2020-2021厦门市高二数学上期末试题(附答案)
福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题
【市级联考】福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题“p q ∨”为真，“p ⌝”为真，则下列说法正确的是（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假 2．双曲线2241x y -=的渐近线方程是（ ）A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若525S =，3718a a +=，则{}n a 的公差d 等于（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．24．若实数x ，y 满足约束条件20,0,10,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．-7B ．-1C ．1D ．35．若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b a <+<B ．22a b a +<<C ．22a b a +<<D ．22a a b <<+ 6．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CE =（ ）A ．12a b c --+B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．12a b c +- 7．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积是（ ） AB．CD．8．已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤< 9．已知01a <<，则141a a +-的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．1010．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1111a =，112n n n a S S ++=⋅，则n S 的最大值为（ ） A ．-1 B ．13C ．1D ．2 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD AP ==，1AB BC ==，点E 是棱PD 的中点，PC 与平面ABE 交D 于点F ，设PF PC λ=,则λ=（ ）A ．512B ．12C ．23D ．3412．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经'Γ与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的'Γ去掉，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若214t t =，则Γ与'Γ的离心率之比为（ ）A ．B ．1:2C ．2:3D ．3:4二、填空题13．对任意x ∈R ，都有20x x m ++>，则实数m 的取值范围是______.14．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米.15．已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，122n n n a a -=+，212n n n a a +=-，则12S 等于______.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c cos sin B b A =.（1）求角B 的大小；（2）AD 是BC 边上的中线，若AD AB ⊥，2AB =，求AC 的长.18．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1+a 3=10，S 4=30.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n =2a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．如图，四边形ABEF 是矩形，//AD BC ，AB BC ⊥，且2AB BC ==，1AD AF ==，3CF =（1）证明：AF ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A DF C --的余弦值.20．设O 为坐标原点，抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点M (a,4)在C 上，|MF |=4.（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若l 与圆H:(x −1)2+y 2=14相切，求ΔAOB 的面积21．某公司计划在办公大厅建一面长为a 米的玻璃幕墙.先等距安装x 根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为m 米的玻璃造价为()250100m m +元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y 元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当56a =时，怎样设计能使总造价最低？22．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左焦点为1F ，右顶点为()2,0B，1BF .（1）求Γ的方程；（2）过点1F 且与x 轴不重合的直线l 与Γ交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别与直线:(0)l x m m <'=交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过点1F .（ⅰ）求l '的方程；（ⅱ）记BMN ∆，1F PQ ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p 是假命题，又“p q ∨”为真命题，进而可得q 是真命题．【详解】 解：命题“p ∨q ”和命题“非p ”均为真命题，p ∴为假命题，q 为真命题，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．2．B【解析】【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．【详解】解：双曲线2244x y -=即2214x y -=，其中a=2，b=1， 故其渐近线方程是：12b y x x a =±=±． 故选B ．【点睛】 本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．3．D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得123453525a a a a a a ++++==，解可得35a =，又由3718a a +=，可得713a =，由等差数列的通项公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，等差数列{}n a 中，若525S =，即123453525a a a a a a ++++==， 则35a =，又由3718a a +=，则713a =，则等差数列{}n a 的公差7324a a d -==； 故选D【点睛】本题考查等差数列的性质以及前n 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题． 4．C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由201x y y -+=⎧⎨=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，解得(1,1)A -， 代入目标函数2z x y =+得2411z =⨯-=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．A【解析】【详解】根据基本不等式，2a b +≥=,又a ≠b,2a b ∴+>;由a>b ，易知a+b<a+a=2a,故22a b a <+<.故选A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题．6．A【分析】由空间向量的线性运算法则可得1111CE CC C D D E =++，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+. 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.7．C【分析】先根据正弦定理求出角C ，从而求出角A ，再根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可．【详解】解：由c AB ==，2b AC ==，30B ∠=︒， 根据正弦定理sin sin b c B C =得：1sin 2sin 2c B C b ===， C ∠为三角形的内角，60C ∴∠=︒或120︒，90A ∴∠=︒或30在ABC ∆中，由c =，2b =，90A ∠=︒或30则ABC ∆面积1sin 2S bc A ==故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8．D【分析】根据p 是q 的必要条件，列不等式方程确定实数a 的取值范围．【详解】解：设满足p 的实数集合为M,满足q 的实数集合为N ， p 是q 的必要条件⇒N M ，即21221a a -≤⎧⎨>+⎩解得112a -≤<. 故选D.【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.9．C进行等式变换后，根据基本不等式求解.【详解】由01a <<，根据基本不等式，()()4114141559111a a a a a a a a a a -⎛⎫⎡⎤+=-++=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭. 当且仅当()411a a a a-=-，即23a =时有最小值9. 故选C.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用．属于基础题.10．C【分析】 由11n n n a S S ++=-，将已知项变形得1n n S S +-=12n n S S +⋅，同除以1n n S S +-⋅，可得出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而得出n S ，再利用单调性即可得解.【详解】 解：112n n n a S S ++=⋅∴1n n S S +-=12n n S S +⋅，等号两侧同除以1n n S S +-⋅，得到1112n nS S +-=-, 又11111a S ==, 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11为首项，以-2为公差的等差数列.故 ()11121132nn n S =--=-， 1132n S n∴=-，由单调性可知，当n=6时，n S 的最大值为1. 故选C.本题考查了数列n S 与n a 的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题. 11．C【解析】【分析】将平面ABE 延展,再利用三角形相似得出点F 位置，从而得解.【详解】解：过点D 作垂直于平面ABCD 的直线交AE 延长线于点M ，连接MP 、MB ， 由题意知PA ⊥平面ABCD ，PA=AD,且E 为DP 中点，所以四边形MPAD 为正方形，////BC AD MP ∴,∴M,P,B,C 四点共面，MB 与PC 交与点F.MPF BCF ∴∆∆∽12CF BC BC FP MP AD ∴===,∴F 为PC 三等分点(靠近点C) 又PF PC λ=， 23PF PC ∴=λ=. 故选C.【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.12．B【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系. 【详解】解：如图，由双曲线定义得：212BF BF m -= ①，由椭圆定义得：212AF AF a += ②， ②-①得：1122BA AF BF a m ++=-；所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为22a m - 对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为()()1112124AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以()4422a a m =-，所以2a m =. 所以12:::1:2c ce e m a a m===. 