第二章 波动力学基础
解析大学物理中的波动力学理论
解析大学物理中的波动力学理论波动力学是大学物理课程中重要的一部分，涉及到波的传播、干涉、衍射、驻波等现象。
本文将对大学物理中的波动力学理论进行解析。
一、波动力学基础概念在开始介绍波动力学理论之前，有必要先说明一些基础概念。
波是一种能量传播的方式，它通过媒介传递能量，而不传递物质。
波的重要性源于其在自然界中广泛存在的现象，如光的传播、声音的传播等。
二、波的分类波可以分为机械波和电磁波两大类。
机械波是指需要介质进行传播的波，如水波、声波等；而电磁波是不需要介质进行传播的波，如光波、无线电波等。
本文将主要关注机械波的波动力学理论。
三、波动方程波动力学的核心是波动方程，通过该方程可以描述波的传播过程。
一维波动方程可以表示为:∂^2ψ/∂x^2 = (1/v^2) ∂^2ψ/∂t^2其中，ψ表示波的振幅，x表示位置，t表示时间，v表示波速。
四、波的传播波动力学理论告诉我们，波的传播方式可以分为纵波和横波。
纵波是指波动方向与振动方向平行的波，如声波；横波是指波动方向与振动方向垂直的波，如水波。
五、波的干涉和衍射波动力学理论还涉及到波的干涉和衍射现象。
干涉是指两个或多个波相遇时产生的干涉条纹现象，其实质是波的叠加。
典型的干涉现象包括双缝干涉和薄膜干涉。
衍射是波遇到障碍物时发生的弯曲现象，其实质是波在障碍物周围传播时受到阻碍而发生弯曲。
六、波的驻波驻波是指在一定条件下，两个同频率、相同振幅、但传播方向相反的波相互叠加形成的波动现象。
驻波具有节点和腹节点，节点处的振幅为零，腹节点处的振幅最大。
典型的驻波现象包括弦上的驻波和声管中的驻波。
七、波动力学的应用波动力学理论在实际生活中有广泛的应用。
例如，在音乐产生中，乐器发出的声音可通过波动力学理论解释；在光学中，通过衍射和干涉现象可以制造出各种精密的光学器件；在地震学中，可以通过地震波的传播来了解地球内部的结构等。
总结：通过对大学物理中的波动力学理论进行解析，我们了解到波的基础概念、分类、波动方程、传播方式以及干涉、衍射、驻波等现象。
第二章 波动学
刻 t 的位移？
点P
振动方程：yP
A c os (t
x) u
波函数
如果波源
y A
u
初相不为零
O
x 0,0 0 A
第二章 波动学
x
点 O 振动方程 yO Acos(t 0 )
波 函 数
y
A c os [ (t
x) u
0]
u 沿x 轴正向
y
A c os [ (t
x) u
0]
u 沿x 轴负向
二 波长 波的周期和频率 波速
u B
TC
2π d dC
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
(π ~ π )
t=T/4
y
A
Oa
t=0 A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
第二章 波动学
u
b c
x
A y
b 0
y
c
π 2
第二章 波动学
第三节 波的能量
一 波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其
ut
平 面 波
球 面 波
R1
O
R2
二 波的叠加和干涉 波的叠加原理
第二章 波动学
几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征
（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其它波一样.
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在
时在该点所引起的振动位移的矢量和.
