一元二次不等式知识点高一
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
高一数学一元二次不等式的解法知识点整理
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高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>,高中语文;0)解的讨论.
2.分式不等式的解法
(1)标准化：移项通分化为 >0(或<0); ≥0(或≤0)的形式，
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法： ,与型的不等式的解法.
(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之。
高一必修5不等式知识点及
高一必修5不等式知识点及应用。
高一必修5不等式知识点及应用在高一数学课程中，不等式是一个重要的内容，也是学生们经常接触到的概念。
不等式是比较两个数的大小关系的数学语句。
在本文中，我们将介绍高一必修5中的一些重要的不等式知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式一元二次不等式是高一必修5中重要的不等式类型之一，也是解不等式的基础。
一元二次不等式是指类似于 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx +c ≤ 0 的形式的不等式。
解一元二次不等式的关键是确定不等式的根号部分与零的关系，通过这个关系来确定不等式的解集。
一元二次不等式的应用非常广泛，尤其在实际问题中。
比如，我们可以利用一元二次不等式来描述一个物体的运动轨迹、确定一个方程的解集范围等等。
一元二次不等式的解集可以帮助我们更好地理解和分析实际问题，提高对问题的解决能力。
二、绝对值不等式绝对值不等式也是高一必修5中一个重要的不等式类型。
绝对值不等式是指类似于 |x - a| > b 或 |x - a| ≤ b 的形式的不等式，其中 a 和 b 是实数。
解绝对值不等式的关键是利用绝对值的定义和性质，将不等式转化为两个简单的不等式，并对每个不等式分别进行求解。
解绝对值不等式的过程可能会有一些繁琐，但是通过理解和掌握绝对值的性质和解绝对值不等式的方法，我们可以更加轻松地解决问题。
绝对值不等式在现实生活中也有广泛的应用。
比如，我们可以利用绝对值不等式来确定一个测量误差的范围、解决某些优化问题等等。
绝对值不等式的应用使我们能够更加准确地处理实际问题，提高解决问题的能力。
三、指数不等式指数不等式也是高一必修5中一个重要的不等式类型。
指数不等式是指形如 a^x > b 或a^x ≤ b 的不等式，其中 a 是正实数且不等于 1， b是正实数。
解指数不等式的关键是利用指数函数的性质和对数函数的性质，将不等式转化为对数形式，并利用对数的性质求解。
第2章一元二次函数方程和不等式知识点清单-高一上学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第一册第2章知识点清单目录第2章一元二次函数、方程和不等式2. 1 相等关系与不等关系2. 1. 1 等式与不等式2. 1. 2 基本不等式2. 1. 3 基本不等式的应用2. 2 从函数观点看一元二次方程2. 3 一元二次不等式第2章 一元二次函数、方程和不等式 2. 1 相等关系与不等关系 2. 1. 1 等式与不等式一、不等式的性质及其推论 1. 不等式的性质性质1：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b. 即a>b ⇔b<a. 性质2：如果a>b ，b>c ，那么a>c. 即a>b ，b>c ⇒a>c. 性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c.性质4：如果a>b ，c>0，那么ac>bc. 如果a>b ，c<0，那么ac<bc. 性质5：如果a>b>0，那么√a n> √b n(n∈N +).性质6：如果a>b ，且ab>0，那么1a< 1b. 如果a>b ，且ab<0，那么1a >1b .2. 不等式性质的推论推论1：如果a+b>c ，那么a>c-b. 推论2：如果a>b ，c>d ，那么a+c>b+d. 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4：如果a>b>0，那么a n >b n (n∈N +).（1）在应用不等式的性质及其推论时，一定要弄清它们成立的前提条件. （2）要注意各性质和推论是否具有可逆性. 二、比较实数(代数式)的大小 1. 作差比较法(1)依据：a-b>0⇔a>b ；a-b<0⇔a<b ；a-b=0⇔a=b.(2)应用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式. (3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论.(4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.2. 作商比较法(1)依据：a>0，b>0且ab >1⇒a>b；a>0，b>0且ab<1⇒a<b.(2)应用范围：同号两数比较大小.(3)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论.三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 1. 解决此类问题，一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系，然后利用不等式的性质进行运算，求得待求式的范围.2. 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.2. 1. 2 基本不等式 2. 1. 3 基本不等式的应用一、基本不等式一般地，对于正数a，b，我们把2称为a，b的算术平均数， √ab称为a，b的几何平均数.二、基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2√p；(2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值s 24. 上述结论可归纳为“和定积最大，积定和最小”.三、利用基本不等式求最值的注意事项 1. 利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”. (1)“一正”：各项必须都是正值.例如：代数式x+1x，当x<0时，绝不能认为x+1x≥2，即x+1x的最小值为2. 事实上，当x<0时，x+1x=-[(−x)+1−x]≤-2，当且仅当-x=1−x，即x=-1时，等号成立，此时x+1x取得最大值-2.(2)“二定”：各项之和或各项之积为定值.例如：已知0<x<52，求(5-2x)x 的最大值，需变形为(5-2x)·2x·12，这时2x+(5-2x)=5为定值，且2x>0，5-2x>0. 当2x=5-2x ，即x=54时，[(5-2x)x]max =258.(3)“三相等”：必须验证等号是否成立. 特别是在连续使用基本不等式求最值时，要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致. 