数学复习(矩阵)
矩阵复习学案
《矩阵与变换》复习【知识梳理】1．二阶矩阵与平面向量：（1）矩阵的概念与表示：矩阵的行、列、元素；零矩阵、单位矩阵；行矩阵、列矩阵． （2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ＝ ． （3）二阶矩阵M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 确定的变换T M 为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝ ＝ ． 2．几种常见的平面变换：变换 恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换切变变换变换矩阵3．变换的复合与矩阵的乘法： （1）矩阵的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b ＝ ． 4．逆变换与逆矩阵：（1）逆矩阵的概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有 ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为 ． （2）逆矩阵的几何意义： （3）二阶可逆矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a的逆矩阵公式： ． （4）若二阶矩阵A ，B 可逆，则(AB )－1＝ ． 5．特征值与特征向量：（1）概念：设A 为二阶矩阵，若对于实数λ，存在一个非零向量α，使得 ，则称λ是A 的一个特征值，α是A 的属于特征值λ的一个特征向量． （2）特征多项式：f (λ) ＝ ． （3）特征值与特征向量的求解步骤：【典型例题】例1．已知变换T 把点(2，1)，(－3，2)分别变换成点(7，0)，(0，－7)，（1）求变换T 对应的矩阵M ；（2）求直线l ：x ＋5y －7＝0在变换T 下所得的曲线方程．例2．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，0），B （1，1），C （0，2），M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201，N ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得图形的面积．例3．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，定义其转置矩阵如下：A ′＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111．（1）若A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，写出A 的转置矩阵A ′，并求行列式|A |和|A ′|，两者有何关系？ （2）若A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡43表示的方程组为⎩⎨⎧=+=-43352y x y x ，试求解A ′⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-295表示的方程组．例4．已知矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α． （1）求矩阵A 及其逆矩阵；（2）若向量α＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-91，试计算A n α．【反馈练习】1．下列说法中正确的是 ．①反射变换，伸压变换，切变变换都是初等变换； ②任何矩阵都有逆矩阵；③若M ，N 互为逆矩阵，则MN ＝E ； ④反射变换矩阵都是自己的逆矩阵． 2．已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+y yx 2002，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x x200，若A =B ，则xy ＝ ． 3．将平面内的图形绕原点逆时针旋转045的变换矩阵记为M ，曲线C ：1=xy 在M 确定的变换T M 作用下变为了曲线C '，则C '的方程为 ． 4．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13913214M ，则M = ；若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13913214M ，则M = ． 5．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001M ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10021N ，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵MN 变换下所得曲线的解析式．6．已知矩阵M ＝2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦，N ＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦及向量σ1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，σ2＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． （1）证明M 和N 互为逆矩阵；（2）证明σ1和σ2同时是M 和N 的特征向量．7．矩阵A ＝1102⎡⎤⎢⎥⎣⎦有特征向量α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，α2＝10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求出α1，α2对应的特征值；（2）对向量α＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，计算A n α．高三数学（理）《矩阵与变换》专题练习1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x2、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ） A 、21 B 、2 C 、3 D 、313、若矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，M 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（ ）A 、恒等变换、反射变换、投影变换B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换4、在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标与纵坐标都变为原来的3倍，则该变换的矩阵是（ ）A 、1003⎛⎫⎪⎝⎭B 、0330⎛⎫⎪⎝⎭ C 、3003⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、3001⎛⎫⎪⎝⎭5、已知矩阵A =1111⎛⎫⎪-⎝⎭，B =2111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则AB 等于（ ）A 、3120⎛⎫⎪-⎝⎭ B 、1032⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C 、1302-⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、1320-⎛⎫ ⎪⎝⎭6、已知矩阵A = 1101-⎛⎫⎪⎝⎭，则矩阵A 的逆矩阵A -1等于（ ）A 、11221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 、11221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C 、11221122⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 、11221122⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭7、点（－１，k ）在伸压变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100m 之下的对应点的坐标为（-2,-4），则m 、k 的值分别为（ ）A 、2，4B 、-2，4C 、2，-4D 、-2，-48、设T 是以 ox 轴为轴的反射变换，则变换T 的矩阵为（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 Ｂ、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 Ｃ、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 Ｄ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡01109、设A 是到ox 轴的正投影变换，A 把点P （x ，y ）变成点P ′（x ，0），B 是到oy 轴的正投影变换B 把点P （x ，y ）变成点P ″（0，y ），则变换A 和B 的矩阵分别为（ ）.