第二章 波动学
T
T T
第二章 波动学
波动力学基础知识与实践应用
波动力学基础知识与实践应用波动力学是一种描述粒子运动的理论，它试图揭示微观世界中粒子的行为和宏观的物理规律之间的联系。
波动力学的基本概念包括波函数、薛定谔方程和量子态等。
它广泛应用于物理、化学、材料科学、电子学、计算机科学和生物学等领域。
波函数是波动力学的核心概念，它是描述微观粒子的数学函数。
波函数的平方模长可以表示粒子在某个位置出现的可能性大小。
波函数描述了一个粒子的所有性质和运动状态，包括位置、速度、动量、能量和自旋等。
波函数的形式通常是复数形式，它可以反映出粒子的相位信息。
薛定谔方程是波动力学的基本方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程可以用于计算波函数在各种条件下的变化，从而推算出粒子的运动和相互作用。
薛定谔方程的求解是波动力学理论应用的核心问题之一，它通常采用数值计算方法或近似求解方法。
量子态是波动力学中的一个重要概念，它描述了粒子在特定条件下的状态和行为。
量子态分为可观测态和纯态两种情况。
可观测态是指粒子经过测量后所处的状态，而纯态描述了粒子受到外界干扰前的状态。
量子态具有非常奇特的性质，例如叠加态、量子纠缠、量子隧道效应等。
波动力学的应用具有极其广泛的范围，从微观粒子到宏观世界，从基础研究到技术应用都有其身影。
在物理学领域，波动力学解释了量子力学中的量子隧道效应、双缝实验、汤川劈裂等基本现象。
在化学领域，波动力学可以用于计算分子的电子结构和化学反应机理。
在材料科学领域，波动力学可以帮助研究新材料的电子性质和光学性质。
在电子学领域，波动力学可以解释半导体器件的工作原理和量子点的光电特性。
在计算机科学领域，波动力学可以用于量子计算、量子通信和量子密码学。
在生物学领域，波动力学可以帮助研究生物分子的结构和功能，以及生物大分子的相互作用。
总之，波动力学是现代物理学和化学研究中不可或缺的理论基础，它的实践应用涉及各个领域和方面。
尽管波动力学理论具有一定的复杂性和难度，但它为人类认识自然界提供了独特的视角和工具，因此值得我们深入研究和应用。
波动力学原理
波动力学原理波动力学是物理学中的一个重要分支，涉及到波的传播和波的性质。
它是基于波的运动规律，旨在解释波的行为和相互作用。
本文将介绍波动力学的基本原理和相关概念，包括波动方程、波的传播和干涉等。
一、波动方程波动方程是描述波的传播规律的数学表达式。
在经典波动力学中，最常见的波动方程是一维波动方程，即描述沿一条直线传播的波的行为。
波动方程可以写作：∂²ψ/∂x² = (1/v²) ∂²ψ/∂t²其中，ψ表示波函数，x表示空间坐标，t表示时间坐标，v表示波速。
这个方程说明波函数对时间和空间的二阶导数之间有一定关系。
二、波的传播波动力学原理涉及波的传播行为。
波的传播的基本原理是波的振动在介质中的传递，如水波在水面传播、声波在空气中传播等。
波动力学原理可以从经典的波动方程出发，进一步说明波的传播行为。
波动方程可以通过偏微分方程求解，得到波函数随时间和空间的变化规律。
三、波的性质波动力学原理还涉及波的一些基本性质。
其中，波长、频率和振幅是波的重要参数。
波长（λ）表示波的一个完整波动所占据的空间距离。
频率（f）表示单位时间内波动的周期数。
振幅（A）表示波的最大偏离程度。
此外，波动力学还涉及波的干涉和衍射等现象。
干涉是指两个或多个波相遇时相互叠加形成的干涉图样。
衍射是指波穿过一个孔或绕过一个障碍物后发生的弯曲现象。
四、光波和声波光波和声波是波动力学研究的两个主要类型波动。
光波是电磁波的一种，传播速度非常快。
声波是机械波的一种，传播速度相对较慢。
光波在现代科技中有广泛的应用，例如光学通信、激光技术等。
声波在日常生活中也是非常常见的，如声音的传播、音乐的演奏等。
五、量子力学中的波动力学除了经典波动力学，量子力学中也存在波动力学的概念。
量子力学中的波动性体现在粒子的行为上，可以通过波函数来描述。
波动力学的量子化理论由德布罗意提出，并得到了实验的验证。
它说明微观粒子在运动时具有波动性质，并表现为波动方程的解。
波动力学知识点
波动力学知识点波动力学是物理学中的一个重要分支，研究涉及到波动现象的产生、传播和相互作用。
