画法几何及工程制图(东华大学)2、3章部分答案
PV a’
a
k’ k
c’ m’
d’ b’
b d
m
2020/4/14
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c
32
补充习题
1、过点A作一实长为30mm的线段AB，它与H、V面的夹角分别为α=45°， β=30°；此题有几个解？ 分析：利用直角三角形法（8解，只作2解）
水 平 450 投 影
30mm
ΔZ
a’
ΔZ
b’
b’
ΔY
26
2—8（3）
分析：到A、B两点距离相等 的点的轨迹是中垂面。
b’ m’ a’
a
m b
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27
d’ d
2020/4/14
P16 2-8（4）
l’
e’
b’ m’
分析：1、两平面
k’ 垂直，过其中一
c’ 个平面内一点向
f’ a’
另一平面所作垂
a e
线一定在该平面 内；
正
30mm
面 投 300
影
ΔY
2020/4/14
水平投影
a
b
b
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ΔY
33
2、判断下列各直线对投影面的相对位置，并画出三面投影。
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34
3、判断下列各直线间的相对位置。
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35
4、过点A作线段AB，使AB∥CD，AB的实长为30mm。
d 何朝良、杨毓岚制作
15
2—3（4）
分析：小球 滚下的方向 是沿对H面 最大斜度线 方向。
b’ m’
a’ 300
1’ c’
bm
c
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a
解不唯一
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16
分析：ΔABC是铅 垂面，与ΔABC平 行的一定是铅垂面， 所以ΔDEF是铅垂 面，并且具有积聚 性的投影平行。与 铅垂面垂直的是水 平线，所以在水平 投影反映实长和直 角。（与正垂面平 行的一定是正垂面， 与侧垂面平行的一 定是侧垂面。）
b’
g’
g
b
m
f
c
n e
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2-7(1)
24
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25
m’
P16 8（1）
c’
m’
b’
b’
n’
n’
a’
a’
c’
a
c n m
m a
c
n b
b
与正垂面垂直的是正平线，由此可延伸，与铅垂面垂直的是水平线，与侧垂面垂
直的是侧平线.
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b
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30
2-10（1）
f’ b’
分析：（1）过一点
作平面的平行线有无 数条，其轨迹是与已 知平面平行的平面；
l’ e’
k’
c’
a’
（2）作直线EF与轨 迹所组成的平面的交
f c
点L；
l
（3）KL即为所求。
b
a
k
e
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31
2-10（2） 分析：（1）与C、 D等距的点的轨迹 是沿C、D连线的中 垂面上； （2）这个点又在 AB上，因此，这个 点是AB与中垂面的 交点。
k
c
1
b
m
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29
P17 2—9（4）
分析：1、ABC是等腰三角形，
AB是底边，所以AC=BC，所以
a’
C点轨迹是AB的中垂面；
2、过AB中点K作平面K12垂直
于AB；
3、求直线DE与平面K12的交
a
点。
b’
pv
k’
2’
e’
c’ d’
1’ 2
d
c
e
k
1
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a’
3、点在线上投影特点。 a
c’ c b
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6
a’
d’
1-8（2）
ΔZ
b’ c’
b
ΔZ
c
a
bc
d
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7
1-8（3）
B点与A或O或C 点的Y坐标差
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a’
d’ d
b’ 对角线一半
的实长等于 o’a’或o’c’
o’
B点与O点Y 坐标差
f’ p’
f’’ p’’
e’
e’’
f p
e
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4
1-5（4）
g’ m’ h’
g m
g’’ m’’ h’’
h
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5
1-8（1）已知AC为水平线，作出等腰三角形ABC（B为顶点） 的水平投影。
b’
知识点：
1、直角投影定理；
2、点分线段成定比；
b
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12
2-2（3）
b’
a’ b
c’ d’
e’
c d
a e
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13
2—3（1）
b’
a’ k’ c’
e’
d’
a
b
ek
d
c
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14
作业： 2—3（3）
b’ m’
c’
ΔZ
a’
1’
d’
b
m
ΔZ
a
α
c 1
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分析：利用直角三 角形法，直线与直 线平行，点在线上 的知识点。
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36
5、作一直线MN平行于直线AB，且与直线CD、EF相交。
c’
a
o
45mm
c
b
