浙江省宁波市高一上学期期末数学试卷
第一学期期末试卷高一数学
4.已知 则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用指数函数的性质比较 的大小 再利用幂函数的性质比较 的大小 即得解.
【详解】因为 是单调递增函数 所以
因为 是单调递增函数 所以
所以 .
故选：A.
5.已知函数 是定义在 上的奇函数 且满足 则 （）
A. B. 0C. 1D. 2022
四 解答题：本题共6小题．共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17.设 集合 ．
（1）若 求 ；
（2）若 求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求出集合AB再求 ；
（2）先求出B由 对a进行分类讨论 求出a的取值范围．
【小问1详解】
当 时
所以 .
【小问2详解】
集合 所以 .
【答案】（1）函数 为奇函数 证明见解析
（2）3或
【解析】
【分析】（1）以奇函数定义证明函数 为奇函数即可解决；
（2）按底数a分类讨论 依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决.
【小问1详解】
函数 为奇函数 证明如下：
由 解得 则函数 定义域为
故函数 为奇函数
【小问2详解】
令
由 得 即
当 时 在 上单调递减 值城是[－11]
(1)直接求零点：令f(x)＝0如果能求出解 则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[ab]上是连续不断的曲线 且f(a)·f(b)＜0还必须结合函数的图象与性质(如单调性 奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差 画两个函数的图象 看其交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点．
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
浙江省宁波市2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【解析】
【分析】
化简不等式 ，分离常数 ，根据 的取值范围，求得 的取值范围.
【详解】
原命题等价于存在 ,使得 成立,
即存在 ,使得 成立，即 ,因此 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.
【答案】 (1). 2 (2). 1
【解析】
分析】
根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.
【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为 ，由扇形的面积公式得 .
(Ⅰ)当 时,求 , ;
(Ⅱ)若 ,求实数m的取值范围.
【答案】(Ⅰ) , ; (Ⅱ)
【解析】
【分析】
（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合 ，由此求得 , .
（II）根据 列不等式组，解不等式组求得实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 时,得 ,
由 ,得 ,
于是 ,
;
（Ⅱ）若 ,
1.设全集 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集的概念和运算，求得 .
【详解】根据补集的概念和运算可知 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.
2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在 上单调递增的是( )
浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含解析)
高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合[]2,2A =-，集合{}230B x x x =-≥，则()RA B ⋂=ð（）A.[]2,0-B.[]2,3-C.(]0,2 D.(][),23,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R A Bð【详解】()2330x x x x -=-≥，解得0x ≤或3x ≥，所以{|0B x x =≤或}3x ≥，所以{}R |03B x x =<<ð，所以()R A B ⋂=ð(]0,2.故选：C2.函数()3log 5f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在()0,∞+上单调递增，()()3310,4log 410f f =-<=->，所以()f x 的零点在区间()3,4.故选：B3.已知a ，b 为非零实数，则“01ab<<”是“a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】当01ab<<时，,a b 同号且非零，则01a b <<，所以a b <.当a b <时，如1,2a b =-=，则0b a<，无法得到01a b <<.所以“01ab<<”是“a b <”的充分不必要条件.故选：A4.函数π2tan 36y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（）A.ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ B.ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.ππ,Z 63k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D.ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由ππ3π62x k +≠+，解得ππ93k x ≠+，所以函数的定义域是ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：D5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，则()2022f =（）A.-1 B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()()()()2111f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()202200f f ==.故选：B6.已知tan 3α=，则()()sin π2cos ππ3πsin cos 22αααα-++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.12-B.14C.54D.12【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()()sin π2cos πsin 2cos tan 2321π3πcos sin 1tan 134sin cos 22αααααααααα-++---====+++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知,x y ∈R ，221x y xy ++=，则（）A.22x y+的最大值为23且x y +的最大值为3B.22x y +的最大值为23且x y +的最小值为0C.22x y +的最小值为23且x y +的最大值为3D.22x y+的最小值为23且x y +的最小值为0【答案】C 【解析】【分析】利用222x y xy +≥可求出22xy +的最小值，利用2()4x y xy +≥可求出x y +的最大值.【详解】利用222x y xy +≥，则22222212x x y xy x y y ++++=≤+，整理得2223x y +≥，当且仅当x y =，即2213x y ==时取得等号，即22x y +的最小值为23；利用2()4x y xy +≥，2221()x y xy x y xy ++==+-，即22()()14x y xy x y +=+-≤，整理得24()3x y +≤，即33x y -≤+≤，当且仅当3x y ==时取得等号，故x y +的最大值为3.故选：C 8.若关于x 的方程()()2221161x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则()12311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为（）A.-6B.-4C.-3D.-2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知0x ≠，由()()2221161x m x x x +-+=+整理得114201x m m x x x++--⋅=+①，即关于x 的方程恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，令1t x x=+，则2t ≤-或2t ≥，则①转化为1420t m m t+--⋅=，即()()222420,48160t m t m m m m +--=∆=-+=+>，根据对勾函数的性质可知1112t x x =+=-是方程()2420t m t m +--=的一个根，所以()()()224220,3m m m -+-⨯--==，所以260t t --=，解得2t =-或3t =，所以23,x x 是方程13x x+=的根，即2310x x -+=的根，所以233x x +=，所以()()12311236x x x x ⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的有（）A.若θ是锐角，则θ是第一象限角B.π1rad 180︒=C.若sin 0θ>，则θ为第一或第二象限角D.若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】ABD 【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A 选项，θ是锐角，即π02θ<<，所以θ是第一象限角，A 选项正确.B 选项，根据弧度制的定义可知π1rad 180︒=，B 选项正确.C 选项，当π2θ=时，πsin 12=，但θ不是象限角，C 选项错误.D 选项，θ为第二象限角，即πππ2π2ππ,ππ,Z 2422k k k k k θθ+<<++<<+∈，所以2θ为第一或第三象限角，D 选项正确.故选：ABD10.关于函数()11cos f x x=+，下列说法正确的是（）A.函数()f x 定义域为RB.函数()f x 是偶函数C.函数()f x 是周期函数D.函数()f x 在区间()π,0-上单调递减【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于cos π1,1cos π0=-+=，所以()f x 的定义域不是R ，A 选项错误.由1cos 0x +≠得cos 1x ≠-，所以2ππ,Z x k k ∈≠+，所以()f x 的定义域是{}|2ππ,Z x x k k ≠+∈，()f x 的定义域关于原点对称，()()()111cos 1cos f x f x x x-===+-+，所以()f x 是偶函数，B 选项正确.()()()112π1cos 2π1cos f x f x x x+===+++，所以()f x 是周期函数，C 选项正确.当2ππ,Z x k k ∈≠+时，1cos 0x +>恒成立，1cos y x =+在()π,0-上单调递增，所以()11cos f x x=+在区间()π,0-上单调递减，D 选项正确.故选：BCD11.已知0a >且1a ≠，函数()()0axf x x ax =->的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意0a >且1a ≠，0010a a -=-<，B 选项错误.()11f a=-当10,01a a -><<时，()10f >，且()=-axf x x a 在()0,∞+上递增，A 选项符合题意.当10,1a a -<>时，()10f <，在CD 选项中，C 选项错误，则D 选项正确.故选：AD12.已知实数a ，b 满足33log log 3log log 4b a a b +=+，则下列关系式可能正确的是（）A.(),0,a b ∃∈+∞，使1a b ->B.(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =C.(),1,a b ∀∈+∞，有2b a b <<D.(),0,1a b ∀∈，有2b a b <<【答案】ABCD 【解析】【分析】由原方程可得333411log log log log b a b a-=-，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令1ab =，代入原方程转化为判断2ln 3ln12(ln )2b ⋅=是否有解即可判断B ，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出,a b 大小，判断CD ，【详解】对于A ，由33log log 3log log 4b a a b +=+得333411log log log log b a b a-=-，令331()log log f x x x =-，则()f x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，令341()log log g x x x=-，则()g x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，当(0,1)x ∈时，()f x 的值域为R,当(2,)x ∈+∞时，()g x 的值域为3(log 22,)-+∞，所以存在(0,1),(2,)b a ∈∈+∞，使得()()f b g a =；同理可得，存在(2,),(0,1)b a ∈+∞∈，使得()()f b g a =，因此,(0,)a b ∃∈+∞，使1a b ->，A 正确；对于B ，令1ab =，则方程33log log 3log log 4b a a b +=+可化为3log 3log 42log b b b +=，由换底公式可得2ln 3ln12(ln )02b ⋅=>，显然关于b 的方程在(0,)+∞上有解，所以(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =，B 正确；对于C ，当(),1,a b ∈+∞时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-，所以()()f b f a <，又()f x 在()1,+∞上单调递增，所以b a<.