（1） 1分 3分5分∵，∴ 6分 所以当时，即时 7分f(x)所以f(x)，相应的x 的值8分（2）函数y=sin的图象向左平移个单位， 9分 把图象上的点横坐标变为原来的倍， 10分 倍， 11分sin23B ==2cos 12sin2BB =-13=3a =b =1cos 3B =2222cos b a c ac B =+-2210c c -+=1c =()()2sin cos sin .f x x x x =-0x π<<()f x x ()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=-sin 2cos 21x x =+-214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0x π<<92444x πππ<+<242x ππ+=8x π=118x π=x 4π12最后把图象向下平移1个单位得到y 的图象 12分方法2：把函数y=sin图象上的点横坐标变为原来的倍 9分把函数的图象向左平移个单位， 10分倍，11分最后把图象向下平移1个单位得到y 的图象 12分4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）在中,三个内角所对的边分别为 ，. (1) 求； (2) 设求的值. 解： (1) (2)分…………………………………………… 4分………………………………………………………6分(2)(解法一) (7)分214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x 12x 8π214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ABC ,,A B C ,a ,.bc 222)2b c a bc +-=2B A =tan A ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-m n ⋅2223()2,b c a bc +-=222cos 2b c a A bc +-∴==0π,A <<sin A ∴==sin tan cos AA A==ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+-2(cos sin )sin )122B B B B =⨯-+- (9)分 (10)分, (12)分(2)(解法二) (7)分………………………………………………………9分 (10)分, (12)分(2)(解法三), (9)分 (10)分22cos sin 1B B =--22sin .B =-2B A=sin sin 22sin cos B A A A ∴===16.9m n ⋅=-ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+-πππ2cos ()sin()1244B B ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦ππ2cos()sin()144B B =++-πsin(2)12B =+-cos 21B =-22sin .B =-2B A=sin sin 22sin cos B A A A ∴===16.9m n ⋅=-2B A=sin sin 22sin cos B A A A ∴===21cos cos 212sin .3B A A ==-=-π4(2sin(),1)sin ),1)(,1),43m B B B ∴=-=-=- (11)分………………………12分5、（江门市2014届高三调研考试）已知，． ⑴ 求的最小正周期；⑵ 设、，，，求的值． 解：⑴……2分，……4分，的最小正周期……5分⑵因为，，……6分， 所以，……7分，，，……8分，因为，所以，……9分，所以……10分， ……11分，……12分。
广东省13市高三上学期期末考试数学理试卷分类汇编：复数、推理-精品推荐
广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编复数、推理一、复数1、（潮州市2017届高三上学期期末）欧拉公式e i =cos+isin （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，i e -表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、（东莞市2017届高三上学期期末）若复数 满足(1+i ) ＝－2i （i 为虚数单位），z 是 的共轭复数，则z ·＝（ ）A ．14B ．12C ．2D ．1 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））复数满足i i z -=+3)2(，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、（广州市2017届高三12月模拟）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y += （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）55、（惠州市2017届高三第三次调研）若复数满足1z i i ⋅=+(i 是虚数单位)，则的共轭复数是____________.6、（江门市2017届高三12月调研）是虚数单位，若，则A ．1B ．C ．D ．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）复数满足(1＋i)＝i ＋2，则的虚部为（A ）32 （B ）12 （C ）12- （D ）12i -8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）设i 为虚数单位，复数(2)1i z i -=+，则的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知复数ii z ++=1)3(2(i 为虚数单位). 则其共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限10、（汕头市2017届高三上学期期末）设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 11、（韶关市2017届高三1月调研）已知复数i t t z )1()1(++-=,t R ∈, z 的最小值是(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 312、（肇庆市2017届高三第二次模拟）设复数满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数的虚部是（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -13、（珠海市2017届高三上学期期末）设复数1z ＝1+2i ，2z ＝2－i ，i 为虚数单位，则12z z ＝A ．4+3iB ．4－3iC ．－3iD ．3i参考答案1、D2、C3、D4、D5、1i +6、D7、C 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B 13、A二、推理1、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如3216++=；14742128++++=；2481246231168421496++++++++=，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如21226+=，43222228++=，，按此规律，8128可表示为________2、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知（），把数列的各项排成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则A ．