波动学基础gu
第四章波动学基础
第四章波动学基础第十章波动学基础本章学习目标1、理解机械波形成和传播的条件。
2、掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波表达式的方法。
3、了解波的叠加原理，理解波的相干条件。
4、掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件。
5、理解波的干涉、了解行波和驻波。
本章教学内容§10-1波动的基本概念§10-2平面简谐波波函数§10-3波的能量§10-4波的叠加§10-1机械波的形成波长周期波速一、机械波1、机械波的定义机械振动在弹性介质中传播形成机械波。
机械振动称为波源，参与振动传播的物质为介质。
水波，绳形成的波，弹簧形成的波，声波等2、产生机械波的必要因素：（1）首先要有一个振动的物体，即波的激发源，称为波源。
（2）波源的外面，还得有能够随波源而振动的介质，称为弹性介质，故机械波又称为弹性波。
形成机械波必须要求介质有弹性，没有弹性或完全刚性的介质内是不能形成机械波的。
在弹性介质中，各质点间是以弹性力互相联系的。
已经开始振动的质点要依靠这种弹性力的作用来维持振动，还没有开始振动的质点也要依靠这种弹性力的作用而陆续介入振动，使振动的状态传播出去，形成波动。
由此可见，波源和弹性介质是机械波产生的两个必要条件。
3、波的分类按照波速和质点振动速度的方向之间的关系，我们可以把波分为横波和纵波两个类型。
（1）横波我们来分析一个简单的、理想的模型，看机械波是如何由波源产生并在介质中传播的。
如下图所示，一根绳子沿x轴放置，绳子的左端o点有一个波源，它在进行简谐振动。
波源带动绳子，就有波不断从o点生成，并沿x轴向前传播。
波的图形称为波形，对于机械波来说，波的传播过程也就是波形推进的过程。
波的传播速度称为波速，观察表明，波在绳子上是匀速传播的。
随着时间的延续，可以看到，波源随时间的余弦振动在空间被匀速地展开，也生成一条余弦曲线，曲线沿着波的传播方向不断向前平移。
为了不分散注意力，在图中我们只作出了从t=0开始从o点发出的波形（实际上波形应该是一直向前伸延的）。
物理第十八章波动学基础
1.0 0
y/m
1. 0
2.0
x/m
t 0.5 y 1.0 cos[2 ( ) ] 2.0 2.0 2
1.0 cos[t ] (m)
1.0
y/m
由上式可知该质点振动的 初相为-. 由此作出其 y-t 曲 线
2 y x 2 a 2 A cos[ ( t ) ] t u ●注意： u: 波形传播速度, 对确定的介质是常数 v: 质点振动速度, 是时间的函数
将波动方程分别对 t 和 x 求二阶导数
四、平面波波动方程 (wave equation)
2 y 2 x A 2 cos[ ( t ) ] u x 2 u
2. 周期T (period) 波前进一个波长的距离所需的时间. 频率ν (frequency) 周期的倒数称为频率，即单位时间内 波前进的距离中所含完整波长的数目. 也指单位时间传过媒质中某点的波的个数.
波的频率ν = 波源的振动频率νs
波长反映波的空间周期性； 周期反映波的时间周期性；
3. 波速(wave velocity) u 振动状态的传播速度. 即单位时间 内, 振动状态所传播的距离. 大小决定于介质的性质.
§ 18-2 平面简谐波的波函数
若波源和介质中的质点都作简谐振动, 这种波称之为简谐波.