故选B. 【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题. 13．14m >【分析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.根据题意，m 需满足方程2x x m ++=0无解，即∆<0，140m -<14m ⇒>故答案为14m >. 【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.14．【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案． 【详解】解：由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30AD m =， 30cos30BC AB ∴===︒．故答案为【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题． 15．24y x = 【解析】 【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP =⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x ay b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为24y x =.本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题. 16．131 【解析】 【分析】根据122132n n n a a -++=⋅计算得出11S ，再依次计算出3612,,a a a 的值，遂得出12S 的值.【详解】解：根据122132n n n a a -++=⋅，()()()()24511123451011331222 3.296S a a a a a a a =+++++++=+++++==，12632a a =+，634a a =+，3121a a =-=-，从而1235a =，12131S =.故答案为131. 【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.17．（1）3π（2）【解析】 【分析】（1cos sin sin A B B A =，由于sin 0A ≠，可得：tan B =()0,B π∈，可求B 的值．（2）由三角形面积公式可求2b ac =，进而利用余弦定理可得222ac a c =+，即可解得ac的值． 【详解】解：（1）在ABC ∆cos sin B b A =cos sin sin A B B A =， ∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，sin B B =，即tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）在ABD ∆中，AB AD ⊥，2AB =，3B π=，∴2cos60AB BD BD︒==， ∴4BD =，∵AD 是ABC ∆的中线，∴8BC =，在ABC ∆中，由余弦定理得AC=【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）a n =2n （2）T n =2−n+22n【解析】 【分析】（1）由已知得到a 2+a 4的值，再利用q =a 2+a4a 1+a 3得出q 的值，进而得到a 1的值，即得到数列的通项；（2）由（1）可得到b n ，再利用错位相减，可得解. 【详解】解：（1）∵a 1+a 3=10，S 4=30，∴a 2+a 4=20，∴q =a 2+a4a 1+a 3=2，∴a 1+a 3=a 1+a 1q 2=5a 1=10，即a 1=2， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n .（2）由a n =2a n b n 得2n =2a n b n ，即a n b n =n ，∴b n =n2n ，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n =12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n ，①12T n =122+233+324+⋯+n−12n +n 2n+1，②由①-②得12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1， ∴T n =1+12+122+123+⋯+12n−1−n 2n=1−(12)n 1−12−n 2n =2−n+22n.【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题. 19．（1）详见解析（2）13- 【分析】（1）根据勾股定理，求得AC 长度，结合FA,FC 长度，从而证明FA ⊥AC ，又由FA ⊥BA,故FA ⊥平面ABCD;（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面ADF 和平面FCD 的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值. 【详解】解：（1）∴AC ==∴(2222219AC AF CF +=+==，即222AC AF CF +=，∴90FAC ∠=︒，即FA AC ⊥. ∵四边形ABEF 为矩形，∴AF AB ⊥. ∵AB AC A ⋂=，AB ，AC ABCD ⊂平面， ∴AF ABCD ⊥平面.（2）∵//AD BC ，AB BC ⊥，∴AB AD ⊥， ∵AF AB ⊥，AF AD A ⋂=，∴AB ADF 平面⊥， ∴AB ，AD ，AF 两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B -，()2,2,0C -，()0,1,0D ，()0,0,1F ，∴()2,2,1FC =--，()0,1,1FD =- ∵AB ADF 平面⊥，∴平面ADF 的一个法向量()2,0,0AB =-设平面FCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n FC n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩， 取2y =，则1x =，2z =，()1,2,2n =， ∴221cos ,321AB n AB n AB n⋅-+===⋅+，∴二面角A DF C --的余弦值为13-. 【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想. 20．（1）y 2=8x （2）16 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解. 【详解】解：（1）由抛物线定义，点M 到准线的距离a +P2=4① ∵点M 在抛物线上，∴16=2p ⋅a ② 由①②解得p =4， ∴抛物线方程为y 2=8x .（2）设直线l 方程为x =my +2，A(x 1,y1)，B(x 2,y 2)， ∵直线l 与圆(x −1)2+y 2=14相切，∴2=12，即m 2=3由{y 2=8x x =my +2 ，得y 2−8my −16=0， ∴S ΔAOB =12|OF |⋅|y 1−y 2| =√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.21．（1）2100640050(,1a y x a x N x =++∈-且2)x ≥；（2）安装8根立柱时，总造价最小. 【分析】（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式； （2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】解：（1）依题意可知1a x m =-，所以1am x =-， ()2506400100111a a y x x x x ⎡⎤⎛⎫=++-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2100640050,21a x a x N x x =++∈≥-且（2）()2210064005010064150640011a a y x a x a x x ⎡⎤=++=-+++⎢⎥--⎣⎦ ∵x N ∈，且2x ≥，∴10x ->.∴50640016506400y a a ≥+=+，当且仅当()26411a x x -=-，即18a x =+时，等号成立，又∵56a =，∴当8x =时，min 98800y =. 所以，安装8根立柱时，总造价最小. 【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.22．（1）22143x y +=；（2）（ⅰ）4x =-；（ⅱ）1(0,]2. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；（2）（ⅰ）设M,N 坐标分边为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为1x ty =-，结合椭圆方程可得BM 、BN 方程，并得出点P 、Q 坐标的表达式，根据圆过点1F ，故向量110F P FQ ⋅=，列方程可得m 的值；（ⅱ）由（ⅰ），将BMN ∆，1F PQ ∆的面积1S ，2S 转换为1y 、2y 的表达式，相比可得出12S S 的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2222a a c abc =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，即2224c c b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴)2224b -=-，解得b =∴椭圆Γ的方程为22143x y +=.（2）（ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为1x ty =-.由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243690t y ty +--=，显然0∆>，且122643t y y t +=+，122943y y t -=+， 直线BM 方程为()1122y y x x =--，直线BN 方程为()2222yy x x =--， 令x m =，得()112,2y m P m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，()222,2y m Q m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，∵以PQ 为直径的圆过点1F ，∴11F P F Q ⊥，∴()()()()()()()()22121211121222112233y y m y y m F P FQ m m x x ty ty --⋅=++=++----()()()()222222222229292434311369189434343m m t t m m t tt t t----++=++=++--+++++ ()()222104m m -=+-=，∴23120m m +=，解得4m =-或0m =（舍去）， ∴l '的方程为4x =-.（ⅱ）由（ⅰ），112121322BMN S BF y y y y ∆=⋅⋅-=- ()()()()112211212122266339222222F PQ P Q y x y x y y S y y x x x x ∆-----=-=-=---- ()()()212121212232727433633443y y y y t y y ty ty t --===+---+，∴122210,432BMN FPQ S S S S t ∆∆⎛⎤==∈ ⎥+⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.。
