2013年10月《线性代数(经管类)04184》试卷及标准答案
最新全国自考04184线性代数(经管类)答案
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分）注：极大线性无关组不唯一。
20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=222111因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。
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23．设向量组，求向量组的秩T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111023*********1，向量组的秩为3，是→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000100001101101421,,ααα一个极大无关组，．213ααα+-=24．已知矩阵，．（1）求；（2）解矩阵方程．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=315241B 1-A B AX =解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100210301100010021，；→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1002101211000100011-A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210121（2）．==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241解：设是所对应的特征值，则，即，从而λξλξξ=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，可得，，；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a 3-=a 0=b 1-=λ对于，解齐次方程组：1-=λ0)(=-x A E λ=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→，，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111-=λk ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111k 意非零实数．26．设，试确定使．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A a 2)(=A r 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a ，时．→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a 000233022110=a 2)(=A r 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方321,,αααb Ax =0≠b ,12αα-13αα-程组的线性无关解．0=Ax 证：因为是的解，所以，是的解；321,,αααb Ax =12αα-13αα-0=Ax 设，即，由线性0)()(132121=-+-ααααk k 0)(3221121=++--αααk k k k 321,,ααα全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管）试题参考答案课程代码：04184三、计算题解：原行列式全国2011年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
04184线性代数(经管类)
1【单选题】与矩阵合同的矩阵是（）。
A、B、C、D、您的答案：B参考答案：B纠错查看解析2【单选题】设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1-α3，α1-α2，α2+α3-2α1C、α1-α2，α2-α3，α3-α1D、α1，α2，α1-α2您的答案：A参考答案：A纠错查看解析3【单选题】设行列式，则A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析4【单选题】已知是三阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的是（）。
A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：D纠错查看解析5【单选题】设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A、-8B、-2C、2D、8您的答案：未作答参考答案：A纠错查看解析6【单选题】已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A、若矩阵A中所有三阶子式都为0，则秩（A）=2B、若A中存在二阶子式不为0，则秩（A）=2C、若秩（A）=2，则A中所有三阶子式都为0D、若秩（A）=2，则A中所有二阶子式都不为0您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析7【单选题】设则的特征值为1，2，3，则A、-2B、2C、3D、4您的答案：未作答参考答案：D纠错查看解析8【单选题】二次型的正惯性指数为（）A、0B、1C、2D、3您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析9【单选题】设为3阶矩阵，将的第三行乘以得到单位矩阵，则A、-2B、C、D、2您的答案：未作答参考答案：A纠错查看解析10【单选题】矩阵有一个特征值为（）。
A、-3B、-2C、1D、2您的答案：未作答参考答案：B纠错查看解析11【单选题】设为3阶矩阵，且，将按列分块为，若矩阵，则A、0B、C、D、您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析12【单选题】n维向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性相关充要条件A、α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例B、α1，α2，…，αs中至少有一个是零向量C、α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以由其余向量线性表出D、α1，α2，…，αs中第一个向量都可以由其余向量线性表出您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析13【单选题】若矩阵中有一个阶子式等于零，且所有阶子式都不为零，则必有（）.A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：B纠错查看解析14【单选题】设三阶实对称矩阵的全部特征值为1,-1,-1，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（）。
2013年10月自考线性代数真题及答案
全国2013年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分) 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c =-2，则111222a b c a b c ++=（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．设矩阵A =10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=（ ） A ．001020300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．003020100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ） A ．r =m 时，Ax =0必有非零解 B ．r =n 时，Ax =0必有非零解 C ．r<m 时，Ax =0必有非零解D ．r<n 时，Ax =0必有非零解4．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设1为3阶实对称矩阵A 的2重特征值，则A 的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A =__________．7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__________．8．若向量组12(2,1,),(4,,4),T T a a ==αα线性无关，则数a 的取值必满足__________． 9．设向量T T (1,0,1),(3,5,1)==αβ，则2-βα=__________． 10．设A =111221223132a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，b =123b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax =b 有解，则增广矩阵A 的行列式A =__________．11．齐次线性方程组x 1+x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________． 12．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 13．已知-2是矩阵A =022x -⎛⎫⎪⎝⎭的特征值，则数x =__________．14．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则数a =__________．15．已知二次型222123123(,,)f x x x x x tx =++正定，则实数t 的取值范围是__________． 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16．计算行列式D =222222a b c a ab b ac b c c c a b------. 17．已知向量11(1,2,),(1,,),23k ==αβ且3,T T ==A βααβ，求（1）数k 的值； （2）A 10.18．已知矩阵A =123231340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B =101200-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得XA =B .19．求向量组1234(1,0,2,0),(1,1,2,0),(3,4,4,1),(6,14,6,3)T T T T ==---=--=--αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20．已知齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系为12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求r(A )及该齐次线性方程组.21．设向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,1,2,0)T T T =--==-ααα.求一个非零向量4α，使得4α与123,,ααα均正交.22．