湖南省师大附中2013-2014学年高一下学期期中考试 数学试题(A卷)

湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学(A)－湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数 学(A)时量：120分钟 满分：150分得分：____________必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sin α<0且tan α>0，则α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为 A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2 D ．16 cm 23．tan 23π的值为A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 4.1＋tan15°1－tan15°＝ A ．－ 3 B ．－1 C. 3 D ．15．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α等于 A ．15° B ．45°C ．75°D ．15°或75°6．计算2sin 15°·cos 30°＋sin 15°等于 A.22 B ．－22 C.32 D ．－327．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于 A ．1 B. 2 C ．2 D ．48．将函数y ＝5sin 3x 的图象向左平移π3个单位，得到的图象的解析式是A ．y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3B ．y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3C ．y ＝5sin 3xD ．y ＝－5sin 3x9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (11)的值等于A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2选择题答题卡二、大题共3小题，每小题5分，满分15分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．设a ＝(log 2x ，2)，b ＝(1，－1)，a ⊥b ，则x ＝________．12. 已知sin x ＋cos x ＝12，则sin 2x ＝________．13．已知△ABC 中，AC ＝4，AB ＝2，若G 为△ABC 的重心，则AG →·BC →＝_________． 三、解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．(本题满分11分)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－32.(1)求函数f (x )的最小正周期及函数f (x )的零点的集合；(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f (x )在一个周期内的图象．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1.(1)求常数a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的取值集合．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．必考Ⅱ部分(共50分)1．设α，β均为锐角，且sin α＝45，sin(α－β)＝513，则cos β＝________．2．定义两个平面向量a ，b 的一种运算a ⊗b ＝||a ||b sin θ，(其中向量a ，b 的夹角为θ)，则以下等式中：①若a ∥b 则a ⊗b ＝0； ②a ⊗b ＝b ⊗a ；③λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ；④(a ⊗b )2＋(a ·b )2＝||a 2·||b 2.其中恒成立的是________(填写序号)． 3．(本题满分13分)己知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin x 2，1－2cos x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，1＋2cos x 2，函数f (x )＝log 12(a·b )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求函数f (x )的单调区间．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01 m2)已知点C (1，－2)，P (－5，－2)，动点满足|QC →|＝3. (1)求动点Q 的轨迹方程； (2)求PC →与PQ →夹角的取值范围；(3)是否存在斜率为1的直线l ，l 被点Q 的轨迹所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学(A)参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学(A)参考答案11．4 12.－34 13.4三、解答题14．解：(1) f (x )＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－32＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －32＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∴函数f (x )的最小正周期为π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝0，得2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，所以f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π2－π6，k ∈Z .(5分) (2)描点连线，如图所示．(11分)15．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a由最大值为2＋a ＝1，解得a ＝－1.(6分) (2)由f (x )≥0得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12，∴π6＋2k π≤x ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z 故使f (x )≥0成立的取值集合为{x |2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z }．(12分)16．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1， ∴cos 2θ＝15.∵θ∈⎝⎛⎫0，π2，∴cos θ＝55，sin θ＝255.(6分)(2)∵0<θ，φ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，∴cos(θ－φ)＝1－sin 2（θ－φ）＝31010，故cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ) ＝55×31010＋255×1010＝22.(12分)必考Ⅱ部分 1.56652．①②④解：①恒成立；②恒成立；③λ(a ⊗b )＝λ||a ||b sin θ，(λa )⊗b ＝||λa ||b sin φ， (φ是λa 与b 的夹角)，当λ<0时不成立；④由a ⊗b ＝||a ||b sin θ，a·b ＝||a ||b cos θ知，(a ⊗b )2＋(a ·b )2＝||a 2·||b 2，所以④恒成立； 3．解：(1)因为a·b ＝2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫1－2cos x 2⎝⎛⎭⎫1＋2cos x 2＝sin x ＋1－2cos 2x2＝sin x －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (2分)由sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0，得2k π<x －π4<2k π＋π，即2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z .所以f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z .(4分)因为0<2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤2，则f (x )≥log 122＝－12，所以f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－12， ＋∞.(6分) (2)由题设f (x )＝log 12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4.若f (x )为增函数，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4为减函数，所以2k π＋π2≤x －π4<2k π＋π，即2k π＋3π4≤x <2k π＋5π4，故f (x )的递增区间是⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4，k ∈Z . (10分)若f (x )为减函数，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4为增函数，所以2k π<x －π4≤2k π＋π2，即2k π＋π4<x ≤2k π＋3π4，故f (x )的递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π＋π4，2k π＋3π4，k ∈Z .(13分)4．解：(1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与BC 的交点为F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ. AB ＝OF －12AD ＝R cos θ－R sin θ.(4分)所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ) ＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－R 2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.(8分)(2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则2θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.所以当 2θ＋π4＝π2，即θ＝π8 时，S 有最大值．(10分)S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝0.414×2 025＝838.35.故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值838.35 m 2. (13分)5．解：(1)设点Q (x ，y )，由||得（x －1）2＋（y ＋2）2＝3.第 11 页 共 11 页即(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.…(3分)(2)过P 作圆C 的切线，切点E ，F ， 则EC ＝3，PC ＝6，∴∠EPC ＝30°，从而与夹角的范围为[0，30°]．………………(8分)(3)设这样的l 存在，设l ：y ＝x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t （x －1）2＋（y ＋2）2＝9⇒2x 2＋(2＋2t )x ＋t 2＋4t －4＝0……※ (9分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－(t ＋1)，x 1x 2＝t 2＋4t －42，(10分) 由题设，⊥，∴·＝0, 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.(11分) 而y 1y 2＝(x 1＋t )(x 2＋t )＝x 1x 2＋t (x 1＋x 2)＋t 2，(12分) ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋t (x 1＋x 2)＋t 2＝0， 得t 2＋3t －4＝0，(13分)∴t ＝－4或t ＝1，∴存在直线l ：y ＝x －4或y ＝x ＋1.(14分)。