又334344111log log log log log log b a a b a a -=->-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a >，所以34log log b a >，从而可得4233log log log log b a >=>，所以b >．综上所述可得2b a b <<，C 正确；对于D ，当(),0,1a b ∈时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=->-，所以()()f b f a >，又()f x 在()0,1上单调递增，所以b a>.又333444111log log log log log log b a a b a a -=-<-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a <，所以34log log b a <，从而3423log log log log b a <=<，所以b <．综上所述可得2b a b <<，所以D 正确．故选：ABCD【点睛】关键点点睛：对于CD 选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出34log ,log b a 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简求值：()439log 3log 2log 2⨯+=______.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.【详解】()4394332311log 3log 2log 2log 3log 2log 2log 3log 22⎛⎫⨯+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭3221lg3lg 13log 22lg 2lg324=⨯⨯=⨯=.故答案为：3414.已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，当[]2,2x ∈-时，值域为[]22-,，且在[]22-,上有两个零点，请写出一个满足上述条件的()f x =______.【答案】22x -（答案不唯一，如22x -亦可）【解析】【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.【详解】根据函数自变量[]2,2x ∈-时，函数值域为[]22-,，可考虑二次函数2()2f x x =-，根据二次函数性质可知[]2,2x ∈-时，min ()(0)2f x f ==-，max ()(2)(2)422f x f f ==-=-=，令()0f x =，解得x =[]22-,上有两个零点.故答案为：22x -（答案不唯一，如22x -亦可）15.炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为22100πcm ，则当该纸叠扇的周长最小时，AB 的长度为______cm.【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，根据扇形ABC 的面积得到rl ，纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，则扇形面积12S rl =.由题意得21100π2rl =，所以2200πrl =.所以纸叠扇的周长240πC r l =+≥==，当且仅当22,200π,r l rl =⎧⎨=⎩即10πr =，20πl =时，等号成立，所以此时AB 的长度为10πcm .故答案为：10π16.已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则实数ω的最大值是______.【答案】173【解析】【分析】化简函数解析式，先求出π6x ω+整体的范围，由在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点得出不等式，解出ω的范围，再结合k 的取值，即可求解.【详解】()πcos 2sin(6f x x x x ωωω=+=+，由ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得ππππ36626x ωωπω+<+<+，又()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点，则()πππ36,ππ1π26k k k ωω⎧≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得6165,23k k k ω-+≤≤∈Z ，又6165236102k k k -+⎧≤⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得11366k <<，又k ∈Z ，所以1k =或2k =，当1k =时，51123ω≤≤；当2k =时，111723ω≤≤；综上：ω的最大值为173.故答案为：173.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①x A ∈是x B ∈的充分不必要条件；②A B ⊆；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}11A x m x m =-≤≤+，集合{}2B x x =≤.（1）当2m =时，求A B ⋃；（2）若______，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[]2,3A B =-U （2）答案见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.（2）通过选择的条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】222x x ≤⇔-≤≤，所以[]2,2B =-.当2m =时，[]1,3A =，所以[]2,3A B =-U .【小问2详解】由（1）得[]2,2B =-，选①，x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩且等号不同时成立，解得11m -≤≤.选②，A B ⊆，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得11m -≤≤.选③，A B ⋂=∅，则12m ->或12m +<-，解得3m >或3m <-.18.已知函数()sin cos f x x x =+，且()15f α=-，()0,πα∈.（1）求()f α-的值；（2）若()1cos 3αβ-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β.【答案】（1）75-（2）415【解析】【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问1详解】由题意()1sin cos 5f ααα=+=-，()0,πα∈，由于sin 0α>，所以cos 0α<，故由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩可解得3sin 5α=，4cos 5α=-.所以()7sin cos 5f ααα-=-+=-.【小问2详解】由（1）可知：π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,παβ-∈因为()1cos 3αβ-=，所以()sin 3αβ-==，所以()()()()624cos cos cos cos sin sin 15βααβααβααβ-=--=⋅-+⋅-=.19.已知函数()()2213f x ax a x a =-+-+，a ∈R .（1）若()()()213g x f x a x a =--+-在()0,3上有零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求实数a 的值.【答案】（1）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）12a =或1a =【解析】【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围.（2）根据()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得a 的值.【小问1详解】()()()22121g x x a x x x a =-+=-+⎡⎤⎣⎦在()0,3上有零点，所以()()3210,3,10,2x a a ⎛⎫=+∈+∈ ⎪⎝⎭，所以11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验即可：①若172224f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴167a =.()f x 的图象开口向上，对称轴2316x =，而231162>，不成立，舍.②若()3232f a =-=-，∴12a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴3x =，成立.③若111122f a a a ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，∴12a =或1a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴11x a =+，而此时111,32a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，成立.综上可知，12a =或1a =.20.已知函数()()()1sin 03f x x ωϕω=+>的图象如图所示.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象.若()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z （2）[]0,1【解析】【分析】（1）根据函数图象求得()f x 的解析式，然后利用整体代入法求得()f x 的对称中心.（2）利用三角函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，根据()g x 在区间5π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域转化不等式()1g x t -≤，由此求得t 的取值范围.【小问1详解】由图可知：πππ23124T =-=，所以π2π2T ω==，所以4ω=，()()1sin 43f x x ϕ=+，又π1π1πππsin ,sin 1,2π12333332f k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π6k ϕ=+，k ∈Z .所以()1π1πsin 42πsin 43636f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π4π6x k +=，k ∈Z ，则ππ424k x =-，k ∈Z .所以()f x 的对称中心为ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z .【小问2详解】由题()ππ5sin 2sin 2π366g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当5π5π5π,0,20,1266x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()[]0,1g x ∈.因为()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()()max min11g x t g x t ⎧≤+⎪⎨≥-+⎪⎩.所以[]0,1t ∈.21.近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()f x （单位：元）与时间x （单位：天）()*130,N x x ≤≤∈的函数关系满足()10kf x x=+（k 为常数，且0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x 15202530()g x 105110105100设该文化工艺品的日销售收入为()M x （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()g x ax b =+；②()g x a x m b =-+；③()xg x a b =⋅；④()log b g x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()g x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()g x ，求()M x 的最小值.【答案】（1）1k =（2）选择函数模型②()g x a x m b =-+，()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N（3）961【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k 的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得,,a b m ，从而求得()g x 的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以()()()15151510105105715k M f g ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =.【小问2详解】由表中的数据知，当时间x 变化时，()g x 先增后减.而函数模型①()g x ax b =+；③()x g x a b =⋅；④()log b g x a x =都是单调函数，所以选择函数模型②()g x a x m b =-+.由()()()()152515*********g g g a b g b ⎧=⎪=+=⎨⎪==⎩，解得1a =-，110b =，20m =.所以日销售量()g x 与时间x 的变化关系为()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N.【小问3详解】由（2）知()**90,120,N 20110130,2030,Nx x x g x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩所以()()()()**110(90),120,110130,2030,x x x x M x f x g x x x x x ⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 即()**9010901,120,130101299,2030,x x x x M x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩N N .