用配方法化二次型22123121323(,,)2248f x x x x x x x x x =--+为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23．设A 是m ×n 矩阵，证明齐次线性方程组Ax =0与A T Ax =0同解.全国2013年10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭7．16 8．2a = 9．T(1,5,1)- 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．(0,)+∞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．解：311111122002200a b c b b a c b a b c a b c a b c c c c a b a b c++--=++---=++-----原式=（）（）（）. 17．解：（1）因为1113, 3.3k k =++==T 则βα（2）A 1011231099991122333211(()332(1,,)321331⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T T T )= αβ αβαβαβ 18.解：（A T ，B T ）= 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 234 0 00-1-2 -2 -40-1-2 -2 -43 10 -1 00 -5-9 -4 -60 0 1 6 14⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 2 0 -17 -40 1 0 0 3 8 0-1 0 10 24010 -10 -240 0 1 6 140 01 6 14⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T 3 8 X -10 -24 6 14⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故 3 -10 6X 8 -24 14⎛⎫= ⎪⎝⎭19．解：1234 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 0 -1 4 14 0 -1 4 14 0 1 -4 -14 (,,,) 2 -2 -4 -6 0 0 2 60 0 1 30 0 1 3 0 0 1 3 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααα=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 0 0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1 -1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 30 0 1 30 0 0 00 0 0 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,ααα，且412323α=α-α+α. 20．解：易知n =3，且()2,n r A -=则r(A )=1又自由未知量为23,x x ，则0Ax =同解方程组为12323x x x =-+，即123230x x x +-=为所求方程组. 21．解：设41234(,,,)x x x x α=，由于4α与123,,ααα均正交，则123412123002 0x x x x x x x x x --+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，系数矩阵 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 2 1 -11 -1 2 00 0 3 -1A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2133111122331113331 -1 0 1 0 0 1 -1 -1 10 1 -0 1 0 -0 1 0 -0 0 1 -0 0 1 -0 0 1 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同解方程组为1143124431343,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩为自由未知量一个基础解系为T (1,1,1,3)-，即T 4(1,1,1,3)=-α.22．解：配方法得22212313233(,,)2()2(2)6f x x x x x x x x =---+，令113223332y x x y x x y x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为1122331 0 -10 1 -20 0 1y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故标准行为222123123(,,)226f y y y y y y =-+.四、证明题（本题7分）23．证明：22212120,0,0.0()0,,()0,0(1,2,),0000.T T T T T T T T n n i T A A A A Ax A A A A A A A a a a A A a a a a i n A Ax Ax A Ax =======+++======设则即是的解若，则令（,,,）则=故即=，是的解.综上可知，和同解ξξξηηηηηηηηηη。
全国自考 线性代数 历年考试真题与答案
全国高等教育 线性代数（经管类） 自学考试 历年（2009年07月——2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是( ) A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA D.(AB )T =B T A T2.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=( ) A.-24 B.-12 C.-6D.123.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是( ) A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A4.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T5.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则( ) A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关6.若四阶方阵的秩为3，则( ) A.A 为可逆阵B.齐次方程组Ax =0有非零解C.齐次方程组Ax =0只有零解D.非齐次方程组Ax =b 必有解7.设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是( ) A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cos D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3361022336603361229.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ) A.A 可逆B.|A |>0C.A 的特征值之和大于0D.A 的特征值全部大于010.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则( )A.k>0B.k ≥0C.k>1D.k ≥1二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】04184线性代数（经管类）2一、二、单选题1、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D2、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D3、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B4、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D6、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B20、A:k-1 B:kC:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B21、行列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.做题结果：A22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D:如果行列式等于0，则方程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。
【】A:-3 B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0 B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、A:a≠2 B:a≠0C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B28、A:-2|A| B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下面结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是方阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。
线性代数试题及答案
2 04184 线性代数（经管类）一、二、单选题1、A:-3B:-1C:1D:3做题结果： A 参考答案： D2、A:abcd B:dC:6D:0做题结果： A 参考答案： D3、A:18B:15C:12D:24做题结果： A 参考答案： B4、A:-3B:-1C:1D:3做题结果： A 参考答案： D6、A:18B:15C:12D:24做题结果： A 参考答案： B20、A:k-1B:kC:1D:k+1做题结果： A 参考答案： B21、行列式 D 如果按照第 n 列展开是【】A.,B.,C.,D.参考答做题结果： A案： A 22、关于 n 个方程的 n 元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于 0，则方程组必有 B: 如果行列式不等于 0，则方程组只无穷多解有零解C: 如果行列式等于0，则方程组必有唯D:如果行列式等于0，则方程组必有一解零解做题结果： A参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1 、1、2，则 D 的值为。