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8
1-8（4）
b’
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m’
c’ a’
b
m
c
a
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9
2-1（2）
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10
2-2（1）
b’ m’
a’
n’
c
’
cn
a
m
b
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11
2-2（2）
b’
k’
c’
20
a’ c
24 a k
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21
2-6(1)
m’ a’
a m
b’
k’ n’
c’ bn
k c
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22
pv c’ m’
a’ c’
a’
m
b’ k’
2-6（4）
n’ d’
n k
d’ b’
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23
d’ a’
e’
n’
c’
d a
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m’ f’
第二、三章部分习题解答
杨毓岚
2020/4/14
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1
1-5（1）
b’
k’
ΔZ
a’
b
ΔZ
k
a
K1
B1
30
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2
1-5（2）
ck c’
K1 k’
c’D1=cd
D1 d’
d
k c
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3
1-5（3）在EF上求一点P，使P点与H、V面的距离之比为3：2。
2020/4/14
2-4（4）
a’
d’
b’
c’
e’
b
d
c
20 e
a
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f’
f
17
2-5（1）
2020/4/14
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18
2-5（2）
2020/4/14
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19
2-5（3）
n’ m’
n m
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20
2-5（4）
2020/4/14
mc
2、用面上求点的 方法求得。
f b
k l
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28
P17 2—9（1）
a’
分析：1、过B点可以作一平面
BMK垂直于直线AB；
2、因为B点在平面BMK内，过B
点作垂直于AB的线一定在平面
BMK内，又因为BC垂直于AB，
a
所以BC一定在平面BMK内；
3、用面上取点的方法可求出
结果。
m’ c’ 1’ b’ k’
智慧树答案画法几何与工程制图知到课后答案章节测试2022年
第一章1.A2幅面图纸尺寸为（）。
答案:420mmx594mm2.下图中，图线的交接，错误的表达是（）答案:图C3.工程图纸中，详图常用比例选择正确的是（）。
答案:1:204.下列图线中线型、线宽及用途的表述正确的是（）。
答案:细实线：用于可见轮廓线，尺寸线、材料图例线等;细单点长画线：用于中心线、对称线、定位轴线等。
;粗实线：用于主要可见轮廓线，建筑物或构筑物外形轮廓线等5.单点长画线或双点长画线在较小图线中绘制有困难时，可用实线代替（）答案:对6.图样中标注的尺寸数值为形体的真实大小，与绘图的比例及准确度无关。
（）答案:对7.尺寸标注中，尺寸线应用细实线绘制，应与被注长度平行，图样本身的图线也可用作尺寸线。
（）答案:错第二章1.直线AB的正面投影反映实长，该直线为（）。
答案:正平线2.点A（0，0，10），则其（）面的投影在原点。
（）答案:H面3.在三面投影体系中，x轴坐标值大小反映两点的________位置（）答案:左右4.水平投影平行OX轴，侧面投影平行OZ轴，正面投影反映实长和实形，则此直线为（）答案:正平线5.正面投影反映平面实形，水平投影、侧面投影均积聚为一条直线段，且分别平行于OX、OZ轴，此平面为（）。
答案:正平面第三章1.（）是以圆为母线，绕与其共面但不通过圆心的轴线回转而形成的。
（）答案:圆环体2.由若干平面围成的几何体称为（）答案:平面立体3.当椭圆所在平面倾斜投影面时，其投影为（）答案:椭圆4.图中长度尺寸标注错在（）答案:尺寸线不应是图形轮廓线的延长线5.下图中三棱锥的侧面投影是（）答案:图C第四章1.右图所示圆锥被正垂面P所截（图中水平投影未画出截切后的情形），其截交线的形状是（）答案:双曲线与直线2.截交线的性质是（）答案:积聚性和封闭性3.轴线垂直于H面的圆柱体被一正垂面截切，要求截交线在W面上的投影为圆，其截平面对H面的角度为（）答案:45°4.当圆球被一正垂面截切，其截交线为（）答案:圆5.当截平面平行圆柱体的轴线截切圆柱体时，其截交线为（）答案:矩形第五章1.将轴向伸缩系数进行简化，即p=q=r=1，按此比例绘制的投影图，应比实际的轴测投影放大了（）答案:1.22倍2.正等轴测图的轴间角∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠Z1O1X1（）答案:120°3.作形体的正等轴测图时，空间各坐标面对轴测投影的位置是（）答案:倾斜4.物体上相互平行的线段，轴测投影（）答案:平行5.当轴向伸缩系数p=r=1，q=0.5时，称为（）答案:斜二轴测投影第六章1.几个基本体叠加在一起时，若端面靠齐则形成共面，共面的特点是结合处为（）答案:平面2.相互平行的尺寸，要使（）靠近图形，避免尺寸线和尺寸线或尺寸界线相交。
画法几何及工程制图习题答案
e1’
5
b1’
11-2 直线DE与三角形ABC平行，距离为15。求作DE的投影。
b’ e’
a’
c’
b
m’
e‘ d‘
a
e
15
e
m
d
c
11-3 过点S作平面既垂直于平面CDE，又垂直于直线AB。并求ab.
