电机电磁场数值分析方法
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A A : y J z x x y 1 : A A0 A 2 : Ht n
矢量磁位计算4极12槽永磁无刷电机的二维磁场求解区域
• 圆弧AB和CD为第一类 边界条件。 • 直线AD和BC为第二类 齐次边界条件（仅计 算永磁磁场） • 直线AD和BC为整周期 边界（计算负载磁场）
磁矢量位A和磁标量位Ф
• 有源（电流）区域或无源区域都可以用矢 量位求解，标量位适用于无电流区域。对 于二维电磁场，矢量位只有一个分量，待 求量个数与标量位相同，其微分方程的形 式具有普适性，而且使用矢量位可以很方 便地绘出磁力线分布并求出磁通，目前电 机的二维电磁场计算大都采用矢量位。
平面场域Ω上的电磁场问题可表 示成边值问题
(u u ) f 3 ( ) n
典型边界条件
（1）边界线与磁力线重合 （2）边界线与磁力线处处正交 例如，将铁和空气的交界处作为边界，当 区域内是铁、区域外是空气，则该边界线 与磁力线重合；当铁在外空气在内，则磁 力线与边界正交。 （3）周期性条件作为边界条件 如选取一对极的范围作为求解区域，达到 减少计算量、提高计算速度的目的。
We ( Ai , A j , Am ) {
[(bi Ai b j A j bm Am ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (ci Ai c j A j c m Am ) 2 ] 2 8
J [(ai bi x ci y) Ai (a j b j x c j y) A j (a m bm x c m y) Am ]}dxdy 2
有限元法的处理过程
• • • • • 区域剖分 构造插值函数 变分问题离散化 形成总体方程 方程求解
剖分插值
y
A N i Ai N j Aj N m Am
m 0
j
i
x
1 Nh (ah bh x ch y) 2
(h i, j, m)
条件变分问题离散化
单元能量函数We为
单元节点磁位求偏导数
We k ii Ai We k A ji j We Am k mi kij k jj k mj kim Ai pi k jm A j p j k mm Am pm
三种边界条件
第一类边界条件(狄里赫利):边界上的物理条件规定了物 理量u在边界Γ上的值。
u f1 ( )
第二类边界条件(牛曼):边界上的物理条件规定了物理量 u的法向微商在边界上的值。
u n
f 2 ()
第三类边界条件（洛平）：边界上的物理条件规定了物 理量u及其法向微商在边界上的某一线性关系。
电机电磁场数值分析方法
有限元法
• • • • • 能计算具有多种媒质区域内的电磁场； 能精确地逼近复杂的几何边界； 能很好地处理非线性问题； 能精确地描述场源的分布； 已形成一套比较合理和成熟的算法。
边值问题和条件变分问题
• 有限元法是基于偏微分方程的方法。微分 方程要获得唯一解，必须给定相应的条件， 称为定解条件。微分方程和定解条件作为 一个整体，称为定解问题。对于电机恒定 电磁场问题，定解条件就是边界条件，边 界条件表达场的边界所处的物理情况，这 又被称为边值问题。
总体合成
k11 k 21 k n1
k12 k 22 kn 2
k1n A1 p1 k 2 n A2 p2 k nn An pn
B
C
D
A
边值问题转换为条件变分问题
A A W ( A) [( ) 2 ( ) 2 ] J z Adxdy H t Adl min 2 2 x y : A A 0 1
A A A A W [ ] J zAdxdy H tAdl 0 2 x x y y
矢量磁位计算4极12槽永磁无刷电机的二维磁场求解区域
• 圆弧AB和CD为第一类 边界条件。 • 直线AD和BC为第二类 齐次边界条件（仅计 算永磁磁场） • 直线AD和BC为整周期 边界（计算负载磁场）
磁矢量位A和磁标量位Ф
• 有源（电流）区域或无源区域都可以用矢 量位求解，标量位适用于无电流区域。对 于二维电磁场，矢量位只有一个分量，待 求量个数与标量位相同，其微分方程的形 式具有普适性，而且使用矢量位可以很方 便地绘出磁力线分布并求出磁通，目前电 机的二维电磁场计算大都采用矢量位。
平面场域Ω上的电磁场问题可表 示成边值问题
(u u ) f 3 ( ) n
典型边界条件
（1）边界线与磁力线重合 （2）边界线与磁力线处处正交 例如，将铁和空气的交界处作为边界，当 区域内是铁、区域外是空气，则该边界线 与磁力线重合；当铁在外空气在内，则磁 力线与边界正交。 （3）周期性条件作为边界条件 如选取一对极的范围作为求解区域，达到 减少计算量、提高计算速度的目的。
We ( Ai , A j , Am ) {
[(bi Ai b j A j bm Am ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (ci Ai c j A j c m Am ) 2 ] 2 8
J [(ai bi x ci y) Ai (a j b j x c j y) A j (a m bm x c m y) Am ]}dxdy 2
有限元法的处理过程
• • • • • 区域剖分 构造插值函数 变分问题离散化 形成总体方程 方程求解
剖分插值
y
A N i Ai N j Aj N m Am
m 0
j
i
x
1 Nh (ah bh x ch y) 2
(h i, j, m)
条件变分问题离散化
单元能量函数We为
单元节点磁位求偏导数
We k ii Ai We k A ji j We Am k mi kij k jj k mj kim Ai pi k jm A j p j k mm Am pm
三种边界条件
第一类边界条件(狄里赫利):边界上的物理条件规定了物 理量u在边界Γ上的值。
u f1 ( )
第二类边界条件(牛曼):边界上的物理条件规定了物理量 u的法向微商在边界上的值。
u n
f 2 ()
第三类边界条件（洛平）：边界上的物理条件规定了物 理量u及其法向微商在边界上的某一线性关系。
电机电磁场数值分析方法
有限元法
• • • • • 能计算具有多种媒质区域内的电磁场； 能精确地逼近复杂的几何边界； 能很好地处理非线性问题； 能精确地描述场源的分布； 已形成一套比较合理和成熟的算法。
边值问题和条件变分问题
• 有限元法是基于偏微分方程的方法。微分 方程要获得唯一解，必须给定相应的条件， 称为定解条件。微分方程和定解条件作为 一个整体，称为定解问题。对于电机恒定 电磁场问题，定解条件就是边界条件，边 界条件表达场的边界所处的物理情况，这 又被称为边值问题。
总体合成
k11 k 21 k n1
k12 k 22 kn 2
k1n A1 p1 k 2 n A2 p2 k nn An pn
B
C
D
A
边值问题转换为条件变分问题
A A W ( A) [( ) 2 ( ) 2 ] J z Adxdy H t Adl min 2 2 x y : A A 0 1
A A A A W [ ] J zAdxdy H tAdl 0 2 x x y y