Ａ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000 Ｂ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 Ｃ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 Ｄ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，⎥⎦⎤⎢⎣⎡010110、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡321110=__________ 11、点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________12、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（2，4），则点A 的坐标为_________ 13、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为___________14、在某个旋转变换中，顺时针旋转3π所对应的变换矩阵为＿＿＿＿＿＿ 15、曲线y x =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的图形对应的曲线方程为＿＿＿＿＿＿ 16、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是 ，变换对应的矩阵是＿＿ 17、若曲线x 3cos 21y =经过伸压变换T 作用后变为新的曲线cos y x =，试求变换T 对应的矩阵M =＿＿＿. 18、求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.19、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.20、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程.21、求曲线C ：1xy =在矩阵1111M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程.22、求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程.23、直角坐标系xOy 中，点（2，-2）在矩阵010M a ⎛⎫=⎪⎝⎭对应变换作用下得到点（-2，4），曲线22:1C x y +=在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.24、设点P 的坐标为（１，-２），T 是绕原点逆时针方向旋转3π的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵，并求点P 在T 作用下的象点P ′的坐标.25、在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值.26、若点(2,2)A 在矩阵=M ⎝⎛ααsin cos ⎪⎪⎭⎫-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (2,2)-，求矩阵M 的逆矩阵.27、已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值.28、设矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a 0 1（a ≠0）、（1）求A 2 ，A 3；（2）猜想A n （n ∈N *）；（3）证明：A n （n ∈N *）的特征值是与n 无关的常数，并求出此常数.29、已知△ABC ，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.（1）分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；（2）求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.30、已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2、求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵.31、已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦,向量74α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α； (2)计算5A α的值.32、已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵A ；（2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.。
高考数学总复习矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵矩阵的特征值4-2
选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)1. 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a，求a 、b 的值．解：由题意，知MM－1＝E ，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1；当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221. 解：(1) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 1. (2) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.变式训练已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2) ＝4(λ51α1)－3(λ52α2) ＝4×35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100α→＝M 100(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100x y .1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝[]axbx ＋y，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－21. 1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－91，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120013.(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝DyD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
矩阵复习
1．方程组的增广矩阵是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：先将方程组化成，即可写出对应的增广矩阵．解：∵方程组，∴方程组可化为，∴其增广矩阵为．故选D．点评：本题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及方程组的增广矩阵，属于基础题．2．（2010•卢湾区二模）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【解析】试题分析：将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．总之，两者之间互相推出的问题．故选D．点评：本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．3．（2012•闵行区一模）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（）A. B.两两平行C. D.方向都相同【答案】B【解析】试题分析：二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．点评：本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．4．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C试题分析：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；故正确；对于④故选C．点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．5．若规定=ad﹣bc则不等式≤0的解集（）A.{x|x≤﹣2或x≥1}B.{x|﹣2＜x＜1}C.{x|﹣2≤x≤1}D.∅【答案】C【解析】试题分析：按照新的运算=ad﹣bc，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．点评：本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．6．若，都是非零向量，且与垂直，则下列行列式的值为零的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：利用向量数量积的运算，可得x1x2+y1y2=0．