酿酒葡萄分级的方法研究

酿酒葡萄分级的方法研究作者：刘洋洋薛凌云来源：《科技视界》2012年第31期1 模糊C均值聚类1.1 算法描述聚类分析的目的是把分类对象按一定规则分成若干类，这些类不是事先给定的，而是根据数据的特征确定的，对类的数目和类的结构不必作任何假定。

在同一类里的这些对象在某种意义上倾向于彼此相似，而在不同类里的对象倾向于不相似。

硬聚类把每个待辨识的对象严格地划分到某类中，具有非此即彼的性质，模糊聚类由于能够描述样本类属的中介性，能够客观地反映现实世界，已逐渐成为聚类分析的主流[1-2]。

在此，我们采用模糊C均值聚类的方法。

模糊C均值聚类（FCM），是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种算法。

FCM把n个向量x■（i=1，2，…，n）分为c个模糊组，并求每组的聚类中心，使得非相似性指标的价值函数达到最小。

与引入模糊划分相适应，隶属矩阵U允许有取值在0，1间的元素。

不过，加上归一化规定，一个数据集的隶属度的和总等于1：■u■=1，？坌j=1，…，n（1）那么，FCM的价值函数（或目标函数）就是：J（U，c■，…，c■）=■J■=■■u■■d■■（2）这里u■介于0，1间，c■为模糊组I的聚类中心，d■=‖c■-x■‖为第I个聚类中心与第j个数据点间的欧几里德距离；m∈[1，∞）是一个加权指数。

構造如下新的目标函数，可求得使（2）式达到最小值的必要条件：■（U，c■，…，c■，λ■，…，λ■）=J（U，c■，…，c■）+■■■λ■（■u■-1）=■■u■■d■■+■λ■（■u■-1）（3）这里λ■，j=1到n，是（1）式的n个约束式的拉格朗日乘子。

对所有输入参量求导，使式（2）达到最小的必要条件为：c■=■（4）和u■=■（5）由上述两个必要条件，模糊c均值聚类算法是一个简单的迭代过程。

在批处理方式运行时，FCM用下列步骤确定聚类中心c■和隶属矩阵U：步骤1：用值在0，1间的随机数初始化隶属矩阵U，使其满足式（1）中的约束条件。

步骤2：用式（4）计算c个聚类中心c■，i=1，…，c。

步骤3：根据式（2）计算价值函数。

如果它小于某个确定的阀值，或它相对上次价值函数值的改变量小于某个阀值，则算法停止。

步骤4：用（5）计算新的U矩阵。

返回步骤2。

上述算法也可以先初始化聚类中心，然后再执行迭代过程。

由于不能确保FCM收敛于一个最优解。

算法的性能依赖于初始聚类中心。

因此，我们要么用另外的快速算法确定初始聚类中心，要么每次用不同的初始聚类中心启动该算法，多次运行FCM。

设被分类的对象的集合为：X={x■，x■，…，x■}，其中，每一个对象x■有n个特性指标，设为x■=（x■，x■，…，x■）■，如果要把X分成c类，则它的每一个分类结果都对应一个c×N阶的Boolean矩阵U=[u■]■，对应的模糊c划分空间为：M■={U？奂R■|u■∈[0，1]，？坌i，？坌k；■u■=1，？坌k；0Repeat for l = 1，2……Step 1：compute the cluseter prototypes（means）：p■■=■，1≤i≤cStep 2：compete the distance：（d■）■=x■-p■■■A（x■-p■），1≤i≤c，1≤k≤nStep 3：Update the partition matrix：For 1≤k≤NIf （d■）■>0 for all i=1，2，…，cu■■=■Otherwiseu■■=0 if d■>0，and u■■∈[0，1] with ■u■■=1Until ‖U■-U（l-1）‖≤ε1.2 模型的建立与求解根据2012年全国数学建模竞赛中A题将第一组评酒员对红葡萄酒的27组样品酒评分作为样本进行聚类分析。

利用MATLAB编程对白葡萄酒的质量进行模糊C均值聚类，结果如表1所示。

根据表1的数据，求出每组数据的平均值分别为：86.5833、76.1333，可以看出白葡萄酒可分为两级，第一级为第一类数据，第二级为第二类数据。

葡萄酒与葡萄是相对应的，即葡萄酒样品1对应于葡萄样品1，所以白葡萄的分级与白葡萄酒的分级一致。

对红葡萄酒的质量进行模糊C均值聚类，结果如表2所示。

表2 红葡萄酒分类根据表2的数据求每组质量的平均值分别为：72.7143、72.5、75.75、66.7。

排序可知一级为第三类、二级为第一类、三级为第二类、四级为第四类。

1.3 模型缺陷此聚类模型只考虑了葡萄酒的质量对酿酒葡萄分级的影响，并没有考虑酿酒葡萄的理化指标，因此进一步形成主成分分析模型。

2 主成分分析2.1 算法描述主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分（即综合变量）的多元统计方法，这些主成分能够反映原始变量的大部分信息，通常表示为原始变量的线性组合[4]。

主成分分析的基本原理为：假定有样本，每个样本共有p个特征，构成一个n×p阶的数据矩阵：X=x■ x■ … x■x■ x■ … x■┇┇┇┇x■ x■ … x■当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。

为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。

记x■，x■，…，x■为原变量指标，z■，z■，…，z■（m≤p）为新变量指标：z■=l■x■+l■x■+…+l■x■z■=l■x■+l■x■+…+l■x■……z■=l■x■+l■x■+…+l■x■从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量x■（j=1，2，…，p）在诸主成分z■（i=1，2，…，m）上的荷载l■（i=1，2，…，m； j=1，2，…，p）。

