一元二次不等式知识点归纳666
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
一元二次不等式知识点高一
一元二次不等式知识点高一在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从三个方面来介绍一元二次不等式的知识点。
一、一元二次不等式的基本性质一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。
1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），分别对应着解集是开区间和闭区间。
2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。
通过求解一元二次不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。
如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。
3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。
当a > 0时，解集向上开口；当a < 0时，解集向下开口。
这一性质也可以通过函数图像的凹凸性来理解。
二、解一元二次不等式的方法在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。
2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不等式。
具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的位置来确定解集。
三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题和约束问题中。
1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。
例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润或最小成本。
2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。
一元二次不等式知识点总结梳理PPT
了解一元二次不等式在实际问题中的应用：如物理、化学、经济等领域中的实际问 题。
关注一元二次不等式在高考中的命题趋势：了解历年高考中一元二次不等式的考查 形式和难度，为备考做好准备。
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构造函数
将实际问题中的存在性问题转化 为判断方程根的存在性及个数问
题。
利用判别式
利用一元二次方程的判别式，判 断方程根的存在性及个数。
解方程得解
若方程有解，则通过解方程得到 实际问题的解。
05
典型例题解析及易错点 剖析
典型例题解析
例题一
解析一元二次不等式 $x^2 4x + 3 > 0$ 的解法。
图像法
一元二次不等式的解集可以通过图像 法直观地表示出来。在平面直角坐标 系中，画出对应的一元二次函数图像 ，根据图像确定不等式的解集。
注意事项
在使用图像法解一元二次不等式时， 需要注意图像开口方向以及与x轴交点 的情况。
02
求解一元二次不等式方 法
配方法求解
01
02
03
配方思想
将一元二次不等式转化为 完全平方形式，便于求解 。
性质
一元二次不等式具有与一元二次 方程相似的性质，如判别式、解 集等。
判别式与解集关系
判别式
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其判别式Δ=b²-4ac。
解集关系
当Δ>0时，不等式有两个不相等的实根；当Δ=0时，不等式有两个相等的实根 ；当Δ<0时，不等式无实根。
最新一元二次不等式知识点归纳学习资料
一元二次不等式知识点归纳解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）② 计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ. >0时，求根<，ⅱ. =0时，求根＝＝，ⅲ. <0时，方程无解，③ 写出解集。
【典型例题】例1. 解不等式（1）（2）（3）解：（1）因为。
所以，原不等式的解集是。
（2）因为。
所以，原不等式的解集是。
（3）整理，得。
因为无实数解，所以不等式的解集是。
从而，原不等式的解集是。
例2. 解关于x的不等式分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。
解：（1）当有两个不相等的实根。
所以不等式的解集是：（2）当有两个相等的实根，所以不等式，即；（3）当无实根所以不等式解集为。
例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。
解：∵（∵4x2+6x+3恒正），∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。
∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。
∴k的取值范围是（1，3）。
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，即a<－。
∴a的取值范围是a∈（－，－）。
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。
（想想为什么？）例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
高中数学一元二次不等式及其解法知识点总结
高中数学必修5一元二次不等式及其解法知识点总结一．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（了解）二．一元二次不等式的解法二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++= ()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a -±∆= ()12x x < 有两个相等实数根122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++>()0a > {}12x x x x x <>或 2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ R20ax bx c ++< ()0a >{}12x x x x << ∅ ∅ 注：（１）当二次项系数不是正数时，把它化成正数；解集可简记为小于０在两根之间，大于０在两根之外 （２）题目中不等式带等号，解集中带等号，题目中不带等号，解集中也不带（３）解题时要充分利用二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系（４）恒成立问题：2y ax bx c =++若ａ＞０，0∆<，则ｙ＞０恒成立若ａ＜０，0∆<，则ｙ＜０恒成立（５）若ｍ＜≤（）()f x 恒成立，只需ｍ＜≤（）()min f x若ｍ＞()≥()f x 恒成立，只需ｍ＞()max ()f x ≥三．