根据二阶行列式的定义可知行列式的值为零的行列式．解：∵，都是非零向量，且与垂直∴x1x2+y1y2=0根据二阶行列式的定义可知，∴故选D．点评：本题的考点是二阶行列式的定义，考查向量垂直的充要条件，考查行列式的定义，属于基础题．7．将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位，所得图象的函数为偶函数，则a的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先利用行列式的定义，化简函数，再利用两角和公式对函数解析式化简整理然后根据图象平移法则，得到平移后函数的解析式，利用诱导公式把正弦函数转化成余弦函数，然后根据偶函数关于y轴对称的性质求得a的最小值．解：由题意，函数==2（ cosx﹣sinx）=2sin（﹣x）=﹣2sin（x﹣）图象向左平移a个单位，所得函数图象是y1=﹣2sin（x+a﹣）=﹣2cos[﹣（x+a﹣）]=﹣2cos（﹣x﹣a+）=2cos（x+a﹣）是偶函数则关于y轴对称，则a的最小值为a=故选D点评：本题以行列式为载体，考查行列式的定义，考查了函数奇偶性的性质．解题的关键是利用偶函数关于y轴对称的性质．8．定义运算，则满足的复数z为（）A.1﹣2iB.﹣1﹣iC.﹣1+iD.1﹣i【答案】D【解析】试题分析：直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．解：因为，所以=zi+z=2．所以z===1﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．若规定则不等式log的解集是（）A.（1，2）B.（2，+∞）C.（﹣∞，2）D.（﹣∞，3）【答案】A【解析】试题分析：由二阶行列式的定义知log等价于lg（x﹣1）＜0，所以0＜x﹣1＜1，由此能求出不等式log的解集．解：∵，∴log等价于lg（x﹣1）＜0，∴0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，故选A．点评：本题考查二阶行列式的定义，是基础题．解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．10．（2005•朝阳区一模）定义运算，则符合条件的复数z为（）A.3﹣iB.1+3iC.3+iD.1﹣3i【答案】A【解析】试题分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．11．（2008•静安区一模）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．解：∵sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A：=sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B：=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C：=sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D：=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选C．点评：本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．12．（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．13．（2012•广州一模）∀a，b，c，d∈R，定义行列式运算．将函数的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：先利用新定义，将函数化简，再得到图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位的函数的解析式，结合函数的对称轴，我们可求ϕ的最小值解：，图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位可得对称轴为：∵所得图象对应的函数为偶函数∴x=0是函数的对称轴∴∴∴ϕ的最小值为故选B．点评：新定义问题，解题的关键是对新定义的理解，图象变换要把握变换的规律，属于基础题．14．（2012•闸北区一模）设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则“”是“l1∥l2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，所以，故可得结论解：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选B．点评：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．15．（2013•上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．16．矩阵可逆的一个充分不必要条件是（）A.ad﹣bc≠0B.ab﹣cd≠0C.D.【答案】C【解析】试题分析：根据矩阵可逆的充要条件是所对应的行列式|A|≠0即ab﹣cd≠0，再根据充分不必要条件的性质可得结论．解：∵∴ab﹣cd≠0即|A|≠0，则矩阵可逆当矩阵可逆，则|A|≠0即ab﹣cd≠0，但不一定成立所以是矩阵可逆的一个充分不必要条件故选C．点评：本题主要考查了矩阵存在逆矩阵的充要条件，同时考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．17．矩阵的逆矩阵是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵．解：设矩阵的逆矩阵为，则，∴，∴，∴矩阵的逆矩阵为．故选A．点评：本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题．18．已知A=，B=，则（AB）﹣1=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：直接根据二阶矩阵与平面向量的乘法的定义求出AB，进而利用逆矩阵公式即可求出其逆矩阵．解：∵A=，B=，∴AB==∴矩阵AB的行列式为：0﹣1=﹣1≠0∴（AB）﹣1=故选：A．点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，矩阵的乘法，难度不大，属于基础题．19．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=，则矩阵A的特征值为（）A.﹣1B.4C.﹣1，4D.﹣1，3【答案】C【解析】试题分析：利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值．解：设A=，则由AA﹣1=E得•=，即有解得，即A=，则矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=λ2﹣3λ﹣4，令f（λ）=0，则λ=﹣1或4．故矩阵A的特征值为﹣1，4．故选C．点评：本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题．20．矩阵的逆矩阵是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先求ad﹣bc=1，再利用逆矩阵公式求解即可．解：由题意，ad﹣bc=1∴矩阵的逆矩阵是故选A．点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的逆矩阵，关键是利用公式正确求解．21．矩阵A=的逆矩阵为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．解：∵矩阵A=∴A﹣1==故选A．点评：本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的公式，代入数据时，不要出错．22．若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素a ij（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，6）的含义如下：i=1表示语文成绩，i=2表示数学成绩，i=3表示英语成绩，i=4表示语数外三门总分成绩j=k，k∈N*表示第50k名分数．若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的．现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（）A.语文B.数学C.外语D.都一样【答案】B【解析】试题分析：先根据题意找出小明的大致成绩，然后根据经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，就需要看哪课发展的空间大，从而得到所求．解：∵j=k，k∈N*表示第50k名分数，小明的各科排名均在250左右∴小明的各科的分数为语文62，数学59，外69，三门总分约为195数学成绩59在三门中最低，而第50名的成绩为81分，分差较大，有很大的空间提升而经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，则他应把努力方向主要放在数学学科上．故选B．点评：本题主要考查了矩阵的表示，解题的关键就是弄清题意，属于基础题．23．定义运算.=，如.=．已知α+β=π，，则.