电路分析中零状态响应
零状态响应与全响应
(1)
式中，b为常数；τ 为电路的时间常数，对RC电路，
τ =R0C, 对于 RL 电路有 τ =L/R0 。式 (1) 是一阶非
电 路 分 析
图 1 一阶电路
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
8.2-14
电 路 分 析
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
电 路 分 析
8.2.1 零状态响应的概念
零状态响应
当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生 的响应（电压或电流）称为零状态响应（或称受 激响应）。
求解公式
一阶电路微分方程的一般形式为 y ( t ) + a y( t ) = f( t )
8.2-1
依此可以导出求零状态响应y( t )的一般方法。将上式两边乘以eat，
：通解（自由分量，暂态分量） uC
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
Ae uC
全解
t RC
变化规律由电路参数和结构决定
t RC
uC U S Ae uC uC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用
下产生的响应称为全响应。
由于一阶电路只含有一个动态元件(电容或电感)，
因此可应用戴维宁定理，将原电路简化等效成如图 1
所示的两种形式。根据 KL 及元件 VCR ，分别列出以电
容电压 uC(t) 和电感电流 iL(t) 为响应变量的电路方程， 整理后有
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
零状态响应定义
零状态响应定义
零状态响应指的是在输入信号为0时，系统输出的响应，也叫做自然响应。
在电路中，一些元件（如电感、电容）会在没有外部输入信号的情况下存储能量。
当外部输入信号突
然变为0时，这些元件会释放存储的能量，系统会产生一个过渡响应，这种过渡响应就是
零状态响应。
以RC电路为例，电路中有一个电容C和一个电阻R，当输入信号突然变为0时，电容
C中会存储一定的电荷。
此时，电路中没有外部输入，电容C会自行放电，产生一个自然
过渡响应。
零状态响应是电路中不可避免的一部分，其大小和电路中元件的参数有关。
在电路分
析和设计中，往往需要对零状态响应进行计算和控制。
常用的方法有使用拉式变换求解微
分方程，或者使用矩阵运算求解线性方程组等。
通过设计电路中的元件参数，可以控制系统的零状态响应。
例如，加大电感L的值可
以减小零状态响应，而增加电容C的值则可以增大零状态响应。
在实际应用中，需要根据
具体场景选择合适的元件参数，以满足设计要求。
(电路分析)一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：储能元件的初始状态为零，仅由外加激励作用所产生的响应，称为零状态响应（ zero-state response ）。
一、 RC 电路的零状态响应图 5.4-1 所示 RC 电路，开关闭合之前电路已处于稳态，且电容中无储能，即。
时开关闭合，讨论时响应的变化规律。
t=0 时开关闭合，则由换路定则得这时直流电压源 Us 与 R 、 C 构成回路，由 KVL 得这是一阶非齐次微分方程，它的解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。
采用常数变易法来解，得 RC 电路的零状态响应为当 t →∞时，电路已达到新的稳态，电容又相当于开路，则，因此，电容电压的零状态响应为式中，为 RC 电路的时间常数。
二、 RL 电路的零状态响应图 5.4-3 所示电路，时开关 S 处于闭合状态，电感的初始状态，时开关打开。
讨论开关打开后响应的变化规律。
t=0 时，开关 S 打开，直流电流源 Is 开始对电感充电，这时这也是一阶非齐次微分方程，解得式中，为 RL 电路的时间常数。
当 t →∞时，这时电路已达到新的稳态，电感相当于短路。
，因此，电感电流的零状态响应为三、一阶电路零状态响应的计算计算步骤1 、求 t →∞时的稳态值。
对于 RC 电路，求；对于 RL 电路，求。
2 、求电路的时间常数τ。
对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。
其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。
3 、求出零状态响应RC 电路：RL 电路：4 、如需求其它响应，再根据已求得的或去求解。
例 5.4-1 图 5.4-5 所示电路，已知时开关 S 处于位置 2 ，且电感中无储能， t=0 时开关 S 拨到位置 1 ，求时的，。
解：电感的初始储能为 0 ，则电路换路后， t →∞时，电路进入新的稳态，电感又相当于短路，则换路后，从电感两端看进去的等效电阻是 4 Ω和 8 Ω两个电阻串联，即R=4 ＋ 8=12 Ω所以，时间常数为因此，电路的零状态响应为。
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式在电路理论中，一阶电路是指由一个电感或一个电容和一个电阻组成的电路。
它是电路理论中最基本的电路之一，也是我们学习电路的起点。
在分析一阶电路时，我们经常需要计算电路的零状态响应，即在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。
一阶电路的零状态响应公式可以通过求解电路的微分方程得到。
对于一个由电感、电阻和输入电压源组成的串联电路，我们可以根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律建立如下的微分方程：L di/dt + Ri = Vin其中，L是电感的感值，单位是亨利；R是电阻的阻值，单位是欧姆；Vin是输入电压源的电压，单位是伏特；i是电路中的电流，单位是安培；t是时间，单位是秒。
