人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第三部分 指对幂函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题
人教数学必修一
第三部分 指对幂函数
1、计算、
2、比较大小、
3、指对函数的图像与性质、
4、反函数、
5、幂函数
一．指对数计算
1．指数计算公式(0,,)a r s Q >∈
r s a a =_______ ()s r a =_______ ()r ab =_______ m
n
a =_________ 2．对数计算公式(0,1,0,0)a a N M >≠>>且
（1）指对数互化：x a N =⇔_______
（2）log 1a =_______ log a a =_______ log n a a =_______ log a n a =_______
（3）log log a a M N +=_______ log log a a M N -=_______
log n a M =_______ log n a M =_______ log n m a M =_______
（4）换底公式：log lg log log lg c a c b b b a a == 1l o g l o g a b
b a = 3．计算：（1
）2
32270.25lg 42lg58-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
_______ （2
02015-=_______ （3）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++=_______
2．整体思想
1．()(01),(1)3,(2)=x x
f x a a a a f f -=+>≠=且则__________
二．比较大小
1．借助函数的单调性比较大小 2log 6_____2log 3 312-（）_____312
（） 2、借助中间量0和1
规律：
①正数的任何次方都是正数(>0)；
②对于对数log a b ，如果a 和b 一个大于1一个小于1，则log a b <0
0a 1,log 1a a ==③
1．三个数20.320.3
,log 0.32a b c ===，之间的大小关系是___________ 2．若2log 13
a <，则实数a 的取值范围是__________
三、指对幂函数
1．指数函数y (01)x a a a =>≠且 2．对数函数log (01)a y x a a =>≠且
a>1 0<a<1 a>1
0<a<1
1．2()1x f x a =+(01)a a >≠且过定点___________
2．()4log (1)a f x x =+-(01)a a >≠且过定点____________
3．如果函数()(3)x
f x a =-与()lo
g a g x x =的增减性相同，则a 的取值范围是________ 4．函数2451()3x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____________________．
5．若函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
6．若函数33()(log 1)(log 5)f x x x =++的定义域为[1,9]，则其值域为______________．
四、反函数
1．对数函数与指数函数互为反函数 2．反函数的图像关于y x =对称
1．函数21()3x f x a -=+的反函数为_____
2．设函数()log ()a f x x b =+的图象经过点（0，0），其反函数经过点（1，2），则a b +=_____
3．若函数)(x f y =是函数x a y = ,0(>a 且)1≠a 的反函数，其图像经过点),(a a ，则=)(x f （ ）
A ．x y 2log =
B ．x -2
C ．2
x D ．x y 21log =
四、幂函数
函数y x α
=叫做幂函数．
特别的，当0α>时，函数y x α=在(0,)+∞上单调递增． 1．如果幂函数()f x 的图象经过1
(2,)8
，则(3)f =________
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题
人教数学必修一
第三部分 指对幂函数
1、计算、
2、比较大小、
3、指对函数的图像与性质、
4、反函数、
5、幂函数
一．指对数计算
1．指数计算公式(0,,)a r s Q >∈
r s a a =__r s a +___ ()s r a =___r s a _ ()r ab =__r r a b m
n
a =
2．对数计算公式(0,1,0,0)a a N M >≠>>且
（1）指对数互化：x a N =⇔_log a x N =______
（2）log 1a =___0____ log a a =____1___ log n a a =____n ___ log a n a
=___n ___ （3）log log a a M N +=__log a MN __ log log a a M N -=_log a M N
______ log n a M =_log a n M ___ log n a M =_1log a M n ______ log n m a M =_log a m M n
___ （4）换底公式：log lg log log lg c a c b b b a a == 1l o g l o g a b
b a = 3．计算：（1
）2
32270.25lg 42lg58-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭___694___ （2
02015-=___0___ （3）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++=_54__ 2．整体思想 1．()(01),(1)3,(2)=x x f x a a a a f f -=+>≠=且则__7___
二．比较大小
1．借助函数的单调性比较大小
2log 6__>___2log 3 312-（）___>__312
（） 2、借助中间量0和1
规律：①正数的任何次方都是正数(>0)；②对于对数log a b ，如果a 和b 一个大于1一个小于1，则log a b <0 0a 1,log 1a a ==③
1．三个数20.320.3,log 0.32a b c ===，之间的大小关系是___c a b >>___
2．若2log 13
a <，则实数a 的取值范围是___2(0,)(1,)3+∞ _______ 三、指对幂函数 1．指数函数y (01)x a a a =>≠且 2．对数函数log (01)a y x a a =>≠且
a>1 0<a<1 a>1
0<a<1
1．2()1x f x a =+(01)a a >≠且过定点___(0,2)____
2．()4log (1)a f x x =+-(01)a a >≠且过定点___(2,4)___
3．如果函数()(3)x f x a =-与()log a g x x =的增减性相同，则a 的取值范围是__(1,2)______
4．函数2451()3x x f x --⎛⎫
= ⎪⎝⎭的单调递减区间是___[2,)+∞_____．
5．若函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_(4,4]-__．
6．若函数33()(log 1)(log 5)f x x x =++的定义域为[1,9]，则其值域为____[5,21]____．
四、反函数
1．对数函数与指数函数互为反函数 2．反函数的图像关于y x =对称
1．函数21()3x f x a -=+的反函数为
2．设函数()log ()a f x x b =+的图象经过点（0，0），其反函数经过点（1，2），则a b +=__4___
3．若函数)(x f y =是函数x a y = ,0(>a 且)1≠a 的反函数，其图像经过点),(a a ，则=)(x f （ D ）
A ．x y 2log =
B ．x -2
C ．2
x D ．x y 21log =
四、幂函数