=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题中的定义可把二阶矩阵的解析式化简，再利用和角或差角的三角函数公式化简后，即可得到正确答案．解：由题中的定义可知，则•===，故选A点评：考查学生利用和与差的正弦、余弦函数公式化简求值的能力，以及掌握题中的矩阵乘方法则来求值的能力．24．点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由矩阵的乘法运算法则，计算M1•M2即可得到．解：由于M1•M2=•=．则点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是．故选D．点评：本题考查矩阵的乘法运算，考查运算能力，属于基础题．25．若一个变换所对应的矩阵是，则抛物线y2=﹣4x在这个变换下所得到的曲线的方程是（）A.y2=4xB.y2=xC.y2=﹣16xD.y2=16x【答案】D【解析】试题分析：确定变换前后点的坐标之间的关系，利用变换前的点在抛物线上，即可得到变换后曲线的方程．解：设抛物线y2=﹣4x上的点（a，b）在变换下变为（x，y），则∴，∴∵（a，b）满足抛物线y2=﹣4x∴b2=﹣4a∴∴y2=16x故选D．点评：本题考查矩阵变换，考查求曲线方程，解题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系．26．在直角坐标系下，若矩阵对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据矩阵对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），建立关系式，解之即可．解：=则解得故选C．点评：本题主要考查了矩阵的乘法，以及二元一次方程组的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．27．把矩阵变为后，与对应的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行得到，再把第一列乘2加上第二列作为第二列得到，最后第二行乘以即可得出符合要求的矩阵．解：把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行→第一列乘2加上第二列作为第二列→第二行乘以→，对照得故选C．点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，属于基础题．28．函数y=x2在矩阵M=变换作用下的结果为．【答案】y=x2【解析】试题分析：先设P（x，y）是函数y=x2图象上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解：设P（x，y）是函数y=x2图象上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M=变换作用下新曲线上的对应点，则==即，所以，将代入y=x2得4y=x2，即y=x2（8分）故答案为：y=x2点评：本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，以及轨迹方程等有关知识，属于基础题．29．已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= ．【答案】2【解析】试题分析：先根据增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，解方程，最后求x+y．解：由一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，可得到二元线性方程组，解得，则x+y=2，故答案为2．点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义、二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于容易题．30．已知方程组，则其增广矩阵为．【答案】【解析】试题分析：先将方程组整理为，根据增广矩阵的定义即可得答案．解：由题意，方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为点评：本题以方程组为载体，考查增广矩阵，属于基础题．31．线性方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由原二元线性方程组写出增广矩阵即可．解：由二元线性方程组，可得到其增广矩阵为：．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．32．已知二元一次方程组的增广矩阵为，则此方程组的解集为．【答案】{（3，2）}．【解析】试题分析：首先根据二元一次方程组的增广矩阵为，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解x，y即可．解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得二元线性方程组的表达式，解得：x=3，y=2，则此方程组的解集为：{（3，2）}．故答案为：{（3，2）}．点评：此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于基础题，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．33．方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是故答案为：点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．34．一个方程组的增广矩阵为A=，则该方程组的解为．【答案】【解析】试题分析：由题意，可得方程组，解方程组，即可得出结论．解：由题意，可得方程组，∴．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，考查学生的计算能力，比较基础．35．方程组所对应的增广矩阵为．【答案】【解析】试题分析：先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．解：∵方程组，∴，∴该方程组所对应的增广矩阵=．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．36．（2012•嘉定区三模）系数矩阵为，解为的一个线性方程组是．【答案】【解析】试题分析：先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解，求出待定系数，从而可得线性方程组．解：可设线性方程组为=，由于方程组的解是，∴=，∴所求方程组为，故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查待定系数法求线性方程组，应注意理解方程组解的含义．37．（2012•杨浦区二模）若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．38．（2013•杨浦区一模）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式解得：故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．39．（2014•杨浦区三模）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= ．【答案】6【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解xy，最后求x+y．解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y=6点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．40．（2014•黄浦区一模）各项都为正数的无穷等比数列{a n}，满足a2=m，a4=t，且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列{a n}各项和的数值是．【答案】32【解析】试题分析：利用是增广矩阵的线性方程组的解，可得m=8，t=2，从而可求公比与首项，利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．解：由题意，，∴m=8，t=2，∴a2=8，a4=2，∵q＞0，∴，∴a1=16，∴无穷等比数列{a n}各项和是=32．故答案为：32．点评：本题考查增广矩阵，考查无穷等比数列{a n}各项和，求出数列的公比与首项是关键．41．行列式的值为．【答案】3【解析】试题分析：考查行列式运算法则，按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可．解：=1×3﹣0×2=3．故答案为：3点评：本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．42．若规定，则不等式的解集是．【答案】【解析】试题分析：根据二阶行列式的定义原不等式可化为：log2（x﹣1）＜﹣1，再利用对数函数的单调性去掉对数符号得出关于x的整式不等式，即可求解．解：原不等式可化为：log2（x﹣1）＜﹣1，即：⇒0＜x﹣1＜，⇒1＜x＜，故答案为：．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．43．定义运算=ad﹣bc，若复数z符合条件=3+2i则z= ．【答案】【解析】试题分析：由=ad﹣bc，复数z符合条件=3+2i，知2zi﹣z=3+2i，设z=a+bi，则2i（a+bi）﹣a﹣bi=3+2i，所以（﹣2b﹣a）+（2a﹣b）i=3+2i，由复数相等的含义能求出z．