跟踪训练１．若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -值是( ) .A 10- .B 14- .C 10 .D 14２．集合M={x |0x 2}，N={x |x 2-2x-3<0}，则M N 为（ ）A 、{x |0x 2}B 、{x |0<x<2}C 、{x |-1<x<3}D 、{x |x>０}３．若不等式022>++bx ax 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,21，则b a +的值为_ ４．求下列不等式的解集（１）４2x －４x ＞１５ （２）１３－４2x ＞０（３）2x －３x －１０＜０ （４）x （９－x ）＞０５．已知集合Ｍ＝｛x ｜2x －１６＜０｝，Ｎ＝｛x ｜2x －４x ＋３＞０｝,求M N６．）已知集合A ={x |220x a -≤，其中0a >}，B ={x |2340x x -->}，且A B = R ，求实数a 的取值范围７．解关于x 的不等式2(1)10axa x -++<８．已知：ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当)2,3(-∈x 时， 0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)(<x f（1）求)(x f y =的解析式（2）c 为何值时，02≤++c bx ax 的解集为R.。
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
一元二次不等式知识点
一元二次不等式知识点
一元二次不等式是高中几何中一个常见的概念。
关于它，学生们需要
知道其定义，因为它可以帮助我们更好的理解和求解几何问题。
一元二次不等式是一个根据一元二次方程求出的不等式。
它的基本形
式是ax^2 + bx + c>0或ax^2 + bx + c<0，其中a,b,c均为实数，a
不等于0。
因为a是实数，而不是0，所以我们可以推断，一元二次不
等式是由一元二次方程形式：ax^2 + bx + c=0变换而来的。
一元二次不等式的也有简单的解法方法，首先我们可以将这个不等式
转化为一元二次方程ax^2 + bx + c=0，然后计算出根，将它们代入不等式，可以快速得到解。
因此，学习一元二次不等式的解法就是本质
上了解其根的性质。
此外，一元二次不等式有若干重要性质，最重要的一个为判别式的性质，它决定了一元二次方程有无实根，这个判别式为△ = b^2 - 4ac，当△<0时，一元二次方程没有实根；当△=0时，一元二次方程有一个
实根；当△>0时，一元二次方程有两个实根。
另一个重要的一个性质是一元二次不等式的解的情况，它可以根据判
别式的值分为三种情况：当判别式△<0时，一元二次不等式没有实根，及无解；当判别式△=0时，一元二次不等式有一个实根，解为一个实数；当判别式△>0时，一元二次不等式有两个实根，解为一对实数。
总之，一元二次不等式是高中几何中一个重要的概念。
学习一元二次
不等式，学生们除了了解其定义外，还要掌握其解法方法，以及判别
式的性质和解的情况。
只有把这些知识学会，才能帮助学生们更好的理解和求解几何问题。
一元二次不等式知识点总结
一元二次不等式知识点总结
嘿，伙伴们！今天咱就来好好唠唠一元二次不等式这个知识点。
一元二次不等式，听起来好像很复杂，但其实没那么难啦！就好比你要解开一个谜题，每个步骤都是找到答案的关键。
比如说，像x² - 3x + 2 > 0 这样的式子，就是个一元二次不等式。
咱先说说它的形式，不就是ax² + bx + c 嘛，这里的 a、b、c 可都有
大作用呢！就好像搭积木，每一块都不能少。
它的解法呢，就像走迷宫，你得找到正确的路径。
比如说，先求出判别式，看看它到底是有两个不同的解，还是只有一个解，或者根本就无解。
哇，这多有趣啊，就像探索一个神秘的世界！比如，x² + 2x + 3 > 0，判别式小于零，那它就恒大于零哦！这不是很酷吗？
那什么时候不等式大于零，什么时候又小于零呢？嘿嘿，这可得好好琢磨。
就像你要判断一件事情的好坏一样，得仔细考虑。
当 a 大于零时，如果抛物线开口向上，那在两根之外就大于零啦，在两根之间就小于零。
反之，如果 a 小于零，开口向下，哇，那情况就相反了呢！
一元二次不等式在生活中也有很多用处呢！比如你计算怎么分配你的零花钱才能让自己最开心，或者是怎么安排时间才能完成所有作业。
你说是不是很神奇？
哎呀呀，一元二次不等式真的是个很有意思的知识点呀！它就像一把钥匙，可以打开很多问题的大门。
伙伴们，一定要好好掌握它哟！这样我们就能在数学的世界里畅游啦！我的观点就是：一元二次不等式不难，只要认真学习，就一定能搞明白！。
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一元二次不等式知识点归纳
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ. >0时，求根<，
ⅱ. =0时，求根＝＝，
ⅲ. <0时，方程无解，
③ 写出解集。
【典型例题】
例1. 解不等式
（1）（2）
（3）
解：（1）因为。
所以，原不等式的解集是。
（2）因为。
所以，原不等式的解集是。
（3）整理，得。
因为无实数解，
所以不等式的解集是。
从而，原不等式的解集是。
例2. 解关于x的不等式
分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。
解：
（1）当有两个不相等的实根。
所以不等式的解集是：
（2）当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
（3）当无实根
所以不等式解集为。
例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。
解：∵
（∵4x2+6x+3恒正），
∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。
∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。
∴k的取值范围是（1，3）。
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分
例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，
即
a<－。
∴a的取值范围是a∈（－，－）。
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。
（想想为什么？）
例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。
（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。
解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得
∴。
（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组
:
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