函数y x α
=叫做幂函数．
特别的，当0α>时，函数y x α=在(0,)+∞上单调递增． 1．如果幂函数()f x 的图象经过1
(2,)8，则(3)f =_127__。
3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。
人教版高中数学必修一《幂函数》综合练习题含答案
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题单选题1、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B2、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5) 答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ） A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞) C ．(−3,3)D ．(−3,+∞) 答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞). 故选：B.4、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可.由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0， 所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0， 对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3 ，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞). 故选：A5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图像如图所示，直线x =m 2，x =m (0<m <1)与y =x a ，y =x b 的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |=|CD |，则m a +m b =（ ）A．1B．1C．√2D．22答案：B分析：表示出|AB|,|CD|，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得(m2)a>(m2)b，m a>m b，再由|AB|=|CD|，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，|AB|=(m2)a−(m2)b，|CD|=m a−m b，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a> (m2)b，m a>m b，因为|AB|=|CD|，所以m2a−m2b=(m a+m b)(m a−m b)=m a−m b，因为m a−m b>0，可得m a+m b=1.故选：B,则f(x)（）7、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 8、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)={1,x>0−1,x<0，g(x)={1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，f(t)=|t−1|与g(x)=|x−1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(−∞,4)C．f(1)=3D．若f(x)=3，则x的值是√3E．f(x)<1的解集为(−1,1)答案：BD解析：根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(−∞,4)，故B正确；当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；当x≤−1时，x+2=3，解得x=1（舍去），当−1<x<2时，x2=3，解得x=√3或x=−√3（舍去），故D正确；当x≤−1时，x+2<1，解得x<−1，当−1<x<2时，x2<1，解得−1<x<1，因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)；故E错误.故选：BD.小提示：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.11、已知幂函数f(x)图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若x ≥9，则f (x )≥3D ．若x 2>x 1>0，则f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x 12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x ≥9时，可得√x ≥3可判断C ，利用(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x α将点(4,2)代入函数f(x)=x α得：2=4α，则α=12.所以f(x)=x 12，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A 正确.f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B 不正确. 当x ≥9时，√x ≥3，即f(x)≥3，所以C 正确. 当若0<x 1<x 2时， (f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)24<0.即f (x 1)+f (x 2)2<f (x 1+x 22)成立，所以D 不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2，化简得到−(√x 1−√x 2)24，从而判断出选项D 的正误，属于中档题.填空题12、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=2⋅3x ，则函数f(x)=_____． 答案：3x +3−x分析：由已知可得f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，结合两函数的奇偶性可得f (x )−g (x )=2⋅3−x ，利用方程组的思想即可求出f (x ).解：因为f(x)+g(x)=2⋅3x ，所以f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，又f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (−x )=f (x ),g (−x )=−g (x )； 所以f(−x)+g(−x)=f (x )−g (x )=2⋅3−x，则{f (x )+g (x )=2⋅3x f (x )−g (x )=2⋅3−x，两式相加得，2f (x )=2⋅3x +2⋅3−x ，所以f (x )=3x +3−x . 故答案为:3x +3−x . 小提示：关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到f (x )−g (x )=2⋅3−x ，从而可求出函数的解析式. 13、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.“对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2， 综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞) 解答题15、已知二次函数f (x )=ax 2−2x (a >0) （1）若f (x )在[0,2]的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2．求a的取值范围．答案：（1）2；（2）[8,+∞).