解：∵=ad﹣bc，复数z符合条件=3+2i，∴2zi﹣z=3+2i，设z=a+bi，则2i（a+bi）﹣a﹣bi=3+2i，∴2ai﹣2b﹣a﹣bi=3+2i，整理，得（﹣2b﹣a）+（2a﹣b）i=3+2i，∴由复数相等的含义，得，解得，∴z=．故答案为：．点评：本题考查二阶行列式的定义，是基础题．解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算和复数相等的性质的灵活运用．44．定义，则函数（x∈R）的值域为．【答案】[﹣4，4]【解析】试题分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．45．不等式的解集为．【答案】[0，1]【解析】试题分析：利用，将不等式等价转化为一元二次不等式，可解．解：由题意，x2﹣x≤0，∴0≤x≤1，故答案为[0，1]点评：本题主要考查二阶行列式的定义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．46．定义运算，如果：，并且f（x）＜m对任意实数x恒成立，则实数m的范围是．【答案】m＞【解析】试题分析：由=sinx+cosx=∈[﹣]，且f（x）＜m对任意实数x恒成立，能得到实数m的范围．解：∵，=sinx+cosx=∈[﹣]，∵f（x）＜m对任意实数x恒成立，∴m＞．故答案为：m＞．点评：本题考查二阶行列式的定义和三角函数的知识，解题时要认真审题，注意不等式性质的灵活运用．47．将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】试题分析：根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．48．在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】试题分析：去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．49．（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是．【答案】6【解析】试题分析：先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．点评：本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．50．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，1），则实数a等于．【答案】4【解析】试题分析：先根据二阶行列式，将原不等式等价转化为一元二次不等式，再对a分类讨论，求出a的值即可．解：原不等式可化为：ax2+2＜6，即ax2＜4．当a≤0时，得x∈R，不符合题意；当a＞0时，得x2＜，﹣＜x＜，由已知不等式＜6的解集为（﹣1，1），得=1，∴a=4．故答案为：4．点评：本小题主要考查二次不等式的解法、二阶行列式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．51．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于．【答案】﹣4【解析】试题分析：利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，因为不等式的解集为（﹣1，+∞），所以a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．52．（2012•徐汇区一模）不等式≥0的解为．【答案】[0，+∞）【解析】试题分析：先根据行列式的运算法则进行化简变形，转化成一元二次不等式，然后解之即可求出所求．解：∵不等式≥0∴（2x+1）2x﹣2≥0，即22x+2x﹣2≥0解得2x≤﹣2舍去，2x≥1，解得x≥0．故答案为：[0，+∞）点评：本题主要考查了二阶行列式，同时考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．53．（2012•德州一模）定义运算，函数图象的顶点是（m，n），且k、m、n、r成等差数列，则k+r= ．【答案】﹣9【解析】试题分析：利用新定义的运算得出二次函数，利用配方法可求函数图象的顶点，利用k、m、n、r成等差数列，可求k+r的值．解：=（x﹣1）（x+3）﹣2（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7∵函数图象的顶点是（m，n），∴m=﹣2，n=﹣7，∵k、m、n、r成等差数列，∴k+r=m+n=﹣9．故答案为：﹣9点评：本题以新定义运算为素材，考查新定义的运用，考查二次函数，考查等差数列，解题的关键是对新定义的理解．54．（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】试题分析：利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．55．（2013•徐汇区一模）方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《矩阵与变换》知识点总复习有答案
数学高考《矩阵与变换》复习资料一、151．用行列式解关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a+=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】由题意，关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，所以221111,(1),12x a a D a D a a a a a aa+==-==-=-2121(21)(1)12y a a D a a a a a+==--=+-，（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解；（3）当1a =时，0x yD D D ===，方程组有无穷多解，,()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩. 【点睛】本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.2．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】 【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-, ()()11233323x D a a a a a a-==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想3．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解； （ii ）当2m =时，0x y D D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=，该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.4．已知方程组()()()11,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩ （1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）22111123230,3,4,23232234,33y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩244(2)(2)1m D m m m m==-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m mm+==+-=-22(2)(1)(2)1y m m D m m m m m+==-+=+-（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.6．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意，2a b x xM c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =； 所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()121x g ax x +-=-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.【解析】 【分析】（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.（2）01xx>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.当72x ≥时，不等式可化为722710x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当72x <时，不等式可化为727210x x x ⎧<⎪⎨⎪--+≥⎩，故83x ≤. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U .（2）01xx>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-在()0,1上恒成立，而77x-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.