在这篇文章中，我将向您介绍一些波动力学的基本知识点。
一、波动的定义和特征波动是一种物理量随时间和空间的变化而传播的现象，其携带能量和动量。
波动可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波需要介质传播，如水波、声波等；而电磁波可以在真空中传播，如光波、无线电波等。
波动具有以下几个基本特征：1. 振动：波动的传播是由物理量的振动引起的，例如固体介质中的颗粒、空气分子、电磁场的振动等。
2. 传播：波动以一定的速度在介质中或真空中传播，可以是横波或纵波，传播过程中不会引起物质的平移。
3. 叠加：当两个或多个波动通过同一介质传播时，它们会相互叠加而产生干涉现象。
4. 能量传递：波动具有能量传递的特性，能量通过波动的传播而传递到不同的位置。
二、波动力学的基本方程波动力学使用一些基本方程来描述波动现象。
其中最重要的方程是波动方程，它可以描述波动在时间和空间上的变化。
一维波动方程可以表示为：∂^2ψ/∂t^2 = c^2 ∂^2ψ/∂x^2其中，ψ是波函数，t是时间，x是空间坐标，c是波速。
波动方程的解体现了波动的传播。
在特定条件下，波动方程的解可以是正弦函数或余弦函数形式，代表了平面波的传播。
三、波动的干涉和衍射现象波动学中最为有趣和重要的现象之一是干涉和衍射。
干涉是指两个或多个波动传播相遇并相互叠加的现象，它可以产生增强或抵消的效果。
干涉现象可以分为两种类型：构造性干涉和破坏性干涉。
构造性干涉发生在波动的峰值或谷值相重叠，导致波动增强；而破坏性干涉发生在波动的峰值和谷值相重叠，导致波动相互抵消。
衍射是指波动通过障碍物或小孔时发生偏折和扩展的现象。
衍射现象是波动传播的一个重要特征，它使波动能够传播到遮挡物的背后区域。
四、波动的反射和折射波动在界面上发生反射和折射是波动力学中的另一个重要内容。
反射是指波动传播到介质边界时，一部分能量被反射回原来的介质中；折射是指波动从一种介质传播到另一种介质时改变传播方向。
大学物理第二章 行波波动方程
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
波动学基础
波的独立传播原理
实验发现，当不同波源产生的波同时在某介质中传播，如果这多列波在空间 某处相遇，每一列波都将独立地保持自己原有的特性(频率、波长、振动方向 等)传播。波相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰。
任意时刻、介质中任一质点的振动位移 是各个波单独传播时在该点所产生的位移的 矢量和，(相遇区域,合振动是分振动的叠加 )，波的叠加原理。
描述某时刻，波线上各点位移的分布 x 为P点在x 轴的坐标 y 表示质点P偏离平衡位置的位移 平面简谐波的波动与简谐振动的区别？
y
P
u
O
x
x y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] u
平面简谐波波动方程的物理意义： 1)当 x 给定 (x = x0) 时
x0 y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] u
波的干涉 满足一定条件的两列 ( 或多列 ) 波在空间相遇 ( 叠加 ), 在空间的某些地方振动始终加强,而在空间的另一些地 方振动始终减弱或完全消失的现象, 称为波的干涉.
波的干涉 ～（一种特殊的、重要的叠加形式） 振动方向相同 频率相同 相位相同或相位差恒定 相干波： 满足相干条件的几列波称为相干波。 相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。
波动学基础
振动和波动 振动: 于平衡位置, 无随波逐流. 波动: 振动的传播过程.
机械波的产生和传播 机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程 1. 波源 —— 被传播的机械振动 . 2. 弹性介质 —— 任意质点离开平衡位置会受到弹 性力作用. 在波源发生振动后, 因弹性力作用,带动 邻近的质点也以同样的频率振动 . 如此将振动传播 出去. 故机械振动只能在弹性介质中传播.