当120x ≤≤，*x ∈N 时，由基本不等式得，()9010901901961f x x x =++≥+=当且仅当9010x x=，即3x =时，等号成立.当20x 30<≤，*x ∈N 时，()130101299f x x x=-++单调递减，所以()()133********f x f ≥=+>.综上所述：当3x =时，()f x 取得最小值，最小值为961.22.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()()21f x f x =，则称函数()f x 是“()V k 型函数”.（1）判断()21f x x =+是否为“()1V -型函数”?并说明理由；（2）若存在实数k ，使得函数()()22log 1g x x ax =++始终是“()V k 型函数”，求k 的最小值；（3）若函数()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩，是“()1V 型函数”，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）1（3）1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“()V k 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.（2）根据()g x 的定义域求得a 的范围，结合“()V k 型函数”的定义以及函数的单调性求得k 的取值范围.（3）对a 进行分类讨论，根据“()V k 型函数”的定义列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】()21f x x =+是偶函数，且在(),0∞-递减，()0,∞+递增.当[)1,x ∈-+∞时，()[)1,f x ∈+∞；当(),1x ∈-∞-时，()(),2f x ∈-∞.若取10x =，则不存在()2,1x ∈-∞-，使得()()211f x f x ==.所以()21f x x =+不是“()1V -型函数”.【小问2详解】首先函数()()22log 1g x x ax =++定义域为R ，则240a ∆=-<，解得22a -<<.由复合函数单调性可知：()g x 在,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭a 单调递减，在,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 单调递增.所以只需2a k >-对()2,2a ∀∈-恒成立即可.所以1k ≥，即k 的最小值为1.【小问3详解】由题()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”.当1a <时，()h x 在[)1,+∞上单调递增，()[)1,h x a ∈+∞.而()[)20,h x ∈+∞，要使2x 存在且唯一，则有01a a a≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥.所以1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.当1a ≥时，()h x在(递减，)+∞递增，()11,h x ⎡∈-+∞⎣.而()()21,h x a ∈-+∞，要使2x 存在且唯一，则有11a -<-，解得4a <.所以[)1,4a ∈.综上可知：1,42a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.。
浙江省宁波市11-12学年高一上学期期末试题(数学)
浙江省宁波市11-12学年高一上学期期末试题（数学）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．本次考试不得使用计算器. 请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}R x x y y B R x x y y A ∈==∈==,|,,|2，则B A 等于（A ）R （B ）[)+∞,0 （C ）{(0,0),(1,1)} （D ）∅ 2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 （A ）12 （B ）13 （C ）23（D ）1 3．设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（A ）3,1,1- (B) 1,1- (C) 3,1- (D) 3,1 4．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是（A ）至多有一件是次品 (B) 两件都是次品 （C ）只有一件是次品 (D)两件都不是次品 5．某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19，则这射手在一次射击中至多8环的概率是（A ）0.48 （B ）0.52 （C ）0.71 （D ）0.29 6．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是（A ）21 （B ）26 （C ）30 （D ）55 7．设函数x x g 21)(-=，)0(1))((≠-=x x x x g f ，则=)21(f （A ）1 （B ）3 （C ）15 （D ）30(第6题)8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； (3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人单独购买A ，B 商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是 （A ）413.7元 （B ）513.7元 （C ）546.6元 （D ）548.7元9．函数x x x xe e y e e --+=-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）10．已知函数1()||f x x x=-，若0a b <<且()()f a f b =，则一定有 （A ）1>ab （B ）1a b << （C ）b a <+1 （D ）1a b +>第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ▲ ．12．已知124(0)9a a =>，则23log a = ▲ ． 13．设函数[)()⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,2,122)(2x x x x x x f ，则函数41)(-x f 的零点为 ▲ ．14．若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是 ▲ ．15．某班有学生55人,其中音乐爱好者35人,体育爱好者45人, 还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱 好音乐的学生有 ▲ 人.(第14题)16．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的 元件长度 (单位：mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图)．若规定长度在 [99，103) 内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是 ▲ ．17．已知函数()223)(≠--=a a axx f ，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）随机抽取某中学甲、乙两班10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差.19．（本小题满分14分）设全集R I =，已知集合(){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛==≤+=-62212|,03|2x x x N x x M ．（Ⅰ）求()N M C I ；（Ⅱ）记集合{}2=A ，已知{}R a a x a x B ∈-≤≤-=,51|， 若B B A = ，求实数a 的取值范围．80 3 6 8 9 15 9甲班18 1217 9 9 1 0 2 5 8 8 8 3 216 乙班第18题(第16题)20．（本小题满分14分）已知集合{}5,3,1,1-=M 和{}4,2,1,1-=N . 设关于x 的二次函数()R b a bx ax x f ∈+-=,14)(2．（Ⅰ）若1=b 时，从集合M 取一个数作为a 的值，求方程0)(=x f 有解的概率； （Ⅱ）若从集合M 和N 中各取一个数作为a 和b 的值，求函数)(x f y =在区间[)+∞,1上是增函数的概率．21．（本小题满分15分）若函数)(x f 在定义域内存在区间[]b a ,，满足)(x f 在[]b a ,上的值域为[]b a ,，则称这样的函数)(x f 为“优美函数”. （Ⅰ）判断函数x x f =)(是否为“优美函数”？若是，求出b a ,；若不是，说明理由；（Ⅱ）若函数t x x f +=)(为“优美函数”，求实数t 的取值范围．22．（本小题满分15分）已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的奇函数， 当0>x 时，x x f 2log )(=.（Ⅰ）求当0<x 时，函数)(x f 的表达式； （Ⅱ）求满足1)1(-<+x f 的x 的取值范围；（Ⅲ）已知对于任意的N k ∈，不等式12+≥k k 恒成立，求证：函数)(x f 的图象与直线x y =没有交点．高一数学参考答案二．填空题11．15 12．4 13．252,89- 14．24 15．2916．56% 17．()(]3,20, ∞-三．解答题 18．（本小题14分） 解：（Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160~179之间，而乙班身高集中于170~180之间。
2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题答案
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( ) （Ⅰ）当 AD = 3 时，（i） AB = 2 ，∴ AB = (2, 0) ， AC = 1, 3
因此 AC ⋅ AB = 2 ⋅1+ 0 ⋅ 3 = 2 ；
（ⅱ）设 AP = t ，即点 P 坐标为 (0,t ) ，则 P=B (2, −t ) ，
( ) = PC 1, 3 − t ，
( x1 ) >
f
( x2 )
B．对任意 x ∈ R ，都有 f ( x − π ) =f ( x)
()
C．对任意
x∈R
，都有
f
x
−
π 3
+
f
(−x)
= 0
D．对任意
x
∈
R
，都有
f
x
−
π 6
=
f
−x
−
π 6
10．已知 a ∈ R ，函数 f (= x) ax2 − x ，若存在 t ∈[0,1]，使得 f (t + 2) − f (t ) ≤ 2 成
D． 1 AB + 1 AC 62
4．函数 f ( x)= x + 2 − ex (e ≈ 2.178283) 的零点所在的区间是
()
A． (0,1)
B． (1, 2)
C． (2,3)
D． (3, 4)
5．如图，在圆 C 中弦 AB 的长度为 6，则 AC ⋅ AB = ( )
A．6 C．18
B．12 D．无法确定
(Ⅱ)求 2PB + PC 的最小值．
22．设函数 f ( x) = ax − ( x + a)2 ，其中 a ∈ R ． (Ⅰ)当 a = 1时，求函数 f ( x) 的零点； (Ⅱ)若对任意 x ∈[a, a +1] ，恒有 f ( x) ≥ −1，求实数 a 的取值范围．
2020-2021学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题
绝密★启用前2020-2021学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{}{}{}123451452,3,4U S T ===,,,,,,,,，则()U S T ⋂=（） A ．{}1,5 B ．{}1 C ．{}1,4,5 D ．{}1,2,3,4,5答案：A利用集合的补集和交集定义求解即可． 解：{}1,5UT =，(){}1,5U S T ∴⋂=故选：A2．“0a >”是“关于x 的函数(0)y ax b a =+≠单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C利用充分条件和必要条件的定义判断.解：当0a >时，由一次函数的性质得，函数(0)y ax b a =+≠单调递增，故充分； 若函数(0)y ax b a =+≠单调递增，则0a >，故必要；所以“0a >”是“关于x 的函数(0)y ax b a =+≠单调递增”的充要条件， 故选：C3．已知某扇形的弧长为23π，圆心角为3π，则该扇形的面积为（） A ．23πB ．πC ．43π D ．83π 答案：A 由弧长公式求出2r，再由扇形的面积公式求出答案.解：扇形的半径2323l r ππθ===，所以2r ，则扇形的面积112222233S lr ππ==⨯⨯=.故选：A.4．已知非零实数,a b 满足a b >，则（） A ．11a b a b+>+ B ．11<a bC ．2<2a b --D ．()()ln ln a b >答案：C根据不等式的性质，结合特殊值法，逐项判断，即可得出结果. 解：已知非零实数,a b 满足a b >，A 选项，若1a =，12b =，则满足a b >，但此时111222a b a b +=<+=+，故A 错；B 选项，若1a =，1b =-，则满足a b >，但不满足11a b<，故B 错；C 选项，由a b >可得a b -<-，所以2<2a b --，即C 正确；D 选项，若1a =，b e =-，则满足a b >，但此时()()ln 0ln 1a b =<=，故D 错. 故选：C.5．已知函数()2,0lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则110f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1-C ．1100D ．1答案：D 先求110f ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得110f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 解：11lg 11010f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()11110f f f ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 6．函数()ln x xxf x e e -=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．