67B ．69C ．73D ．753、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知函数)(x f 及)(x g )(D x ∈，若对于任意的D x ∈，存在o x 使得)()(),()(o o x g x g x f x f ≥≥恒成立且)()(o o x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”已知函数),()(2R q P q Px x x f ∈++=, x x x x g 1)(2+-=是定义在区间]221，⎢⎣⎡上的“兄弟函数”，那么函数)(x f 在区间]221，⎢⎣⎡上的最大值为4、（韶关市2017届高三1月调研）已知不恒为零的函数()f x 在定义域[0,1]上的图象连续不间断，满足条件(0)(1)0f f ==，且对任意12,[0,1]x x ∈都有12121|()()|||3f x f x x x -≤-，则对下列四个结论：①若(1)()f x f x -=且102x ≤≤时，11()()202f x x x =-，则当112x <≤时，11()(1)()202f x x x =--；②若对[0,1]x ∀∈都有(1)()f x f x -=-，则()y f x =至少有3个零点；③对1[0,1],|()|6x f x ∀∈≤恒成立；④. 对12121,[0,1],|()()|6x x f x f x ∀∈-≤恒成立其中正确的结论个数有(A) 1个(B) 2个 (C) 3 个 (D) 4个参考答案1、 2、A 3、24、【解析】由(1)()f x f x -=得()y f x =图象关于轴12x =， ①正确； (1)()f x f x -=-，111()(1)()222f f f ∴=-=- 1()2f ∴=0，故()y f x =至少有3个零点10,,12. ②正确； 当102x ≤≤时，11|()|||36f x x ≤≤；当112x ≤≤时，则112x -≤ 1111|()||()(1)|(1)3326f x f x f x =-≤-≤⨯=. ③正确， 设1201x x ≤≤≤，当121||2x x -≤时，121211|()()|||36f x f x x x -≤-≤， 当211||2x x ->时，1212|()()||()(0)(1)()|f x f x f x f f f x -=-+- 121211|()(0)||(1)()||0||1|33f x f f f x x x ≤-+-≤-+- 221111111111(1)()33333326x x x =⨯+-=--≤-⨯=. ④正确 选D.。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学理试题 含答案
2014—2015学年度第一学期教学质量检查高三理科数学（A 卷）参考答案BBDA DBAB 9. 24 10. ；623 11. 1- 12.26n n -+ 13. 7个 14.)43,2(π 15. 030（或)6π16.解:(1)因为函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>-=x x f 的最小正周期为π故2,2=∴=ωπωπ…………………………………2分)2sin(2)(ϕ-=∴x x f又6π是它的一个零点，即0)3sin(=-ϕπ …………………………………3分Z k k ∈=-∴,3πϕπ……………………………………4分Z k k ∈-=∴,3ππϕ，因为20πϕ<< ……………………………………5分3,0πϕ==∴k ……………………………………6分所以()f x 的解析式为)32sin(2)(π-=x x f ……………………………………7分(2)由(1))32sin(2)(π-=x x f又因为3)62(,2)1252(=+=+πβπαf f故23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分 22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈ 3,4πβπα==∴ ……………………………………10分βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分另解：23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈21cos ,22sin ==∴βα ……………………………………10分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分17.解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以 0.03a =． …………………2分 （2）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………4分设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ，则3931128()55C P A C ==．所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855． ………6分 （3）依题意，X 的可能取值是1，2，3． ………………7分21293113(1)55C C P X C ===； 122931124(2)55C C P X C ===； 28(3)()55P X P A ===． ……………10分所以X 的分布列为X1 2 3 P355 2455 2855324282712355555511EX =⨯+⨯+⨯=． …………………12分18.解（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥= ………………3分∴PC ABC ⊥平面，………………4分 又∵PC PAC ⊂平面 ………………5分 ∴PAC ABC ⊥平面平面 ………………6分（2）解法一：在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31,,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)B 设()()000,0,0P z z >， 则()()000330,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即22000132z z z =+，解得：01z = ………………8分∴3331,,0,,,12222AB AM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则111113502233022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取13x =，得33(3,,)55n = …………………………10分平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = ……………………………………………………11分设m与n所成的角为θ，则93cos 31m n m nθ⋅==⋅ ………………………………………13分 显然，二面角M AC B --的平面角为锐角， 故二面角M AC B --的平面角余弦值为9331…………………………14分解法二：在平面PCBM 内，过点M 作BC MH ⊥于H ， 则显然有PC MH //故ABC MH 面⊥ ………………………………7分过点M 作AB MG ⊥于G ，连接MG ，则MG 在平面ABC 内的摄影为HG 由三垂线定理的逆定理知AB HG ⊥MGH ∠∴为二面角M AB C --的平面角 …………………………10分 因为直线AM 与直线PC 所成的角为︒60，即︒=∠60AMHH G在ACH ∆中，AC=CH=1，︒=∠120ACH ，则AH=3AHM Rt ∆中，23sin ==∠AM AH AMH ，故1,2==MG AM …………11分 在ACB ∆中，由余弦定理7cos 2222=∠⋅⋅-+=ACB BC AC BC AC AB7=∴AB ……………………………………12分1421120sin 21=︒⋅⋅⋅=∴AB BC AC HG 31931692111421cos =+==∠∴MG HG MGH ………………………………13分 故二面角M AC B --的平面角余弦值为9331…………………………14分19．