第1章 利息理论基础08
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第一章 利息理论基础
⇒ d (1 + i ) = i ⇒ i − d = id
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) −1 δ ⇒ 1 + = 1 + i = e = (1 − d ) = 1 − m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) ⇒ 1 + = 1 − m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * ⇒ − = m m m m
k =1 k =1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δn − 1 a (n − 1)
d (4) 1− 4
4
(m )
d (4) 1− 4
3
d (4) 1− 4
2
1−
d
(4)
4
1 1
1− d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
(2) 1、 1 + i = 1 + i = 1 + 8% ⇒ i (2) = 7.85% 2
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δ −1 a (n − 1)
第一章 利息理论基础
名义利率
(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
1 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率
名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a (t ) 1 it i in 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i
单贴现
a
1
复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
dn
(t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
4
(m )
d ( 4) 1 4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
1 d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
2、
t 0.05(1 t )2
例1.3.1答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
利息的度量（四）变利息
利息论第一章
14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
27
m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
27
m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1
利息理论
通过上述各种信用工具的收益率可以看出，简易贷款和贴现债 券只在到期日偿付，所以收益率具有相对简单的形式；而固定分 期支付贷款和附息债券在到期日之前要不断地定期支付，所以收 益率的形式要复杂得多。 在学习本课程的过程中，我们需要对以下概念达成共识： 资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实 现的价值增值就越大。 等额的货币在不同的时间点上，由于受通货膨胀因素的影响，其 实际价值也是不同的。 货币的所有者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得 与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。 支付利息就是掌握和运用他人资金所付的代价，获取利息就是转 让货币使用权所得到的报酬。 利息就其实质而言是货币资金使用者在经济活动中获得利润的一 部分。
例：按复利计息，n年后的本利和为 n年后的本利和为
A(n) A(0) (1 i)n
n1 A ( n 1 ) A ( 0 ) ( 1 i ) 则第n-1年的利率为
A(n) A(n 1) A(0) (1 i) n A(0) (1 i) n1 in A(n 1) A(0) (1 i) n1 (1 i) 1 i
在以上的例子中，如果按单利计息，则实际利率为：
A(n) A(n 1) a(n) a(n 1) in A(n 1) a(n 1) (1 in) (1 i (n 1)) i (1 i(n 1)) 1 i (n 1)
可见，随着n的增大 in 将变小。以上例子说明，按单利计息时， 各年的利息率并不相同的。
以上例子说明，按复利计息时，任何一年的利息率都是相同的。
2、1、2 单利和复利 利息的计算方法有单利和复利两种。单利只在本金 上计算利息，其累积函数的形式为 a(t)=1+it (t≥0) 当 t=0时， a(0)=1 ，当 t=1时， a(1)=1+ ｉ，说明它经过 （0，1）和（1，1+ i）点。 见P12图2一2。
第1章利息理论
2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小
第一章利息的基本概念
28
计息方法
单利 标准复利
复利
一般复利 连续复利
2011-9-13
29
复利
单利具有这样的性质：利息并不再投资以赚取附加 的利息。例如，考虑$100的本金以10％的单利投资2 年。对于单利而言，投资者在两年中每一年末将收 入$10，但实际上，投资者在第2年中是有$110可用 以投资的。显然，如果用10％的利率投资$110将会 10 $110 更好，因为投资者将在第2年收入$11而不是$10。 复利理论用假设得到的利息自动再投资来处理这个 问题。 “复”这个词在这里是指利息再投资以得到 额外利息的过程。对复利而言，在任何时侯本金和 到该时为止得到的利息，总是都用去投资。
18
几种累积函数的比较
1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0 5 10 15 20
系列1 系列2 系列3
累积值
时间
2011-9-13 19
§1.1 利息度量
利息的基本概念 积累值与积累函数
积累值 积累函数 积累函数与单位积累函数的关系
2011-9-13
20
不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系而与该时期的具体位置无关