s1
b1
b’ c’
a1
11 1’
a’
s’
b 1s
a
c
a‘1
b’1
s’1
c1’d1’
H e1’ V1 X1
e’
a1b1
m’
g’ b’
11
n’
c1
a’
d’ f’ f
1’
c’
1 a
b
n
m g
c
a1’ 11’
d2e2 11’
11-10 作直线MN与DE、FG相交，与三角形ABC垂直。
e’
1’ g’ b’
k’
a’
2’ f’
d’
c’
f
a
b
1
d
k
2
g
c
11-11 正方形ABCD与H面的夹角α=30，AD边在AE上，B点到MN等距。
c’
a’ d’
d a
c
a2
d2 60
b’
c2
b2
a1’ b1’
d1
b
c1’
11-6求两平面的夹角。
a’
d’ c’
b’ c
a c1
c2
a1b1
a1
θ
d2
d
b b1 d1
11-7过A作直线与AB、CD均相交
“画法几何及工程制图”复习题(含答案)
“画法几何及工程制图”复习资料“画法几何及工程制图”课程是培养绘制和阅读工程图样基本能力的技术基础课。
土木工程图样是土木工程建设中的重要技术文件，工程图纸表达了有关工程建筑物的形状、构造、尺寸、工程数量以及各项技术要求和建造工艺，在设计和施工建造中起着记载、传达技术思想和指导生产实践的作用。
作为工程技术人员，必须精通工程制图的原理，熟练掌握图形技术。
本课程的主要任务就是帮助学习制图原理和方法，教会绘制工程图的初步技术，培养绘制和阅读工程图的基本能力，为后续课程的学习和专业技术工作打下必要的基础。
复习重点：第1章制图基本知识与技术掌握制图基本知识：制图标准、图纸幅面、字体、绘图比例、图线、尺寸的标注形式。
第2章投影法和点的多面正投影1.掌握投影法的基本知识：投影的形成及分类、工程上常用的四种图示方法2.掌握二面投影图和三面投影图的投影规律3.掌握作辅助正投影的方法第3章平面立体的投影及线面投影分析1.掌握基本平面立体的三面投影图的投影特性2.掌握立体上直线的投影特性3.掌握立体上平面的投影特性4.掌握点、线、面间的相对几何关系第4章平面立体构形及轴测图画法1.掌握基本平面体的叠加、切割、交接2.掌握平面立体的尺寸标注方法3.掌握轴测投影原理及平面立体的轴测投影画法第5章规则曲线、曲面及曲面立体1.了解曲线的形成与分类2.掌握圆的投影的画法，了解圆柱螺旋线投影的画法5.掌握基本曲面立体（圆柱、圆锥）的投影特性6.掌握平面与曲面体或曲表面相交的投影画法7.了解两曲面体或曲表面相交的投影画法8.掌握圆柱与圆锥的轴测图画法第6章组合体1.学会使用形体分析法对组合体的形成进行分析2.掌握根据实物绘制组合体的三视图的方法3.掌握组合体的尺寸注法4.掌握组合体三视图的阅读方法，根据组合体的两视图作第三视图5.掌握组合体轴测图的画法第7章图样画法1.掌握六个基本视图的画法2.掌握剖视图的表达方法3.掌握断面图的表达方法4.掌握在组合体轴测图中进行剖切的画法5.了解常用的简化画法6.了解第三角画法的概念第12章钢筋混凝土结构图（了解）1.了解钢筋混凝土结构的基本知识2.掌握钢筋混凝土结构的图示方法3.掌握钢筋混凝土结构图的阅读方法第13章房屋建筑图（了解）1.了解房屋的组成和各部分的作用，了解房屋的一般设计方法2.了解房屋施工图的分类及有关规定3.了解房屋总平面图的绘制方法4.掌握建筑平面图、建筑立面图、建筑剖面图的绘制方法5.了解建筑详图的绘制方法第14章桥梁、涵洞工程图（了解）了解桥涵工程图的基本知识，了解桥墩图、桥台图、涵洞图的图示方法本课程的考核方法：本课程在教学方式上的一个显著特点是突出强调它的实践性环节。
“画法几何及工程制图”复习题(含答案)
“画法几何及工程制图”复习资料“画法几何及工程制图”课程是培养绘制和阅读工程图样基本能力的技术基础课。
土木工程图样是土木工程建设中的重要技术文件，工程图纸表达了有关工程建筑物的形状、构造、尺寸、工程数量以及各项技术要求和建造工艺，在设计和施工建造中起着记载、传达技术思想和指导生产实践的作用。
作为工程技术人员，必须精通工程制图的原理，熟练掌握图形技术。
本课程的主要任务就是帮助学习制图原理和方法，教会绘制工程图的初步技术，培养绘制和阅读工程图的基本能力，为后续课程的学习和专业技术工作打下必要的基础。
