第五章 一元一次方程

5.2求解一元一次方程（1）
要点一、移项
1、在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
要点诠释：移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项.
②原体积＝变化后体积.
常用的面积、体积公式：
长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽
长方体的体积公式：长×宽×高
正方形的周长公式：边长×4；面积公式：边长×边长
正方体体积公式：边长×边长×边长
圆的周长公式：C= ；面积公式： ；
圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥= ×底面积×高
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.
5.4一元一次方程的应用——打折销售
要点一、打折销售（利润问题）
1、利润产生的两种方式
（1）进价——标价（售价）——利润（超市）
（2）进价——提价——标价——打折——售价——利润
示范：假设进价为 元，提价 标价，然后打9折得到售价，表示利润
如果 ，那么 ；如果 ，那么 .
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上 得x＋ ，这个等式不成立；
(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
5.1认识一元一次方程（2）
要点一、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等式，即：
如果 ，那么 (c为一个数或一个式子).
等式的性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（除数不等于0），结果仍是等式，即：
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 ．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
要点三、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为 的形式，再分类讨论：
(1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方程可化为： 或 .
2.含字母的一元一次方程
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程；②必须只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是1；④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数) .
（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时， ；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
5.3一元一次方程应用——水箱变高了
要点一、水箱变高了（等积变形问题）
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝ r2h
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
进价——提价——标价——打折——售价————————利润
2、公式
(1)
(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3)实际售价＝标价×折扣
(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
2、依据：等式的性质1.
3、目的：将含有未知数的项移到方程的左边，将不含未知数的项移到方程的右边，使方程更接近于 的形式。
4、注意事项：（1）移项要变号；
（2）方程中的项包含了它前面的符号；
（3）不要混淆移项和加法交换律.
5.2求解一元一次方程（2）
要点一、去括号
1、当方程中有括号时,在解方程的过程中把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号.
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．
注意：求打折问题时，设折扣为 ，代入时应代入 .
要点二、方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
2、利用列表的方法是解决此类问题的良好途径。
要点二、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
5.6一元一次方程应用----追赶小明
要点一、常见列方程解应用题的几种类型
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
5.1认识一元一次方程（1）
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；
5.5一元一次方程应用----“希望工程”义演
要点一、“希望工程”义演（分配问题）
1、分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等.这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时，也考察了同学们的日常生活知识.
要点诠释：
分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系.
2．行程问题（追赶小明）
（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
2、依据：等式的性质2.
3、去分母步骤:（1）确定分母的最小公倍数；
（2）方程两边同时乘以最小公倍数约去分母.
要点二、解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
2、依据：乘法分配律.
3、目的：便于移项、合并同类项的操作，使方程更接近于 的形式.
4、去括号顺序：一般由内到外.
5、注意事项：（1）括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体；
（2）去括号法则.
5.2求解一元一次方程（3）
要点一、去分母
1、定义:方程中有分母时,在方程两边同时乘以这个方程中各分母的最小公倍数,约去分母的过程叫做去分母.