答案：C结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 解：由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C.点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤-B ．1a <-C ．314a -<≤ D ．1a ≤-答案：B将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a 的取值范围． 解：2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+ 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈； 当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <- 故选：B8．已知函数()()()1log ,21a x f x x r a x -=∈++)的值域为1,，则（）A．22r a ==-,B．22r a ==,C．11r a ==, D．11r a ==,答案：D 令()11x h x x -=+求出其值域，再分类讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，根据()f x 的值域，列出方程组，求解得出答案. 解：令()12111x h x x x -==-++，因为函数()h x 在(),2r a +上单调性递增，所以()221,113h x r a ⎛⎫∈-- ⎪++⎝⎭，当1a >时，函数()f x 在(),2r a +上单调性递增，此时值域不可能为1,，当01a <<时，函数()f x 在(),2r a +上单调性递减，要使得值域为1,，则2130112r a a ⎧=⎪⎪⎨=-+-+⎪⎪⎩，解得11r a ==,. 故选：D点评：关键点睛：解决本题的关键在于讨论复合函数函数()f x 的单调性，再由其值域得出,r a 的值.9．根据已给数据：在精确度为0.1的要求下，方程34x x =+的一个近似解可以为（） A ．1- B ．1.5 C ．1.562 D ．1.7答案：C令()34xf x x =--，根据零点存在性定理即可求解.解：解：34x x =+， 即340x x --=，令()34xf x x =--，则() 1.51.53 1.54 5.196 1.540.3040f =--≈--≈-<，() 1.531251.531253 1.531254 5.378 1.5312540.153250f =--≈--≈-<， () 1.56251.56253 1.56254 5.565 1.562540.00250f =--≈--≈>， () 1.6251.6253 1.6254 5.961 1.62540.3360f =--≈--≈>， () 1.751.753 1.754 6.839 1.754 1.0890f =--≈--≈>，根据零点存在性定理可知：()0 1.53125,1.5625x ∃∈，使()00f x =， 又1.53125 1.56250.031250.1-=<，故34x x =+的一个近似解可以为：1.562. 故选：C. 二、多选题10．下列选项不正确的是（）A ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是()()0f x x R =∈B ．函数1y x=在定义域内是减函数 C ．所有的周期函数一定有最小正周期 D ．函数()ln xf x e =和函数()g x=有相同的定义域与值域 答案：ABCA.既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是0f x，但定义域不一定是R ；B.不是整个定义域上的减函数，两个区间必须分开写；C.狄利克雷函数函数是周期函数，没有最小正周期；D.求两个函数定义域和值域即可.解：A.既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是0f x，但定义域不一定是R ，也可以是[]1,1-这种.B.函数1y x=在,0和0,上为减函数C.狄利克雷函数()1,0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩是周期函数，但是没有最小正周期.D.()ln xf x e=的定义域为0,，值域为0,()g xx=定义域为0,，值域为0,故选：ABC11．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积()2m y 与时间t(月)的关系为：ty a =.有以下几个判断，正确的是（）A ．2a =B ．浮萍从25m 蔓延到215m 只需要经过1.5个月C ．在第6个月，浮萍面积超过230mD ．若浮萍蔓延到2222m 4m 8m ，，所经过的时间分别为123,,t t t ，则123t t t += 答案：ACD由图象经过点可得解析式可判断A ；分别令25t =、215m =求出m 、t 做差可判断B ；计算(6)f 可判断C ；分别计算123t t t 、、可判断D.解：因为函数图象经过(1,2)点，所以2a =，所以2ty =，故A 正确；当()25tf t ==，得2log 5t =，当()215m f m ==，得2log 15m =，所以 1.52222log 15log 5log 3log 21.5m t -=-=≠=，所以B 错误；当6(6)26430f ==>，所以C 正确； 当11()22tf t ==，得11t =，当22()24t f t ==，得22t =，当33()28t f t ==，得33t =，所以123t t t +=，所以D 正确.故选：ACD.点评：本题考查了求解析式并求函数值及比较大小的问题，关键点是由图象求出函数的解析式，注意指对互化的问题，考查了学生的计算能力.12．己知222()sin sin ()sin ()f x x x x αβ=++++，其中,αβ为参数，若对()x R f x ∀∈，恒为定值，则下列结论中正确的是（） A ．()32f x =B ．()2f x =C ．αβπ+=D ．满足题意的一组,αβ可以是2,33ππαβ==答案：AD利用二倍角公式和两角和的余弦公式对()f x 化简，要使()x R f x ∀∈，恒为定值，根据()f x 结构形式可得方程组化简可得答案. 解：()()()1cos 221cos 221cos 2222x x x f x αβ-+-+-=++()31cos 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 222x x x x x ααββ=-+-+- ()()()31cos 21cos 2cos 2sin 2sin 2sin 222x x αββα=-⋅++-⋅+ 若对()x R f x ∀∈，恒为定值，则cos 2cos 21sin 2sin 20αββα+=-⎧⎨+=⎩，两式平方相加得；()1cos 222αβ-=-所以()32,22223f x k παβπ=-=+或2222,3k k Z παβπ-=-+∈， 即3k παβπ-=+或,3k k Z παβπ-=-+∈.故选：AD.点评：本题考查了三角函数的性质，关键点是利用二倍角公式、两角和与差的余弦公式进行化简，对于某些恒成立的问题可以根据结构特征得到答案，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 三、填空题13．已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ⎛⎫⎛⎫==-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________. 答案：3365利用两角和与差的正弦公式求解即可． 解：30,,sin 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则4cos 5α= 5,,cos 213πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则12sin 13β=()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：336514．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,<2A πωϕ>>)，其部分图象如图所示，则()f x =________.答案：2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭根据图象的最大值和最小值得到A ，根据图象得到周期从而求出ω，再代入点()3,0得到ϕ的值可得答案.解：由图象可得函数的最大值为2，最小值为2-，故2A =根据图象可知7342T=-=， 28,4T T ππω∴===，()2sin 4x f x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()3,0代入，得3sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以32,4k k Z πϕππ+=+∈， 3||,24ππϕϕπ<∴+=，解得4πϕ=，()2sin 44x f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故答案为：2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. 点评：本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到A ，根据图象得到周期，从而求出ω，再代入图象过的特殊点得到ϕ的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.15．已知,a b 都是正数，若3a b ab ++=，则+a b 的最小值为________. 答案：2利用基本不等式()24a b ab +≤代入原式，解不等式可得+a b 的最小值．解：由基本不等式可得：()()234a b ab a b +=-+≤，化简得()()21240b a a b +-+≥+即()()620a b a b +++-≥，又,a b 都是正数，则2a b +≥，即+a b 的最小值为2 故答案为：216．已知14a <<，函数()[][]129,1,,,4f x x x a x a x=+∃∈∈，使得()()1280f x f x ≥，则a 的取值范围________.答案：(1,4-由已知得出函数的单调性，再得出()()4f a f =时，a 的值，从而分91,4a <≤9<<44a 两种情况，分别由()()12max max 80f x f x ≥解得可得a 的取值范围.解：因为()9f x x x =+，所以函数()9f x x x=+在(]0，3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， 当()()99444f a a f a =+==+时，解得94a =（4a =舍去），（1）当()()()()12max max 991,110804a f x f x f f a a a ⎛⎫<≤==+≥ ⎪⎝⎭，解得(1,4a ∈；（2）当()()()()12max max 99<<4,141048044a f x f x f f ⎛⎫==⨯+≥ ⎪⎝⎭，不符题意.故答案为：(1,4.点评：方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <.四、解答题17．（1）求值：若3log 21x =，求22x x -+的值；（2）化简：()cos 3cos 2sin 2παπαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭.答案：（1）103；（2）12-. （1）由题意，3log 21x=，得23x =，代入可得值；（2）运用诱导公式，可化简求值.解：解：（1）由题意，3log 21x =，得23x =，得11022333x x-+=+=； （2）()cos 3cos cos sin 12sin 22sin cos 2παπαααααα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==-.18．已知集合{}{}222|340450A x x x B x x mx m =--<=+-<，，其中m R ∈. （1）若{}51B x x =-<<，求实数m 的值；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，且0m >，求实数m 的取值范围. 答案：（1）1m =；（2）4m ≥.（1）由题意知，方程22450x mx m +-=的两根分别为5-和1，然后利用韦达定理可求出实数m 的值；（2）求出集合A 和集合B ，结合题中条件得出A B ⊆，可列出关于实数m 的不等式组，解出即可. 解：（1）由题意，51-，是方程22450x mx m +-=的两根， 由韦达定理得：24455m m -=-⎧⎨-=-⎩，解得1m =，经检验符合条件.（2）由题意，{}{}2|34014|A x x x x x =--<-<<=， 因为0m >，则{}{}224505B x x mx m x m x m =+-<=-<<， 由已知A B ⊆得，514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥. 点评：本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，关键点是利用充分条件关系得出A B ⊆，求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，属于中等题.19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =≥上.（1）求cos2α的值：（2）若角β满足tan(2)1αβ-=，求tan()αβ-的值.答案：（1）35；（2）13-. （1）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．（2）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．解：解：（1）因为角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =≥上，所以tan 2α=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++． （2）由题意，tan 2α=，tan(2)1αβ-=，则()()tan tan 2αβαβα-=--⎡⎤⎣⎦()()tan 2tan 1211tan 2tan 1123αβααβα---===-+-+⨯ 20．已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x ≥的实数x 的集合.