复习重点：第1章制图基本知识与技术掌握制图基本知识：制图标准、图纸幅面、字体、绘图比例、图线、尺寸的标注形式。
第2章投影法和点的多面正投影1.掌握投影法的基本知识：投影的形成及分类、工程上常用的四种图示方法2.掌握二面投影图和三面投影图的投影规律3.掌握作辅助正投影的方法第3章平面立体的投影及线面投影分析1.掌握基本平面立体的三面投影图的投影特性2.掌握立体上直线的投影特性3.掌握立体上平面的投影特性4.掌握点、线、面间的相对几何关系第4章平面立体构形及轴测图画法1.掌握基本平面体的叠加、切割、交接2.掌握平面立体的尺寸标注方法3.掌握轴测投影原理及平面立体的轴测投影画法第5章规则曲线、曲面及曲面立体1.了解曲线的形成与分类2.掌握圆的投影的画法，了解圆柱螺旋线投影的画法3.了解曲面的形成、分类4.掌握曲面投影的表达方法，主要是圆柱面、圆锥面、球面投影的画法5.掌握基本曲面立体（圆柱、圆锥）的投影特性6.掌握平面与曲面体或曲表面相交的投影画法7.了解两曲面体或曲表面相交的投影画法8.掌握圆柱与圆锥的轴测图画法第6章组合体1.学会使用形体分析法对组合体的形成进行分析2.掌握根据实物绘制组合体的三视图的方法3.掌握组合体的尺寸注法4.掌握组合体三视图的阅读方法，根据组合体的两视图作第三视图5.掌握组合体轴测图的画法第7章图样画法1.掌握六个基本视图的画法2.掌握剖视图的表达方法3.掌握断面图的表达方法4.掌握在组合体轴测图中进行剖切的画法5.了解常用的简化画法6.了解第三角画法的概念第12章钢筋混凝土结构图（了解基本概念）1.了解钢筋混凝土结构的基本知识2.掌握钢筋混凝土结构的图示方法3.掌握钢筋混凝土结构图的阅读方法第13章房屋建筑图（了解了解基本概念）1.了解房屋的组成和各部分的作用，了解房屋的一般设计方法2.了解房屋施工图的分类及有关规定3.了解房屋总平面图的绘制方法4.掌握建筑平面图、建筑立面图、建筑剖面图的绘制方法5.了解建筑详图的绘制方法第14章桥梁、涵洞工程图（了解）了解桥涵工程图的基本知识，了解桥墩图、桥台图、涵洞图的图示方法本课程的考核方法：本课程在教学方式上的一个显著特点是突出强调它的实践性环节。
画法几何及工程制图习题集答案
图 , 画 出 A-A斜 剖 视 图 。
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6
9.10-3 完成半剖视的主视图, 用全剖画出其左视图。
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7
9.8-3 画 出 指 定 位 置 断 面 图 (左 面 键 槽 深 4mm,右 面 键 槽 深 3mm)。
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8
9.10-4 已知物体的主、俯视图,将主视图改画为B-B剖视图, 并画出A-A半剖的左视图。
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9
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9.2-1 分析机件结构形状，补画剖视图中缺漏的图线。 (6)
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1
9.1-3 在指定位置画出A向斜视图和B向局部视图。
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2
9.3-5 作C-C剖视。
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3
9.4-8 把主、俯视图画成半剖视。
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4
9.7-5 在指定位置把主视图画成剖视图。
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《画法几何及工程制图制图》答案
m a
n d
Yh
a
9
P19-3:已知AB的β=30°,根据投影图,完成其两面投影。
Z a′
X
Yw
b
a
Yh
a
10