2011-9-13 26
单利是由满足如下条件的连续函数a(t) 所相应的累 积函数所给出的：
a ( s + t ) − a ( s ) = a (t ) − 1, t ≥ 0, s ≥ 0
或等价的
a ( s + t ) = a ( s ) + a (t ) − 1, t ≥ 0, s ≥ 0
租用期或投资期
利用本金的时间长度
计息期
在投资过程中，相邻两次计算利息的时间间隔 每一计息期一般是等长度的，如有：日、周、月、 季、半年、一年或几年不等
计息方法
单利 标准复利
复利
一般复利 连续复利
2011-9-13
29
复利
单利具有这样的性质：利息并不再投资以赚取附加 的利息。例如，考虑$100的本金以10％的单利投资2 年。对于单利而言，投资者在两年中每一年末将收 入$10，但实际上，投资者在第2年中是有$110可用 以投资的。显然，如果用10％的利率投资$110将会 10 $110 更好，因为投资者将在第2年收入$11而不是$10。 复利理论用假设得到的利息自动再投资来处理这个 问题。 “复”这个词在这里是指利息再投资以得到 额外利息的过程。对复利而言，在任何时侯本金和 到该时为止得到的利息，总是都用去投资。
18
几种累积函数的比较
1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0 5 10 15 20
系列1 系列2 系列3
累积值
时间
2011-9-13 19
§1.1 利息度量
利息的基本概念 积累值与积累函数
积累值 积累函数 积累函数与单位积累函数的关系
2011-9-13
20
不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系而与该时期的具体位置无关
2011-9-13 26
单利是由满足如下条件的连续函数a(t) 所相应的累 积函数所给出的：
a ( s + t ) − a ( s ) = a (t ) − 1, t ≥ 0, s ≥ 0
或等价的
a ( s + t ) = a ( s ) + a (t ) − 1, t ≥ 0, s ≥ 0
租用期或投资期
利用本金的时间长度
计息期
在投资过程中，相邻两次计算利息的时间间隔 每一计息期一般是等长度的，如有：日、周、月、 季、半年、一年或几年不等
第一章 利息的基本概念
对整数 n≥1
(1-10B)
假设常数复利利率为 i，那么， 对任意正整数 n，有 a(n)=(1+i)n ，于是
a(n) a(n 1) (1 i ) n (1 i ) n 1 dn = = (1 i ) n a ( n)
i = d 1 i
(1-10C)
与 n 无关，为一常数。这意味着， 常数的复利下，贴现率也也为常数。
单贴现
考虑贴现函数： a-1(t)=1-dt 0≤t<1/d (1-13) 称这种贴现函数对应的贴现方式为单贴现， 其中d为常数的单贴现率。 这里，要求0≤t<1/d是为了保证a-1(t)>0。
单贴现仅在短期业务中使用以及用作复 贴现在非整数时期内的近似。
单贴现和单利具有类似但反向的关系： 1．当投资时期加长时，常数的单利利率意 味着实质利率递减，而常数的单贴现意味 着实质贴现率(以及利率)递增。 2．单贴现和复贴现对单个时期产生的结果 相同。对较长时期，单贴现比复贴现产生 较小的现值，而对较短的时期则相反。
例1-3 某银行以单利计息，年息为4%，某 人存入8000元，问3年后的积累值是多少？
例1-4 如果上述银行以复利计息，其他条件 不变，重解上例。
例1-5 已知年实质利率为5.5%，求10年后 200000元的现值。
例1-6A 设0<i<1，证明：
（1）(1+i)t<(1+it) 若0<t<1； （2）(1+i)t=(1+it) 若t=1； （3）(1+i)t>(1+it) 若t>1。
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
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本金 利率：单位金额在一个度量时期所产生的利息。 时期长度 计息方式
二、利息的度量
0
积累函数 a(t ) 1------------------------------ a(t ) K------------------------------ A(t ) 金额函数 A(t ) 贴现函数 a 1 (t ) a 1 (t ) -----------------------------1 第N期利息 I (n) I (n) A(n) A(n 1)
3、利息度量——名义利率与名义贴现率
名义利率：将一个度量时期复利多次的利率称为名 义利率。
若每度量时期复利m次的名义利率以 i 表示，它 (m) 意味着每1/m度量时期的实质利率为 j i m ，即 有 i ( m ) mj 。 名义贴现率的定义与名义利率类似。
(m )
名义利率与实质利率关系
12
i ( 4) d (12) 1 1 3、 4 12
i
( 4)
0.06 3 41 1 12 6.0605 %
名义利率与瞬间利率
在名义利率 i 中，当m趋于无穷大时，就 得到瞬间利率，即恒定利息力 ，则有：
连续变化场合：函数利息力 (t )
a (t ) exp{ ( s ) ds}
0
t
离散变化场合：i1 ,, it (d1 ,, d t )
a(t ) (1 ik ) (1 d k ) 1
k 1 k 1 t t
例1.5
1、如果 t 1 t ，试确定1在n年末的积累值。 2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%， 最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累 值。 3、假定一笔资金头3年以半年度计息年利率6%计 息，随之2年以季度计息8%的年贴现率计息，若 5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额 应该为多少？
(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
名义利率 1 实质利率 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率与实质贴现率关系
成绩计算
平时成绩占30-40%： 主要包括出勤、作业等 考试成绩占60-70%
第一章
利息理论基础
利息的度量 利息问题求解 年金
第一节 利息的度量
一、利息的定义
定义：
利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补 偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