2020-2021学年厦门市高二上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年厦门市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，P 是AB 中点，则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点．其中正确命题的个数( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.已知a 、b ∈R ，则“a >b >0”是“|a +2|>|b +2|”的什么条件( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列个抽样中，能运用简单随机抽样的是( )A. 从无数个个体中抽取50个个体作为样本B. 仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查C. 某年级从300名学生中，挑选出20名最优秀的学生参加数学竞赛D. 从全班50名学生中，任意选取5名进行家访4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，|PF|的最小值为√3−1，且存在点P ，使得△OPF(点O 为坐标原点)为正三角形，则椭圆C 的焦距为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 45.点是棱长为1的正方体内一点，且满足，则点到棱的距离为( )A.B.C.D.6.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，如表记录了该企业第x 年(2012年是第一年)捐赠的现金数y(万元)：x 3 4 5 6 y2.5344.5若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是ŷ=mx+0.35，则可预测2019年捐赠的现金大约是()A. 5.95万元B. 5.25万元C. 5.2万元D. 5万元7. 直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(−3,3)，则其斜率的取值范围是()A. B. 或C. 或D. 或8. 过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为()．A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法正确的有()A. 对任意的事件A，都有P(A)>0B. 随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值C. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0D. 若事件A⊆事件B，则P(A)≤P(B)10. 若圆C1：(x−1)2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+8y+m=0相切，则m的值可以是()A. 16B. 7C. −4D. −711. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的()A. 平均数相等B. 中位数相等C. 极差相等D. 方差相等12. 已知抛物线y2=2px的准线为l，焦点为F，原点为O，过F的直线交抛物线于点M、N，M在第=3，分别过M、N作准线的垂线于P、Q，直线MN的倾斜角为α.则下列说法正确一象限．|MF||NF|的是()A. k MN=√3B. S△MON=psin2αC. M、O、Q三点共线D. 以MF为直径的圆与y轴相切三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 直线l 1：x +y =0，l 2：ax +y +1=0，若l 1//l 2，则实数a 的值为______． 14. 如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数1000据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.(用分数作答)15. 已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是4，x −y =______．16. 若直线x +√3y +1=0与圆x 2+y 2−2ax =0(a >0)相切，则a 的值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p ：(x +1)(x −4)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m(m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m =4，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X(单位：t ，100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (I)将T 表示为X 的函数；(II)根据直方图求利润T 不少于57 000元的频率；(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值 (例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X =105)，估计T 的平均值．19. 在平面直角坐标系中，点P 是直线l ：x =−1上的动点，定点F(1,0)，点Q 为PF 的中点，动点M 满足MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，T为C上任意一点，直线TA，TB交l于C，D两点，以CD为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．20. 已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线E于A、B．(1)若AA1垂直I于点A1，且∠AFA1=π，求AF的长；6(2)O为坐标原点，求△OAB的外心C的轨迹方程．21. 小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每月用电量和当地气温进行了统计.当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年月用电量如图2．根据统计图，回答下面的问题：(1)当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多少？(2)请简单描述月用电量与气温之间的关系；(3)假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测今年该社区的年用电量？请简要说明理由．22. 22.(本小题满分14分)已知椭圆：，若椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点，过点的直线与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的取值范围；(Ⅲ)证明：直线恒过某定点．参考答案及解析1.答案：C解析：解：①A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，只有当k <|AB|时，则动点P 的轨迹为双曲线，因此不正确；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，P 是AB 中点，则动点P 的轨迹为圆，不正确； ③方程2x 2−5x +2=0的两根分别为12，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确； ④由双曲线x 225−y 29=1可得c =√34，其焦点为(±√34,0)，椭圆x 235+y 2=1的焦点为(±√34,0)，因此有相同的焦点，正确． 其中正确命题的个数是2． 故选：C ．①由双曲线的定义即可判断出；②利用垂经定理与圆的性质可得动点P 的轨迹为圆；③方程2x 2−5x +2=0的两根分别为12，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④由双曲线x 225−y 29=1可得c =√34，其焦点为(±√34,0)，椭圆x 235+y 2=1的焦点为(±√34,0)，即可判断出．本题考查了圆锥曲线的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.答案：A解析：解：满足a >b >0，|a +2|=a +2，|b +2|=b +2，一定有“|a +2|>|b +2|”成立，即充分性成立，若当a =1，b =−1，满足“|a +2|>|b +2|”但a >b >0不成立，即必要性不成立， 则“a >b >0”是“|a +2|>|b +2|”的充分不必要条件， 故选：A ．根据不等式的性质，绝对值的定义，及利用特殊值法结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用特殊值法是解决本题的关键．属于基础题．3.答案：D解析：据此简单随机抽样的概念逐项判断即可．本题主要考查简单随机抽样的概念与应用问题，是基础题．解：对于A，从无限多个个体中抽取50个个体作为样本，被抽取的样本的总体的个体数是无限的，不是有限的，所以不是简单随机抽样；对于B，从1万个个体中一次性抽取100个个体作为样本，它不是“逐个”抽取，所以不是简单随机抽样；对于C，从300名学生中，挑选出20名最优秀的学生，不是简单随机抽样法．对于D，从全班50名学生中，任意选取5名，总体数量较少，抽取个体数量少，能运用简单随机抽样．故选：D．4.答案：D解析：解：由椭圆的定义可得a−c=√3−1①，要使△OPF(点O为坐标原点)为正三角形，则存在y P=√32c，x P=c2，即P(c2,√32c)，将P代入椭圆的方程c24a2+3c24b2=1，②b2=a2−c2③，由①②③可得：c2=4，即c=2，可得焦距2c=4，故选：D．由椭圆的性质可得a−c的值，再由△OPF(点O为坐标原点)为正三角形可得P点的坐标，将P的坐标代入可得a，b，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的关系求出c的值，进而求出焦距的值．本题考查椭圆的性质及正三角形的性质，属于中档题．5.答案：A解析：试题分析：以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。
【压轴题】高二数学上期末试题附答案
【压轴题】高二数学上期末试题附答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1103．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．2154．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球7．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π8．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.59．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填( )A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i > 10．设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．① B ．②④C ．③D ．①③12．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2πC ．12D ．23二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．16．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
福建省厦门市2019-2020学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)
C. x0 R ， x02 1 2x0
D. x R ， x2 1 2x
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】解：命题 p 是全称命题， 根据全称命题的否定是特称命题可知，命题的否定是：
x0 R ， x02 1 2x0 ，
故选： B ．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的
试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知命题 p : x R ， x2 1 2x ，则 p 是（ ）
A. x R ， x2 1 2x
B. x0 R ， x02 1 2x0
二、多选题：本题共 2 小题，每小期 5 分，共 10 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.已知双曲线
E
:
x2 4
y2 12
1的左、右焦点分别为 F1 ，
F2 ，P
是
E
的右支上一点，则下列结
论正确的是（ ）
A. PF1 PF2 4
否定是全称命题．
2.已知
f
x
sin
x
6
，
f
x为
f
x 的导函数，则
f
6
（
）
3
3
1
A. 3
B. 2
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
求导
厦门市2020—2021学年度第一学期高二年级质量检测数学试卷(答案)