P19-3:已知AB的β=30°,根据投影图,完成其两面投影。
Z
a′
a″
b′ X
b
b″ Yw
60°
a
Yh
a
11
P19-3 典型错误分析-类型一：
a′ Z
一般位置直
β
线不反映对投影
面的倾角大小。
V1 H2
X2
a
b2
25
第六章 题目检索
P52-（1）； P52-（2）； P55-（3）； P56-（1）； P56-（2）； P57-（4）； P60-（2）； P63-（1）； P65-（1）； P68-（2）； P69-（1）； P70-（1）； P71-（1）； P73-（2）； P74-（1）； P74-（2）；
d
c
m
a Yh
a
17
P21-1 典型错误分析-类型一：
Z
c′
a′
该直线水平
m′
投影不过原点。
b′ X
d′
b
d
c
m
a Yh
a
Yw
18
P21-1 典型错误分析-类型二：
Z
c′
a′
该直线的水平投
m′
影不与投影轴平行。
b′ X
d′
b
d
c
m
a Yh
a
Yw
19
P25-2：以BC为斜边作等腰直角三角形ABC，C点 在V面上,图中AB为正平线。
画法几何及工程制图(东华大学)2、3章部分答案
13.10.2020
PPT课件
25
m’
P16 2-8（1）
c’
m’
b’
b’
n’
n’
a’
a’
c’
a
c n m
m a
c
n b
b
与正垂面垂直的是正平线，由此可延伸，与铅垂面垂直的是水平线，与侧垂面垂
直的是侧平线.
13.10.2020
PPT课件
26
2—8（3）
分析：到A、B两点距离相等 的点的轨迹是中垂面。
分析：1、ABC是等腰三角形，
AB是底边，所以AC=BC，所以
a’
C点轨迹是AB的中垂面；
2、过AB中点K作平面K12垂直
于AB；
3、求直线DE与平面K12的交
a
点。
b’
pv
k’
2’
e’
c’ d’
1’ 2
d
c
e
k
1
13.10.2020
PPT课件
b
30
2-10（1）
f’ b’
分析：（1）过一点
作平面的平行线有无 数条，其轨迹是与已 知平面平行的平面；
c’ c b
13.10.2020
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6
a’
d’
1-8（2）
ΔZ
b’ c’
b
ΔZ
c
a
bc
d
13.10.2020
PPT课件
7
1-8（3）
B点与A或O或C 点的Y坐标差
13.10.2020
a’
d’ d
b’ 对角线一半
的实长等于 o’a’或o’c’
o’
画法几何及工程制图习题答案
画法几何及工程制图习题答案画法几何及工程制图习题答案画法几何是一门应用数学，主要研究几何图形的绘制方法和几何变换。
在工程制图中，画法几何是非常重要的基础知识，它不仅可以帮助我们准确地绘制出各种图形，还可以帮助我们理解和分析复杂的工程问题。
下面是一些常见的画法几何及工程制图习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 画一条长为10cm的直线段。
答案：使用直尺，将直尺的一端放在纸上，然后用铅笔或者钢笔顺着直尺边缘画出一条直线段，长度为10cm。
2. 画一个正方形，边长为5cm。
答案：使用直尺，先画一条长为5cm的直线段，然后以这条直线段为边，分别向左右两侧画出两条与之垂直的直线段，长度也为5cm。
最后，将这两条垂直的直线段连接起来，就得到了一个边长为5cm的正方形。
3. 画一个等边三角形，边长为6cm。
答案：使用直尺，先画一条长为6cm的直线段，然后以这条直线段为边，分别向左右两侧画出两条与之等长的直线段，然后将这两条直线段连接起来，就得到了一个等边三角形。
4. 画一个圆，半径为3cm。
答案：使用一个定圆规，将定圆规的一个脚放在纸上，然后调整另一个脚的距离为3cm，然后以定圆规为半径，在纸上画出一个圆。
5. 画一个椭圆，长轴为8cm，短轴为4cm。
答案：使用两个定圆规，先画一个长轴为8cm的直线段，然后将一个定圆规的一个脚放在长轴的一个端点上，调整另一个脚的距离为4cm，然后以定圆规为半径，在纸上画出一个圆。
接着，将另一个定圆规的一个脚放在长轴的另一个端点上，调整另一个脚的距离为4cm，然后以定圆规为半径，在纸上再画出一个圆。