从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m个較大的特征值所对应的特征向量。

主成分分析的步骤为：步骤一：计算相关系数矩阵：R=r■ r■ … r■r■ r■ … r■┇┇┇┇r■ r■ … r■r■（i，j=1，2，…，p）为原变量x■与x■的相关系数，r■=r■，其计算公式为：r■=■（6）步骤二：计算特征值与特征向量：解特征方程λI-R=0，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列λ■≥λ■≥…≥λ■≥0。

分别求出对应于特征值λ■的特征向量e■（i=1，2，…，p）■，要求‖e■‖=1，即■e■■=1，其中，e■表示向量e■的第j个分量。

计算主成分贡献率及累计贡献率：贡献率：■（i=1，2，…，p）（7）累计贡献率：■（i=1，2，…，p）（8）一般取累计贡献率达85%～95%的特征值λ■，λ■，…，λ■所对应的第1、第2、…、第m （m≤p）个主成分。

计算主成分载荷：l■=p（z■，x■）=■e■ （i，j=1，2，…，p）（9）各主成分的得分：z■ z■ … z■z■ z■ … z■┇┇┇┇z■ z■ … z■2.2 模型的建立与求解2.2.1 数据预处理从样本观测值出发对酿酒葡萄的主成分进行分析，根据2012年全国数学建模竞赛中A题的数据可知，一级指标下二级指标的所有值相加与此一级指标的值相等，所以一级指标包含了二级指标，因此在对指标进行分析时，只考虑一级指标忽略二级指标。

其次，对于某些指标测试多次的情况，对多次测试的值取平均值作为此指标的最后值，最后确定共28个指标。

在2012年全国数学建模竞赛中A题的数据有不同的性质和不同的量纲，为了处理问题的方便，需要对原始数据进行标准化处理。

2.2.2 分别对红白酿酒葡萄进行主成分分析利用MATLAB的princomp函数进行对红酿酒葡萄的主成分分析，分析出的结果如下：前三种主成分的累计贡献率分别为69.7038%，79.9874%，86.2521%，即前三种主成分的累计贡献率就达到了86.2521%，所以用前三个主成分就可以了。

根据前三个主成分的相关系数可知：第一主成分中系数比较大的理化指标为花色苷、DPPH自由基、总酚、单宁、葡萄总黄酮、出汁率。

花色苷主要影响葡萄的色泽，DPPH自由基含有酚类物质影响的是葡萄的色泽，总酚影响葡萄的色泽和口感味觉，葡萄总黄酮抗氧化，影响葡萄的色泽，百粒质量，果穗质量，果皮质量影响的都是葡萄外形，果皮颜色影响的是色泽，因此第一主成分是葡萄的综合成分。

第二主成分中系数比较大的理化指标为总糖、还原糖、可溶性物质、干物质含量。

而这几种指标影响的是葡萄酒的口感，因此第二主成分是口感成分。

第三主成分中系数比较的的理化指标为酒石酸、柠檬酸、固比酸、果皮颜色，系数为负数且绝对值较大的指标为单宁，可滴定酸百粒质量，果皮质量，这几种指标中酸影响口感，在系数种有正向影响也有负向影响，因此此成分不影响葡萄酒的口感，影响葡萄酒的外形和色泽，即为外形和色泽的协调成分。

根据第一种主成分即综合成分对酒样品进行分级：此函数可以得到样品酒的第一主成分得分，根据得分可知，有很多得分为负值样品酒，即在第一主成分即综合成分方面这些样品酒的等级最差，因此只需要对为正的数据进行分级。

可知得分为正的样品酒为：样品酒1、2、3、8、9、13、14、16、19、21、23。

利用模糊综合评价的方法将各个指标所占的分数作为权重对样品酒进行模糊综合评价，可以得出每个样品酒的模糊综合评价如表3。

表3 各样品酒的模糊综合评价得分首先，按照表3的优良中差进行分级，再将得分为负值的样品酒作为最后一级，可知如果按照综合成分考虑：一级红葡萄酒：8，19二级红葡萄酒：2，3，9，13，16，21，23三级红葡萄酒：1，14四级红葡萄酒：4，5，6，7，10，12，15，17，18，20，22，24，25，26因为葡萄酒样品与酿酒葡萄样品是一一对应的，因此对酿酒葡萄的分级也是如此。

同理，可以得到样品酒的第二种主成分得分，可知得分为正的样品酒为：4、8、15、11、1、17、22、21、18、7、6、3、12。

根据第二种主成分即口感成分对酒样品进行分级，和主成分一的分析方法相同可得到分级为：一级红葡萄：4，6，21，22二级红葡萄：3，7，8，11，17，18三级红葡萄：1，12，15四级红葡萄：2，5，9，10，13，14，16，19，20根据样品酒的第三种主成分可知，得分为正的样品酒为：样品酒3、2、26、14、4、27、10、13、22、16、21、11。

根据第三种主成分即外形和香气协调成分对酒样品进行分级，和主成分一的分析方法相同可得到分级为：一级红葡萄：2，3，4，10，11，21，22二级红葡萄：13，14，16，26，27三级红葡萄：1，5，6，7，8，9，12，15，17，18，19，20，23，24，25用相同的方法对白酿酒葡萄进行主成分分析，分析出的结果如下：得出的前2个主成分的累计贡献率为，96.2584%，98.7679%，可以划分为连主成分。