一、平面简谐波的波函数 (wave function) （波动方程）
设有一平面简谐波, 在无吸收、均匀、无限大的介质中传播. 1. 沿x 轴正方向传播
对O点： y0 A cos(t )
∵P 点是任意的
y A cos[2 ( t ) ]
波动学基础1
0.1
0.2
t/s
b
x 3 π y(x,t) = 0.02cos[10π(t + ) + ] 50 2
三 波动方程
将平面简谐波的波动表达式对t 将平面简谐波的波动表达式对 和x 求导
∂2 y x 2 = −ω Acosωt − +ϕ0 2 ∂t u
∂2 y ω2 A x = − 2 cosωt − +ϕ0 2 ∂x u u
二、 平面简谐波的波函数
平面简谐波 —— 波阵面为平面的简谐波
1、波函数的建立
y u
同一波阵面上各点 振动状态相同
O
x
t =0
给出波线上任意 x 处质点的位移 y 随时间 t 的 变化规律 —— 波函数 y ( x , t )
y P O
u
x
t =0
设 O 点的振动表达式为
y0 ( t ) = Acosωt
1cm
y(cm) Ⅱ Ⅰ 3 4 5 6
法二：
A点振动表达式： 点振动表达式： 点振动表达式 初始条件： 初始条件：
0 A
1 2
x(cm)
yA(t) = Acos(ωt +ϕ)
x −0.01 )] 波动表达式： 波动表达式： y(x, t) = 0.01cos[π(t − 0.02 x π y(x,t) = 0.01cos[π(t − )+ ] 0.02 2
∆ = (xp − x0 )/ u = (xp − t
λ
4
)/ u
P点在 时刻振动振动方程则为 点在t时刻振动振动方程则为 点在 时刻振动振动方程则为:
xp −λ / 4 π 2π y(xp ,t) = Acosω(t − ) = Acos(ωt − xp + ) u λ 2 2π π x+ ) 不 一 性 xp ⇒x y(x,t) = Acos(ωt − x1)
第5章波动学基础
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u + ∆t x+u∆t )+ϕo] = Acos[ω(t
u
上式表明， 时刻x点的振动状态 点的振动状态， 上式表明，t 时刻 点的振动状态，经时间∆t后传播到了 后传播到了 x+u∆t 处。即经时间∆t波沿 轴正方向传播了距离 ∆t，如图所 波沿x轴正方向传播了距离 波沿 轴正方向传播了距离u ， 示。 y
总之, 波动(或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 或行波)是振动状态的传播 总之 波动 或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 而不是质点的传播。 而不是质点的传播。 2 . 纵波和横波 横波——振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 横波 振动方向与传播方向垂直 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。 振动方向与传播方向相同，如声波。 纵波 振动方向与传播方向相同 纵波可在固体、液体、气体中传播。 纵波可在固体、液体、气体中传播。纵波的特征是有稀密相 间的介质区域。 间的介质区域。
λ y = Acos(ωt kx + ϕo )
) + ϕ0 ]
λ
的传播方向一致。 的传播方向一致。
13
2.平面简谐波运动学方程的物理意义 平面简谐波运动学方程的物理意义
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u
运动学方程中含有两个变量x和 ， 运动学方程中含有两个变量 和t，它即反映了媒质中各质点 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 (1)当x=xo(确定值 时，位移 只是时间 的余弦函数 当 确定值)时 位移y只是时间 的余弦函数: 只是时间t的余弦函数 确定值
波动学基础
这些波行进的最前方的点组成的曲面
惠更斯原理的应用
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面 t+t 时刻波面
t + t
波传播方向
·
ut
平面波
球面波
二 波的干涉
1、波的叠加原理
在几列波相遇处，任意质元的振动等于各列波 单独传播时在该处引起振动合成。
任意位置的 振动方程
2 y Acos(t 0 x1)
一横波，其波动方程为
y 0.2cos[ (200t 5x) / 2] (SI制)
•求振幅、波长、频率、周期、波速； •分别画出t=0, t=0.0025s, t=0.005s时刻的波形
解：(1)比较法
y
Acos(t 0
2
x)
上式与标准形式的波函数相比
横波—振动方向与传播方向垂直
横波和纵波 纵波：振动方向与传播方向相同
任一波,例如，水波、地表波，都能分解为 横波与纵波来进行研究。
横波和纵波的不同点
不同点1，外形上 横波表现为凸起的波峰和凹下的波谷
纵波外形特征是具有稀疏和稠密的区域
不同点2，传播媒质上 横波只能在固体中传播，纵波可以在固体， 液体，气体中传播。
X处的振动方程：
y
Acos(t 0
2
x)
小结
O点的振动方程：
y
u
y A cos(t 0 ) p
p
xo x
x
波动方程（任意X处的振动方程）：
y
Acos(t 0
2
x)
向X轴正方向传播为-，向X轴负方向传播为+
第10篇波动学基础
波动过程的几何描述 波线 表示波传播方向的射线，波线恒与波面垂直。
波面 波动空间中振动相位相同的点所联成的面。
波前 在波传播方向上最前面的那个波面。（波阵面）
惠更斯原理
波所到达的每一点都可看作发射次级子波 的波源，新的波阵面就是这些次级子波波 阵面的包迹。
波前
平 面
波面
球 面
波
波线
波
6
习题 P312 10-4
说明质元此时位于 y 轴负向0.04m处，以速度0.92m/s的 速度向 y 轴正向运动。
17
（3） t1=1.0 s ，t2=1.5 s 此段时间内传播距离为：
x ut 2.50.5m 1.25m