【】A:-3B:-7C:3D:7做题结果： A 参考答案： A24、A:0B:1C:-2D:2做题结果： A 参考答案： C25、A:abcd B:dC:6D:0做题结果： A 参考答案： D26、A:a≠2B:a≠0C:a≠2或 a≠0 D:a≠2且 a≠0做题结果： A参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果： B参考答案：B28、A:-2|A|B:16|A|C:2|A|D:|A|做题结果： A 参考答案： B29、下面结论正确的是【】A: 含有零元素的矩阵是零矩阵B: 零矩阵都是方阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵 D: 若 A， B 都是零矩阵，则 A=B 做题结果： A参考答案：C30、设 A 是 n 阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.,D.做题结果： C参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果： B参考答案：B 32、设 A 是 4×5 矩阵， r （A） =3，则▁▁▁▁▁。
《线性代数(经管类)》历年真题及参考答案
20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷(课程代码 04184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【】A．-1 B．-C． D．12．设，则方程的根的个数为【】A．0 B．1C．2 D．33．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若|A|≠|B|，则必有A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A-B|≠04. 设A、B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是【】A． B．C． D．5．设A= ，其中，则矩阵A的秩为【】A．0 B．1C．2 D．36.设6的阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【】A．0 B．2C．3 D．47.设向量a=（1，-2，3），与=（2，k，6）A．-10 B．-4C．4 D．108．已知线性方程组无解，则数a= 【】A．- B．0C． D．19．设3阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【】10．若3阶实对称矩阵A=( )是正定矩阵，则4的3个特征值可能为【】二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设行列式D=,其第三行各元素的代数余子式之和为．12设A=，B=,则AB：．13设A是4x3矩阵且r（A）=2，B=，则r（AB）．14.向量组（1,2），（2,3），（3,4）的秩为15设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为16．设方程组有非零解，且数，则= ．17．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，．则方程组的通解是．19．设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数20．设实二次型，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．设矩阵，，其中口，均为3维列向量，且 |A|=18，|B|=2．求|A-B|．22．解矩阵方程23．设向量组，，问P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．24．设3元线性方程组(1)确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)25.已知2阶方阵A的特征值为，方阵．(1)求B的特征值；(2)求B的行列式．。
历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCA3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-B ．2-C ．2D ．84．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ）A ．PAB ．APC ．QAD ．AQ5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出D ．β必能由321,,ααα线性表出8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T AB ．2AC ．1-AD ．*A10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式2010200920082007的值为_____________． 12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________．14．设A 为n 阶可逆矩阵，且nA 1||-=，则|=-||1A _____________．15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则=||A _____________．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A必有一个特征值为_________．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．19．已知⎪⎪⎪⎪⎫⎛=10002/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb a D +++=的值． 解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111a c a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100001101101，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121100010001，1-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210121；（2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ．3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********，⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ，其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ，得42=a ，2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ．对于11=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ，取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110；对于22=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001；对于53=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ）A ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203（ A ）A ．180-B ．120-C ．120D ．1803．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．21B ．2C ．4D ．84．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似B ．||||B A =C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0B ．2C ．3D ．24．．A ．2-B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则=)(AB r ______________．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b Ax =的通解是______________．20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ． 22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ，11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，k 为任意非零实数．26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ，试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧===--0002121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
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全国2013年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
选择题部分
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式11221a b a b =，112
22a c a c =-，则1112
22
a
b c a b c +=+ B
A.－3
B.－
C.1
D.3
2．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )= A A.1 C.3
D.4
3．设A 为2阶可逆矩阵，若1
1325-⎛⎫= ⎪
⎝⎭
A
，则A *
= A.1325--⎛⎫
⎪--⎝⎭
B.1325⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.5321-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
D.532
1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
4．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则
A. r =m 时，Ax =0必有非零解
B. r =n 时，Ax =0必有非零解
C. r <m 时，Ax =0必有非零解
D. r <n 时，Ax =0必有非零解
5．二次型f (x l ，x 2,x 3)=2
2
2
123132323812x x x x x x x ++-+的矩阵为
A. 1080
2128123-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭ B. 1080212003-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C. 104026463-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
D. 140426063-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
非选择题部分
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 6．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__16____．
7．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫
⎪⎝⎭
，则A =_1 2
2 2.