影响利息大小的要素：
实质利率与实质贴现率计算
已知期初本金和支付利息，计算实质利率
第N期实质利率
in
I ( n) A(n 1)
已知贴现利息和期末投资额，计算实质贴现率
第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
A(n )
A(0)
A(1) A( 2)
A(n 2) A(n 1)
0
1
2
I (n )
n
实质利率与实质贴现率关系
初始值 利息 积累值
1
i
d
0
1 i
1
t
v
v 1 d 1 i）1 （
v（ i） 1 1
d
i d ,i 1 i 1 d
例1.1 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年末存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
(m )
lim
m
i ( m) 1 m
m
lim
m
i ( m ) i (m ) m (1 m )
i ( m)
e
一般地，关于利息力，有，
4、利息度量——利息力与贴现力
利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。
例1.2
某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
例1.2答案
(1) 2%单利计息 A(5) 5000 (1 5 2%) 5500 ( 2) 2%复利计息 A(5) 5000 (1 2%)5 5520 (3) 2%单贴现计息 5000 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 A(5) 5000 A(5) 5531 （ 2% 5 1 ）
p0
现金流
p1
p2
pn
时间坐标 0
t1
方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
t2
tn
例1.6：求本金
某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
t
1、利息度量——实质利率与实质贴现率
期末计息——利率
实质利率：某一度量时期的实质利率是指以期初 一单位投资在一个度量时期末所支付的利息。 实质贴现率：某一度量时期的实质贴现率是指以 期末一单位投资在该度量时期期初所支付的利息。
期初计息——贴现率
实质利率通常记为i，实质贴现率通常记为d。 利息的度量时期通常取1年。
1 A(t m ) A(t ) t lim 1 m m A(t )
t
lim
t
A(t t ) A(t ) t A(t )
A(t ) d ln A(t ) Nhomakorabea A(t ) dt a(t ) d ln a (t ) a (t ) dt limi ( m ) limd ( m )
名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
d (4) 1 4
4
(m)
名义贴现率
d ( 4) 1 4
3
d (4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
实质贴现率 1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度计息8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付计息，到 第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度计息的名义利率，使其等于月度 计息6%名义贴现率。
例1.6答案
以第7年末为时间参照点，有
1.06 6 4 1.06 4 x 1.06 10 x 3.7435 千元
以第8年末为时间参照点，有
1.06 7 4 1.065 x 10 1.06 x 3.7435千元
例1.7：求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元， 问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元， 这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率 =？
复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
单复利计息之间的相关关系
in
i d d n 1 ( n 1)i 1 ( n 1)d
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒 定。 t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生 更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产 生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
参考答案 ： 各利率分别为2%、2.94%、1.96%和2.86%。
2、利息度量——单利与复利
线形积累
指数积累
单利
a (t ) 1 it in i 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i
单贴现
a 1 (t ) 1 dt dn d 1 ( n 1) d
保险精算学
主讲教师： 李少斌 Tel： 85221808 Email： tlishb@
保险精算内容
寿险精算 以生命表和利息理论为基础 本课程主要学习寿险精算 非寿险精算 经验损失函数 风险保费 未决赔偿准备金
寿险精算内容结构
基础
利息理论基础 （要求具备一定的数学运算基础） 生命表基础（要求一定的概率论和数理统计基础）
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第二节
利息问题求解
一、利息问题求解四要素 原始投资本金A(0) 投资时期长度t 利率及计息方式
期末/期初计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息计息次数：实质利率、名义利率、利息效力
本金在投资期末的积累值A(t)
二、利息问题求解原则
本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题 工具：现金流图
例1.3答案
1、 2、
i (4) P 1 4
4n
0.08 500 1 742.97 4
2n
20
d ( 2) A0 An 1 2
4