答案：（1）最小正周期π，单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（1）先将函数解析式整理，得到()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可求出最小正周期，以及单调递增区间；（2）先根据三角函数的图象变换，得到()14242gx x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，解不等式，即可求出结果.解：（1）由题意，()1cos 211sin 2222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ== 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以，函数()f x 的单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题意，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，所以()14242g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1sin 442g x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，得3242,444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得满足条件的x 的集合为：,8242k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如下图所示，在药物释放的过程中，y 与x 成正比：药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式.（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？答案：（1）0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.6h （1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭．解：解：（1）依题意，当00.1x ≤≤时，可设y kx =，且10.1k =，解得10k = 又由0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =， 所以0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）令0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，得20.21a ->，解得0.6x >， 即至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．点评：本题主要考查分段函数的应用，考查指数不等式的解法，属于中档题．22．已知函数()()21f x x x x a =+-- （1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若函数()f x 在[22]-，上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）记函数()f x 在[22]-，上最大值为()g a ，求()g a 的最小值. 答案：（1）{}|1x x ≤；（2）13a ≥或9a ≤-；（3）4. （1）由1a =，先化简函数解析式，再讨论1≥x 和1x <两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论14a a +=，14a a +<，14a a +>三种情况，根据函数单调性，即可求出结果；（3）讨论13a ≥或9a ≤-，92a -<≤-，21a -<<-，113a -≤<四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值()g a ，进而可求出()g a 最小值.解：（1）1a =时，()2221,121,1x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x ≤可化为22211x x -+≤，解得1x =：当1x <时，()1f x ≤可化为211x -≤，解得1x <，综上，不等式的解集为{}|1x x ≤.（2）()()()221,1,x a x a x a f x a x a x a⎧-++≥⎪=⎨+-<⎪⎩，因为()()221f x x a x a =-++是开口向上，对称轴为14a x +=的二次函数， 当14a a +=，即13a =时，()f x 在R 上显然单调递增，满足题意； 当14a a +<，即13a >时，()f x 在R 上为增函数，满足题意； 当14a a +>，即13a <时，为使函数()f x 在[22]-，上单调递增，需满足：124a +≤-，解得9a ≤-； 综上，13a ≥或9a ≤-； （3）由（2）知：当13a ≥或9a ≤-，则()f x 在[]2.2-上单调递增，所以()()242g a f a ==+-； 当92a -<≤-，则()()221f x x a x a =-++，对称轴104a x +=<，所以()()242g a f a ==+-；当21a -<<-时，()()(){}{}max 2,2max 432,4242g a f f a a a =-=-++-=+-； 当113a -≤<时，()()(){}{}2max ,2max ,42g a f a f a a ==+-， 因()()()2242632<0a a a a a a -+-=+-=+-，所以()()242g a f a ==+-. 综上，()()242g a f a ==+-，当2a =时，()min 4g a =.点评：方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.。
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}，则∁U A =( )A. φB. {x|x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|x ≥0}2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C.D.3. 若点M 在△ABC 的边AB 上，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数f (x )=(12)x−x +2的零点所在的一个区间是( )A. (2,3)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)5. 在圆0中，长度为√2的弦AB 不经过圆心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 12B. √22C. 1D. √26. 不等式−2x −1<3的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)7. 函数 f(x)=|x|+1的图象是 ( )A.B.C.D.8. 在△ABC 中，5sinAcosA +1=0，则sinA −cosA 的值为( )A. −√357B. √357C. −√355D. √3559. 已知函数f(x)=sin x ·|sin x|，给出下列结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是奇函数；③[− π 2, π 2]是函数f(x)的一个单调递增区间；④若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=kπ(k ∈Z)；⑤不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|的解集为则正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①②③④C. ②③D. ①②③⑤10. 已知函数f(x)=mx 2+mx −1.若对于任意的x ∈[1,4]，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,27)B. (−∞,1)C. (1,5)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 圆的半径是12，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________． 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω=______，φ=_____．13. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________．14. 设函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ≥1，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，则x 的值为 ．16. 若sin(α−π)=35，α为第四象限角，则tanα= ______ ． 17. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像与直线y =2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x =π3对称. (1)求y =f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x 取值范围.21. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ．(1)试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB =3，AD =2，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}； ∴∁U A ={x|0≤x <1}． 故选：C ．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的应用，属于基础题．根据函数图象关于原点对称的是奇函数、函数图象关于y 轴对称的是偶函数即可判断，注意判断函数的定义域是否关于原点对称．解：选项A 中的函数图象关于原点或y 轴均不对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的函数图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，选项C ，D 中的函数图象所表示的函数定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除． 故选B ．3.答案：D解析：【分析】如图，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加减法运算法则，属于中档题．【解答】解：如图，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先得出函数的单调性，根据函数零点的存在定理判断即可．解：易知函数f(x)=(12)x−x +2为单调递减函数，∵f(2)=(12)2−2+2=14>0，f(3)=(12)3−3+2=−78<0， ∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)， 故选A ．5.答案：C解析：解：取AB 的中点为C ，由圆的性质可得OC ⊥AB ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(√22)2+0 =1 故选：C取AB 的中点为C ，可得OC ⊥AB ，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．6.答案：C解析：解：不等式−2x−1<3，可得x>−2．不等式−2x−1<3的解集为(−2,+∞)．故选：C．直接利用不等式化简求解即可．本题考查一次不等式的解法，考查计算能力．7.答案：D解析：本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象特征，属于基础题．由函数f(x)的解析式可得，当x=0时，函数f(x)取得最小值，结合所给的选项可得结论．解：由于函数f(x)=|x|+1，故当x=0时，函数f(x)取得最小值．结合所给的选项，只有D满足条件，故选D．8.答案：D解析：此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题，应注意判断所求式子的符号，先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sin A cosA的值，并根据其值得到A的范围，进而得到sinA−cosA的符号，然后把所求的式子平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将2sin A cosA的值代入即可求出值，根据sinA−cosA的符号，开方即可得到sinA−cosA的值．，解：5sinAcosA+1=0，则sinAcosA=−15可知，，则．故选D ．9.答案：D解析：本题考查三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式，属于较难题． 解题时依据三角函数的三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式逐一验证即可求解．解：对于①，∵f (x +2π)=f (x )，∴f(x)=sin x ·|sin x|为周期函数，①正确；对于②∵f (−x )=−f (x )，∴f (x )为奇函数，②正确； 对于③，当x ∈[0,π2]时，在区间[0,π2]单调递增，又f(x)为奇函数且过原点，∴[−π2,π2]是函数f(x)的一个增区间，③正确；对于④，由②③可画出函数f(x)在[−π2,π2]的图象， ∵f(π2+x)=f (π2−x)，∴f(x)的图象关于直线x =π2对称， 可画出函数f(x)在区间[π2,3π2]上的图象，即得到函数f(x)在[−π2,3π2]上的图象，即一个周期的图象，在[−π2,3π2]上的对称中心为(0,0),(π,0)，∴在整个定义域上的对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )．即若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=2kπ(k ∈Z)，④不正确；对于⑤，先求不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|在一个周期内的解集.