分析：由解析式可知f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数；（1）分别在1a ≥2和0<1a<2两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，分别在1a ≤t、1a≥t+1、t<1a≤t+12和t+12<1a<t+1，根据f(x)单调性可得f(x)max−f(x)min，将f(x)max−f(x)min看做关于t的函数，利用恒成立的思想可求得结果.由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数，（1）当1a ≥2，即0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=0，不合题意；当0<1a <2，即a>12时，f(x)在[0,1a]上单调递减，在[1a,2]上单调递增，∴f(x)max=max{f(0),f(2)}，又f(0)=0，f(2)=4a−4，f(x)在[0,2]的最大值为4，∴f(x)max=f(2)=4a−4=4，解得：a=2；综上所述：a=2.（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2，则f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，①当1a≤t时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(t)=2at+a−2≥2，当t≥1a时，y=2at+a−2单调递增，∴(2at+a−2)min=2a⋅1a+a−2=a，∴a≥2；②当1a ≥t+1，即t≤1a−1时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+1)=−2at−a+2≥2，当t≤1a−1时，y=−2at−a+2单调递减，∴(−2at−a+2)min=−2a(1a−1)−a+2=a，∴a≥2；③当t<1a ≤t+12，即1a−12≤t<1a时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(1a )=a(t+1)2−2(t+1)+1a≥2，当1a −12≤t<1a时，又a>0，12<1a+12≤t+1<1a+1，令m=t+1，则y=am2−2m+1a 在[1a+12,1a+1)上单调递增，∴a(1a +12)2−2(1a+12)+1a≥2，解得：a≥8；④当t+12<1a<t+1，即1a−1<t<1a−12时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(1a )=at2−2t+1a≥2，当1a −1<t<1a−12时，y=at2−2t+1a在(1a−1,1a−12)上单调递减，∴a(1a −12)2−2(1a−12)+1a≥2，解得：a≥8；综上所述：a的取值范围为[8,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。
必修一幂函数（含答案）
必修⼀幂函数（含答案）2.7幂函数⼀、幂函数定义的应⽤〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正⽐例函数； (4)是反⽐例函数.〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.⼆、幂函数的图象与性质〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?-，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤??=?>??f x f xg x h x g x f x g x ，，，．试求函数h(x)的最⼤值以及单调区间.〖例2〗已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1）求()f x 的单调区间；（2）⽐较()f π-与(2f -的⼤⼩（⼆）幂函数的性质与应⽤【例1】(1)试⽐较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的⼤⼩.(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增⼤⽽减⼩，求满⾜() ()--+<-m m 33a 132a 的a 的取值范围.三、幂函数中的三类讨论题〖例1〗已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．例3讨论函数2221()kk y k k x--=+在0x >时随着x 的增⼤其函数值的变化情况．【⾼考零距离】（2010陕西⽂数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满⾜f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是[]（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数【考点提升训练】⼀、选择题(每⼩题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x()y=12x ()y= 32x()y=521x 22.函数y=1x-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称 ()坐标原点对称()直线y=x 对称3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) ()(0，+∞)()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(){x|0){x|0≤x ≤4} (){x|x ){x|－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0?-?≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成⽴，则实数m 的取值范围为( )()(-∞,1) ()(-∞, 12) ()(-∞,0) ()(0,1)⼆、填空题(每⼩题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上⽅，则实数a的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)=12x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.9.当0三、解答题(每⼩题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2x且f(4)=72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x α,则由已知得，α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)= 32x .2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)=1x-x 2, 则f(-x)=1x -(-x)2=1x-x 2=f(x), ∴f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1,∴0＜0.71.3＜1.30.7.⼜(0.71.3)m ＜(1.30.7)m,∴函数y=x m在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由(12)m m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,⼜∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选.当a ＜0时，(12)a-7＜1, 即2-a＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0.当a ≥01,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成⽴求解.