已知 x1=0.2 m
x x1 x 1.45m
在t2=1.5 s时传到波线上1.45m处
18
x2 u
)
]
A cos[ (t1
t
x1
x u
)
]
x ut
说明波形以波速 u 向前传播，当t 和 x 均变时，波动方程 描绘出了波形不断向前推进的动态图景。
14
x ut 如果 t mT （m 为整数）
波线上每一质元完全重复 t 时刻的运动状态，这表明， 波动方程定量反映了任一质元运动的时间周期性，其时 间周期为 T 。
2
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直。（如软绳） 纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行。（如软弹簧）
质点振动方向
软绳
波的传播方向 质点振动方向
软弹簧
波的传播方向
3
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体 和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况 较复杂，不是单纯的纵波或横波。
第8章 波动学基础
第八章波动学基础◆本章学习目标1．了解波的基本概念；2．掌握最基本的波动——平面间谐波的波动方程及运动规律；3．掌握波的能量特点；4．掌握波具有的基本现象——反射、折射、干涉和驻波；5．了解多普勒效应；6．了解声波、超声波和次声波。
◆本章教学内容1．机械波的产生及间谐波；2．波速、波长、周期和频率；3．波动方程；4．波的能量和能流；5．惠更斯原理波的反射和折射；6．波的叠加原理波的干涉；7．驻波；8．多普勒效应；9．声波、超声波、次声波◆本章教学重点1．间谐波方程及运动规律；2．波的叠加及驻波。
◆本章教学难点1．波方程的建立及其意义；2．驻波的运动特点；3．多普勒效应。
§8.1 机械波的产生和传播简谐波振动和波动是密切关联又相互区别的两种运动形式。
任何波动都是有振动引起的，激发波动的振动系统称为波源。
波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称机械波。
另一类是变化的电场和变化的磁场在空间的传播，称为电磁波。
一、机械波的产生机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。
就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。
产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。
二、横波和纵波在波动中，如果质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。
如果质点振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。
各种复杂的波都可分解为横波和纵波。
在波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。
如果产生波动的波源作简谐振动，在振动传播过程中，从波源所在位置开始，媒质中各质点相继开始做简谐振动，如果媒质是各向同性均匀且完全弹性的（即媒质不消耗能量），则媒质中各质点的振动频率和波源相同，且各质点具有相同的振幅。
这种波称为简谐波。
三、波振面和波射线把波振面为球面的波动称为球面波，点波源在均匀媒质中产生的波就是球面波。
把波振面为平面的波称为平面波。
波的传播方向称为波射线。
第7章 波动学基础
第七章波动学基础波动是一种重要而普遍的物质运动形式，是由振动在空间的传播过程形成的。
机械振动在弹性介质中的传播形成机械波。
本章主要介绍机械波的形成，波函数和波的能量，惠更斯原理及其在波的衍射、反射和折射等方面的应用，波的干涉现象和驻波以及多普勒效应。
§7-1 机械波的产生和传播一、常见机械波现象1、水面波。
把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波2、绳波。
绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波3、声波。
它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波二、机械波产生的条件1、波源。
如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。
2、传播介质。
如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声波的传播介质是空气。
说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。
三、横波与纵波1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。
如绳波。
（7-1-1横波.swf）2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。
(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性力，而是重力和表面张力。
(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。
（7-1-2纵波.swf）四、波的几何描述1、波线：沿波传播方向带箭头的线。
2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。
同一时刻，同相面有任意多个。
3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。
（或：传播在最前面的那个同相面）（见图7-4）4、平面波与球面波(1)平面波：波阵面为平面。
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（二） 波动学基础
班号 学号 姓名 日期_________________
