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数学一元二次不等式笔记
数学一元二次不等式笔记一、一元二次不等式的定义与一般形式。
1. 定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。
2. 一般形式。
- ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。
例如x^2-2x - 3>0就是一个一元二次不等式，这里a = 1，b=-2，c = - 3。
二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0，其判别式Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不同的实数根x_1=frac{-b+√(b^2)-4ac}{2a}，x_2=frac{-b - √(b^2)-4ac}{2a}。
例如方程x^2-3x+2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2，Δ=(-3)^2-4×1×2=1>0，两根为x_1=2，x_2=1。
- 当Δ = 0时，方程有两个相同的实数根x_0=-(b)/(2a)。
如方程x^2-2x + 1 = 0，a = 1，b=-2，c = 1，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，根为x = 1。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
例如方程x^2+x+1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，Δ=1^2-4×1×1=-3<0。
2. 关系。
- 一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集与一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根有关。
- 当Δ>0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xxx_1}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为{xx_2。
- 当Δ = 0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为varnothing。
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
一元二次不等式知识点高一
一元二次不等式知识点高一在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从三个方面来介绍一元二次不等式的知识点。
一、一元二次不等式的基本性质一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。
1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），分别对应着解集是开区间和闭区间。
2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。
通过求解一元二次不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。
如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。
3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。
当a > 0时，解集向上开口；当a < 0时，解集向下开口。
这一性质也可以通过函数图像的凹凸性来理解。
二、解一元二次不等式的方法在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。
2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不等式。
具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的位置来确定解集。
三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题和约束问题中。
1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。
例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润或最小成本。
2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。
一元二次不等式知识点总结梳理PPT
了解一元二次不等式在实际问题中的应用：如物理、化学、经济等领域中的实际问 题。
关注一元二次不等式在高考中的命题趋势：了解历年高考中一元二次不等式的考查 形式和难度，为备考做好准备。
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构造函数
将实际问题中的存在性问题转化 为判断方程根的存在性及个数问
题。
利用判别式
利用一元二次方程的判别式，判 断方程根的存在性及个数。
解方程得解
若方程有解，则通过解方程得到 实际问题的解。
05
典型例题解析及易错点 剖析
典型例题解析
例题一
解析一元二次不等式 $x^2 4x + 3 > 0$ 的解法。
图像法
一元二次不等式的解集可以通过图像 法直观地表示出来。在平面直角坐标 系中，画出对应的一元二次函数图像 ，根据图像确定不等式的解集。
注意事项
在使用图像法解一元二次不等式时， 需要注意图像开口方向以及与x轴交点 的情况。
02
求解一元二次不等式方 法
配方法求解
01
02
03
配方思想
将一元二次不等式转化为 完全平方形式，便于求解 。
性质
一元二次不等式具有与一元二次 方程相似的性质，如判别式、解 集等。
判别式与解集关系
判别式
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其判别式Δ=b²-4ac。
解集关系
当Δ>0时，不等式有两个不相等的实根；当Δ=0时，不等式有两个相等的实根 ；当Δ<0时，不等式无实根。
一元二次不等式总结
稿子一嗨呀，亲！今天咱们来聊聊一元二次不等式哈。
你知道不，这一元二次不等式就像个小调皮，有时候能把人搞得晕头转向。
不过别怕，咱们一起来搞定它！先说这一元二次不等式的形式，就像ax² + bx + c > 0 或者ax² + bx + c 0 这样的。
这里的 a、b、c 可都是有讲究的哟。
那怎么解它呢？第一步得先看看 a 的正负。
要是 a 大于 0，图像开口朝上；要是 a 小于 0 呢，开口就朝下啦。
然后咱们就找它的根。
通过那个神奇的求根公式，算出两个根 x₁和 x₂。
这俩根可重要啦，它们能把数轴分成好几段。
其实解一元二次不等式，就像走迷宫，只要找对了路，就能轻松走出来。
多练练，多琢磨琢磨，你就会发现，这也没那么难嘛！加油哟，亲！稿子二亲爱的小伙伴，咱们今天来唠唠一元二次不等式。
一元二次不等式啊，听起来好像有点高大上，其实就是个纸老虎。
你想想，它不就是个带平方的式子加上不等式符号嘛。
比如说x² 5x + 6 > 0 这种。
那解它有啥窍门呢？首先得看看它对应的二次函数的图像。
这图像就像个抛物线，美美的。
然后呢，咱得求出它的零点，就是让那个式子等于零的时候 x 的值。
这就好比找到了关键的钥匙。
要是不等式是大于号，那图像在 x 轴上方的部分对应的 x 取值就是解；要是小于号，就是图像在 x 轴下方的部分对应的 x 取值。
比如说，x² 3x 4 0 ，咱算出零点是 1 和 4 ，那解就是 1 x 4 。
有时候啊，它可能没有实数根，那就要看看是不是整个图像都在x 轴上方或者下方。
总之呢，一元二次不等式只要掌握了方法，就变得乖乖听话啦。
小伙伴们，别被它吓到，勇敢地去和它战斗吧！。
知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础
.