【解析】选.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数，∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0? f(mcos θ)＞f(m-1)? mcos θ＞m-1?mcos θ-m+1＞0恒成⽴，令g(cos θ)=mcos θ-m+1, ⼜0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1, 则有：()()g 00g 10＞，＞即m 10m m 10-+??-+?＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1).答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 12x-在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +??-??+-?＞＞＞解得：3＜a ＜5. 答案：(3,5)9.【解题指南】在同⼀坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)72,所以4m -24=72.所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, ⼜f(-x)=-x-2x - =-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (3)⽅法⼀：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),[来源:/doc/7210e201581b6bd97e19ea07.html ]因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. ⽅法⼆：∵f(x)=x-2x,∴f ′(x)=1+22x ＞0在(0,+∞)上恒成⽴，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2. 设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2. (2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x 1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式⼩于零，即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x ＞1或x ＜-1时，(*)式⼤于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警⽰】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}⽽失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性⽽致误.【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，⼜p ∈Z,∴p=0,1,2. 当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421x x -)+(2q-1)·(2212x x -)=(2221x x -)[q(2212x x +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221x x -＜0且2212x x +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成⽴. 即2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴. 由2212x x +＞32且q ＜0，得q(2212x x +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成⽴，则2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证, 当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数, ∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.[来源:学科⽹ZXXK]。
数学人教A版必修第一册3.3幂函数复习
16
)
D． b c a
题型练习三：幂函数的应用
5．已知函数 f ( x) (a a 1) x
2
a 1
为幂函数，且为奇函数；
（1）求 a 的值；
1
（2）求函数 g ( x) f ( x) 1 2 f ( x) 在 x [0, ] 的值域．
2
题型练习三：幂函数的应用
3
3
B．
2
2
C．
3
)
3
D．
2
【解答】解：根据幂函数 y x a 的图象关于 y 轴对称，函数是偶函数，排除 B 、 D 选项；
再根据幂函数 y x 的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，
a
所以 a 0 ，排除 A ，即 C 选项正确．
故选： C ．
题型练习二：幂函数的图像和性质
是幂函数，且 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，则 f （2）
1
B．
2
C．2
【解答】解：因为函数 f ( x) (m2 2m 2) x m1 是幂函数，
所以 m 2m 2 1 ，解得 m 1 或 m 3 ．
2
又因为 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，所以 m 1 0 ，
幂函数
知识梳理
1、幂函数的概念
2、幂函数的图像
3、幂函数的性质
4、应用（比较大小）
1、幂函数的概念
定义：一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数.
注意：
Байду номын сангаас
① 幂前系数必须是1
②底数是自变量 x，指数是常数
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识点梳理(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识点梳理单选题>0，1、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1>0又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B>小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f(x1)−f(x2)x1−x20,[f(x1)−f(x2)]⋅(x1−x2)>0，属中档题.<0，且f(2)=0，则不2、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1等式xf(x)>0的解集是（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(2,+∞)C．(−∞,−2)∪(0,2)D．(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增， 又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0， 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：C3、已知函数f (x )对于任意x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，且当x >0时，f (x )>2，若已知f (2)=3，则不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为（ ） A ．(2,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．