厦门市2020-2021学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A2．B3．C4．C5．B6．B7．D8．D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．AC10．ABD11．BD 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14． 1.22 15． 9 16．2223,2⎡⎡−−+−⎣⎣四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题考查全称命题和特称命题，逻辑联结词和命题的否定等知识；考查运算求解能力，推理论证能力．考查转化与化归等数学思想．满分10分． 解：选择条件①若p 为真命题，令2()21f x x x m =−+−，[1,2]x ∈−，则min ()0f x >．又min ()(1)2f x f m ==−，所以20m −>，即2m >． ------------------------------------------ 3分若q 为真命题，则221(1)42(1)402m m ∆=−−⨯⨯=−−≥，解得3m ≥或1m ≤−． --- 6分 若p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题，q 为真命题． ----------------------------------------------- 7分所以231m m m ≤⎧⎨≥≤−⎩或，即1m ≤−．所以实数m 的取值范围为(,1]−∞−． ------------------------------------------------------------------- 10分 选择条件②若p 为真命题，令2()21f x x x m =−+−，[1,2]x ∈−，则min ()0f x >．又min ()(1)2f x f m ==−，所以20m −>，即2m >． ------------------------------------------ 3分若q 为真命题，则221(1)42(1)402m m ∆=−−⨯⨯=−−≥，解得3m ≥或1m ≤−． --- 6分 若p q ∧⌝为真命题，则p 为真命题，q 为假命题． ---------------------------------------------- 7分所以213m m >⎧⎨−<<⎩，即23m <<．所以实数m 的取值范围为(2,3)． ------------------------------------------------------------------------ 10分选择条件③若p 为真命题，令2()21f x x x m =−+−，[1,2]x ∈−，则min ()0f x >又min ()(1)2f x f m ==−，所以20m −>，即2m >． ------------------------------------------ 3分若q 为真命题，则221(1)42(1)402m m ∆=−−⨯⨯=−−≥，解得3m ≥或1m ≤−． --- 6分 若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 为假命题或q 为假命题， -------------------------------------------- 7分所以2m ≤或13m −<<，即3m <．所以实数m 的取值范围为(,3)−∞． --------------------------------------------------------------------- 10分18．本题考查基本事件的概念及古典概型等知识；考查运算求解能力；考查概率统计等数学思想．满分12分． 解：（1）所有的摸球结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,2)，(1,3,4)，(1,4,2)，(1,4,3)， (2,1,3)，(2,1,4)，(2,3,1)，(2,3,4)，(2,4,1)，(2,4,3)， (3,1,2)，(3,1,4)，(3,2,1)，(3,2,4)，(3,4,1)，(3,4,2)， (4,1,2)，(4,1,3)，(4,2,1)，(4,2,3)，(4,3,1)，(4,3,2)，共24种结果． -------------------------------------------------------------------------------------------------- 6分（2）设事件A ：甲参加表彰大会，事件B ：乙参加表彰大会，事件C ：丙参加表彰大会， 则事件A 包含的结果为(3,1,2)，(3,2,1)，(4,1,2)，(4,1,3)，(4,2,1)，(4,2,3)，(4,3,1)，(4,3,2)共8个， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分所以81()243P A ==， ---------------------------------------------------------------------------------------- 9分 同理可得1()3P B =，1()3P C =． ------------------------------------------------------------------------ 11分所以()()()P A P B P C ==，所以该同学提议的方法是公平的．-------------------------------- 12分（注：其它合理解释也酌情给分．）19．本题考查抛物线定义、方程和直线与抛物线的位置关系等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查函数与方程，化归与转化，数形结合等数学思想．满分12分．解：（1）Γ的准线为2px =−， --------------------------------------------------------------------------- 1分 根据抛物线的定义有||232pMF =+=， --------------------------------------------------------------- 3分解得2p =，所以Γ的方程为24y x =． --------------------------------------------------------------- 5分（2）由（1）得(1,0)F ，(1,0)Q −， -------------------------------------------------------------------- 6分 直线AB 的斜率不为零，其方程可设为1x my =−，联立21,4,x my y x =−⎧⎨=⎩消去x 得2440y my −+=， -------------------------------------------------------- 7分由216160m ∆=−>，解得1m <−或1m >； -------------------------------------------------------- 8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=， ----------------------------------------------------------- 9分21212()242x x m y y m +=+−=−，所以2(21,2)P m m −， --------------------------------------- 10分直线PF 的斜率为222223m m =−，解得2m =或12m =−（舍）， ------------------------------- 11分所以直线AB 的方程为210x y −+=． ----------------------------------------------------------------- 12分20．本题考查曲线的方程、圆的方程与性质等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查函数与方程，化归与转化，数形结合等数学思想．满分12分．解：（1）设(,)P x y ，由2PO PA == -------------------- 2分 两边平方化简得228120x y x +−+=， ---------------------------------------------------------------- 5分 所以点P 的轨迹方程为228120x y x +−+=，即22(4)4x y −+=． ------------------------- 6分 （2）由题意，圆B 的圆心为(0,4)B ，半径1r =， ----------------------------------------------- 7分 则5AB =，结合条件2PO PA =知()22PO PQ PA PQ +=+， --------------------------------------------------------------------------- 9分()2PA PB r ≥+− -------------------------------------------------------------------------- 10分 ()()22518AB r ≥−=⨯−= ------------------------------------------------------------- 11分当且仅当A ，B ，P ，Q 四点共线，且Q 在线段AB 上时取等号．所以2PO PQ +的最小值为8． ------------------------------------------------------------------------ 12分 21．本题考查用样本估计总体等知识；考查运算求解和数据分析的能力；考查统计等数学思想．满分12分．解法一：（1）由表格数据可知0.040.060.120.160.320.060.030.011a ++++++++=， 解得0.2a =．-------------------------------------------------------------------------------------------------- 2分 补全频率分布直方图如下：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 （2）由频率分布直方图得样本的马克隆值的众数为3.9， ------------------------------------- 5分 由频率分布直方图得[3,3.8)的频率为(0.20.30.60.8)0.20.38+++⨯=，[3.8,4)的频率为1.60.20.32⨯=，设样本的马克隆值的中位数为x ，则0.38( 3.8) 1.60.5x +−⨯=，解得 3.875x =， 所以样本的马克隆值的中位数约为3.875． ---------------------------------------------------------- 8分 （3）由样本的马克隆值统计可知，A 级棉花约有：(0.10.80.2 1.60.2 1.0)20001200⨯+⨯+⨯⨯=（吨）， B 级棉花约有：(0.20.60.10.80.20.30.20.150.20.1)2000600⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（吨）， C 级棉花约有：(0.20.20.20.3)2000200⨯+⨯⨯=（吨）， 估计该棉花种植基地今年的总产值为1200 1.6600 1.52200 1.443120⨯+⨯+⨯=（万元)． ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12分 解法二：（1）（2）同解法一；（3）由样本的马克隆值统计可知，A ，B ，C 三种等级棉花的频率分别为0.6,0.3,0.1， 所以1吨棉花售价约为1.60.6 1.520.3 1.440.1 1.56⨯+⨯+⨯=（万元），估计该棉花种植基地今年的总产值为1.5620003120⨯=（万元) ． ---------------------- 12分22．本题考查椭圆方程、直线与椭圆位置关系等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查函数与方程，化归与转化，数形结合等数学思想．满分12分．解：（1）依题可知，Γ经过点(0,1)P ，则1b =．------------------------------------------------- 1分 因为12211114PA PA k k a a a −⋅=⋅=−=−，所以24a =． -------------------------------------------- 3分 所以Γ的方程为2214x y +=． ---------------------------------------------------------------------------- 4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221114x y +=，222214x y +=．联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，222(14)8440k x kmx m +++−=， ------------------- 5分 所以222(8)4(14)(44)0km k m ∆=−+−>，即2214k m +>，122814km x x k −+=+，21224414m x x k−=+． ----------------------------------------------------------------- 6分 所以222222222212112212()()1144x x OA OB x y x y x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=+−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222121212332()2[()2]44x x x x x x =++=++− ------------------------------ 7分()222222222382(44)(41)412264141414km m k m k k k k ⎡⎤−−−++⎛⎫=+−=+⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦， 所以当2410k −=，即12k =±时，对任意22m <都有225OA OB +=为定值． --- 9分此时12AB x x =−== O 到l的距离d ==，所以221(2)122OAB m m S AB d m ∆+−=⋅==≤=，当且仅当222m m =−，即1m =±等号成立．所以OAB △面积的最大值为1． ------------------------------------------------------------------------ 12分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