物理学中的波动力学和波动原理
物理学中的波动力学和波动原理物理学中的波动力学是一门研究波动现象的学科，主要研究波的性质、特征和行为规律。
对于物理学来说，波动现象是一个非常重要的研究领域，涵盖了光学、声学、电磁学等多个方面。
波动原理是波动力学的基本原理，它是对波动现象的本质特征和基本规律的总结和归纳。
在物理学中，波动原理被广泛地应用于实际问题的解决中。
下面就来详细了解一下波动力学和波动原理。
一、波动力学波动力学研究的是波的特性和行为规律。
在物理学中，波被定义为一种传递能量的方式，是一种无形的东西，它们由能量和粒子组成。
波可以在介质中传播，比如光在气体、液体和固体中的传播，以及声波在空气、水和金属中的传播。
波动力学包括了光学、声学、电磁学等多个领域。
在光学中，波动力学用于研究光的传播、干涉、衍射等现象，通过这些现象来研究光的本质特性；在声学中，波动力学用于研究声音在各种介质中的传播和反射，包括共振现象、声音波的经典物理学性质等；在电磁学中，波动力学用于研究电磁波的性质和特征，包括电场和磁场的交互作用等。
二、波动原理波动原理是波动力学的基本原理，涵盖了波的本质特性和传播规律。
波动原理是物理学中非常重要的一个部分，它是分析、理解和应用波动现象的根本基础。
波动原理有三个主要方面。
1.波的干涉在波的干涉中，波的振动会发生相互作用，然后叠加在一起。
如果波的两个相位相同，它们将会发生相消干涉，相反的，如果波的两个相位相差180度，它们将会发生相长干涉。
这种干涉现象是波动原理中非常重要的一部分，它可以用于研究光学、声学和电磁学等领域的问题。
2.波的衍射波的衍射指的是波在通过孔或者缝隙时会发生弯曲。
这种现象是很多波动现象中都存在的，其中最著名的就是光通过眼睛的晶状体时会发生类似于衍射的现象。
通过对波衍射的研究可以深入了解波的本质特性。
3.波的折射和反射波的折射指的是波传播时遇到不同密度的介质时会折射。
比如说，光线从空气中传播到水中时会发生折射。
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第二章波动力学基础§2.1波函数的统计解释按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。
怎么理解粒子性和波动性之NJ 的联系，这是 量子力学首先碰到的一个根本问题。
能否认为波由粒子所组成?答案是否定的。
因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。
这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。
如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果矛盾。
实际上，单个粒子也有波动性。
那么，能否认为粒子由波所组成.比方，是否可以认为粒子就是波包?答案也是否定的。
以自由粒子为例。
对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E 和动量P 均为常矢量。
按德布罗意关系(1.4.1)和(1.4. 2)式，和自由粒子相联系的波的频率。
，波矢k 均为常数及常矢量。
因此和自由粒子相联系的波是平面波。
即()()Et r p h i t r k i Ae Ae -∙-∙==ωϕ （2.1.1）其振幅A 与坐标无关。
因此它充满全空间。
若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。
而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k 的函数，按§1.4，必然存在色散。
如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。
这当然与实际情况不符。
在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。
即使到现代，也仍然有不同观点。
而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。
但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M. Barn)提出的统计解释。