(4,+∞)分析：设g (x )=f (x )−2，分析出函数g (x )为R 上的增函数，将所求不等式变形为g (3x −2)>g (4)，可得出3x −2>4，即可求得原不等式的解集. 令g (x )=f (x )−2，则f (x )=g (x )+2，对任意的x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，则g (x )+g (y )=g (x +y )， 令y =0，可得g (x )+g (0)=g (x )，可得g (0)=0，令y =−x 时，则由g (x )+g (−x )=g (0)=0，即g (−x )=−g (x )， 当x >0时，f (x )>2，即g (x )>0，任取x 1、x 2∈R 且x 1>x 2，则g (x 1)+g (−x 2)=g (x 1−x 2)>0，即g (x 1)−g (x 2)>0，即g (x 1)>g (x 2)， 所以，函数g (x )在R 上为增函数，且有g (2)=f (2)−2=1，由f (x )+f (2x −2)>6，可得g (x )+g (2x −2)+4>6，即g (x )+g (2x −2)>2g (2)， 所以，g (3x −2)>2g (2)=g (4)，所以，3x −2>4，解得x >2. 因此，不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为(2,+∞). 故选：A. 4、函数f(x)=0√x−2定义域为（ ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞) 答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3， 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型： （1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.5、下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是（）A．y=x+1x B．y=−x3C．y=2−|x|D．y=−1x2答案：C分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.解析：A项y=x+1x，B项y=−x3均为定义域上的奇函数，排除；D项y=−1x2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；C项y=2−|x|为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.故选：C.6、函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A．f(x)+g(x)为奇函数B．f(x)+g(x)为偶函数C．f(x)g(x)为奇函数D．f(x)g(x)为偶函数答案：C分析：依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.令F1(x)=f(x)+g(x)，则F1(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)≠−F1(x),且F1(−x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2(x)=f(x)g(x)，则F2(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F2(x),且F2(−x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C7、已知f(2x−1)=4x2+3，则f(x)=（）．A．x2−2x+4B．x2+2x C．x2−2x−1D．x2+2x+4答案：D分析：利用换元法求解函数解析式. 令t =2x −1，则x =t+12，f (t )=4(t+12)2+3=t 2+2t +4；所以f(x)=x 2+2x +4. 故选：D.8、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ．f(x)=x 2−x x，g (x )=x −1B ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2C ． f (x )=x 2−2，g (t )＝t 2－2D ．f (x )=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1 答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案. 解：由题意得： 对于选项A ：f(x)=x 2−x x的定义域为{x|x ≠0}，g(x)=x −1的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：f(x)=√x 2的定义域为R ，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：f (x )=x 2−2的定义域为R ，g (t )=t 2−2的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：f (x )=√x +1⋅√x −1的定义域为{x|x ≥1}，g(x)=√x 2−1的定义域为{x|x ≤−1或x ≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误. 故选：C 多选题9、已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是A ．f(3)=9B ．f(−3)=4C ．f(x)=x 2D ．f(x)=(x +1)2答案：BD解析：利用换元法求出f(x)的解析式，再对选项进行一一验证，即可得答案. 令t =2x −1⇒x =t+12，∴f(t)=4(t+12)2=(t +1)2.∴f(3)=16,f(−3)=4,f(x)=(x +1)2. 故选：BD.小提示：本题考查换元法求函数的解析式、函数值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.10、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．11、下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是（）A．y=x2+1B．y=2x C．y=|x|D．y=|1x−x|答案：AC分析：根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.对A，开口向上，且对称轴为x=0，所以y=x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是增函数，故A正确；对B，y=2x为奇函数，故B错误；对C，y=|x|为偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=x为增函数，故C正确；对D，令f(x)=|1x −x|，f(−x)=|1−x+x|=|1x−x|=f(x)为偶函数，当x∈(0,1)，y=1x−x为减函数，故D错误，故选：AC填空题12、有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→x2；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→1x2；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．答案：（1）(4)分析：利用函数的定义判断.（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；所以答案是：（1）(4)13、函数y=√7+6x−x2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x−x2≥0,即x2−6x−7≤0解得−1≤x≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．