厦门市2020—2021学年度第二学期高二年级质量检测数学试卷答案
又因为 OD PO = O ，所以 BC ⊥ 平面 POD ，·····························································3 分
因为 PD 平面 POD ，所以 BC ⊥ PD ．·································································z·····4 分
X 的所有可能值为 0,1, 2,3, 4 ，
P( X
=
0)
=
C40
(2)4 5
=
16 625
，
P( X
= 1)
=
C41
3 (2)3 55
=
96 625
，
P(X
= 2)
= C42
(3)2 5
(2)2 5
=
则 cos m, n = m n = 2 = 7 ， m n 72 7
所以二面角 D − PA − C 的余弦值为 7 ． ····································································12 分 7
20．本题考查回归分析及其应用等知识；考查数据处理能力、运算求解能力；考查数学建模和应用意识
设平面
PAC
的法向量为
n
=
(x2 ,
y2 ,
z2 )
，则
n n
AC PC
= =
0 0
−2x2 = − y2 −
0 3z2
=
0
取 z2 = 1，则 x2 = 0 ， y2 = − 3 ，所以平面 PAC 的一个法向量为 n = (0, − 3,1) ． ················11 分
福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题答案
厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题： 1．D 2．B3．A （选择性必修一P12，练习2） 4．C （选择性必修一P140，阅读材料） 5．B （选择性必修一P95，练习1） 6．C （选择性必修一P34，例6） 7．B （选择性必修一P36，例7） 8．A二、多选题：9．BD （选择性必修一P96，例5） 10．ACD （选择性必修一P103，18） 11．AD （选择性必修一P44，16） 12．AD三、填空题： 13．()1,2−（答案不唯一）（选择性必修一P102，1）14．y =15．819n⎛⎫− ⎪⎝⎭（选择性必修二P6，例4）16．()()22211x y −+−=1−（选择性必修一P103，12）８．解析：延长1AF 交椭圆E 于点C ，连接2CF ，由椭圆定义，12||||2AF AF a +=，有12||3AF a =， 由椭圆对称性，得12CF F B =，所以112AF FC =，所以1||3a CF =， 再由椭圆定义：12||||2CF CF a +=，有25||3aCF =，因为22222||||||CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212||||||F F AF AF =+即222049c a =，有离心率3e =． 12．解析：①(,0]n a ∈−∞时，1()10n n n a f a a +==−，②(0,1)n a ∈时，()21()1(1)10,1n n n n n n a f a a a a a +==−+=−+∈，③(1,)n a ∈+∞时，21()1(1)11n n n n n n a f a a a a a +==−+=−+>， ④1n a =时，21()11n n n n a f a a a +==−+=， 因此，11211,0,1,0.n n n n a a a a a a +−⎧⎪=⎨−+>⎪⎩ 有10a 时，11n n a a +−=−，10a >时，1n n a a +−=2(1)n a −，对于选项Ａ，11(0,1)2a =∈，1n a <． 对于选项Ｂ，{}n a 为递增数列时，10a >且11a ≠．对于选项Ｃ，{}n a 为等差数列时，10a 或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列）．对于选项Ｄ，12a =，211n n n a a a +−=−，有111111(1)1n n n n na a a a a +==−−−−，所以111111n n n a a a +=−−−， 12122311111111111111()()()11111111n n n n a a a a a a a a a a a +++++=−+−++−=−−−−−−−−− 因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>−， 所以121111111n a a a a +++<=−，故选AD ． 16．依题意得(2,0)A ，(2,2)C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为(2,1)，2AC =，所以点M 的轨迹方程为()()22211x y −+−=,圆心(2,1)D ， 因为点(2,0)A 关于直线0x y +=的对称点为(0,2)A '−， 所以由对称性可知MN AN +的最小值为111A D '−==．四、解答题： 17．（选择性必修二P8，练习4）本题主要考查数列前n 项和公式、通项公式、数列求和等知识，考查函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分10分法一：（1）2n 时，221(1)n n n a S S n n −=−=−− ................................................. 2分 21n =− ............................................................................... 3分 1n =时，111a S ==， ............................................................................................... 4分 综上所述，21n a n =−．............................................................................................. 5分（2）因为111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===−⋅−+−+， ...................... 7分所以1211111111(1)()()2323522121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+ 111111(1)23352121n n =−+−++−−+ ...................................................... 9分 11(1)22121nn n =−=++． ........................................................................... 10分法二：（1）等差数列前n 项和为21()22d dn a n +−（其中d 为公差），因为2n S n =，所以{}n a 为等差数列， .................................................................... １分并且12d=，111a S ==，解得：11a =，2d =， ................................................. 3分1(1)21n a a n d n =+−=−． .................................................................................... ５分（2）同法一． 18．（选择性必修一P86，例题4；P91，例题1）本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分12分法一：(1)延长CB 交x 轴于点N ，因为120OAB ∠=，=2AB OA =，所以60NAB ∠=，所以3B （， ......................................................................... 2分又120ABC ∠=，所以60ANB ∠=， 所以直线BC 的倾斜角为120，即BC k =4分所以直线BC 的方程为3)y x −=−，0y +−=．5分 （2）依题意设圆M 的方程为22x y Dx Ey F ++++=所以0,420,9330,F D F D F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩解得2,0.D E F =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩................................................ 7分所以圆M 的方程为2220x y x +−−=，即()(2214x y −+=， ...................................................................................... 8分所以M ，半径2r =， 因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4，所以直线OC 过圆心M ， ............................................................................... 9分 所以直线OC 的方程为y =， ........................................................................... 10分所以由0,,y y +−==⎪⎩得2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C ． .............................. 12分法二：（1）(1)延长CB 交x 轴于点N ，因为120OAB ABC ∠=∠=，=2AB OA =， 所以60BAN ANB ABN ∠=∠=∠=，所以ABN △为等边三角形，即=2AN ， ............................................................... 2分 所以(4,0)N ， .............................................................................................................. 3分 又因为直线BC 的倾斜角为120，即BC k = ................................................ 4分 所以直线BC 的方程为40)y x −=−0y +−=．..................... 5分 （2）线段OA 的中垂线方程为1x =，因为线段OB 的中点坐标为3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线OB 的斜率为3， 所以线段AB 的中垂线方程为32y x ⎫=−⎪⎭即y =+，所以由1,x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩得1,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ..................................................................... 