取区间[0,2π]，∵sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|⇔f (2πx )>f (2πx +π2),{2πx >π42πx +π2<7π4, 在整个定义域上{2πx >π4+2kπ2πx +π2<7π4+2kπ(k ∈Z), 解得k +18<x <k +58,k ∈Z ，⑤正确．综上可知，正确结论的序号为①②③⑤． 故选D ．10.答案：A解析：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题． 利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,4]上的最小值，即可求m 的取值范围． 解：由题意，f(x)<5−m ，可得m(x 2+x +1)<6． ∵当x ∈[1,4]时，x 2+x +1∈[3,21]， ∴不等式f(x)<5−m 等价于m <6x 2+x+1．∵当x =4时，y =x 2+x +1取得最大值21，则6x 2+x+1的最小值为621=27， ∴若要不等式m <6x 2+x+1恒成立， 则必须m <27，因此，实数m 的取值范围为(−∞,27). 故选A ．11.答案：38解析：本题考查扇形面积公式，是基础的计算题． 直接利用扇形的面积公式得答案． 解：由r =12，圆心角的弧度数α=3，得 扇形面积S =12αr 2=12×3×(12)2=38．故答案为38．12.答案：2；π6 解析：解：由图象可得，解得ω=2， 故， 把点(0,1)代入可得， 解得故答案为：2；π6由图象可得，可得ω，把点(0,1)代入解析式可得φ值本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属中档题．13.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 14.答案：解析： 本题考查函数定义域与值域，分段函数，函数的单调性与单调区间，属于基础题，先由f(f(a))=2f(a)，根据分段函数式判断f(a)≥1，再由分段函数的单调性和每一段的值域可知3a −1≥1，解得即可．解：∵函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ⩾1， ∴f(f(a))=2f(a)，得f(a)≥1，又∵x <1，f(x)=3x −1，单调递增，且f(x)<2，x ≥1，f(x)=2x ，单调递增，且f(x)≥2，∴由f(a)≥1，得3a −1≥1，解得a ≥23，∴a 的取值范围是． 故答案为．15.答案：52解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦的定义即可求解．解： 因为角α终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，所以cosα=x r =22=−513，解得x =52．故答案为52．16.答案：−34解析：解：sin(α−π)=35，α为第四象限角，sin(α−π)=−sinα=35，∴sinα=−35，cosα=√1−sin 2α=45． tanα=sinαcosα=−34．故答案为：−34．利用诱导公式求出sinα，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查． 17.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4．故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，故A =(0,1)，所以∁R A =(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀．综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，求出A =(0,1)，由此能求出∁R A .(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀.由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：−1解析：解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 化为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ(λ+2)+1=0，解得λ=−1．故答案为：−1．由|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，利用数量积的运算性质可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，再利用数量积的坐标运算即可得出．本题考查了数量积的运算性质、数量积的坐标运算，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知可得， ， ∴， 又的图象关于 对称， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 所以(2)由(1)可得， ∴， 由得 ， 的单调递增区间为， ． ∵， ∴， ∴， ∴解析：本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．(1)利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；(2)利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。
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浙江省宁波市高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22道题. 试卷满分150分，考试时间1，本次考试不得使用计算器. 请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、0300-化为弧度是A. π34-B. π35-C. π47-D. π67-2、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42tan 2πx y 的定义域是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈Z k k x R x x ,4|ππ且 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,832|ππ且 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,43|ππ且 D .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,82|ππ且 3、点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动34π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,21D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23 4、如图1所示，在ABC ∆中，点D 是边AB 的中点，则向量=A. BC BA +21B. BC BA -21C. --21D. +-215、在ABC ∆中，若()()0=+⋅-，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形6、若角α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则角2α是ACB图1A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7、已知)3,0(),0,3(B A ，O 为坐标原点，点C 在第一象限内，且︒=∠60AOC ，设)(R OB OA OC ∈+=λλ，则λ等于A. 33B.3 C. 31D. 38、已知1010)2sin(,552sin-=-=βαα，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∈2,0,,0πβπα，则β等于 A. 34π B. 3π C. 4π D. 6π9、在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足=++4，则PBC ∆ 与PAB ∆的面积之比是A. 31B. 21C. 43D. 3210、若函数1cos )6sin(2)(44+++++=xx xx x x f π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值与最小值分别为M 与N ，则有A ．2=-N MB ．2=+N MC ．4=-N MD ．4=+N M第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11、设扇形的半径长为cm 4，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是▲ . 12、已知)1,1(),1,1(),0,1(-===c b a ，满足b a c μλ+=， 其中R ∈μλ,，则λ= ▲ .13、函数x x f 2cos )(=的对称轴方程为 ▲ . 14、向量b a ,12==，()34-=+⋅b a a ，则向量b a ,的夹角大小为 ▲ .15、函数x x x f -=sin 3)(的零点个数为 ▲ .16、在长方形ABCD 中，设c b a ===,,2=，+- ▲ .17、已知函数)(x f y =满足)()(x f x f -=π，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时， x x x f sin )(+=，设)3(),2(),1(f c f b f a ===，将c b a ,,按从小到大的顺序排列，依次是 ▲ . (请用“<”联结)三、解答题 (本大题５小题，共7２分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 18、（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，)4,3(),2,1(---B A ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求⋅； （Ⅱ）若点P 在直线AB 上，且求,⊥的坐标．19、（本小题满分14分）已知314tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα． （Ⅰ）求αtan 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---απαπαπα23sin 2sin )sin(sin 222的值． 本题满分14分）如图2，在ABC ∆中，060,3,8=∠==BAC AC AB ，以点A 为圆心，2=r 为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的一条直径．（Ⅰ）请用,表示, 用,表示； （Ⅱ）记θ=∠BAP ，求CQ BP ⋅的最大值． 21、（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，C B A ,,三点满足3231+=．（Ⅰ）求证：C B A ,,的值；（Ⅱ）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+2,2),cos ,cos 1(),cos ,1(ππx x x B x A ，且函数m x f -+⋅=)322()(的最小值为21，求实数m 的值．22、（本小题满分15分） 已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=ωϕϕωϕωπx x x f ，（Ⅰ）若函数)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，且它的图象过)1,0(点，求函数)(x f y =的表达式；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的函数)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的单调递增区间；（Ⅲ）若()f x 的图象在)(1001,R a a a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） BBCDA CDCBD二、填空题（每小题4分，共28分）11、21 12、2- 13、)(2Z k k x ∈=π 14、π6515、3 16、 4 17、b a c << 三、解答题：本大题５小题，共7２分 18、解：（Ⅰ）5)4()2()3(1=-⨯-+-⨯=⋅ ………… 5分（Ⅱ）设),(n m P AB P 与上在∴, 共线 )2,4(= )2,1(n m ---= 0)1(2)2(4=----⋅∴m n即052=+-m n ① ………… 9 分 又AB OP ⊥ 0)2,4(),(=--⋅∴n m∴02=+n m ② ………… 12 分 由①②解得2,1-==n m 即)2,1(-= ……………… 14分 19、解：（Ⅰ）∵31tan 11tan )4tan(=-+=+ααπα∴21tan -=α ………… 6 分（Ⅱ）原式＝αααα22cos cos sin sin 2+-=22222sin sin cos cos sin cos αααααα-++=1tan 1tan tan 222++-ααα5812112121222=+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= ………… 14分：（Ⅰ）-=， ………… 2分--= ………… 4分（Ⅱ）,600=∠BAC θ=∠BAP ，,600θ+=∠∴CAP2,3,8===AP AC AB()()AC AP AB AP CQ BP ---=⋅∴()θθcos 1660cos 680++-= ………… 10分=8cos 13sin 33++θθ()8sin 14++=ϕθ ………… 13分（其中3143cos ,1413sin ==ϕϕ）∴当1)sin(=+ϕθ时，⋅的最大值为22． ………… 14分21、解：（Ⅰ）∵3231+= ∴31=又因为,有公共点B ， ∴C B A ,,三点共线 ………… 4分∵CB AC 2==32 ………… 6分（Ⅱ） ∵),cos ,cos 1(),cos ,1(x x B x A +∴)cos ,cos 1(32)cos ,1(313231x x x OB OA OC ++=+=)cos ,cos 321(x x += ………… 8 分 ∴x x 2cos cos 321++=⋅xcos =∴1cos 2cos )322()(2++=-+⋅=x m x m x f ………10分设t x =cos ∵],2,2[ππ-∈x ∴]1,0[∈t∴2221)(12m m t mt t y -++=++=当0<-m 即0>m 时，当0=t 有211min ≠=y当10≤-≤m 即01≤≤-m 时，当m t -=有2112min =-=m y∴22-=m当1>-m 即1-<m 时，当1=t 有2122min =+=m y ∴43-=m （舍去）综上得22-=m ． Ks5u ………… 15分22、解：（Ⅰ）)cos()sin(3)(ϕωϕω+-+=x x x f＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x ＝)6sin(2πϕω-+x ………… 3分 由题意得222πωπ⨯=，所以2= ω 所以)62sin(2)(πϕ-+=x x f又因为)(x f y =的图象过点)1,0(，∴21)6sin(=-πϕ又∵πϕ<<0 ∴3πϕ=∴)62sin(2)(π+=x x f ………… 6分（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移6π个单位后，得到)62sin(2π-=x y 的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 2πx y 的图象.即⎪⎭⎫ ⎝⎛-==621sin 2)(πx x g ………… 9分令2262122πππππ+≤-≤-k x k , 则 344324ππππ+≤≤-k x k∴)(x g 的单调递增区间为)(344,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．………12分（Ⅲ）若()f x 的图象在)(1001,R a a a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈上至少出现一个最高点或最低点，则1001<ωπ，即πω100>，又ω为正整数，∴315min =ω．………15分。