（3）()12112x g x x ax a x a +==-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当72x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.8．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积.【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可. 【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC的距离d ===，BC ==所以113122342ABC S BC d ∆=⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.9．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案.【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.10．已知函数2sin ()1x xf x x -=．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）21()sin cos cos 2)sin 2sin 22232f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++⎪⎝⎭Q ， 又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，所以sin 21,0sin 2123322x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤≤++≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）∵2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 3A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，216( c)3b bc ∴=+-．因为5b c +=，所以3bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组. 【答案】(1) 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】解：(1) 由题意可得PQ=13mm m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫⎪-⎝⎭，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫⎪+⎝⎭，即得1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； (2) 由题意可得行列式1(3)3m D m m m m==-+-，1(3)231x D m m m==--++- ,12(3)323y mD m m m m -==++①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解； ③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R ).【点睛】本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.13．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．14．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为0x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--， 因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯；【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.15．已知矩阵2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求A 的逆矩阵1A -；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．【答案】（1）1A -2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ （2）点P 的坐标为(3，–1) 【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标.详解：（1）因为2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 221310A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而1A-2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 因此，点P 的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.16．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -.【答案】_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 试题分析：应用结合矩阵变换的定义可得：01b a =⎧⎨=-⎩，据此求解逆矩阵可得：_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 试题解析：设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵1102A -=对应的变化下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 求得逆矩阵_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.17．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】 （1）计算()1ABB -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果. （2）计算矩阵A 的特征多项式()121fλλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】（1）因为17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A AB B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ②当1λ=时，12210x x x y xy y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.18．已知矩阵14a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r 求矩阵A .【答案】2314⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，故5a b +=，解得答案.【详解】矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r u r，故33-=a b ； 属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r u r，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.19．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．20．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b .（1）求字母b 的代数余子式的展开式；（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-即可求解；（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b ，所以字母b 的代数余子式的展开式为：()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b=， 由正弦定理：sin sin c C b B= 所以sin sin c C b c b B a b-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.。
高考数学一轮复习-矩阵与变换课件-新人教A
规律方法 已知 A＝ac db，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令 f(λ)＝（ －λc－（a）λ－d－）b＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征 值 λ； (2)列方程组（ －λc－x＋a） （xλ－－db）y＝y＝0，0； (3)赋值法求特征向量，一般取 x＝1 或者 y＝1，写出相应的 向量．
y)变成点 A′(13，5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
解 由 M＝21 － －31，得|M|＝1， 故 M－1＝－－11 32.