因而不等式 x2 5x 0 的解集是{x | 0 x 5} .
（2）方法一：
因为 0 ， 方程 x2 4x 4 0 的解为 x1 x2 2 .
函数 y x2 4x 4 的简图为：
所以，原不等式的解集是{x | x 2} 方法二： x2 4x 4 (x 2)2 0 （当 x 2 时， (x 2)2 0 ） 所以原不等式的解集是{x | x 2}
照 0 ， 0 ， 0 可分三种情况，相应地，二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图像与 x 轴的位
置 关 系 也 分 为 三 种 情 况 . 因 此 我 们 分 三 种 情 况 来 讨 论 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0 (a 0) 或
抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为 二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分 0, 0, 0 三种情况，得到一元二次不等式 ax2 bx c 0 与 ax2 bx c 0
当 0＜a＜1 时，解集为{x | x a2或x a} ；
当 a=1 时，解集为{x | x 1}；
【变式 3】（2015 春 房山区校级期中）解关于 x 的不等式 56x2+ax－a2＜0。
【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[x ( a)]( x a) 0 。 78
∴原不等式的解集是 .
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
一元二次方程与不等式的知识点总结
一元二次方程与不等式的知识点总结一、一元二次方程（Quadratic Equation）一元二次方程是指一个未知量的最高次是二次的方程。
其一般形式可表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，a≠0。
1. 解的个数与判别式：设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等实数根，也称为重根；- 当Δ<0时，方程无实根，但有两个共轭复数根。
2. 求解一元二次方程的方法：- 因式分解法：将方程进行因式分解，使左侧变为两个一次因式的乘积，再利用“零乘积法则”求解。
- 公式法：利用一元二次方程的求根公式x=（-b±√Δ）/2a求解。
3. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，开口方向由a的正负决定。
二、不等式（Inequality）不等式是指含有不等于号的数学式子。
一般形式可表示为ax+b>0，ax+b≥0，ax+b<0，ax+b≤0等。
1. 不等式的解集表示：解集表示是指将不等式的解表示为一段数轴上的区间。
- 对于大于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于小于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于大于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间；- 对于小于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间。
2. 解不等式的方法：- 规则法：对于形如ax+c>0，ax+c≥0，ax+c<0，ax+c≤0的一元一次不等式，可以直接通过规则法求解。
- 加减法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相加或相减得到一个新的不等式。
- 乘除法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相乘或相除（除数不为零）得到一个新的不等式。
3. 不等式的图像表示：对于一元一次不等式，可以通过画数轴上的区间表示。
对于一元二次不等式，则可以通过画抛物线上的一部分表示。
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
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一元二次不等式知识点归纳
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ. >0时，求根<，
ⅱ. =0时，求根＝＝，
ⅲ. <0时，方程无解，
③ 写出解集。
【典型例题】
例1. 解不等式
（1）（2）
（3）
解：（1）因为。
所以，原不等式的解集是。
（2）因为。
所以，原不等式的解集是。
（3）整理，得。
因为无实数解，
所以不等式的解集是。
从而，原不等式的解集是。
例2. 解关于x的不等式
分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。
解：
（1）当有两个不相等的实根。
所以不等式的解集是：
（2）当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
（3）当无实根
所以不等式解集为。
例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。
解：∵
（∵4x2+6x+3恒正），
∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。
∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。
∴k的取值范围是（1，3）。
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分
例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，
即
a<－。
∴a的取值范围是a∈（－，－）。
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。
（想想为什么？）
例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。
（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。
解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得
∴。
（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组
:。