为了求解这个微分方程，我们可以使用分离变量法。
首先，将方程两边除以L，得到：di/dt + (R/L)i = Vin/L接下来，我们可以将这个微分方程进行变换，使得左边只有i的导数，右边只有t和Vin。
具体的变换方法是将方程两边乘以e^(Rt/L)，得到：e^(Rt/L)di/dt + (R/L)e^(Rt/L)i = (Vin/L)e^(Rt/L)这样，左边的第一项可以通过链式法则转化为：d(e^(Rt/L)i)/dt右边的第一项可以通过乘法法则转化为：(Vin/L)e^(Rt/L)现在，我们可以将方程重新写成：d(e^(Rt/L)i)/dt = (Vin/L)e^(Rt/L)接下来，我们对方程两边进行积分，得到：∫d(e^(Rt/L)i) = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt对于左边的积分，我们可以使用积分的基本性质，得到：e^(Rt/L)i = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + C其中，C是积分常数。
最后，我们可以解出i的表达式：i = (1/L)e^(-Rt/L)∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + Ce^(-Rt/L)这就是一阶电路的零状态响应公式。
通过这个公式，我们可以计算出在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应公式对于控制理论中的系统分析和设计，零状态响应和零输入响应是非常重要的概念。
它们是系统的两种不同响应方式，对于我们理解系统的行为和预测其未来运动是非常有帮助的。
一、什么是零状态响应？在系统中，当没有输入信号时，系统的初始状态被称为零状态。
在这种情况下的系统响应被称为零状态响应。
零状态响应是系统初始状态的响应，当外部信号（输入信号）为零时，系统的响应只依赖于系统在初始状态下的状态。
零状态响应通常用$y_{Z}(t)$表示。
对于某些系统，零状态响应很容易被确定。
例如，对于一个电路，我们可以将电路关闭并将它处于某个初始状态，然后再打开电路并查看其响应。
在这种情况下，零状态响应就是由系统内部元件和初始状态所定义的。
有时，系统的零状态响应可以由初始时间和初始状态以及系统的传递函数来计算出来。
在这种情况下，我们可以使用下面这个公式进行计算：$$y_{Z}(t) = h(t) * x_{Z}$$其中，$h(t)$代表系统的单位脉冲响应，可以通过系统的传递函数来计算得到；$x_{Z}$代表系统的初始状态。
因此，如果我们已知系统的传递函数和初始状态，我们可以使用这个公式来计算出零状态响应。
二、什么是零输入响应？当外部信号是零时，系统的响应依然存在，这样的响应被称为零输入响应。
例如，对于受到突然冲击的机械系统，即使没有任何外力作用，机械系统也会继续振动，这就是零输入响应。
零输入响应是仅仅由系统本身的特性所决定的响应，与外部信号无关。
零输入响应通常用$y_{I}(t)$表示。
对于某些系统，零输入响应很容易确定。
例如，对于一个谐振系统，它的零输入响应可以通过对自然频率进行计算得出。
在这种情况下，我们可以使用下面这个公式进行计算：$$y_{I}(t) = c_{1}e^{s_{1}t} + c_{2}e^{s_{2}t} + ... + c_{n}e^{s_{n}t}$$其中，$s_{1}, s_{2},...,s_{n}$是系统的本征值，$c_{1}, c_{2},...,c_{n}$是待定系数，可以通过设置初始条件来计算得出。
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
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图8-9
图8－10 RC电路的零状态响应曲线
t
uC (t ) U S (1 e τ )
iC (t )
US R
t
eτ
从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US，经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US， 经过(4～5)时间后电容电压实际上达到US。
电容电流则从初始值US/R以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 =RC。 当时间常数 越大，充电过程就越长。
uC (0 ) uC (0 ) 0
先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中
Uoc 100V
电路的时间常数为
Ro 250
RoC 250 106 F 250 106 s 250s
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得
UC () Uoc 100V
由此求得
iL (0 ) iL (0 ) K IS 0
K IS
Rt
iL (t ) IS (1 e L )
最后得到RL一阶电路的零状态响应为
Rt
t
iL (t ) IS (1 e L ) I S (1 e )
uL (t )
L diL dt
Rt
RISe L
t
RISe
其波形曲线如图8－13所示。
(t 0)
二、RL电路的零状态响应
RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。图8-12所示电路在开关转换前，电感电流为零，即 iL(0-)=0。当t=0时开关由a倒向b，其电感电流和电感电压的计算如下：
图8－12 RL电路的零状态响应
以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程
iR iL IS
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。