四、利用基本不等式求最值 1. 利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，并保证等号成立，常见的方法技巧如下：(1)拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配出的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.(4)换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求1x +1y 的最小值”和“已知a x +by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求x+y 的最小值”两种类型.2. 2 从函数观点看一元二次方程 2. 3 一元二次不等式一、二次函数的零点1. 一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点. 这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二、一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2. 解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤：(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根；(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象；(3)由图象得出不等式的解集.对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解.三、三个“二次”之间的关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系如下(其中a，b，c为常数，a>0)：四、一元二次不等式的应用1. 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，分清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，结合实际检验，得到实际问题的解. 五、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论1. 解含参数的一元二次不等式时，为了做到分类不重不漏，讨论一般需从如下几个方面考虑：(1)关于二次项系数符号的讨论：分a>0，a<0. (注意，在未说明不等式为一元二次不 等式的情况下，还要考虑a=0的情况)(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论：分两根(Δ>0)，一根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应方程的根x 1，x 2的大小的讨论：分x 1>x 2，x 1=x 2，x 1<x 2. 六、简单的分式不等式的解法 1. 解分式不等式的思路：先转化为整式不等式，再求解.2. 化分式不等式为“标准形式”的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式(f(x)，g(x)为关于x 的整式). (1)形如f(x)g(x)>a(a ≠0)的分式不等式可同解变形为f(x)−ag(x)g(x)>0，进而转化为g(x)[f(x)-ag(x)]>0. (2)解f(x)g(x)≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.七、一元二次不等式恒成立问题 1. 不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c>0；当a≠0时，a>0，且Δ<0.2. 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c<0；当a≠0时，a<0，且Δ<0.3. 解决恒成立问题一定要分清谁是自变量，谁是参数. 一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.4. 若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. (f(x)是关于x的函数)。
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
高一二次函数与一元二次方程不等式
高一二次函数与一元二次方程不等式摘要：一、二次函数与一元二次方程不等式的基本概念1.二次函数的定义及性质2.一元二次方程的基本概念3.不等式的基本概念二、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式的学习内容1.二次函数的图像与性质2.一元二次方程的解法与判别式3.不等式的基本性质与解法4.二次函数与一元二次方程不等式的关系三、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的应用1.利用二次函数解决实际问题2.利用一元二次方程不等式解决实际问题3.二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的综合运用正文：在高一阶段，我们开始接触到二次函数与一元二次方程不等式这两个重要的数学概念。
它们不仅在初高中数学知识体系中占有重要地位，同时也广泛应用于实际生活问题中。
首先，我们需要了解二次函数与一元二次方程不等式的基本概念。
二次函数是指形如f(x) = ax + bx + c 的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、顶点等。
一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0 的方程，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。
不等式是指用不等号连接的数学表达式，表示大小关系。
在高一阶段，我们会学习到二次函数的图像与性质，如何通过二次函数的图像来判断其开口方向、对称轴、顶点等性质。
同时，我们也会学习一元二次方程的解法与判别式，了解如何通过判别式判断方程有没有实数解，以及如何求解一元二次方程。
此外，我们还会学习不等式的基本性质与解法，如何通过移项、合并同类项等操作简化不等式，以及如何求解包含一元二次方程的不等式。
二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中也有广泛应用。
例如，我们可以利用二次函数来描述抛物线运动，从而解决物理、化学等领域的相关问题。
同时，一元二次方程不等式也可以帮助我们解决实际问题，例如在经济学、社会学等领域中常常需要通过不等式来描述资源分配、收入差距等问题。
此外，二次函数与一元二次方程不等式还可以在实际问题中进行综合运用，例如在解决与增长率相关的问题时，我们可以将二次函数与一元二次方程不等式结合起来，更准确地描述问题的特点。
一元二次不等式高一知识点