从
而
由
2 1
－3 －1
x y
＝
13 5
得
x y
＝
－1 －1
3 2
13 5
＝
－－11××1133＋＋32××55＝－23，故yx＝＝－2，3，∴A(2，－3)为所求．
矩阵 M＝2b a1所对应的变换将直线 x－y＝1 变换成 x＋2y ＝1，求 a，b 的值． 解 设点(x，y)是直线 x－y＝1 上任意一点，在矩阵 M 的作 用下变成点(x′，y′)，则2b a1xy＝xy′′，
所以xy′′＝＝b2xx＋＋ya.y， 因为点(x′，y′)，在直线 x＋2y＝1 上，所以
①对于特征值 λ1＝－1， 解相应的线性方程组x2＋ x＋y＝2y＝0，0得一个非零解xy＝＝－1，1. 因此，α＝1－1是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝－1 的一个特征向量； ②对于特征值 λ2＝3，解相应的线性方程组2－x－2x2＋y＝2y0＝，0 得一个非零解xy＝＝11.， 因此，β＝11是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量．
因此，由 AX＝B，同时左乘 A－1，有 A－1AX＝A－1B＝2－1－3213＝－5 7. 即原方程组的解为yx＝＝5－. 7，
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
考研基础复习(线代)矩阵
进行分块矩阵的乘法运算时，注意： 进行分块矩阵的乘法运算时，注意： 左分块矩阵的列的分法 列的分法必须和右分块矩阵 左分块矩阵的 列的分法 必须和右分块矩阵 行的分法一致 一致. 的行的分法一致
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆 、
A1 O O A2 A= L L O O L O L O L L ， O As
O O L As
可逆的充要条件是： A1 , A2 , L , As 都可逆，且: 都可逆， 可逆的充要条件是：
O
A2 1 L
A 1
O
O L O L L ； 1 O As L
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆 、
特别： 为可逆矩阵， 特别：若 A 、 B 为可逆矩阵，则：
对于分块对角阵： 对于分块对角阵：
阶方阵， 其中 Ai 为 ni 阶方阵，有： | A |=| A1 | | A2 | | As | .
一、矩阵的基本内容 ——5、分块矩阵及其求逆 、
A1 O O A2 A= L L O O
A11 O = L O
分块对角阵
L L L O
A O O B
1
A 1 = O
1
O 1 ; B
O A B O
1
O 1 = A
B 1 O ;
A C O B
A 1 = O
A 1 CB 1 1 ； B
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆 、
A O C B
1
A 1 = B 1 CA 1
( A M E ) ~ ( E M A 1 ) （行变换） ； 行变换）
A E ~ 1 E A
； （列变换） 列变换）
高考高等数学复习攻略矩阵计算技巧
高考高等数学复习攻略矩阵计算技巧在高考的高等数学中，矩阵计算是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。
但其实，只要掌握了正确的方法和技巧，矩阵计算就能变得轻松易懂。
接下来，就让我们一起深入探讨高考高等数学中矩阵计算的技巧，为你的高考数学加分助力。
一、矩阵的基本概念首先，我们要清楚矩阵的定义。
矩阵是一个按照长方形排列的数表，比如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就记作 A(m×n)。
其中的每一个数都称为矩阵的元素。
在高考中，常见的矩阵类型有二阶矩阵和三阶矩阵。
比如二阶矩阵a b; c d ，三阶矩阵 ab c; d e f; g h i 。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法矩阵的加法要求两个矩阵的行数和列数都相同，然后将对应位置的元素相加。
例如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 A ＋ B ＝ 6 8; 10 12 。
2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。
比如，k 乘以矩阵 A ，记作 kA ，如果 A ＝ 1 2; 3 4 ，那么 2A ＝ 2 4; 6 8 。
3、矩阵的乘法矩阵的乘法相对复杂一些，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
比如，矩阵 A(m×n) 乘以矩阵 B(n×p) ，得到的结果是一个 m行 p 列的矩阵 C 。
具体计算时，C 矩阵的第 i 行第 j 列的元素等于 A 矩阵的第 i 行元素与 B 矩阵的第 j 列对应元素乘积之和。
例如，A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝ 19 22; 43 50 。
三、矩阵的转置将矩阵的行与列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
比如，矩阵 A ＝ 1 2 3; 4 5 6 ，那么它的转置矩阵 A^T ＝ 1 4; 2 5; 3 6 。
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数学复习：
一、矩阵定义
当一个矩阵的行数
与列数 相等时，该矩阵称为一个n 阶方阵square matrix 。
对于
方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线main diagonal 。
若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵identity matrix ，记为E n 或I n ，即：。
如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称
为下（上）三角矩阵，例如，是一个 阶下三角矩阵，而
则是一个
阶上三角矩阵。
二、矩阵运算
1、矩阵的加法addition matrix
设有两个m ⨯n 的矩阵A=(aij)，B=(bij)，则矩阵A 和B 的和记作A+B 。
即：
矩阵的加法满足下列运算律：
（1）交换律： ；
（2）结合律： ； （3）存在零元： ；
（4）存在负元：。
2、数与矩阵相乘 scalar multiplication
11111212112121
2222
221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎡⎤
⎢⎥+++⎢⎥
+=⎢⎥⎢
⎥
+++⎢⎥
⎣
⎦
数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ，规定为