他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。
感光底片在r 处的强度，与打在该点的粒子数成正比，也和波函数在该点的振幅的绝对值的平方成正比。
波函数所刻划的实际上是粒子在某时刻在空间的几率分布。
事实上，通常波动性总是指某种物理量在空间的分布呈周期性变化，并且由于波的相干叠加，而出现干涉和衍射等现象。
而在玻恩的统计解释中，他保留了波的最重要的特性一一相干叠加，不过，他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。
玻恩提出的波函数统计解释是:波函数在某一时刻在空间中某一点的强度，即其振幅绝对值的平方和在这一点中找到粒子的几率成正比，和粒子相联系的波是概率波。
按照波函数的统计解释，有：(1)由于()2,t r ϕ给出在t 时刻，粒子出现在r 处的概率密度，因此原则上我们可由统计平均值公式()()⎰⎰**=dr drr f r f ψϕψϕ （2.1.2）求出描述体系状态的力学量f(r)的平均值()r f 。
在这种意义下，一般认为，φ(r,t)描述了微观粒子的运动状态，即量子态。
然而应该指出，在量子力学中对量子态的描述和经典力学中对状态的描述有根本不同。
在经典力学中描述状态靠给定一些力学量，如广义动量，广义坐标等等，在热力学中描述体系的宏观状态靠给出一些宏观量，如压强、温度、体积以及状态方程。
但在量子力学中，描述粒子的量子态靠给定波函数沪，但砂本身不是力学变量，也不具有任何经典物理学中物理量的意义。
由幼所给定的只是在它所描述的量子态中，测量某力学量的平均值或者这个力学量的各种可能值和出现这些可能值的相应的几率。
至于这种描述是否完备以及在这种描述的背后是否还隐藏着某些更深刻的东西，或者某些“隐变数”，这是争论极多的问题。
有兴趣的读者可参阅本书的第十二章。
(2)由于粒子在某一时刻在空间中某点出现的几率应该单值，因此，除个别孤立奇点外，波函数P(r,t)应该是;的单值、有界和连续函数。
{3}在非相对论量子力学中，若仅限于波函数的统计解释，则因统计解释中只涉及波函数的振幅，因此存在下述不确定性:(i)常数因子的不确定性。
若C 为常数，则扒r,t)和C},(r,t)描述同一个物理状态。
因为它们的相对几率相同: ()()()()22212221,,,,t r C t r C t r t r ψψψψ=φ和C φ表示同一个概率波。
通常，C 由总的概率为1的归一条件决定。
(ii)相角的不确定性。
由于φ(r,t)与φ(r,t)e i α(α为实常数)的模相同，因此α不定。
这说明，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理概念。
(4)对于许多物理态，由于粒子总要在全空间中出现，是必然事件。
粒子在全空间中出现的几率为la 因此一般应要求，波函数φ(r,t)应该是平方可积函数，是可归一化的，即 ()⎰∞=1,2dr t r ψ (2.1.3) 但应该指出，并非所有波函数均可用(2.1.3)式的方式归一化。
例如平面波(2.1.1)式，就不是平方可积函数。
对于这一类在无穷远处φ不趋于零的波函数，其归一化问题我们将另行讨论。
(5)容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。
设体系由N 个粒子组成。
φ(r 1,r 2，…,r N ,t)是描述这个体系状态的波函数，则()N N dr dr dr t r r r .....,,...,,21221ψ 表示在t 时刻第一个粒子出现在111dr r r +→,第二个粒子出现在,....222dr r r +→，第N 个粒子出现在N N N dr r r +→的几率。
相应的归一化条件是:()⎰∞=1...,,...,,21221N N dr dr dr t r r r ψ (2.1.4) (6)显然，描述粒子微观运动的波函数不仅可用坐标r 、时间t 为自变量，也可以用其他变量，比如用动量p 为自变量。
以p 、t 为独立变量的波函数C(p,t)，它的物理意义是()dp t p C 2,表示在，t 时刻，粒子的动量在dp p p +→的几率，相应的归一化条件是()⎰∞=1,2dp t p C (2.1.5) C(p,t)为动量几率分布函数。
对于描述粒子的微观状态,C(p,t)起着和φ(r,t)相同的作用。
于是自然会问,C(p,t)和φ(r }t)之间的关系是什么?我们将在下一节中回答这个问题。