8分所以M ，半径2r OC ===，因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4，所以OC 为圆M 的直径即M 为线段OC 中点， ................................................... 10分 所以C ． ....................................................................................................... 12分 法三：（1）同法一．（2）设圆M 的半径为r ，因为在ABC △中，120OAB ∠=，=2AB OA =， 所以30BOA ∠=， 所以由正弦定理知24sin ABr BOA==∠，即2r =， .............................................. 7分因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4， 所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为120ABC ∠=，所以60AOC ∠=，所以直线OC的方程为y =， ........................................................................... 10分所以由0,,y y +−==⎪⎩得2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C ． ....................................................................................................... 12分19．（选择性必修一P49，11）本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量解决立体几何问题等知识；考查数形结合思想、转化与化归思想、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；满分12分．法一：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz 设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ,(1,1,0)O ,(2,2,0)C ,1(0,2,2)D ， .......................................................... 1分由112BP PB =得：P 点的坐标为2(2,0,)3， 1(1,1,2)D O =−−，2(2,0,)3AP =， ........................................................................ 2分因为1203D O AP ⋅=≠，所以1D O 与AP 不垂直， ............................................................................................ 3分 所以1D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分（2）设(2,0,)P a ,则(2,0,)AP a = 因为1D O ⊥面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220D O AP a ⋅=−=，得：1a =， ............................................................... 6分 所以(0,2,1)CP =−，1(2,0,2)CD =−． 设平面1PCD 的法向量为(,,)x y z =m ，122020CD x z CP y z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩m m ，令1,y =则2x z ==，(2,1,2)=m ， ...................... 8分 因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的法向量为1(1,1,2)D O =−−， ....................................................... 9分所以111cos ,6D O D O D O⋅〈〉==−⋅m m m ， ............................................................... 11分 所以平面1PCD 与平面PAC 所成角的余弦值为6． ......................................... 12分法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ,(1,1,0)O ,1(0,2,2)D ,(2,0,0)A ,(2,2,0)C ，1分由112BP PB =得2(2,0,)3P ，2(2,0,)3AP =,(2,2,0)AC =， ........................... 2分 设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，2202203AC x y AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令3,z =则1,1x y =−=，(1,1,3)=−n ， 因为1(1,1,2)D O =−−与(1,1,3)=−n 不平行， ....................................................... 3分所以1D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分 (2)同法一．法三：(1)连接PO ,设正方体的棱长为2，则在1POD △中，1133D O PO D P ===， ........................................ 2分 22211D O PO D P +≠，所以1D O 与PO 不垂直， ................................................... 3分 所以1D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分(2)同法一． 20．（选择性必修二P138，练习5）本题考查曲线的方程，直线与抛物线位置关系等知识，考查数形结合思想以及化归与转化的数学思想、推理能力以及运算能力．满分12分（1）设(),P x y 为圆N 与l 的交点，则(),0H x ，因为()4,0M ，HN NM =，所以4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭， ................................................ 1分 因为O ，P 在圆N 上，所以NO NP =， ............................................................. 2分所以42x +=得24y x =． ............................................................. 4分 （2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由244x my y x=+⎧⎨=⎩得24160y my −−=． ...................................................................... 6分216640m ∆=+>，所以124y y m +=，1216y y =−． ........................................................................... 7分因为2MA MB =，所以122y y =−． ................................................................... ８分法一:由1212216y y y y =−⎧⎨=−⎩得12y y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩12y y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩， ........................................ 10分所以1242y y m +==． 所以12AB y ==−==． ...................................................................................................................................... 12分法二：()2121212212y y y y y y y y +=++即21222m −=−−+，得2m =±． ........... 10分所以AB ====． .......................................................... 12分21．（选择性必修二P39，例题12）本题考查数列的通项公式，递推公式，数列求和等基础知识；考查转化与化归思想、运算能力、数学抽象与数学建模素养．满分12分． （1）①依题意得1 1.02n n a a m +=+， ....................................................................... 2分②因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+，所以()150 1.0250n n a m a m ++=+， ............. 4分 因为150130500a m m +=+≠，所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02， ................ 5分 所以()15013050 1.02n n a m m −+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m −=+⨯−． ................................................................. 6分（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+−++⨯−+++⨯−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦........................................................................................................................................ 7分()()()141305013050 1.0213050 1.02750m m m m =+++⨯+++⨯− ........... 8分()()15130501 1.027501 1.02m m +−=−− ........................................................................... 9分()()130501 1.357501 1.02m m +−=−−2275+125m =，.............................................. 10分依题2275+1253095m ，所以 6.56m ，所以m 最少为6.56吨． ............................................................................................ 12分22．本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查数形结合思想、运算能力．满分12分． 法一：（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=，所以ABF △的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+， ........................................................................................................................................ 