数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 为m ⨯n 矩阵，λ、μ为数）： (i) (μλ)A=λ(μA)； (ii) (λ+μ)A=λA+μA ； (iii) λ(A+B)=λA+λB ；
3、矩阵与矩阵相乘matrix multiplication
1）只有当乘号左边的矩阵（称为左矩阵）的列数和乘号右边的矩阵（右矩阵）的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列=右行才能相乘。
2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。
这条可记为：积的行=左矩阵的行，积的列=右矩阵的列
3）乘积矩阵的元素（i,j ）等于左矩阵的第i 行和右矩阵的第j 列的对应元素的乘积之和。
这条可记为i ：积=（左矩阵行×右矩阵列）之和。
乘法满足下列 运算律 （ 1）结合律： ；
（ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律：
；
（ 4）数与矩阵乘法的结合律： ；
( 5 ) AI n =I n A=A 若
为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：
，并规定：
由
于矩阵乘法满足结合律，我们有： ，。
注意：
（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便
有意义，也未必有意义；倘使
都有意义，二者也未必相等，即AB 未必一定等于BA
1112121
22
212
n n m m mn a a a a a a A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
λλλλλλλλλλλ
（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者
（3）如果
并且
，未必有。
三、矩阵的转置transpose
把矩阵A 的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A 的转置矩阵，记作A T。
矩阵的转置运算满足下列运算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ）
； （4 ）。
四、矩阵的初等行变换matrix is reduced 1、矩阵的初等行变换的方法： ⑴变换矩阵的某两行位置；R 1↔R 2
⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素；K R 2
⑶把矩阵某一行的K 倍加到矩阵的另一行上去．K R 2 + R 3
注意：对矩阵A 进行初等行变换，得到新矩阵，原矩阵与新矩阵之间只能划箭头，不能划等号．
2、阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵的定义
如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的右边，同时没有一个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为阶梯形矩阵．如下列矩阵就是阶梯形矩阵。
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-420001310012321 如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元素都是1，且非零首元素所在列的其余元素都为0，则称这种矩阵为简化阶梯形矩阵a reduced matrix ．如下列矩阵就是简化阶梯矩
阵。
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-410020101001
五、线性方程组的解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111
以上线性方程组可写为矩阵形：AX =B
A ＝⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2122221
11211 X ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21 B ＝⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 方程AX=B 是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。
其中A 称为方程组的系数矩阵，X 称为未知矩阵，B 称为常数项矩阵。
将系数矩阵A 和常数项矩阵B 放在一起构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵．表示为A.
当B =0时，称方程组AX = 0为齐次线性方程组．Homogeneous linear quations 当B ≠0时，称方程组AX ≠0为非齐次线性方程组．Un-Homogeneous linear quations 1、齐次线性方程组解的判定定理：齐次线性方程组AX = 0一定有解,且
（1）当R(系数矩阵) =R(增广矩阵) = n （未知数个数）时，方程组只有唯一解；unique solution. （2）当R(系数矩阵) =R(增广矩阵) < n 时，方程组有无穷多解．Infinitely many solutions 2、非齐次线性方程组解的判定定理：非齐次线性方程组AX =B 有解的充分必要条件是 R(系数矩阵) =R(增广矩阵).具体为：
（1）当R(系数矩阵) =R(增广矩阵) = n （未知数个数）时，方程组有唯一解； （2）当R(系数矩阵) =R(增广矩阵) < n 时，方程组有无穷多解； （3）当R(系数矩阵) ≠R(增广矩阵) 时，方程组无解．No solutions 六、矩阵的逆矩阵inverse matrix
1、定义：若CA=AC=I n , 则称C 为A 的逆矩阵A -1。
（A ，C 均为方阵） 或者：若两个方阵的乘积为一个单位矩阵，则两个方阵互逆。
2、逆矩阵具有以下性质：
1 零矩阵不是可逆矩阵，单位矩阵一定是可逆矩阵。
2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A 是可逆的，A 的逆矩阵是唯一的。
4 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
5 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
3、判断矩阵的逆矩阵是否存在的方法：
If the reduced matrix is in the form of [I n
C],then C is the inverse of A.若简约矩阵
的形式是[I n C]，则C是A的逆矩阵。
4、判断逆矩阵不存在的方法：
1）if A is not an n⨯n matrix. 若A不是n阶方阵。
如下列矩阵没有逆矩阵。
A= 7 9 3 -2
3 1 -8 5。