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则22232c a a b c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩∴222234,3a c c b ==……………………3分∴椭圆C 的方程为：22223314x y c c+= 代入1(3,)2P 得：3c = …………………………5分∴椭圆C 的方程为2214x y += …………………………6分 （2）设[](,),2,2Q x y x ∈-， 则222y x QO+=， ……………7分又：(1,0)A -， 222(1)QA x y =++ ……………8分2222222222221(1)1221QA x y x x y x x y x y x yQOλ-++-++====++++ ……………9分 点),(y x P 满足2214x y +=，∴2214x y =-， …………10分22281133414x xx x λ=+=+++ …………11分当0≤x 时，1≤λ …………12分 当0>x 时，(0,2]x ∈，288114343x x x xλ=+=+++ …………13分 因为4432343x x x x+≥⋅=，所以2313λ≤+，当且仅当233x =时， λ取得最大值2313+．…………14分 （说明：在求最大值部分若用导数求单调区间后再说明最值的，参考上述步骤给分） 20．解（1）：()()12323123 4 2=2n n a a a a log log log n log n +⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++ ……2分要123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，需要()()22log n k k Z +=∈ ∴22k n =- ……3分由于n N +∈， ∴2k ≥，即21222b =-=，32226b =-=，…，122m m b +=- 根据题意，2015<m b ，得2015221<-+m ∴201721<+m ，则9m ≤…………4分∴区间)2015,1(内的所有“穿越数”的和为： ()2310922229421182026+++-⨯=⨯--= …………………………7分证明（2）：341123111111112222222m m b b b b +++++=++++---………8分当1m =时，111526b =<成立；当2m =时，121111252636b b +=+=<成立； …………………………10分 当2m ≥时，由1111111122422322232m m m m m+---==≤-⋅-⋅+-⋅，…………………………12分 ∴211112311111111111511232323223262m m m m b b b b ---⎛⎫++++≤++++=+-=- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ …………………………13分 又1102m -> ∴1211156m b b b +++< …………………………14分21.解: 由题有，22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩ …………………2分(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-. …………………3分当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+.因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, …………………4分 即：121244()5x x x x =-+-222211212121212()4()4()5(2)1x x x x x x x x x x x x -=+-=++++=+++ (6)分当122x x +=-时，1234x x =，此时1231,22x x =-=-，21x x -取得最小值1. ………8分(3)当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<. ………9分 当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =∙+-. ………10分 两切线重合的充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② ………11分由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111ln1ln 22122a x x x x =+-=-+-+.设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, ………12分 则()1111201h x x x '=-<+.- 11 - 所以()()1110h x x -<<是减函数.则()()10ln 21h x h >=--,所以ln 21a >--. ………13分 又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞. 故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ ……14分。
广东省四校2015届高三上学期期末联考数学(理科)试题参考答案及评分标准
2 sin( x + ) ≤ 2 ，而 > 2 ，故不存在这样的实数 x ，故 A 错； 4 2 a = 1 时，显然这两直线平行；反过来，若这两直线平行，则 a = ±1 . 因此， a = 1 是这两直线平行的充 x x 分不必要条件，故 B 错；命题“ ∀x > 0 ， e > x + 1 ”的否定应该是“ ∃x > 0 ， e ≤ x + 1 ” ，故 C 错； 1+ x 1 − x −1 1− x = lg( ) = − lg = − f ( x) ，故 f ( x) 在其 排除 A、B、C ，答案选 D. 事实上， f (− x) = lg 1− x 1+ x 1+ x 定义域 ( −1, 1) 内是奇函数.
从而 S n =
60° ，以 OA、OB 为邻边作菱形 OACB （边长为 1） ，由向量加法的几何意义知， | p |=| OC | = 3 .
12.【解析 解析】 解析 由“直径所对的圆周角为直角”知，使 ∠AMB ≥ 90° 的点 M 落在以 AB 为直径的半圆上或半 圆内，由几何概型知，所求概率为 P ( A) =
1． 【解析 解析】集合 A = { x | 0 < x < 2} ， B = { x | x < −1或x > 1} ，则 解析
A ∪ ∁U B = { x | 0 < x < 2} ∪ { x | −1 ≤ x ≤ 1} = { x | −1 ≤ x < 2} ，故选 B.