2022-2023学年浙江省宁波市九校高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年浙江省宁波市九校高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A={x|x−3x+2<0}，B={x|y=ln(x+1)}，则A∩B=( )A. {x|−1<x<3}B. {x|3<x}C. {x|x>−1}D. {x|−1≤x<3}2. 下列选项中满足最小正周期为π，且在(0,π4)上单调递增的函数为( )A. y=cos12x B. y=sin12x C. y=(12)cos2x D. y=(12)sin2x3. “a>1”是“函数f(x)=ax2−2x(a∈R)在(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知幂函数y=(a2−a−1)x b(a>1且a∈Z)过点(a,8)，则函数y=√x+blog a(x+3)的定义域为( )A. [−3,−2)∪(−2,+∞)B. (−3,−2)∪(−2,+∞)C. (−2,+∞)D. (−3,+∞)5. 已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过A(sin4π3,cos4π3)，则cos(5π2−θ)=( )A. −√32B. √32C. 12D. −126. 2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要年(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477，lg1.014=0.00604)( )A. 8.3B. 8.5C. 8.7D. 8.97. 函数f(x)=e x+e−x4x2−4|x|的图像最有可能的是( )A. B.C. D.8. 已知x>y>0，且x2−y2=1，则2x2+3y2−4xy的最小值为( )A. 34B. 1 C. 1716D. 989. 下列不等式错误的是( )A. 若a<b<0，则1a−b >1aB. 若a<b<0，则ba>abC. 若a>b>0，则ba<1 D. 若a>b>0，则ac2>bc210. 以下命题正确的是( )A. 函数y=ln(√−x2+x)的单调递增区间为(0,12)B. 函数y=2cos2x+1cos2x+1的最小值为2√2−2C. A为三角形内角，则“A>45∘”是“sinA>sin45∘”的充要条件D. 设α是第一象限，则α2为第一或第三象限角11. 如图所示，角x∈(0,π2)的终边与单位圆O交于点P，A(1,0)，PM⊥x轴，AQ⊥x轴，M 在x轴上，Q在角x的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sinx，tanx的值分别等于线段MP，AQ的长，且S△OAP<S扇形OAP<S△OAQ，则下列结论正确的是( )A. 函数y =sinx −x 有3个零点B. 函数y =tanx −x 在(−π2,π2)∪(π2,3π2)内有2个零点 C. 函数y =tanx +sinx +x 在(−π2,π2)内有1个零点D. 函数y =tanx +sinx −|tanx −sinx|在(−π2,π2)内有1个零点12. 已知正实数x ，y 满足ln x 2−4x+5y 2+1=x +y −2，则使方程xy+4x 2+y 2=m 有解的实数m 可以为( )A. 52B. 2C. 32D. 113. 命题“∀x ∈R ，x 2>0”的否定是______. 14. 计算√(1−√2)2+log 3(√2743)=______. 15. 已知sin2α=√33，则tan(α−π6)tan(α+π6)的值为______.16. 设函数f(x)={x 2+mx,x ≤0|2x +m|−|x +1|,x >0，若函数的最小值为m 2−1，则实数m 的取值范围为______.17. 已知p ：x 2−ax +4>0在R 上恒成立；q ：存在θ使得a +2≤sinθ；r ：存在x 0∈R ，使得3x 0+a =0，(1)若p 且q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 或r 是真命题，p 且r 是假命题，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=x 2+(1−2a)x −2a.(1)求关于x 的不等式f(x)>0的解集；(2)若f(1)=6，求函数y =f(x)x−1在x ∈(1,+∞)上的最小值．19. 已知函数f(x)=√3tanxtan 2x+1+12(sin 2x −cos 2x).(1)化简f(x)，并求解f(−π12)；(2)已知锐角三角形内角A 满足f(A)=13，求cos2A 的值．20. 已知函数f(x)=log 3(9x +1)−x.(1)证明：函数g(x)=3f(x)在(0,+∞)上为增函数；(2)求使f(2cos 2θ−3)−f(2+sinθ)<0成立的θ的取值范围．21. 近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域ODBC(阴影部分)，以及可利用部分为区域OAD ，其中∠OCB =∠COA =π2，OC =30√3米，BC =30米，区域OBC 为三角形，区域OAB 为以OA 为半径的扇形，且∠AOD =π6.(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域OABC 外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；(2)在可利用区域OAD 中，设置一块矩形HGIF 作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值．22. 已知函数f(x)=(x +sin2θ+3)2+[x +asin(θ+π4)]2.(1)当θ=π4时，f(x)最小值为12，求实数a 的值；(2)对任意实数x 与任意θ∈[0,π2]，f(x)≥12恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A ={x|x−3x+2<0}={x|−2<x <3}，B ={x|y =ln(x +1)}={x|x >−1}，则A ∩B ={x|−1<x <3}. 故选：A.先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A ：函数y =cos 12x 的最小正周期为2π12=4π，故A 错误；对于B ：函数y =sin 12x 的最小正周期为2π12=4π，故B 错误；对于C ：函数y =(12)cos2x 的最小正周期为π，且函数f(x)=cos2x 在(0,π4)上单调递减， 根据复合函数的单调性，可知函数y =(12)cos2x 在(0,π4)上单调递增，故C 正确； 对于D ：函数y =(12)sin2x 的最小正周期为π，且函数f(x)=sin2x 在(0,π4)上单调递增， 根据复合函数的单调性，可知函数y =(12)sin2x 在(0,π4)上单调递减，故D 错误． 故选：C.利用周期公式求出各选项的周期，再结合函数的单调性判断各选项即可． 本题考查了三角函数的性质，复合函数的单调性，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①当a =0时，则函数f(x)=ax 2−2x =−2x 在(1,+∞)上单调递减， ②当a ≠0时，若函数f(x)=ax 2−2x(a ∈R)在(1,+∞)上单调递增， 则{a >01a≤1，∴a ≥1，综上，函数f(x)=ax 2−2x(a ∈R)在(1,+∞)上单调递增时a 的取值范围为[1,+∞), ∴a >1是函数f(x)=ax 2−2x(a ∈R)在(1,+∞)上单调递增的充分不必要条件， 故选：A.利用一次函数，二次函数的单调性求出a ≥1，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了一次函数，二次函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵幂函数y=(a2−a−1)x b(a>1且a∈Z)，∴a2−a−1=1，即a=2(a>1)，则y=x b，又幂函数y=(a2−a−1)x b(a>1且a∈Z)过点(a,8)，∴8=2b，即b=3.∴函数y=√x+blog a(x+3)=√x+3log2(x+3)，由{x+3>0x+3≠1，解得x>−3且x≠−2.∴函数y=√x+blog a(x+3)的定义域为(−3,−2)∪(−2,+∞).故选：B.由已知求得a，b的值，再由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得sinθ=cos4π3=−12，所以cos(5π2−θ)=sinθ=−12.故选：D.由已知利用任意角的三角函数的定义可求sinθ的值，进而根据诱导公式即可求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设世界人口达到90亿至少需要x年，由题意，得80×(1+1.4%)x≥90⇒1.014x≥98⇒lg1.014x≥lg98⇒xlg1.014≥lg9−lg8⇒xlg1.014≥lg32−lg23⇒xlg1.014≥2lg3−3lg2⇒x≥2lg3−3lg2lg1.014=2×0.477−3×0.3010.00604≈8.44，因此世界人口达到90亿至少需要8.5年．故选：B.根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．7.【答案】A【解析】解：由4x2−4|x|≠0，知x≠0且x≠±1，所以函数的定义域关于原点对称，因为f(−x)=e −x +e x 4(−x)2−4|−x|=e x +e −x 4x 2−4|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除选项B 和D ，又f(12)=e 12+e −124×14−4×12=−(e 12+e−12)<−2√e 12⋅e −12=−2，所以排除选项C.故选：A.根据函数的奇偶性可排除选项B 和D ，再比较f(12)与−2的大小，即可得解．本题考查函数的图象，一般从函数的奇偶性与单调性，特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：x >y >0，且x 2−y 2=(x +y)(x −y)=1， 设x +y =a ，x −y =b ，则x =a+b 2，y =a−b2，且ab =1，a >0，b >0，∴2x 2+3y 2−4xy =2(a +b 2)2+3(a −b 2)2−4⋅a +b 2⋅a −b2=a 2+9b 2−2ab4≥2√9a 2b 2−2ab4=6−24=1，当且仅当a =3b ，又ab =1，a >0，b >0， 即a =3b =√3时，等号成立， ∴2x 2+3y 2−4xy 的最小值为1. 故选：B.设x +y =a ，x −y =b ，则可得则x =a+b 2，y =a−b2，且ab =1，a >0，b >0，再将问题转化为a ，b 的式子，最后利用基本不等式即可求解． 本题考查换元法的应用，基本不等式的应用，属中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，若a <b <0，不妨令a =−2，b =−1，则1a−b =−1<1a =−12，选项A 错误；对于B ，若a <b <0，则ab >0，即1b <1a <0，所以ba <1<ab ，选项B 错误； 对于C ，若a >b >0，则0<b a<1，选项C 正确；对于D ，若a >b >0，且c =0，则ac 2=bc 2，选项D 错误． 故选：ABD.利用特殊值即可判断选项A 、B 和D 错误，再判断选项C 正确．本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：由−x 2+x >0，解得0<x <1，令t =−x 2+x ，其对称轴方程为x =12，图象是开口向下的抛物线， 则当x ∈(0,12)时，t =−x 2+x 单调递增，由复合函数的单调性可得，函数y =ln(√−x 2+x)的单调递增区间为(0,12)，故A 正确； 函数y =2cos2x +1cos 2x+1=2(cos2x +1)+1cos 2x+1−2=2[(cos 2x +1)+12cos 2x+1]−2，当cosx =0时，函数y =2cos 2x +1cos 2x+1的最小值为1，故B 错误；A 为三角形内角，当A =150∘>45∘时，sinA <sin45∘，∴“A >45∘”是“sinA >sin45∘”的不充分条件，故C 错误；设α是第一象限，则2kπ<α<π2+2kπ，可得kπ<α2<π4+kπ，k ∈Z ，∴α2为第一或第三象限角，故D 正确． 故选：AD.求出原函数的增区间判断A ；求得函数的最小值判断B ；举例说明C 错误；由象限角的概念判断D. 