1分设(,)A x y ，则AO b ===≥， 当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF △的周长取到最小值22a b +，所以224a b +=+2a b +=， ......................................................... 2分又椭圆焦点(1,0)F ，所以221a b −=， .................................................................... 3分所以()()1a b a b −+=，所以2a b −=−，解得2a =，b =，所以椭圆Γ的方程为22143x y +=． ................................... 4分 （2）当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =； ............................. 5分 设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)63120m y mny n +++−=，0∆>，122634mn y y m +=−+，212231234n y y m −=+， ................................................. 6分 设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y −=，11(,)M x y ，33(,)A x y ，由1221,1,43x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(34)690m y m y ++−=，0∆>，1321934y y m −=+，32119(34)y m y −=+， ...................................................... 7分 设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y −=，22(,)N x y ，33(,)B x y −−，由2221,1,43x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)690m y m y ++−=，0∆>，2322934y y m −−=+，32229(34)y m y −=−+， ................................................ 8分 所以22112299(34)(34)m y m y −−=+−+，所以221122(34)(34)0m y m y +++=， 22112212334()0m y m y y y +++=， ............................................................................ 9分2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221212121212(1)(1)()4(1)(1)my n my n y y m y y m n n y y y y +−+−+=+=++−+−则22121212123()12(1)3(1)4()0y y m y y m n n y y y y +++−+−++=，即 22121212(34)()12(1)3(1)0y y m y y m n n y y ++++−+−=， ................................... 10分代入122634mn y y m +=−+，212231234n y y m −=+， 得222266(34)12(1)3(1)034312mn mn m m n n m n −−++−+−=+−， .............................. 11分 整理得()580m n −=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+．综上直线MN 过定点8,05⎛⎫ ⎪⎝⎭． ................................................................................. 12分 法二：（1）同法一．（2）当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =； ............................. 5分 设00(,)A x y ，则00(,)B x y −−，00y ≠，设(),M M M x y ，(),N N N x y则直线AF 的方程为011x x y y −=+，直线BF 的方程为0011x x y y +=+ ........... 6分 由002211,34120,x x y y x y −⎧=+⎪⎨⎪+−=⎩得22002003(1)6(1)[4]90x x y y y y −−++−=， 所以2200022200000209393(1)4363254M y y y y x y x x x y −−⋅===−+−+−+， 所以00325M y y x =−，000000135812525M x y x x y x x −−=⋅+=−−， 即0000583,2525x y M x x ⎛⎫−⎪−−⎝⎭． ......................................................................................... 9分由002211,34120,x x y y x y +⎧=+⎪⎨⎪+−=⎩得22002003(1)6(1)[4]90x x y y y y ++++−=， 所以220002220000020939()3(1)4363254N y y y y x y x x x y −−−−⋅===++++++， 所以00325N y y x =+，000000135812525N x y x x y x x ++=⋅+=++， 即0000583,2525x y N x x ⎛⎫+⎪++⎝⎭． ........................................................................................ 10分所以00000000003325255585832525MN y y x x y k x x x x x −+−==+−−+−，所以直线MN 的方程为0000003558()25325y y x y x x x x +−=−++， .................................. 11分 令0y =得，85x =，所以直线MN 恒过定点8(,0)5． .............................................................................. 12分。
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2020-2021厦门市高二数学上期末试题(附答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．334πB ．32πC ．13D ．233．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸4．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020215．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯6．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．567．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．118．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 10．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．1311．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a 的值是( )A ．0.020B ．0.018C ．0.025D ．0.0312．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题13．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______． 14．阅读如图所示的程序框图，若，，，则输出的结果是________.15．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．16．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
x 2 4 5 6 8 y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程y b x a ∧∧∧=+中的7b ∧=，预测广告费支出10万元时，销售额约为 _____________万元.（参考公式：a y b x ∧-∧-=-）17．从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则P 到对角线AC 2的概率为________.18．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________， 19．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a =20．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，L ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．三、解答题21．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）22．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局. （1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X 的概率分布及数学期望.23．某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加该活动的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 5 y 46102322（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）．参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xn x====---⋅==--⋅∑∑∑∑$，$ay bx =- 24．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果： 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70） [70,80] 男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8325．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,165 0.05 第2组[)165,1700.35170,175①第3组[)175,1800.20第4组[)180,1850.10第5组[]()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．26．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6第二组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45)a0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3n a p的值；(1)补全频率分布直方图并求,,(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．D解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间（分） [0,10)[10,20)[20,30) [30,40) [40,50) [50,60]抽样人数（名）10 18 22 25 20 5故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．5．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.6．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ．【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.7．