§2. 2态叠加原理量子力学对粒子运动状态的描述与经典力学完全不同。
在经典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量，则不但在该时刻粒子的状态完全确定，而且原则上还可以通过求解牛顿方程确定以后任何时刻的坐标和动量，从而确定以后任何时刻粒子的状态。
但在量子力学里，粒子的运动状态用波函数描述。
在某一量子态中测量坐标和动量，一般地，坐标和动量不同时具有确定值。
以平面波为例，平面波的动量p 有完全确一定的数值，但它的振幅与空间坐标无关，粒子在空间各点出现的几率密度相等。
换句话说，粒子的位置坐标是完全不确定的。
一般说来，在量子力学中，除非必ψ(r,t)是平面波，否则在以ψ(r, t)描述的粒子的量子态中测量动量p ，将无确定值。
因此，在任一量子态ψ(r,t)中测量动量，由于每一个确定的动量都对应一个确定的单色平面波，故而实际上等于是将ψ(r,t)按对应于各种动量的平面波展开，将ψ(r,t)视为由各种单色平面波叠加而成的波。
从数学上看，相当于对φ（r,t ）作傅里叶展开 ()()()⎰⎰⎰--∞∞-=dp e t p C t r pr Et i ,21),(23πψ (2.2.1)在傅里叶展式中，每个分波都是单色平面波，都有确定动量。
在物理上，傅里叶展开相当于作频谱分析。
(2.2.1)式中的展开系C(p,t)，表示用各种相应的平面波叠加出ψ(r,t)时，各种平面彼的几率幅，或者说，在ψ(r,t)中，出现动量为p,能量为E 的单色平面波的几率是()2,t p C 。
在量子力学中，既可以用ψ(r,t)描述粒子的量子态，也可以用C(p,t)描述粒子的量子态。
因为按量子力学，()2,t p C 给出在t 时刻，在r 处粒子出现的几率密度。
由这个几率密度，原则上可以算出在以ψ(r,t)描述的态中的各种可观#11量的平均值。
同样，()2,t p C 给出在t 时刻，动量为p 的几率密度。
利用C(p,t)，原则上也可算出在同一量子态中的各种可观测量的平均值。
所不同的只是ψ(r,t)是量子态在以r 为自变量，在坐标空间中的表示，而C(p,t)是量子态在以p 为自变量，在动量空间中的表示。
它们是同一个量子态在两个不同表象中的不同表示。
这两种表示是完全等价的。
关于表象理论，以及关于上述的坐标空间及动量空间的严格意义，我们将在第四章中作深入的探讨。
利用复变函数论中的巴塞瓦等式，不难证明()()⎰⎰==1,,22dr t r dp t p C ψ (2.2.2) 亦即如果(P(r,t)是已经归一化的波函数，则C(p,t)也是归一化波函数。
傅里叶展开是将波展开为无限多个单色平面波后带权重C(p,t)的线性叠加。
在量子力学中，在波函数统计解释的意义下，我们将权重c(p,t)解释为在O(r,t)中出现动量为p 的平面波()()232/ πpr Et i e --的几率幅。
这里应该特别强调，这种叠加是线性的。
而且这种叠加的“统计解释”直接与测量联系起来:在波f 数州;，，)中测量动量，测得动量的数值为P 的几率是{c(p,t)}2自然，几率波的蚕加不一定非要由无穷多个波叠加而成。
盈加的波的数目可以是有限的，也可以不满足傅里叶积分展开或傅里叶级数展开所必须满足的各种数学条件。
在量子力学中，作为基本假定，引入一个非常根本的关于描述量子态的几率波叠加的态叠加原理:如果必，，沪:，…，汽是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数n n ni n n C C C C ψψψψψ∑==⋅⋅⋅++=12211 ( 2-2. 3)也是体系的一个可能状态;当体系处在护态时，出现必，的几率是{C,}丫汐Ci }Ef 出现Y'2的几率是4C2!丫菩lcx(2，“·…余类推·在C2甲2. 3)式中，n 可以是有限的，也可以是无限的.这个原理称为态叠加原理。
现在对态叠加原理进行一些讨论:(1)态叠加原理是一个和测量联系非常密切的原理。
在原理的叙述中，所谓“当体系处在必态时，出现沪，的概率是，!“…”这句话的确切的意思是:设体系处在必，态时，测量某力学量A 得出的准确值为a,当系统处 A 得出的准确值为a:，一，则当体系处在由必.，功:，…等态线性叠加而成的状态沪时，测量力学量A ，所得到值既可能是a ，，也可能是a:，一，出现a ，值的几率是，C,，丫艺一C;，’，出现值的几率是IC2}丫乙一c;}E 余类推。