本题考查命题的真假判断与应用，考查复合函数的单调性与充分必要条件的判定，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于选项A ，因为y =sinx −x ， 则y′=cosx −1≤0，即函数为减函数， 又当x =0时，y =0，即函数y =sinx −x 有1个零点， 即选项A 错误；对于选项B ，函数f(x)=y =tanx −x ，， 则f′(x)=1cos 2x −1，则函数在(−π2,π2)，(π2,3π2)为减函数，又f(0)=0，f(3π4)<0，x →(3π2)−limf(x)>0， 即函数在(−π2,π2)，(π2,3π2)各有一个零点，即函数y =tanx −x 在(−π2,π2)∪(π2,3π2)内有2个零点， 即选项B 正确；对于选项C ，函数g(x)=y =tanx +sinx +x 在(−π2,π2)为增函数， 又g(0)=0，即函数y =tanx +sinx +x 在(−π2,π2)内有1个零点， 即选项C 正确；对于选项D ，当x ∈(−π2,0)时，tanx <sinx ， 即y =2tanx ，显然无零点， 当x ∈(0,π2) 时，tanx >sinx ， 即y =2sinx ，显然无零点， 又当x =0时，y =0，即函数y =tanx +sinx −|tanx −sinx|在(−π2,π2)内有1个零点， 即选项D 正确， 故选：BCD.由三角函数的性质，结合导数的应用逐一判断即可得解． 本题考查了三角函数的性质，重点考查了导数的应用，属基础题．12.【答案】ABC【解析】解：x >0，y >0，∵ln[(x −2)2+1]−ln(y 2+1)=x +y −2， ∴ln[(x −2)2+1]−(x −2)=ln(y 2+1)+y ，设f(2−x)=f(y)，∴y =2−x ，2−x >0，∴2>x >0， m =xy+4x 2+y 2=x(2−x)+4x 2+(2−x)2=−x 2+2x+42x 2−4x+4=−(x 2−2x+1)+52(x 2−2x+1)+2=−(x−1)2+52(x−1)2+2，令t =(x −1)2，∵2>x >0，∴1>t ≥0， ∴m =−t+52t+2=−12+3t+1，设g(t)=−12+3t+1，则g(t)=m 有解等价于y =g(t)与y =m 有交点， 由题意得g(t)在[0,1)内单调递减，且g(0)≥g(t)>g(1)，∴1<m ≤52.故选：ABC.根据题意，化简为ln[(2−x 2)+1]+(2−x)=ln(y 2+1)+y ，设f(x)=ln(x 2+1)+x ，且x >0，根据单调性，得到f(x)在x >0时，单调递增，故f(2−x)=f(y)，得到y =2−x ，代入xy+4x 2+y 2=m ，得到m =−(x−1)2+52(x−1)2+2，设t =(x −1)2，得到m =−12+3t+1，再根据单调性，能求出m 的取值范围．本题考查对数性质、运算法则、构造法、换元法法、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】∃x ∈R ，x 2≤0【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2>0”的否定是∃x ∈R ，x 2≤0. 故答案为：∃x ∈R ，x 2≤0.根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解． 本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．14.【答案】√2−54【解析】解：√(1−√2)2+log 3(√2743)=√2−1+log 33−14=√2−1−14=√2−54.故答案为：√2−54. 利用对数的性质和运算法则求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．15.【答案】−15【解析】解：∵sin2α=√33，tan(α−π6)tan(α+π6)=sin(α−π6)cos(α+π6)cos(α−π6)sin(α+π6)=(√32sinα−12cosα)(√32cosα−12sinα)(√32cosα+12sinα)(√32sinα+12cosα)=sinαcosα−√34sinαcosα+√34=12sin2α−√3412sin2α+√34=12×√33−√3412×√33+√34=−15，故答案为：−15.切化弦展开后化简代入计算即可．本题考查了同角三角函数关系式以及两角和与差的三角函数，属于基础题．16.【答案】{−1+√5}∪(−∞,0)【解析】解：当m =0时，f(x)={x 2,x ≤0|2x|−|x +1|,x >0，即f(x)={x 2,x ≤0x −1,x >0，作出函数图象如图所示：由图可知此时函数f(x)没有最大值，所以m ≠0； 当m >0时，f(x)={x 2+mx,x ≤0x +m −1,x >0，当x ≤0时，f(x)=x 2+mx ，对称轴为x =−m 2<0，所以f(x)在(−∞,−m2)上单调递减，在(−m2,0)上单调递增， 所以f(x)min =f(−m 2)=(−m 2)2+m ⋅(−m2)=−m 24<0，当x >0时，f(x)=x +m −1在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=m −1， 由函数f(x)的最小值为m 2−1，此时(m −1)−(m 2−1)=m 2>0，所以函数最小值为−m 24， 所以−m 24=m2−1，解得m =−1+√5或m =−1−√5(舍)；当m <0时，由x ≤0时，f(x)=x 2+mx ，此时f(x)在(−∞,0]上单调递减，所以最小值为f(0)=0>m2−1， 由x >0时，f(x)=|2x +m|−|x +1|={−3x −m −1,0<x <−m2x +m −1,x >−m 2，此时函数在(0,−m2)上单调递减，在(−m2,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(−m 2)=−m 2+m −1=m2−1， 所以当m <0时，函数最小值为m2−l 满足题意，综上所述，当函数f(x)最小值为m2−l 时，实数m 的取值范围为{−1+√5}∪(−∞,0).故答案为：{−1+√5}∪(−∞,0).对m 分大于0，小于0，等于0，同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可．本题主要考查分段函数的应用，函数最值的求法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：命题p ：x 2−ax +4>0在R 上恒成立，则Δ=a 2−4×1×4<0，解得−4<a <4；命题q ：存在θ使得a +2≤sinθ，所以a +2≤1，解得a ≤−1； 命题r ：存在x 0∈R ，使得3x 0+a =0，所以a <0；(1)若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是{a|−4<a ≤−1}； (2)若p 或r 是真命题，p 且r 是假命题，则p 、r 一真一假， p 真r 假时，应满足{−4<a <4a ≥0，即0≤a <4；p 假r 真时，应满足{a ⩽−4或a ⩾4a <0，即a ≤−4；所以实数a 的取值范围是{a|a ≤−4或0≤a <4}.【解析】先求出命题p 、q 和r 分别为真命题时a 的取值范围，再根据复合命题的真假性求出(1)、(2)中实数a 的取值范围．本题考查了复合函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．18.【答案】解：(1)由f(x)=x 2+(1−2a)x −2a >0可得(x +1)(x −2a)>0，当a ≥−12时，解集为{x|x >2a 或x <−1}， 当a <−12时，解集为{x|x >−1或x <2a}， 当a =−12时，解集为{x|x ≠−1}； (2)因为f(1)=2−4a =6， 所以a =−1，f(x)=x 2+3x +2， 令t =x −1，则t >0， 函数y =f(x)x−1=(t+1)2+3(t+1)+2t=t +6t+5≥2√6+5，当且仅当t =√6，即x =1+√6时等号，故该函数在(1,+∞)上的最小值为5+2√6.【解析】(1)由已知结合二次不等式的求法，根据对应方程根的大小进行分类讨论可求； (2)先求出a ，可求f(x)，然后把所求函数解析式求出，再结合基本不等式可求．本题主要考查了含参二次不等式的求解，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)f(x)=√3tanxtan 2x+1+12(sin 2x −cos 2x)=√3×sinx cosx 1+sin 2x cos 2x−12cos2x =√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)，所以f(−π12)=sin(−π3)=−√32； (2)因为锐角三角形内角A ，所以−π6<2A −π6<5π6， 因为f(A)=13=sin(2A −π6)∈(0,12)， 所以0<2A −π6<π2， 故cos(2A −π6)=2√23， cos2A =cos(2A −π6+π6)=√32cos(2A −π6)−12sin(2A −π6)=√32×2√23−12×13=2√6−16. 【解析】(1)结合同角基本关系及辅助角公式进行化简，然后把x =−π12代入即可求解； (2)由已知结合同角平方关系及两角和的余弦公式进行化简即可求解．本题主要考查同角基本关系，和差角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：函数f(x)=log 3(9x+1)−x =log 39x +13x=log 3(3x +13x)， 函数g(x)=3f(x)=3x +13x， 设0<x 1<x 2， 则g(x 1)−g(x 2)=(3x 1+13x 1)−(3x 2+13x 2)=(3x 1−3x 2)+(13x 1−13x 2)=(3x 1−3x 2)(1−13x 113x 2)， 又由0<x 1<x 2，则1<3x 1<3x 2，故有g(x 1)−g(x 2)<0， 故函数g(x)=3f(x)在(0,+∞)上为增函数； (2)根据题意，设t =f(x)=3x +13x，函数y =3t 在R 上为增函数，而函数g(x)=3f(x)在(0,+∞)上为增函数， 故f(x)在(0,+∞)上为增函数， 又由f(x)=log 3(3x +13x)，其定义域为R ，而f(−x)=log 3(3x +13x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，又由f(2cos 2θ−3)−f(2+sinθ)<0⇔f(2cos 2θ−3)<f(2+sinθ)⇔f(|2cos 2θ−3|)<f(|2+sinθ|)则有|2cos 2θ−3|<|2+sinθ|，即3−2cos 2θ<2+sinθ， 变形可得：2sin 2θ−sinθ−1<0， 解可得：−12<sinθ<1，则有2kπ−π6<θ<2kπ+π2或2kπ+π2<θ<2kπ+7π6，k ∈Z故θ的取值范围为{θ|2kπ−π6<θ<2kπ+π2或2kπ+π2<θ<2kπ+7π6，k ∈Z}. 【解析】(1)根据题意，求出g(x)的解析式，利用作差法分析可得结论；(2)根据题意，由复合函数单调性的判断方法可得f(x)在(0,+∞)上为增函数，再分析g(x)的奇偶性，由此可得原不等式等价于|2cos 2θ−3|<|2+sinθ|，即3−2cos 2θ<2+sinθ，变形解可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为OC =30√3，BC =30，∠OCB =π2，所以tan∠BOC =BCOC =3030√3=√33，OA =OB =√OC 2+BC 2=60，因为∠BOC 为锐角，所以∠BOC =π6， 因为∠COA =π2，所以∠BOA =π3， 所以弧AB 的长为π3×60=20π，所以隔离带的总长度为30√3+30+60+20π=90+30√3+20π(米)； (2)连接OF ，设∠FOA =θ(0<θ<π6)，因为OF =60，所以FI =60sinθ=GH ，OI =60cosθ， 因为∠AOD =π6，所以OG =GH tan π6=60√3sinθ，所以GI =60cosθ−60√3sinθ，所以S =(60cosθ−60√3sinθ)⋅60sinθ=3600sinθcosθ−3600√3sin 2θ =1800[sin2θ−3(1−cos2θ)]=1800[2sin(2θ+π3)−√3]， 因为2θ+π3∈(π3,2π3)， 所以S ≤1800(2−√3)=3600−1800√3， 当θ=π12时取到最大值，所以补充门诊面积最大值为3600−1800√3(平方米).【解析】(1)在直角三角形OBC 中由已知条件可求出∠BOC 和OB ，则可求得<BOA ，从而可求出众的长，进而可求得结果；(2)连接OF ，设∠FOA =θ(0<θ<π6)，则结合已知条件表示出GI ，GH ，然后表示出矩形HGIF 的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值． 本题考查三角函数在生活中的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)当θ=π4时，sin2θ=sin π2=1，sin(θ+π4)=sin π2=1，所以f(x)=(x +sin2θ+3)2+[x +asin(θ+π4)]2=(x +4)2+(x +a)2=2x 2+2(a +4)x +a 2+16=2[(x +a+42)2−(a+4)24]+a 2+16=2(x +a+42)2−(a+4)22+a 2+16≥a2+16−(a+4)22，又因为f(x)最小值为12， 即a2+16−(a+4)22=12，所以(a −3)(a −5)=0， 解得a =3或a =5；(2)f(x)=(x +sin2θ+3)2+[x +asin(θ+π4)]2=[(sin2θ+3)−(−x)]2+[asin(θ+π4)−(−x)]2，所以可以看成点(asin(θ+π4),sin2θ+3)与(−x,−x)的距离， 令{y =sin2θ+3x =asin(θ+π4)， 又因为x 2=a 2sin2(θ+π4)=a 2⋅1−cos(2θ+π2)2=12a 2(1+sin2θ)，所以点(asin(θ+π4),sin(2θ+3))在二次函数y =2a 2x 2+2的图像上， 点(−x,−x)在直线y =x 上，直线y =x 到抛物线y =2a 2x 2+2的最小距离的平方为12， 如图所示：所以|AB|2=|A 1B 1|2=12，所以|AB|=|A 1B 1|=√22，|OA 1|=1， 所以直线AA 1：y =x +1，即直线AA 1与二次函数y =2a 2x 2+2只有一个交点，即方程y =2a 2x 2+2=x +1⇔2a 2x 2−x +1=0只有一个解， 即Δ=1−4×2a 2=0，解得a =±2√2， 所以二次函数为y =14x 2+2，A(2,3)， 又因为θ∈[0,π2]，所以y =sin2θ+3∈[3,4]， 所以x 2∈[4,8]， 即x =asin(θ+π4)，x 2=12a 2(1+sin2θ)∈[a 22,a 2]，所以{a 22≤4a 2≥4，解得a ∈[−2√2,−2]∪[2,2√2].【解析】(1)求出sin2θ，sin(θ+π4)代入，变为只含有参数a 的二次函数，化简为顶点式函数，顶点纵坐标即为最小值．(2)把函数可以看成点(asin(θ+π4),sin2θ+3)与(−x,−x)的距离，即直线y =x 到抛物线y =2a 2x 2+2的最小距离的平方为12.本题考查了转化思想、数形结合思想、三角恒等变化，属于难题．。