名称 1 电容器的放电过程 3 电容器的充电过程 5 电容器充放电过程 7 RC和RL电路的响应 9 电路实验分析
时间 2:05 2 2:50 4 2:48 6 3:06 8 2:47
名称 电容器放电的波形 电容器充电的波形 直流电压源对电容器充电 RC分压电路的响应
在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。
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例8-3 电路如图8-11(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0 打开开关，求t0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及 电阻电流i1(t)。 uC(0-)=0
图8-11
图8-11
解：在开关断开瞬间，电容电压不能跃变，由此得到
(t 0) (t 0)
(8 14a) (8 14b)
图8－13 RL电路零状态响应的波形曲线
例8－4 电路如图8-14(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。
图8-14
iL (0 ) 0
图8-14
解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电 感电压有界，电感电流不能跃变，即
t
uC (t ) US (1 e RC )
代入式(8－10)中得到零状态响应为
t
t
uC (t ) US (1 e RC ) U S (1 e τ )
iC (t )
C
duC dt
US
e
t RC
R
US
t
eτ
R
(t 0) (t 0)
(8 11a) (8 11b)
其波形如图(8－10)所示。
§8－2 零状态响应
初始状态为零，仅仅由独立电源(称为激励或输入)引起的响应，称为零状态响应。本节只讨论由直 流电源引起的零状态响应。
一、 RC电路的零状态响应
图8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。t=0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接， 电压源通过电阻对电容充电。
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。
uC
US
Hale Waihona Puke (8 8)这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即
uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
(8 9)
式中的uCh(t)是与式（8－8）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即
uCh (t )
Ke st
t
Ke RC
(t 0)
式(8－9)中的uCp(t)是式(8－8)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相 同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令
uCp (t ) Q
RC
duC dt
uC
US
将它代入式(8－8)中求得
uCp (t ) Q US
因而
t
uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) Ke RC US
(8 8)
(8 10)
式中的常数K由初始条件确定。在t=0+时
uC (0 ) K US 0
由此求得
K US
(t 0)
uL (t )
L diL dt
0.4 1.5 20e20t V 12e20t V
假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧姆定律求得
(t 0)
i(t ) 36V uL (t ) 36V 12e20t V (1.5 0.5e20t )A
24
24
在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。
时间 2:07 2:41 1:51 2:14
郁 金 香
iL (0 ) iL (0 ) 0
将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时 间常数为
L 0.4 s 0.05s
Ro
8
iL (t ) 1.5(1 e20t )A
按照式(8－14)可以得到
图8-14
iL (t ) 1.5(1 e20t )A
uC(0-)=0
图8-9
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。
uC(0-)=0
图8-9 (a) t<0 的电路 (b) t>0 的电路
uC(0+)=0
以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程
uR uC US
RiC uC US
RC
duC dt
uC
US
(8 8)
RC
duC dt
按照式(8－11)可以得到
uC (t )
Uoc (1
t
eτ
)
100(1
e 4103 t
)V
(t 0)
iC (t )
C
duC dt
106 100 4 103 e 4103 t A 0.4e 4103 t A
(t 0)
为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到
i1 (t ) IS iC (t ) (1 0.4e 4103 t )A
UL R
iL
IS
L R
diL dt
iL
IS
(t 0)
这是常系数非齐次一阶微分方程，其解为
(8 12)
常系数非齐次一阶微分方程的其解为
Rt
t
iL (t ) iLh (t ) iLp (t ) Ke L IS Ke IS
式中 =L/R是该电路的时间常数。常数K由初始条件确定，即
(8 13)