14、已知函数f(x)={|lnx|,x>0，x2+4x+3,x≤0，若函数g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1恰有8个零点，则m的范围为___________．答案：2≤m<3解析：设f(x)=t，则g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，转化为t2−4t+m+1=0，由g(x)有8个零点，转化为方程f(x)=t，t∈(0,3]有4个不同的实根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，利用数形结合法求解.画出函数f(x)={|lnx|,x>0,x2+4x+3,x≤0,的图像如图所示，设f(x)=t，由g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，得t2−4t+m+1=0．因为g(x)有8个零点，所以方程f(x)=t有4个不同的实根，结合f(x)的图像可得在t∈(0,3]内有4个不同的实根．所以方程t2−4t+m+1=0必有两个不等的实数根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，画出函数y=−t2+4t的图象，如图所示：结合图像可知，3≤m+1<4，故2≤m<3．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解解答题15、已知幂函数f(x)=(m2−2m+2)x3k−k2(k∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若f(2x−1)<f(2−x)，求x的取值范围：（3）若实数a,b(a,b∈R∗)满足2a+3b=7m，求3a+1+2b+1的最小值.答案：（1）f(x)=x2；（2）(−1,1)；（3）2．分析：（1）由幂函数定义得m值，由单调性得k的范围，结合奇偶性得k值．（2）利用偶函数和单调性解不等式；（3）由（1）得2a+3b=7，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．（1）f(x)是幂函数，则m2−2m+2=1，m=1，又f(x)是偶函数，所以3k−k2=k(3−k)是偶数，f(x)在(0,+∞)上单调递增，则3k−k2>0，0<k<3，所以k=1或2．所以f(x)=x2；（2）由（1）偶函数f(x)在[0,+∞)上递增，f(2x−1)<f(2−x)⇔f(|2x−1|)<f(|2−x|)⇔|2x−1|2<|2−x|2⇔−1<x<1．所以x的范围是(−1,1)．（3）由（1）2a+3b=7，2(a+1)+3(b+1)=12，a>0,b>0，3 a+1+2b+1=112(3a+1+2b+1)[2(a+1)+3(b+1)]=112(12+9(b+1)a+1+2(a+1)b+1)≥112(12+2√9(b+1)a+1×4(a+1)b+1)=2，当且仅当9(b+1)a+1=4(a+1)b+1，即a=2,b=1时等号成立．所以3a+1+2b+1的最小值是2．。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
2019-2020学年新教材人教A版数学必修第一册讲义：3-3幂函数 Word版含答案
姓名，年级：时间：3．3 幂函数1．理解幂函数的概念．2．掌握y＝xα(α＝－1，12,1,2，3）的图象与性质．3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量,α是常数．2．常见幂函数的图象与性质温馨提示:幂函数在区间(0,＋∞)上,当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时,y＝xα是减函数．1．y＝2x2和y＝－错误!是幂函数吗？[答案] 不是2．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×"）（1)函数y＝x0（x≠0)是幂函数．（)(2)幂函数的图象必过点（0，0)和（1，1)．( ）(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．（)(4）当α>0时，y＝xα是增函数．( ）［答案] （1）√（2)×（3)×(4）×题型一幂函数的概念【典例1】(1)在函数①y＝错误!，②y＝x2,③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x错误!中，是幂函数的是（)A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥（2)已知幂函数y＝(m2－m－1)x m2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．［思路导引] 紧扣幂函数的定义求解．[解析］(1)幂函数是形如y＝xα(α为常数）的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形,⑥是α＝－错误!的情形，所以①②⑥都是幂函数;③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C。
(2）∵y＝(m2－m－1）x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1。
当m＝2时，m2－2m－3＝－3,则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0,且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0,它们的定义域都是{x|x≠0}．［答案］（1)C （2）见解析判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1)指数为常数;（2）底数为自变量；(3）系数为1。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_指数与指数幂的运算_提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案指数与指数幂的运算编稿： 审稿：【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a nn an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.计算：（1；（2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。
人教版高中数学必修一知识点与典型习题(含答案)
（4）利用函数的单调性解不等式
1． f (x) 是定义在 (0, ) 上的单调递增函数，且满足 f (3x 2) f (1) ，则实数 x 的取值范围是（ ）
A． (,1)
B． ( 2 ,1) 3
C． ( 2 , ) 3
D． (1, )
2． 若f (x)是定义在[1,1]上的增函数，且f (m 1) f (m2 1)，求m的范围
如右图所示，那么 f (x) 的值域是
.
O
2
x
6．已知分段函数 f (x) 是奇函数，当 x [0,) 时的解析式为 y x2 ，则这个函数在区间 (,0) 上的
解析式为
．
7．已知函数
f
(x)
a
1 ，若 2x 1
f
x
为奇函数，则 a
________．
（5）函数单调性与奇偶性综合问题
1．已知函数f
(x)
lxog12,xx, x11,则f
(x)
1 的解为 2
_________________
2．已知
f
(x)
x2
1
(x 0) ，若 f (x) 10 ，则 x =
.
2x (x 0)
（3）解不等式
1．已知函数f
(x)
1 x
,
x
（2）分数不等式(除化为乘，注意分母不为 0）
1．不等式 1 x 0 解集为__________________ 1 x
2．不等式 1 x 2 解集为__________________ 1 x
（3）指数不等式（利用单调性）
1．不等式 23x1 1解集为__________________