2i 2i (1 + i ) =− = −i (1 + i ) = 1 − i 对应的点的坐标为 (1, −1) ，故选 A. 1− i 2 1 1 2 1 2 1 3． 【解析 解析】作出可行域是 ∆AOB 及其内部，边界点 A( , ) 、O (0, 0) 、 B ( , ) ，易知当 x = , y = 时， 解析 2 2 3 3 3 3 1 5 z = x + y 取得最大值为 ，故选 C. 2 6
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABC ．D ． 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α⊂//n α//m nA ．4B ．8C ．π2D ．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ．1 B2 C3 D 4αααα9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β恒谦网，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：复数
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编复数一、选择题1、（潮州市2015届高三）复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2、（佛山市2015届高三）复数i 1i 3++等于( ) A ．i 21+ B ．i 21- C ．i 2- D ．i 2+3、（广州市2015届高三）已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、（江门市2015届高三） i 是虚数单位，则=+--)2321)(2123(i i A ．1 B ．i 2321+- C ．i 2321- D ．i 2321-- 5、（揭阳市2015届高三）设i 为虚数单位，复数()21z i =+，则z 的共轭复数为A. 2i -B. 2iC. 22i - D ．22i +6、（清远市2015届高三）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋bi 与2－i 互为共轭复数，则（a ＋bi ）2＝（ ）A 、5－4iB 、5＋4iC 、3－4iD 、3＋4i7、（汕头市2015届高三）我们把复数叫做复数的共轭复数，记作, 若是 虚数单位，，为复数的共轭复数，则( )ABC ．D ．8、（珠海市2015届高三）若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝A ．5 C ．7 D ． 139、（汕尾市2015届高三）复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）A .第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限10、（韶关市2015届高三）已知i 为虚数单位，复数(2i)z i-=在复平面对应点Z 在（ ） A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限11、（深圳市2015届高三）已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ） ()()11z i i =+-()1,0()2,0()0,1()0,2bi a -bi a z +=()R b a ∈,z i 1z i =+z z 1z z z ⋅+-=1311A.21i +- B 。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）． ()1若1a =，求函数()f x 的极值；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；()3若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．2、（佛山市2015届高三）已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tf x x x x=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ． （1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．5、（江门市2015届高三）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）6、（揭阳市2015届高三）若实数x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m . （1）若23-x 比1更接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个正数a 、b ，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. (1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=8、（汕头市2015届高三）已知函数R k k x x k x x x f ∈-+++++=]2)()[(log )(2222，（1）求函数)(x f 的定义域D （用区间表示）， （2）当2-<k 时，求函数)(x f 的单调递增区间。
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广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
复数
一、选择题
1、（潮州市2015届高三）复数()()11z i i =+-在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A ．()1,0
B ．()2,0
C ．()0,1
D ．
()0,2 2、（佛山市2015届高三）复数
i 1i 3++等于( ) A ．i 21+
B ．i 21-
C ．i
2- D ．i 2+ 3、（广州市2015届高三）已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4、（江门市2015届高三） i 是虚数单位，则=+--)2
321)(2123(i i A ．1 B ．i 2321+- C ．i 2321- D ．i 2
321-- 5、（揭阳市2015届高三）设i 为虚数单位，复数()21z i =+，则z 的共轭复数为
A. 2i -
B. 2i
C. 22i - D ．22i +
6、（清远市2015届高三）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋bi 与2－i 互为共轭复数，则（a ＋bi ）2＝（ ）
A 、5－4i
B 、5＋4i
C 、3－4i
D 、3＋4i
7、（汕头市2015届高三）我们把复数bi a -叫做复数bi a z +=()R b a ∈,的共轭复数，记作z , 若i 是
虚数单位，1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=( )
A ．21+
B ．23+
C ．221-
D ．221+
8、（珠海市2015届高三）若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝
A ．13
B ．5
C ．7
D ． 13
9、（汕尾市2015届高三）复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）
A .第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限 D. 第四象限
10、（韶关市2015届高三）已知i 为虚数单位，复数(2i)z i
-=在复平面对应点Z 在（ ）
A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限
11、（深圳市2015届高三）已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ） A.
21i +- B 。
21i -- C 。
21i + D 。
2
1i - 12、（肇庆市2015届高三）=+-i i 131 A ．i 21+
B ．i 21+-
C ．i 21-
D ．i 21--
二、填空题
1、（惠州市2015届高三）已知复数32
z a i =
-⋅ (R a ∈)，若i z 23212-=，则实数a 的值为__________
参考答案
一、选择题
1、B
2、C
3、B
4、D
5、A
6、D
7、A 8、A 9、A 10、C 11、D 12、D
二、填空题
1、1
2。