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键10．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a ． 【详解】由频率分布直方图的性质得：()100.0050.0150.0350.0150.0101a +++++=，解得0.020a =． 故选A ． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．A解析：A 【解析】设甲到达时刻为x ，乙到达时刻为y ，依题意列不等式组为{0.50,1y xx y x y ≥+≥≤≤，画出可行域如下图阴影部分，故概率为11138218--=.二、填空题13．【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概 解析：39π【解析】 【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 23【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．14．a 【解析】【分析】首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值从而比较三个数的大小求得结果【详解】根据题中所给的程序框图可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数因为a=log1213=log23> 解析：【解析】 【分析】首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值，从而比较三个数的大小，求得结果. 【详解】根据题中所给的程序框图，可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数， 因为，而，所以其最大值是， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题，属于简单题目.15．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考解析：2 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念结合2544262=⨯+，可得最后结果为2. 【详解】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除. ∵2544262=⨯+，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2. 【点睛】本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N 个个体进行编号；（2）当Nn为整数时，抽样距即为N n ；当N n 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N '能被n 整除．16．【解析】【分析】求出样本数据中心点代入即可求出线性回归直线方程当时代入方程求即可【详解】由所给表格可知所以即线性回归直线方程为当时即销售额大约为85万元故填85【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程解析：【解析】 【分析】求出样本数据中心点(),x y ，代入a y b x ∧∧=-，即可求出线性回归直线方程，当10x =时，代入方程求y ∧即可.【详解】由所给表格可知5,50x y ==，所以 507515ˆa=-⨯=, 即线性回归直线方程为715y x ∧=+，当10x =时，ˆ85y= ，即销售额大约为85万元， 故填85. 【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求法，及应用线性回归直线方程进行估计，属于中档题.17．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为解析：34【解析】如图所示，,,,E F G H 分别为,,,AD DC AB BC 的中点，因为P 到对角线AC 的距离不大2P 落在阴影部分所在区域，由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得，P 到对角线AC 21222321444⨯⨯⨯-=⨯，故答案为34.18．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2的倍数的事件数为3所以概率为点睛：古典概型中解析：12【解析】 分析：先确定总事件数，再确定向上的点数是2的倍数的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为投掷一枚均匀的骰子，向上的点数有6种情况，向上的点数是2的倍数的事件数为3，所以概率为31=62. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据解析：9.7,8【解析】【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，所以答案是9.7,8.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.20．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率解析：12【解析】分析：由频率=频数样本容量，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16，所以第一组有12人，第二组8人第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组由疗效的有12人.点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.三、解答题21．（1）35，（2）随机变量X 的分布列： X -1 0 1P27221 1321()3E X =（3）10μμ> 【解析】 【分析】(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望(3)利用数学期望的性质能得出10μμ> 【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名， 根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7653513⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-()1221677P X =-==⨯，()4206721P X ===⨯， ()()()13111021P X P X P X ==-=--==则随机变量X 的分布列： X -1 01P27221 1321101721213EX =-⨯+⨯+⨯=(3) 10μμ> 【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确. 22．（1） (2)见解析 【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求得甲在该局获胜的概率值；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 【详解】（1）记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A ，共有三种情况：黑球在1号、3 号或5号位置，共有3种，而黑球的位置有5种. 所以.答：甲在该局获胜的概率为. （2）随机变量， 则, ， ， ，所以X 的概率分布为： X 0123P 数学期望【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题． 23．（1）$ 5.3 2.9y x =-（2）34 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程$ 5.3 2.9y x =-；（2）将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中得解.【详解】解：（1）根据表中的数据， 可得()11234535x =++++=，()146102322135y =++++=，则()()()51521iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑$()()()()()()()()()()()()()()()2222213413236133310134323135322131323334353--+--+--+--+--=-+-+-+-+- 5.3=，又由$13 5.33 2.9a=-⨯=-， 故所求回归直线方程为$ 5.3 2.9y x =-．（2）将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中，求得$ 5.37 2.934.234y =⨯-=≈， 故预测最后一天参加该活动的人数34． 【点睛】本题主要考查最小二乘法求线性回归方程，考查回归方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”． 【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数 （2）先填表，再利用卡方公式计算详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x , 依据题意有30750100x =，解得：225x =， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()2200603040702002.198 2.7061001001307091K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算． 25．(1) 0.30, 频率分布直方图见解析，(2) 平均数为172.25，中位数为170.10 【解析】 【分析】（1）由表中所有频率和为1可求得①处频率，由频率分布图的作法作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，取各小矩形中点处值作为此组的估计值进行计算可得平均值，中位数是把所有小矩形面积等分的那点的值．【详解】（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：()10.050.350.200.100.30-+++=．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05162.50.35167.50.3172.50.2177.50.1182.5172.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 0.050.350.5x ++=Q ，解得0.1x =，∴中位数为：1700.1170.10+=．【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题，考查了学生的数据处理能力．26．（1）1000,60,0.65n a p === （2）815P =【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据频率的定义由频率分布直方图可计算出第二组的频率，除以组距得小矩形的高，由第一组人数及频率可得总人数n ，再根据频率分布直方图及表格中数据可计算出,a p ； （2）由分层抽样法知抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人.把它们分别编号可用列举法列出任选2人的所有选法，从而计算出所求概率．试题解析：（1）第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=. 频率分布直方图如图：第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=， 所以20010000.2n ==， 由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=， 所以1950.65300p ==. 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=. （2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人. 设[)40,45岁中的4人为a b c d ,,,，[)45,50岁中的2人为,m n ，则选取2人作为领队的选法有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c m ，(),c n ，(),d m ，(),d n ，(),m n 共有15种，其中恰有1人年龄在[)40,45岁的有(),a m ，(),a n ，(),b m ，(),b n ，(),c m ，(),c n ，(),d m ，(),d n 共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[)40,45岁的概率为815.。