一元二次不等式高一知识点一元二次不等式是高中数学中重要的知识点之一，它是由一元二次方程推导而来，是解决实际问题的有力工具。
本文将介绍一元二次不等式的定义、性质和解法，并附带例题进行讲解。
一、一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，ax^2表示二次项，bx表示一次项，c是常数项。
在解一元二次不等式时，首先要判别一元二次不等式的开口方向，即判断不等式的二次项系数a的正负性。
当a>0时，二次不等式开口朝上；当a<0时，二次不等式开口朝下。
二、一元二次不等式的性质1. 不等式两边加（或减）同一个实数时，不等关系不变。
2. 不等式两边乘（或除）同一个正实数时，不等关系不变。
3. 不等式两边乘（或除）同一个负实数时，不等关系改变。
三、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的关键在于找到x的取值范围。
解的步骤如下：1. 将不等式中的所有项移到一边并合并同类项，化为一元二次不等式标准形式ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）。
2. 利用一元二次不等式的性质，将一元二次不等式转化为等价的形式，以便求解。
例如，可以将二次项提取因式，将不等式转化为两个一次不等式的交集或并集。
3. 解二次不等式的交集或并集，得到x的取值范围。
4. 根据开口方向判断不等式的解集情况。
当二次项系数a>0时，解集为x在某一区间内的所有实数；当二次项系数a<0时，解集为x不在某一区间内的所有实数。
四、例题解析例题1：解不等式x^2-4x+4≥0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到x^2-4x+4≥0。
然后，将等式两边化简并提取因式，得到(x-2)^2≥0。
由于平方值不可能小于0，所以(x-2)^2≥0对任意实数x成立。
因此，解集为实数集R。
例题2：解不等式2x^2+3x-2>0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到2x^2+3x-2>0。
高一数学一元二次不等式的解法
则
-12
,b
-2
.
.
4、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，则实数a的 取值范围是
-2≤a≤6
小结:
1.一元二次不等式的概念与标准形式
2.三个“二次”的关系 3.一元二次不等式的解法及其步骤
一.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系
b2 4ac(a 0)
0
0
0
y ax2 bx c
两个不等实根 ax 口诀：两根之 bx c 0 （设 x1 x2 ） 间 2
2
口诀：两根之 外 两个相等实根 没有实根
ax bx c 0 x x x1或x x2 ax bx c 0
练习2：
1、已知函数 当
-1＜x＜2
y x 2 bx c 的图象与x轴的交 时，y 0； 时，y 0.
x 2 mx n 0的 .
2
点横坐标为 1和2, 则当 x＞2或x＜-1
2、若方程 解集是
x 2 mx n 0 无实数根，则不等式
R
a
1， 3、已知不等式ax bx 2 0的解是 1 x 2 3
1 2
1 3
式x2-bx-a<0的解集是
A.(2,3) 1 1 C. ( , ) 3 2
（ A ）
B.(-∞,2)∪(3,+∞)
D.( , 1 ) ( 1 , ) 3 2 1 1 解析 由题意知 , 是方程ax2-bx-1=0的根,所 2 3 1 1 b 1 1 1 以由韦达定理得 ( ) , ( ) . 2 3 a 2 3 a 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集 为(2,3).
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一元二次不等式知识点高一
在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要
的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从三个方面
来介绍一元二次不等式的知识点。
一、一元二次不等式的基本性质
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、
b、c为实数，且a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。
1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），
分别对应着解集是开区间和闭区间。
2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。
通过求解一元二次
不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。
如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那
么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。
3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。
当a > 0时，解集
向上开口；当a < 0时，解集向下开口。
这一性质也可以通过函数图像
的凹凸性来理解。
二、解一元二次不等式的方法
在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
下面将分
别介绍这两种方法。
1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过
绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。
2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不
等式。
具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；
求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的
位置来确定解集。
三、一元二次不等式的应用
一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题
和约束问题中。
1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。
例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润
或最小成本。
2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。
例如，在某个建筑设计中，通过一元二次不等式限制房间的面积、高
度或价格，使其符合实际需求。
总结
本文从一元二次不等式的基本性质、解一元二次不等式的方法以及
一元二次不等式的应用三个方面对其进行了介绍。
一元二次不等式是
高一数学学习中的重点内容，掌握了这些知识点后，我们就能更好地
应用数学来解决实际问题。
希望通过本文的介绍，对一元二次不等式有更加深入的理解。