空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
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2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 的单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ．
[双基自测]
1．已知 A(3,2，－3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
B.34，34，34 D.23，23，23
解析：如图，由已知O→G＝34O→G1 ＝34(O→A＋A→G1) ＝34[O→A＋13(A→B＋A→C)] ＝34O→A＋14[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)] ＝14O→A＋14O→B＋14O→C， 从而 x＝y＝z＝14. 答案：A
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}
或{e1,e2,e3}表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底
{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、
y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,
点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是(
)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量a,b,c共面,
故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称
它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算优秀课件
1 1 2 2 3 3
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
A
M
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x ,y ,z )使 =x i+ y j+ z k a 有序数组(x ,y ,z )叫做 a 在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
A
M
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x ,y ,z )使 =x i+ y j+ z k a 有序数组(x ,y ,z )叫做 a 在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
空间向量的正交分解及其坐标表示 .ppt
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
跟踪训练
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
祝
您
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任 意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是唯一的．
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一 空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
基础梳理
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )
( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
解析：结合空间直角坐标系知选 C. 答案：C
2．O，A，B，C 为空间四点，且向量O→A，O→B，O→C不能构成空间的一个基底，
则( )
A.O→A，O→B，O→C共线
B.O→A， O→B共线
C.O→B，O→C共线
D．O，A，B，C 四点共面
解析：由O→A，O→B，O→C不能构成基底知O→A，O→B，O→C三向量共面，所以，O，A，
2．空间直角坐标系 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为 原点 ，分别 以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz. 3．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它的起点与原点 O 重合，得
到向量O→P＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p
即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴－x＋3xy＝＋2y＝，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解．
∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可作为空间的一个基底．
判断一组向量能否作为空间的基底的方法 (1)关键是要判断它们是否共面，如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果 存在一个向量可以用另外的向量线性表示，也不能构成基底； (2)如果从正面难以入手，常用反证法或是借助一些常见的几何图形帮助我们进行 判断； (3)用反证法证明时，要结合空间向量共面定理．
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
空间向量的正交分解及其坐标表示(共23张PPT)
新知探求 素养养成
知识点一 空间向量基本定理 如图(1)所示,已知 AB =a, AD =b, AA1 =c, AC1 =p.
问题 1:向量 p 如何用向量 a,b,c 表示? 答案:p= AB + AD + AA1 =a+b+c.
梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课标要求
素养达成
1.理解空间向量基本定理,并能用 基本定理解决一些几何问题. 2.理解基底、基向量及向量的线性 组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在 适当的坐标系中写出向量的坐标.
通过对空间向量正交分解及其坐 标表示的学习,培养学生的思维能 力,提高学生的直观想象、空间思 维能力.
(3)用基底表示向量.
知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示
如图(2)所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,在AB,AD,AA1上分别取单位向量 e1,e2,e3.
问题 2:向量 AC1 如何用向量 e1,e2,e3 表示?
答案: AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1 =4e1+4e2+4e3.
解:能.假设 OA , OB , OC 共面, 根据向量共面的充要条件有 OA =x OB +y OC , 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
3x y 1,
所以
x
y
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b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ
使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a、b、c不共面，
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面， ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
ABCD，AD⊥AB，所以可设
→ DA
＝e1，A→B
＝e2，A→P
＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2) ＝－12e1＋12e3，
所以M→N＝－12，0，21，D→C＝(0,1,0)．
3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)， 求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
答案：(－1,4，－1)
1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底．
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
B→F、B→E、A→E、E→F.
答案：B→F＝－12a－12b＋12c； B→E＝－a－12b＋12c； A→E＝－a＋12b＋12c； E→F＝12a.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量
→ MN
、D→C
的坐标．
解析：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
答案：C
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表 示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表 示
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a
B．b
方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一
定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
→ OP
＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，
使得___p_＝__xe_1_＋__y_e_2＋__z_e_3__，把x，y，z称作向量p在单位正交
基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(_x_，__y_，__z_) .
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )来自A．1个B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
3．如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么 这个基底叫做________．
1．p＝xa＋yb＋zc
2．{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量
3．正交基底
4．设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的
单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共
起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量的基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得__________．
2．若三向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可 由a，b，c线性表示，所有空间向量组成的集合就是 ______________________，把{a，b，c}叫做空间的一个 __________，a，b，c叫做________．
8．四点共面：对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C， 若 P、A、B、C 四点共面， 则：
(1)A→P＝xA→B＋yA→C，(x，y∈R) (2)O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C(x，y∈R)； (3)O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)．
1．下列命题中真命题的个数是( C ) ①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示
使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a、b、c不共面，
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面， ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
ABCD，AD⊥AB，所以可设
→ DA
＝e1，A→B
＝e2，A→P
＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2) ＝－12e1＋12e3，
所以M→N＝－12，0，21，D→C＝(0,1,0)．
3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)， 求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
答案：(－1,4，－1)
1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底．
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
B→F、B→E、A→E、E→F.
答案：B→F＝－12a－12b＋12c； B→E＝－a－12b＋12c； A→E＝－a＋12b＋12c； E→F＝12a.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量
→ MN
、D→C
的坐标．
解析：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
答案：C
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表 示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表 示
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a
B．b
方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一
定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
→ OP
＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，
使得___p_＝__xe_1_＋__y_e_2＋__z_e_3__，把x，y，z称作向量p在单位正交
基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(_x_，__y_，__z_) .
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )来自A．1个B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
3．如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么 这个基底叫做________．
1．p＝xa＋yb＋zc
2．{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量
3．正交基底
4．设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的
单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共
起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量的基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得__________．
2．若三向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可 由a，b，c线性表示，所有空间向量组成的集合就是 ______________________，把{a，b，c}叫做空间的一个 __________，a，b，c叫做________．
8．四点共面：对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C， 若 P、A、B、C 四点共面， 则：
(1)A→P＝xA→B＋yA→C，(x，y∈R) (2)O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C(x，y∈R)； (3)O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)．
1．下列命题中真命题的个数是( C ) ①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示