8．设矩阵A =11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B=11
12
11211222a a a a a a ⎛⎫
⎪++⎝⎭
，且r(A )=1，则r （B ）=__1____.
9．设向量α=(1，0，1)T ，β=(3，5，1)T ，则β－2α=_(1 5 -1)_______． 10．设向量α=(3，－4)T ，则α的长度||α||=_5_____．
11．若向量αl =(1，k )T ，α2=(－1,1)T 线性无关，则数k 的取值必满足_K 不等于-1____. 12．齐次线性方程组x l +x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__2____．
13．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
相似，则数a =_5___
14．设3阶矩阵A 的特征值为－1，0，2，则|A |=_0____．
15．已知二次型f (x 1,x 2,
x 3)=222
123
x x tx ++正定，则实数t 的取值范围是．
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16．计算行列式D=
22
22
22
a b c a a
b b a
c b
c c c a b
--
--
--
.＝（a+b+c）3
步骤：1.将第二行和第三行全部加到第一行，使第一行全部变成：a+b+c,
2.提取公因子a+b+c, 第一行变成11 1
3.第一行的-2b倍加到第二行，变成：0－（a+b+c）0
4 第一行的-2c倍加到第三行，变成：00－（a+b+c）
5 行列式的值为：对角线元素之积，（a+b+c）3
17．已知向量α=（1，2，k），β=
11
1,,
23
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，且βαT=3，A=αTβ，求
(1)数k的值；
(2)A10．
解：（１）：βαT=3矩阵的乘法：1+1+k/3＝3Ｋ=3
(2):αTβ不能乘吧？这个不会解，请老师帮忙
18．已知矩阵A=
123
231
340
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，B=
12
00
10
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-⎝⎭
，求矩阵X，使得AX=B.
解：Ｘ＝Ａ-1*Ｂ
先求出Ａ-1利用初等行变换，将前面部分转为简化梯阶形式，后面部分就成为了Ａ的逆矩阵。
-4-127
-39-5
1-2 1
所以Ｘ＝Ａ-1*Ｂ
19．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．
解：就是初等行变换，化为简化阶梯形式，
100-1
010-2
001 3
0000
秩为：3
α1α2α3为一个极大无关组
α1－α4=0
α2－２α4=0
α3+3α4=0
线性表出：α4
＝
α1-2α2+3α3
20．设线性方程组
230
21
1
x y z
x y z
x y zλ
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
，问：
(1)λ取何值时，方程组无解？
(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．解：方程组无解，就是系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩λ＝1/2时，方程组无解
(2)有解，就是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，
Λ不等于1/2时，方程组有解，是唯一解，
其解为：Ｚ=3/（4λ-2），y=-1/2, x=
21．求矩阵A =001010100⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的全部特征值与特征向量．
解：λＥ-Ａ=0 代入求特征值 λ１＝λ２＝1 λ＝-1
求特征向量，将λ１＝λ２＝1 λ＝-1代入计算 当λ＝-1时，矩阵为： -1 0 -1 0 -2 0 0 0 0
特征向量为（-1 -1/2 1）
当λ１＝λ２＝1时，矩阵为： 1 0 -1 0 0 0 0 0 0
特征向量为（-1 0 1）
22．用配方法化二次型f (x 1,x 2,x 3)=22
1213232248x x x x x x --+为标准形，并写出所用的可逆
线性变换．
解：标准形：只有平方项，没有交叉项的为标准形
f (x 1,x 2,x 3)= (2Ｘ12 – 4Ｘ1Ｘ3 –Ｘ32 ) + (Ｘ32 + 8Ｘ2Ｘ3 + 4Ｘ22 ) - 6Ｘ22 = (2Ｘ12
-Ｘ32)2
+ (Ｘ32
+2Ｘ22)2
- 6Ｘ22
可逆线性变换: Ｐ-1ＤＰ ?
四、证明题（本题7分）
23．设向量组α1，α2线性无关，且β=c lα1+c2α2，证明：当c l+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．
证明向量组β－α1,β－α2线性无关．用反证法，如果向量组β－α1,β－α2线性相关
因为：β=c lα1+c2α2
β－α1=c lα1+c2α2－α1
c lα1+c2α2－α２
β－α
２=。