一、选择题
1．频率为500Hz 的机械波，波速为1
s m 360-⋅，则同一波线上相位差为3π的两点相距为 （A ）0.24m ； （B ）0.48m ； （C ）0.36m ； （D ）0.12m 。
（ ）
2．下列叙述中不正确的是
（A ）在波的传播方向上，相位差为π2的两个质元间的距离称波长；
（B ）机械波实质上就是在波的传播方向上，介质各质元的集体受迫振动； （C ）波由一种介质进入另一种介质后，频率、波长、波速均发生变化； （D ）介质中，距波源越远的点，相位越落后。
（ ）
3．已知s 5.0=t 时余弦的波形如图所示，波速大小1s m 10-⋅=u ，若此时P 点处介质元的振动动能在
逐渐增大，则波动表达式为
（A ）()[]10cos 10x t y +=πcm ；
（B ）()[]ππ++=10cos 10x t y cm ； （C ）()[]10cos 10x t y -=πcm ；
（D ）()[]ππ+-=10cos 10x t y cm 。
（ ）
4．在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是421=I I ，则两列波的振幅之比是
（A ）421=A A ； （B ）221=A A ；
（C ）1621=A A ； （D ）4121=A A 。
（ ）
5．当一平面简谐波在弹性介质中传播时，下列各结论哪一个是正确的？ （A ）介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒；
（B ）介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者的相位不相同；
（C ）介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者的数值不相等； （D ）介质质元在其平衡位置处弹性势能最大。
（ ） 6．在弦线上有一平面简谐波，其表达式为()[]3420100cos 10
0.22
1ππ-+⨯=-x t y （SI ），
为了在此弦线上形成驻波，并且在0=x 处为一波腹，此弦线上还应有一平面简谐波，其表达
式为
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯=-320100cos 10
0.22
2ππx t y （SI ）；
（B ）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3420100cos 100.22
2ππx t y （SI ）
； （C ）⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-320100cos 100.22
2ππx t y （SI ）
；
（D ）⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯=-3420100cos 10
0.22
2ππx t y （SI ）。
（ ）
二、填空题
1．A 、B 是简谐波波线上的两点。
已知，B 点的相位比A 点落后3π，A 、B 两点相距0.5m ，波的频率为100Hz ，则该波的波长=λ_____________m ，波速=u ____________1
s m -⋅。
2．一列平面简谐波沿Ox 轴正向无衰减地传播，波的振幅为3
102-⨯m ，周期为0.01s ，波速为
1s m 400-⋅。
当0=t 时Ox 轴原点处的质元正通过平衡位置向y 轴的正方向运动，则该简谐波
的波动表达式为__________________________。
3．已知某平面简谐波的波源的振动表达式为t y π2
1sin 06.0=（SI ），波速为1
s m 2-⋅，则离波源5m 处质点的振动表达式为__________________________。
4．机械波从一种介质进入另一种介质，波长λ，频率ν，周期T 和波速u 诸物理量中发生改变的为_____________，_____________，保持不变的为_____________，_____________。
5．一平面简谐波在两个不同时刻的波形如图所示，且已知周期s 1≥T ，则由波形图可求得：波的振幅A ＝_____________，波长λ＝_____________，波速u ＝_____________，周期T ＝____________，频率ν＝_____________，波动表达式y ＝__________________________。
6．如图所示，1S ，2S 为相干波源，相距1/4波长，1S 的相位较2S 超前2π。
设强度均为0I 的两波源分别发出两列波，沿1S 2S 连线上传播，
强度保持不变。
则2S 外侧各点合成波的强度为__________；1S 外侧各点合成波的强度为__________。
7．正在报警的警钟，每隔0.5s 钟响一声，一声接一声地响着。
有一个人在以1
h km 60-⋅的速度向警钟所在地接近的火车中，则这个人在5分钟内听到_____________响。
空气中的声速为
1s m 340-⋅。
三、计算题
S
1．如图，一平面简谐波在介质中以速度1
s m 20-⋅=u 沿Ox 轴负方向传播，已知A 点的振动表达式为 t y π4cos 3=(SI )，试求:
（1）以A 点为坐标原点写出波动表达式； （2）以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波动表达式。
2．如图所示,一平面简谐波在0=t 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求
（1）该波的波动表达式；
（2）在距原点为100m 处质点的振动表达式与振动速度表达式。
3 ．一弦线的驻波的波函数为t x y 750cos 16.0cos 2=，式中长度以厘米为单位，时间以秒为单位。
试问：
（
1）组成此驻波的两列波的振幅及波速各为多少？ （2）相邻两波节间的距离为多大？
（3）3
102-⨯=t s 时刻、位于cm 0.5=x 处的质点的振动速度为多大？
u 计算题1图。