最后，将这两个圆的交点连接起来，就得到了一个椭圆。
6. 画一个正六角形，边长为5cm。
答案：使用直尺，先画一条长为5cm的直线段，然后以这条直线段为边，分别向左右两侧画出两条与之垂直的直线段，长度也为5cm。
接着，以这两条垂直的直线段为边，分别向两侧画出两条与之垂直的直线段，长度也为5cm。
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编课件
P19-2: 作距H面15的水平线MN，使其与AB、CD相交。
a′ c′ Z m′
n′
1155
b′ X
b
d′ c
Yw
n
m
d
a Yh
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
P19-2 典型错误分析：
a ′ c ′ Z 水平线的
m′
水平投影倾斜于
n ′ 相应投影轴。
15
b′ X
b
d′ c
Yw
m a
n d
Yh
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
P19-3:已知AB的β=30°,根据投影图,完成其两面投影。
Z a′
X
Yw
b
a Yh
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
P19-3:已知AB的β=30°,根据投影图,完成其两面投影。
Z
a′
a″
b′ X
b
b″ Yw
60°
a Yh
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
习题集解答
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
p10
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
p11
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
P12 -（22）：画物体的三视图
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
P12 -（22）：画物体的三视图
《画法几何及工程制图制图》答案王兰美主编
第四章 题目检索
1'2' 3'4'
2'
1'
解题步骤
4'
3'
1．分析 截交线的水平投 影为直线和部分圆，侧面
(培训课件)画法几何与工程制图习题集答案
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02
画法几何基础知识
点、直线和平面的投影
80%
点的投影
点在投影面上的位置由其坐标确 定，投影方法包括中心投影和平 行投影。
100%
直线的投影
直线在投影面上的投影通常是一 条直线段，其位置和长度由直线 的两个端点确定。
80%
平面的投影
平面在投影面上的投影是一个平 面图形，其形状和大小由原平面 与投影面的相对位置决定。
立体在投影面上的投影是一个平面图 形，其形状和大小由原立体与投影面 的相对位置决定。
表面交线的投影
截交线和相贯线的投影
截交线和相贯线是立体被平面或曲面截切后 产生的交线，它们在投影面上的投影形状和 位置取决于截切平面或曲面与立体的相对位 置。
立体表面交线在投影面上的投影是一 条曲线或直线段，其形状和位置由交 线与投影面的相对位置决定。
05
学习方法与技巧分享
如何提高空间想象能力
多看立体图形
经常观察和研究各种立体图形，包括简单的几何体和复杂 的组合体，从多个角度观察它们，逐渐培养对三维形状的 感觉。
动手制作模型
通过亲手制作立体模型，可以更加直观地理解三维形状的 结构和特点，提高空间想象能力。
利用计算机辅助设计软件
学习使用计算机辅助设计软件，如AutoCAD、 SolidWorks等，可以方便地创建、修改和观察三维模型， 加深对空间形状的理解。
如何应对考试中的难题
保持冷静
遇到难题时，不要惊慌失措， 要保持冷静和自信，相信自己
能够解决问题。
仔细审题
认真阅读题目，理解题意和要 求，避免因为误解题目而浪费 时间和精力。
尝试多种方法
如果一种方法无法解决问题，可 以尝试其他方法，包括不同的解 题思路、公式或定理的应用等。